高中数学选修1-2第2章2.1合情推理与演绎推理课件
合集下载
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.1合情推理 (共82张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学选修1-2《2.1.1合情推理》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 归纳推理的概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 全部对象 都 具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
想一想：1.归纳推理的结论一定正确吗？ 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结 论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正 确．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
所以 a2－a12＝－2，即 a22＋2a2＋1＝2， 又 a2＞0，所以 a2＝ 2－1. 同理 a3－a13＝－2 2， 即 a23＋2 2a3＋2＝3， 又 a3＞0，所以 a3＝ 3－ 2. 可推测 an＝ n－ n－1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发 现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提 出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22＋anan，n∈N*，猜想 这个数列的通项公式． (2)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn＝12an＋a1n(n∈ N*)，求出 a1，a2，a3，并推测 an 的表达式． 解 (1)在{an}中，a1＝1，a2＝22＋a1a1＝23， a3＝2＋2aa2 2＝24，a4＝22＋a3a3＝25，…， 所以猜想{an}的通项公式 an＝n＋2 1.
高二数学选修1-2 《2.1合情推理》新课标人教版精选教学PPT课件
B
C
c2=a2+b2 类比: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结 ☞
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽；
感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新；
感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。
可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
人教B版数学选修1-2课件：2.1.1 合情推理
验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论. 名师点拨运用归纳推理得出结论时要注意以下两点: (1)一般地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的
一般性命题越可靠; (2)通过大量的实例去分析,才能归纳出比较可靠的一般性结论
(命题).
123
【做一做2-1】 数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于 ( )h,
则
������������ ������������
=
ℎ1 ℎ
=
1 3
������△������������������
·ℎ1
1 3
������△������������������
·ℎ
=
������������-������������������ ������������-������������������
(n∈N+)也是等比数列. 解析:在运用类比推理时,首先要找出两类对象之间可以确切表
述的相似性(或一致性),然后再用一类对象的性质去推测另一类对 象的性质.找出等差数列与等比数列在运算上的相似性,等差↔等 比,求和↔求积,除法↔开方,可猜想: dn= n c1·c2·c3·…·cn.
答案: ������ ������1·������2·������3·…·������������
尽可能是多方面的;
④需推测的未知属性应该和共同(或相似)属性属于同一类型.
123
【做一做3-1】 下列说法正确的是( ) A.类比推理一定是一般到一般的推理 B.类比推理一定是个别到个别的推理 C.类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理 D.类比推理是个别到一般的推理 答案:B
123
bn=【���做���1+一������2做+������������33+-2…】+������若������ (n数∈列N{+a)也n}(是n∈等N差+)数是列等.差数列,则数列 类比上述性质,相应地: 若数列{cn}(n∈N+)是等比数列,且cn>0,则数列dn=
一般性命题越可靠; (2)通过大量的实例去分析,才能归纳出比较可靠的一般性结论
(命题).
123
【做一做2-1】 数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于 ( )h,
则
������������ ������������
=
ℎ1 ℎ
=
1 3
������△������������������
·ℎ1
1 3
������△������������������
·ℎ
=
������������-������������������ ������������-������������������
(n∈N+)也是等比数列. 解析:在运用类比推理时,首先要找出两类对象之间可以确切表
述的相似性(或一致性),然后再用一类对象的性质去推测另一类对 象的性质.找出等差数列与等比数列在运算上的相似性,等差↔等 比,求和↔求积,除法↔开方,可猜想: dn= n c1·c2·c3·…·cn.
答案: ������ ������1·������2·������3·…·������������
尽可能是多方面的;
④需推测的未知属性应该和共同(或相似)属性属于同一类型.
123
【做一做3-1】 下列说法正确的是( ) A.类比推理一定是一般到一般的推理 B.类比推理一定是个别到个别的推理 C.类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理 D.类比推理是个别到一般的推理 答案:B
123
bn=【���做���1+一������2做+������������33+-2…】+������若������ (n数∈列N{+a)也n}(是n∈等N差+)数是列等.差数列,则数列 类比上述性质,相应地: 若数列{cn}(n∈N+)是等比数列,且cn>0,则数列dn=
人教B高中数学选修1-2全套ppt课件：2.1.1合情推理
【问题导思】 已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； 1 (2)三角形的面积等于高与底乘积的 . 2
1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．
【提示】 四个面的面积．
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第
1 (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 . 3
2．以上两个推理有什么共同特点？ 【提示】 素得出结论的． 都是根据三角形的特征，类比四面体相关元
【自主解答】 法一 5件首饰的珠宝数依次为：1＝1×1， 6＝2×3，28＝4×7，45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠 宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝数为n×(2n－1)＝ 2n2－n(颗)． 法二 设第一件宝石数a1＝6， 第n－1件工艺品所用的宝石数an－1， 第n件工艺品所用的宝石数an， 则an－an－1＝5＋4(n－2)， ∴an－1－an－2＝5＋4(n－3)，
2．过程与方法 让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生 积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培 养学生归纳推理、类比推理的思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养 成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的 良好品质，善于发现问题，探求新知识．
1 S ·pa V pa 3 △BCD P－ BCD 证明如下： ＝ ＝ ， ha 1 VA－BCD S ·ha 3 △BCD pb VP－ ACD pc VP－ ABD pd VP－ABC 同理， ＝ ， ＝ ， ＝ . hb VA－BCD hc VA－BCD hd VA－BCD ∵VP－BCD＋VP－ ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝ VA－BCD， pa pb pc pd ∴ ＋ ＋ ＋ ha hb hc hd VP－BCD＋VP－ ACD＋VP－ABD＋VP－ABC ＝ ＝1. VA－BCD
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
![数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)](https://img.taocdn.com/s3/m/33509701bd64783e08122b1f.png)
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.2 演绎推理课件PPT
栏目导航
B [对于 A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论 形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提 颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不符 合演绎推理三段论形式．]
栏目导航
用三段论证明几何问题 【例 2】 如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出 “三段论”形式的演绎推理．
栏目导航
[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平 行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分． (2)大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 结论：∠A＝∠B.
栏目导航
(3)大前提：数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为 等差数列，
“①小宏在 2018 年的高考中考入了重点本科院 中，②是大前提，③
校；②小宏在 2018 年的高考中只要正常发挥就能考 是小前提，①是结论．] 入重点本科院校；③小宏在 2018 年的高考中正常发
挥”中，“小前提”是________(填序号)．
栏目导航
3．下列几种推理过程是演绎推理的是________． ① [①是演绎推 ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相 理；②是归纳推理； 等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ③④是类比推理．] ＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以 一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科 学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
栏目导航
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无理数；结论： π 是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无限不循环小 数；结论：π 是无理数 C．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理 数；结论：π 是无理数 D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论：无 限不循环小数是无理数
B [对于 A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论 形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提 颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不符 合演绎推理三段论形式．]
栏目导航
用三段论证明几何问题 【例 2】 如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出 “三段论”形式的演绎推理．
栏目导航
[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平 行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分． (2)大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 结论：∠A＝∠B.
栏目导航
(3)大前提：数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为 等差数列，
“①小宏在 2018 年的高考中考入了重点本科院 中，②是大前提，③
校；②小宏在 2018 年的高考中只要正常发挥就能考 是小前提，①是结论．] 入重点本科院校；③小宏在 2018 年的高考中正常发
挥”中，“小前提”是________(填序号)．
栏目导航
3．下列几种推理过程是演绎推理的是________． ① [①是演绎推 ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相 理；②是归纳推理； 等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ③④是类比推理．] ＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以 一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科 学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
栏目导航
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无理数；结论： π 是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无限不循环小 数；结论：π 是无理数 C．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理 数；结论：π 是无理数 D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论：无 限不循环小数是无理数
人教A版高中数学选修1-2课件2.1.1合情推理
KETANGHEZUOTANSUO
解析:由已知交点依次写为(1,12),(2,22),(3,32),…, ∴命题 n 中交点为(n,n2),直线中系数依次为 1,2,3,…,∴命题 n 中直线的 系数为 n.
双曲线中系数依次为 13,23,33,…,∴命题 n 中双曲线的系数为 n3, ∴命题 n 为:点(n,n2)是直线 y=nx 与双曲线 y=������������3的一个交点.
.
思路分析:解答本题的关键是确定好类比对象.平面中圆类比空间
中球,平面中长度类比空间中面积,平面中面积类比空间中体积.
答案:13R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD)
2.1.1 合情推理
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
.
答案:夹在两平行平面之间的平行线段相等
2.1.1 合情推理
目标导航 预习引导
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
课堂合作探索
KETANGHEZUOTANSUO
2.合情推理及其推理过程 (1)合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,它们统称为合情推理. (2)合情推理的思维过程 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想
2.1.1 合情推理
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
一、归纳推理及其应用
活动与探究
归纳推理有什么特点? 答:(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理; (2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超 出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是偶 然的.所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的; (3)在进行归纳推理的时候,总是搜集一定的事实材料,有了个别性 的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在 观察和实验的基础上进行; (4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是作出科学发现的重要 手段.
人教版高中数学选修1-2课件 《演绎推理》2
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演 绎 推 理
1
栏 目 链 接
2
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理
的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些
简单推理.
栏
目
差异.2.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和链接
3
栏 目 链 接
4
基础
11
2．合情推理与演绎推理的区别与联系
区别：从推理形式和推理所得的结论上讲，二者有差异.
栏 目 链 接
12
栏 目 链 接
13
题型一 “三段论”模式及其理解
例1 将下列的演绎推理写成“三段论”的形式．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角
线相互垂直．
(2)奇数不能被 2 整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被 2 栏
∴MD∥AP，
又 MD⊄平面 APC，AP⊂平面 APC，
∴MD∥平面 APC.
(2)∵△PMB 为正三角形，且 D 为 PB 中点，
栏
∴MD⊥PB.
目
又由(1)知 MD∥AP，
链
∴AP⊥PB.
求 证 ： ∠ACD ＞ ∠BCD.① 证 明 ： 在 △ABC 中 ，
∵CD⊥AB，AC＞BC ②∴AD＞BD ③∴∠ACD
栏
＞∠BCD.则在上面证明过程中错误的是________(只 目
链
填序号).
接
解析：AD，BD不在同一个三角形中，③错误． 答案：③
9
栏 目 链 接
10
1．“三段论”的表示形式
和是 180°
·
2．1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演 绎 推 理
1
栏 目 链 接
2
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理
的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些
简单推理.
栏
目
差异.2.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和链接
3
栏 目 链 接
4
基础
11
2．合情推理与演绎推理的区别与联系
区别：从推理形式和推理所得的结论上讲，二者有差异.
栏 目 链 接
12
栏 目 链 接
13
题型一 “三段论”模式及其理解
例1 将下列的演绎推理写成“三段论”的形式．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角
线相互垂直．
(2)奇数不能被 2 整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被 2 栏
∴MD∥AP，
又 MD⊄平面 APC，AP⊂平面 APC，
∴MD∥平面 APC.
(2)∵△PMB 为正三角形，且 D 为 PB 中点，
栏
∴MD⊥PB.
目
又由(1)知 MD∥AP，
链
∴AP⊥PB.
求 证 ： ∠ACD ＞ ∠BCD.① 证 明 ： 在 △ABC 中 ，
∵CD⊥AB，AC＞BC ②∴AD＞BD ③∴∠ACD
栏
＞∠BCD.则在上面证明过程中错误的是________(只 目
链
填序号).
接
解析：AD，BD不在同一个三角形中，③错误． 答案：③
9
栏 目 链 接
10
1．“三段论”的表示形式
和是 180°
·
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.1 合情推理课件PPT
15 3n－3 [依据图形 特点，可知第 5 个图形中三 角形各边上各有 6 个点，因 此 a6＝3×6－3＝15.
由 n＝2,3,4,5,6 的图形
特点归纳得 an＝3n－3(n>1，
n∈N*)．]
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
数、式中的归纳推理 【例 1】 (1)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此规律，第 n 个等式可为________．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
栏目导航
学习目标
核心素养
1.了解合情推理的含义．(易混点) 1.通过学习归纳推理和类比推理，培
2．理解归纳推理和类比推理的含义，养数学逻辑推理的素养．
并能利用归纳和类比推理进行简单 2．借助合情推理，培养抽象概括的
的推理．(重点、难点)
栏目导航
(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋2 1 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x [(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …
栏目导航
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n) ＝(－1)n＋1nn＋ 2 1. (2)∵f(x)＝1－x x，∴f1(x)＝1－x x. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
栏目导航
(2)已知：f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且 n∈N*)， 则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
人教A版高中数学选修1-2课件：2.1.1合情推理 (共43张PPT)
1 1 1 (2)由a1＝S1＝2 a1＋a ，得a1＝a . 1 1 又a1＞0，所以a1＝1. 1 1 1 1 当n≥2时，将Sn＝2 an＋a ，Sn－1＝2an－1＋ 的左右两边 a n n－1 分别相减，得 1 1 1 1 an＝2an＋a －2an－1＋a . － n n 1
2an 1．(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，n∈N*，猜想 2＋an 这个数列的通项公式． 1 1 (2)已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝ 2 an＋a (n∈ n N*)，求出a1，a2{an}中，a1＝1，a2＝ ＝ ， 2＋a1 3 2a2 1 2a3 2 a3＝ ＝2，a4＝ ＝5，„， 2＋a2 2＋a3 2 所以猜想{an}的通项公式an＝ (n∈N*)． n＋1
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
梅青中学
高二备课组
1．归纳推理 (1)定义：由某类事物的__________ 部分对象 具有某些特征，推出该 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 ________ 类事物的 _________ 个别事实
概括出__________ 一般结论 的推理．
归纳推理在几何中的应用 【例 2】 在平面内观察，凸四边形有 2 条对角线，凸五边 形有5条对角线，凸六边形有9 条对角线……由此猜想凸n 边形
(n∈N*且n≥4)有几条对角线，并给出证明．
【解题探究】通过观察，发现规律，并给出相应的证明．
【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4 条„„ 于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2) 1 条，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋„＋(n－2)＝ 2 n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.1 2.1.2 演绎推理课件
(2)特点：演绎推理是从 一般 到 特殊 的推理．
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
人教B版高中数学选修1-2课件高二：2.1.1合情推理
17
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
【典型例题 2】 已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称
的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为
积的12.
错因分析:错解一“三角形周长”的类比错误,错解二“12”的类比错误.三
提示:类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的.归纳推理是由特 殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.两种推理在探索未知数 学领域都具有重要作用.
13
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
1-49
Sn=S0+S30
n
8
S0= 5 -
+
3 5
4S0 33
4n 9
+
42S0 35
S0.
+
433S70+…+43n2-1n-S10
23
首页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
探究四 易错辨析
(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验等. (2)合情推理的结论具有偶然性,既可能为真,也可能为假. (3)合情推理不能作为数学证明的工具,但它能为我们提供证明的思路
2014年人教A版选修1-2课件 2.1 合情推理与演绎推理
【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解 决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结 论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根的情况, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不 等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根. 由问题 2 猜测: 任一偶数都可以写成两个奇素数 之和. (猜测是发现新结论的开始, 但不一定真.)
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明
第二 章小结
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理(第一课时) 2.1.1 合情推理(第二课时) 2.1.2 演绎推理
2.1.1 合情推理
(第一课时) 归纳推理
返回目录
1. 什么是归纳推理? 它有什么作用? 2. 在解决问题中如何运用归纳推理?
例5. 如图所示, 有三根针和套在一根针上的若干金属片, 按下列规则, 把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1. 每次只能移动 1 个金属片; 2. 较大的金属片不能放在较小的金属片移到 3 号针, 最少需要移动多 少次? 2 1 3 移动: n=1 时, 只移 1 次. n=2 时, 移动顺序: 1→2, 1→3, 2→3. 移动了 3 次.
人教A版高中数学选修1-2课件2.1《合情推理与演绎证明》2(新选修1—2).pptx
由此可见, 应用三段论解决问题时,首先应该明 确什么是大前提和小前 提.但为了叙述简洁,如 果大前提是显然的,则可以省略. 再来看一个例子.
例6 证明函数 fx x2 2x 在 ,1上是增
函数.
分析 证明本例所依据的大前 提是增函数的定
义,即函数 y fx满足 : 在给定区间内任取自变 量的两个值x1, x2,若x1 x2,则有fx1 fx2 .
小前提是fx x2 2x,x ,1满足增函数
的定义,这是证明本例的关键.
证明 任取x1, x2 ,1,且x1 x2,
fx1 fx2
x12 2x1
x
2 2
2x2
x2 x1x2 x1 2.
因为x1 x2,所以x2 x1 0; 因为x1, x2 1, x1 x2,所以x2 x1 2 0.
就数学而言,演绎推理是证明数学结 论、建立数 学体系的重要思维过程 , 但数学结论、证明思路 等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.
参见《数学2》第二章的阅读与思考栏 目"欧几里得
的《原本》与公理化方法".
像这种尽可能少地选取 原始概念和一组不加证 明
的原始命名( 公理、公设 ),以此为出发点, 应用演绎 推理,推出尽可能多的结论的 方法,称为公理化方 法.公理化方法的精髓是 : 利用尽可能少的前提,推 出尽可能多的结论.
继《 原本》之后,公理化方法广泛应用于 自然科学、 社会科学领域.例如,牛顿在他的巨著《自然哲学的 数学原理 》中,以牛顿三定理为公理,运用演绎推理 推出关于天 体 空间的一系列科学理论 ,建立了牛 顿力学的一整套完整的 理论体系. 至此,我们学习了两种推理方 式 合情推理与演绎 推理. 思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么? 归纳和类比是常用的合 情推理.从推理形式上看, 归纳是部分到整体、个 别到一般的推理,类比是 由特殊到特殊的推理 ;演绎推理是是由一般到 特 殊的推理.从推理所得结论来看, 合情推理的结论
例6 证明函数 fx x2 2x 在 ,1上是增
函数.
分析 证明本例所依据的大前 提是增函数的定
义,即函数 y fx满足 : 在给定区间内任取自变 量的两个值x1, x2,若x1 x2,则有fx1 fx2 .
小前提是fx x2 2x,x ,1满足增函数
的定义,这是证明本例的关键.
证明 任取x1, x2 ,1,且x1 x2,
fx1 fx2
x12 2x1
x
2 2
2x2
x2 x1x2 x1 2.
因为x1 x2,所以x2 x1 0; 因为x1, x2 1, x1 x2,所以x2 x1 2 0.
就数学而言,演绎推理是证明数学结 论、建立数 学体系的重要思维过程 , 但数学结论、证明思路 等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.
参见《数学2》第二章的阅读与思考栏 目"欧几里得
的《原本》与公理化方法".
像这种尽可能少地选取 原始概念和一组不加证 明
的原始命名( 公理、公设 ),以此为出发点, 应用演绎 推理,推出尽可能多的结论的 方法,称为公理化方 法.公理化方法的精髓是 : 利用尽可能少的前提,推 出尽可能多的结论.
继《 原本》之后,公理化方法广泛应用于 自然科学、 社会科学领域.例如,牛顿在他的巨著《自然哲学的 数学原理 》中,以牛顿三定理为公理,运用演绎推理 推出关于天 体 空间的一系列科学理论 ,建立了牛 顿力学的一整套完整的 理论体系. 至此,我们学习了两种推理方 式 合情推理与演绎 推理. 思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么? 归纳和类比是常用的合 情推理.从推理形式上看, 归纳是部分到整体、个 别到一般的推理,类比是 由特殊到特殊的推理 ;演绎推理是是由一般到 特 殊的推理.从推理所得结论来看, 合情推理的结论
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
……
返回
由此猜想 g(n)＝g(n－1)＋n. 将上述各式两边分别相加得 g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n) ＝g(1)＋g(2)＋…＋g(n－1)＋2＋2＋3＋ 4＋…＋n. ∴g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝2＋n－12n＋2 ＝n2＋2n＋2(n≥2)． 由此猜想 g(n)＝n2＋2n＋2(n≥2)．
考点突破
数列中的归纳推理
根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式 或求和公式． 例1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋ 1(n＝1,2,3…) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
返回
【思路点拨】 由a1＝1求a2 → 由a2求a3 →
由a3求a4
→
由a4求a5
→
分析a1，a2，a3，a4，a5的特征
→ 猜想通项公式an
返回
【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31. (2)由a1＝1＝21－1， a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1， 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)
返回
知新益能
1．归纳推理 由某类事物的_部__分__对__象_具有的某些特征，推出该 类事物的_全__部__对__象_都具有这些特征的推理，或者 由_个__别_事实概括出_一__般__结__论_的推理，称为 _归__纳__推__理_(简称归纳)．简言之，归纳推理是由 _部__分__到__整__体_、由_个__别__到__一__般_的推理．
返回
问题探究
归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 ，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是 或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们 已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的 事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性， 不一定可靠．
返回
课堂互动讲练
返回
2．类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理称为类比推理(简称_类__比_)．简言之，类比 推理是由_特__殊__到__特__殊_的推理． 3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据_已__有__的_事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行_归__纳_、_类__比_， 然后提出_猜__想_的推理．我们把它们称为合情推理 ．通俗地说，合情推理是指“_合__乎__情__理_”的推理．
返回
【解】 设在圆内画n条线段，彼此最多分割成 的线段为f(n)条，将圆最多分割成g(n)部分． (1)当n＝5时，f(5)＝f(4)＋4＋5＝16＋4＋5＝25， g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16. (2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割 成f(n)＝n2条线段． ∵g(1)＝2， g(2)＝g(1)＋2， g(3)＝g(2)＋3， g(4)＝g(3)＋4，
返回
【思维总结】 猜想通项公式时，首先从整体形 式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用 两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等 运算寻找规律．
返回
变式训练 1 已知数列{an}的第 1 项 a1 ＝1，且 an＋1＝1＋anan(n＝1,2,3，…)，试 归纳出这个数列的通项公式．
返回
解：当 n＝1 时，a1＝1， 当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12，
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13，
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14， …
返回
通过观察可得：数列的前四项都等于相 应序号的倒数，由此归纳出 an＝n1(n∈ N*)．
返回
几何中的归纳推理 根据特殊几何图形的位置关系或者度量如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成 两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段 ，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最 多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四 条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分 割成11部分．
返回
【思维总结】 此题中，每增加一条直线，比原 来增加几个交点、增加几部分，这种递推关系是 解题的关键． 变式训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …
返回
由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？
解：凸四边形有 2 条对角线， 凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条， 凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条， … 于是猜想凸 n 边形比凸(n－1)边形多(n－2) 条对角线．因此凸 n 边形的对角线条数为 2
返回
(1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？ (2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割 成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ 【思路点拨】 每增加一条线段，与前面的每条 线段最多产生1个交点，而新增加的第n条线段最 多与前面的n－1条线段产生n－1个交点，则这n －1个点把第n条线段分为n段．每段把所在区域 一分为二，共增加了n块区域且这n－1个点把这 些点所在的线段一分为二，又增加了n－1条线段 ，这样就有：区域增加了n块，线段增加了n＋(n －1)＝2n－1条．
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比 等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用．
课前自主学案
温故夯基 根据数列的前几项写出数列的第 n 项． (1)1,3,5,7,9，…，_2_n_－__1__，… (2)212，414，618，8116，…，_2_n_＋__21_n _，… (3)9,99,999,9 999，…，_1_0_n_－__1_，…
＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝12n(n－3)(n≥4 且 n ∈N*)．
返回
类比推理 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选 择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位 置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可 以类比得到空间中的相关结论．
返回
由此猜想 g(n)＝g(n－1)＋n. 将上述各式两边分别相加得 g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n) ＝g(1)＋g(2)＋…＋g(n－1)＋2＋2＋3＋ 4＋…＋n. ∴g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝2＋n－12n＋2 ＝n2＋2n＋2(n≥2)． 由此猜想 g(n)＝n2＋2n＋2(n≥2)．
考点突破
数列中的归纳推理
根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式 或求和公式． 例1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋ 1(n＝1,2,3…) (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
返回
【思路点拨】 由a1＝1求a2 → 由a2求a3 →
由a3求a4
→
由a4求a5
→
分析a1，a2，a3，a4，a5的特征
→ 猜想通项公式an
返回
【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31. (2)由a1＝1＝21－1， a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1， 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)
返回
知新益能
1．归纳推理 由某类事物的_部__分__对__象_具有的某些特征，推出该 类事物的_全__部__对__象_都具有这些特征的推理，或者 由_个__别_事实概括出_一__般__结__论_的推理，称为 _归__纳__推__理_(简称归纳)．简言之，归纳推理是由 _部__分__到__整__体_、由_个__别__到__一__般_的推理．
返回
问题探究
归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 ，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是 或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们 已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的 事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性， 不一定可靠．
返回
课堂互动讲练
返回
2．类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理称为类比推理(简称_类__比_)．简言之，类比 推理是由_特__殊__到__特__殊_的推理． 3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据_已__有__的_事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行_归__纳_、_类__比_， 然后提出_猜__想_的推理．我们把它们称为合情推理 ．通俗地说，合情推理是指“_合__乎__情__理_”的推理．
返回
【解】 设在圆内画n条线段，彼此最多分割成 的线段为f(n)条，将圆最多分割成g(n)部分． (1)当n＝5时，f(5)＝f(4)＋4＋5＝16＋4＋5＝25， g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16. (2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割 成f(n)＝n2条线段． ∵g(1)＝2， g(2)＝g(1)＋2， g(3)＝g(2)＋3， g(4)＝g(3)＋4，
返回
【思维总结】 猜想通项公式时，首先从整体形 式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用 两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等 运算寻找规律．
返回
变式训练 1 已知数列{an}的第 1 项 a1 ＝1，且 an＋1＝1＋anan(n＝1,2,3，…)，试 归纳出这个数列的通项公式．
返回
解：当 n＝1 时，a1＝1， 当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12，
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13，
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14， …
返回
通过观察可得：数列的前四项都等于相 应序号的倒数，由此归纳出 an＝n1(n∈ N*)．
返回
几何中的归纳推理 根据特殊几何图形的位置关系或者度量如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成 两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段 ，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最 多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四 条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分 割成11部分．
返回
【思维总结】 此题中，每增加一条直线，比原 来增加几个交点、增加几部分，这种递推关系是 解题的关键． 变式训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …
返回
由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？
解：凸四边形有 2 条对角线， 凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条， 凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条， … 于是猜想凸 n 边形比凸(n－1)边形多(n－2) 条对角线．因此凸 n 边形的对角线条数为 2
返回
(1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？ (2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割 成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ 【思路点拨】 每增加一条线段，与前面的每条 线段最多产生1个交点，而新增加的第n条线段最 多与前面的n－1条线段产生n－1个交点，则这n －1个点把第n条线段分为n段．每段把所在区域 一分为二，共增加了n块区域且这n－1个点把这 些点所在的线段一分为二，又增加了n－1条线段 ，这样就有：区域增加了n块，线段增加了n＋(n －1)＝2n－1条．
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比 等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用．
课前自主学案
温故夯基 根据数列的前几项写出数列的第 n 项． (1)1,3,5,7,9，…，_2_n_－__1__，… (2)212，414，618，8116，…，_2_n_＋__21_n _，… (3)9,99,999,9 999，…，_1_0_n_－__1_，…
＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝12n(n－3)(n≥4 且 n ∈N*)．
返回
类比推理 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选 择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位 置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可 以类比得到空间中的相关结论．