三角形单元复习与巩固
《解三角形》全章知识复习与巩固
《解三角形》全章知识复习与巩固【学习目标】1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c A B C == 要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）； （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.要点三：三角形的面积公式 (1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 为,,a b c 边上的高 (2)B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===（3）S =2a b c p ++= 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A +B +C = π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC ；2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a < b ；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.要点五：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【典型例题】类型一：正、余弦定理的基本应用例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A+C ＝2B ．(1)求cos B 的值；(2)若b 2＝ac ，求sin A sin C 的值．【思路点拨】由题设“A+C ＝2B ”易知B ＝60°，又由边之间的关系“b 2＝ac ”，如何求“sin A sin C ”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B ＝A+C ，A+B+C ＝180°，解得B ＝60°，所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知2b ac =，及1cos 2B =， 根据正弦定理得2sin sin sin B A C =， 所以23sin sin 1cos 4A C B =-=． 解法二：由已知2b ac =，及1cos 2b =，根据余弦定理得22cos 2a c ac B ac+-=， 解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故3sin sin 4A C =． 【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.举一反三：【变式1】在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，41C cos =，则c ＝ ；sinA ＝ ． 【答案】∵在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，41C cos =， ∴由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－1＝4，即c ＝2； ∵41C cos =，C 为三角形内角， ∴415C cos 1C sin 2=-= ∴由正弦定理Asin C sin a c =得：81524151C sin A sin =⨯==c a ． 故答案为：2；815【变式2】在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________. 【答案】在ABC ∆中,得用余弦定理 22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==,化简得8740c b -+=,与题目条件7b c +=联立,可解得2,4,3a b c ===. 故答案为4.类型二：正、余弦定理的综合应用例2. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知→→BC BA ·＝2，cosB ＝31，b ＝3，求：(Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)cos(B －C)的值．【答案】(Ⅰ) a ＝3，c ＝2，(Ⅱ)2723． 【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角C 的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵→→BC BA ·＝2，cosB ＝31， ∴c •acosB ＝2，即ac ＝6①，∵b ＝3，∴由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，即9＝a 2＋c 2－4，∴a 2＋c 2＝13②，联立①②得：a ＝3，c ＝2；(Ⅱ)在△ABC 中，sinB ＝322)31(1cos 122=-=-B ， 由正弦定理C c B b sin sin =得：sinC ＝b c sinB ＝92432232=⨯， ∵a ＝b ＞c ，∴C 为锐角，∴cosC ＝97)924(1sin 122=-=-C ， 则cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝31×97＋2723924322=⨯． 【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.举一反三：【变式1】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ：sinB ：sinC 为（ ）A ．4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为 a 、a-1、a-2．由余弦定理可得 222222(1)(2)5cos 22(1)(2)2(2)b c a a a a a A bc a a a +--+---===--- 又3b=20acosA ，可得33(1)5cos 20202(2)b a a A a a a --===- 解得6a =，故三边是6,5,4.由正弦定理可得sinA ：sinB ：sinC=6:5:4【变式2】已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系 由cos cos a A b B =得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅， 整理得22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b a b c -+-=，当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形；综上：ABC ∆为等腰或直角三角形。
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形单元复习与巩固教案
全等三角形单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；●探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；●掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明；●能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。
重点难点：●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。
●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。
学习策略：●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。
在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。
二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识网络知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。
课堂笔记或者其它补充填在右栏。
知识点一：全等形能够完全的两个图形叫做全等形．知识点二：全等三角形能够完全的两个三角形叫做全等三角形．要点诠释：（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做，互相重合的角叫做．（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角．知识点四：两个三角形全等的条件（一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．（二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．（三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．以简写成“角角边”或“AAS”）（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
专题1-9 《直角三角形》全章复习与巩固(知识讲解)-八年级数学下册(湘教版)
1.9 《直角三角形》全章复习与巩固（知识讲解）【复习目标】1.了解直角三角形的概念，理解直角三角形的性质和判定；2.能用直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用直角三角形的知识解决有关问题．【知识梳理】要点一、直角三角形定义1.直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.要点二、直角三角形性质(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点三、直角三角形的判定(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.要点四、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点五、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形的性质1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长.【答案】CD=a【思路点拨】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a.解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高AB=AC=2a∴AC=2CD∴CD=a【点拨】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形.2 已知，在，ABC中，，ACB，90°，CD，AB垂足为D，BC，6，AC，8，求AB与CD 的长．【答案】AB=10∠CD=4.8.解∠在△ABC中∠∠ACB=90°∠CD⊥AB垂足为D∠BC=6∠AC=8∠由勾股定理得∠AB=∵S△ABC=12AB•CD=12AC•BC∠∴CD=AC BCAB⋅=8610⨯=4.8∠【点拨】在直角三角形ABC中∠利用勾股定理求出AB的长∠再利用等面积法求出CD的长即可．3．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点. 求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM12=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB12=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．解∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM12=AB=BM．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB12=AB=BM，∴CM=CB．∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【点拨】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．类型二、直角三角形全等的判定——“HL”4、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．5、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．6、 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠A=∠D B ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD O BC DA【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D∴∠A=∠D=90°（A正确）又∵AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB（B正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB≌△DOC(AAS)∴OA=OD（D正确）C中OD、OB不是对应边，不相等．故选C．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、直角三角形的折叠问题7．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )A. B. C. D.【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．A. B. C. D.5【答案】B.解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故选B.类型四、直角三角形的性质和判定综合运用8．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．。
三角形单元复习与巩固
三角形单元复习与巩固知识点一：三角形的有关的概念（一）三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的，相邻两边上的公共点叫做三角形的，相邻两边所组成的角叫做三角形的，简称三角形的 .注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：（1）三条线段；（2）不在直线上；（3）首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.（二）三角形的表示方法：“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC”.（三）三角形的分类不等边三角形（1）按边分类：底边和腰不相等的等腰三角形（2）按角分类：三角形三角形三角形三角形等腰三角形（四）三角形的三边关系（1）三边关系：三角形的任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：（1）这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；（2）三角形的三边关系是“”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线（一）三角形的高：从三角形的一个向它的对边所在的直线作，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 注意：（1）三角形的高线是一条；（2）锐角三角形的三条高都在三角形，三条高的交点也在三角形部；钝角三角形有两条高落在三角形的部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的 .（3）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的 .（二）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的的线段叫做三角形的中线.注意：（1）三角形的中线是一条；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积的三角形；（3）三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的 .（三）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：（1）三角形的角平分线是一条；（2）三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的.知识点三：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于.（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，n边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）. （二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.类型一：数学思想方法的应用（一）分类思想例1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°举一反三：☆【变式1】已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为 .【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种（二）转化思想例2．（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证.21EDCBA21EDCBA21EDCBA图1图2图321ECBAC21EDBA图4图5解析：举一反三：【变式1】如下图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝。
2025年甘肃省中考数学一轮复习基础巩固-第四单元 三角形第15讲 三角形(等腰、等边与直角三角形)
C ．36 m
D ．54 m
命题考点精析
解 ∵D ，E 分别是 A C 、B C 的中点， ∴D E 是△A B C 的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得：A B ＝ 2D E＝36 m .
故选 C .
命题考点精析
10.(2023·潍坊)如图，在△A B C 中，C D 平分∠A C B ， A E⊥C D ，垂足为点 E ，过点 E 作 E F∥B C ，交 A C 于点 F， G 为 B C 的中点，连接 FG .求证：FG ＝12A B .
解 由题意得四边形 A B C D 和四边形 E F G H 是正方形， ∵正方形 A B C D 的面积为 13， ∴A D 2＝13＝a2＋b2①. ∵中间空白处的四边形 E F G H 的面积为 1， ∴E H 2＝(b－a)2＝1，∴a2－2ab＋b2＝1②. ①－②，得 2ab＝12， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25.故选 A .
B ．7 cm
C ．2 cm
D ．1 cm
解 设第三根木棒长为 x cm ，由三角形三边关系定理得 5－3＜x＜5＋3，所
以 x 的取值范围是 2＜x＜8，观察选项，只有选项 B 符合题意．故选 B .
命题考点精析
2．(2023·福建)若某三角形的三边长分别为 3，4，m ，则 m 的值可以是( B )
故选 C .
命题考点精析
8.(2024·陕西)如图，在△A B C 中，A B ＝A C ，E 是边 A B 上一点，连接 C E，在 B C 的右侧作 B F∥A C ，且 B F ＝A E，连接 C F.若 A C ＝13，B C ＝10，则四边形 E B FC 的 面积为 60 ．
命题考点精析
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
专题11.16 《三角形》全章复习与巩固(专项练习)-八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
专题11.16 《三角形》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题知识点一、三角形的三边关系1．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（）A．40cm B．70cm C．100cm D．130cm2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．3，7，5B．4，8，5C．5，12，7D．7，13，83．如图，∠ABC＝90°，BD∠AC，下列关系式中不一定成立的是（）A．AB＞AD B．AC＞BC C．BD+CD＞BC D．CD＞BD知识点二、三角形中重要线段4．下列尺规作图，能判断AD是ABC的BC边上的高是（）A．B．C．D．5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则∠ABC的重心是（）．A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G6．下列说法正确的个数有（ ）∠三角形的高、中线、角平分线都是线段；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；∠三角形的三条高都在三角形内部；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点三、与三角形有关的角7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，90C EDF ∠=∠=︒ ，45E ∠=︒， 60B ∠=︒ ，点D 在边BC 上，边DE ，AB 交于点G ．若 //EF AB ，则CDE ∠的度数为（ ）A ．105︒B ．100︒C ．95︒D ．75C ︒8．一副直角三角板如图摆放，点F 在CB 的延长线上，∠C =∠DFE =90°，若DE ∠CF ，则∠BEF 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°∠的度数是（）9．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中αA．15°B．30°C．65°D．75°知识点四、三角形的稳定性10．如图所示，具有稳定性的有（）A．只有（1），（2）B．只有（3），（4）C．只有（2），（3）D．（1），（2），（3）11．如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．长方形的轴对称性D．两直线平行，同位角相等12．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根知识点五、多边形内角和及外角和公式13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720︒，则此多边形是（）边形．A．6B．7C．8D．914．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．30°B．45°C．60°D．72°15．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形知识点六、多边形对角线公式的运用16．下列说法正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．连接两点的线段叫两点间的距离C．两点之间，直线最短D．七边形的对角线一共有14条17．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（）场比赛．A．30B．45C．105D．21018．八边形从一个顶点引出的对角线的条数为（）A．4条B．5条C．6条D．7条知识点七、镶嵌问题19．下列四组多边形∠正三角形与正方形∠正三角形与正十二边形∠正方形与正六边形∠正八边形与正方形，其中能铺满地面的是（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠20．小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种形状的地砖是（）A．B．C．D．21．下列正多边形不能实施平面镶嵌的是（）．A．正方形B．正五边形C．正六边形D．等边三角形二、填空题知识点一、三角形的三边关系22．已知三角形ABC，且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，那么x的取值范围是________．23．小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．24．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a b c b c a c a b --+--+-+=______． 知识点二、三角形中重要线段25．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为__cm ，BCD ∆的面积=__2cm ．26．（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么BAD ∠=∠__12=∠__． （2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么BE =__=__BC ．27．如图，在∠ABC 中，点D ，点E 分别是BC ，AB 的中点，若∠AED 的面积为1，则∠ABC 的面积为_____．知识点三、与三角形有关的角28．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF //BC 时，∠EGB 的度数是___．29．如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝68°，则∠1=_____°．30．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，若18A ∠=︒，则1∠=__________．知识点四、三角形的稳定性31．下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∠一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___．32．如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有____．33．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉_____根木条．知识点五、多边形内角和及外角和公式34．若一个多边形的内角和是其外角的和1.5倍，则这个多边形的边数是________． 35．五边形的内角和是_______度，外角和是________度．36．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE 的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝_____．知识点六、多边形对角线公式的运用37．一个n边形共有n条对角线，将这个n边形截去一个角后它的边数为__．38．八边形中过其中一个顶点有__条对角线．39．若一个多边形的内角和为900︒，则从该多边形一个顶点出发引的对角线条数是______．知识点七、镶嵌问题40．用边长相等的三角形、四边形、五边形、六边形、七边形中的一种；能进行平面镶嵌的几何图形有_________种．41．使用下列同一种正多边形不能铺满地面的是________（填序号）∠正三角形；∠正方形；∠正六边形；∠正八边形42．下列正多边形中能单独镶嵌平面的是________．（填写序号）∠正三角形；∠正方形；∠正五边形；∠正六边形．三、解答题知识点一、三角形的三边关系43．如图所示，（1）图中有几个三角形？∆的边和角．（2）说出CDE∠是哪些三角形的角？（3）AD是哪些三角形的边？C知识点二、三角形中重要线段44．已知a b c ，，满足()2240a c -+-=．（1）求a b c ，，的值．（2）以a b c ，，为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．知识点三、与三角形有关的角45．如图，已知BD //AC ，CE //BA ，且D 、A 、E 在同一条直线上，设∠BAC ＝x ，∠D +∠E ＝y ．（1）试用x 的一次式表示y ；（2）当x ＝90°，且∠D ＝2∠E 时，DB 与EC 具有怎样的位置关系？知识点四、三角形的稳定性46．凸六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个．知识点五、多边形内角和及外角和公式47．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多720︒，求该多边形的边数；（2）如图，已知AD 是ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高，AD 与CE 相交于点F ，30CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求ADC ∠和AFC ∠的度数．知识点六、多边形对角线公式的运用48．观察下面图形，并回答问题．()1四边形有条对角线；五边形有条对角线；六边形有条对角线．()2根据()1中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．参考答案1．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形三边关系，∠三角形的第三边x 满足：70303070x -<<+，即40100x <<，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．2．C【分析】根据两边之和等于第三边的原则去判断即可【详解】∠3+5＞7，∠能构成三角形，不符合题意；∠4+5＞8，∠能构成三角形，不符合题意；∠7+5=12，∠不能构成三角形，符合题意；∠8+7＞13，∠能构成三角形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准． 3．D【分析】根据直角三角形斜边大于直角边判断A 、B 、D 选项，根据三角形的三边关系判断C 选项．【详解】解：∠BD ∠AC ，∠∠ADB＝90°，∠AB＞AD，∠∠ABC＝90°，∠AC＞BC，∠BD+CD＞BC，∠选项A，B，C正确；∠∠BDC＝90°，∠CD不一定大于BD，∠选项D不一定成立，故选：D．【点睛】此题考查直角三角形斜边大于直角边的性质，三角形的两边和大于第三边的性质，熟记性质并熟练运用是解题的关键．4．B【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．5．A【分析】结合题意，根据三角形重心的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意可知，直线CD经过∠ABC的AB边上的中线，直线AD经过∠ABC的BC边上的中线∠点D是∠ABC重心．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、中线的性质，从而完成求解．6．C【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．【详解】解：∠三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；∠钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个．故选：C ．【点睛】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．7．A【分析】根据EF AB ∥，可得45BGD E ，再根据外角的性质，利用 CDE B BGD 可求得结果．【详解】解：EF AB ∥，45BGD E ∠=∠=︒．又CDE ∠是BDG ∆的外角，60B ∠=︒=6045105CDE B BGD ，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8．B【分析】根据一副直角三角锐角大小一定，根据平行线的性质内错角相等，可得∠DEF = ∠EFB = 45°，再由三角形外角的性质，即可求出∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 15°．【详解】解：∠DE ∠CF ，∠DEF = 45°，∠∠DEF = ∠EFB = 45°，∠∠ABC = 60°，∠∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 60°-45°= 15°故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形一个外角与其不相邻两个内角的性质． 9．D【分析】根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图，∠ABC ∆和DEF ∆都是直角三角形，且30,45B E ∠=︒∠=︒∠45,60EFD ACB ∠=︒∠=︒∠++180EFD ACB FAC ∠∠∠=︒∠180456075FAC ∠=︒-︒-︒=︒，即75α=︒故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形内角和定理是解答此题的关键．10．C【分析】根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．11．A【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：这样做的数学原理是三角形的稳定性．故选：A．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．B【分析】三角形具有稳定性，钉上木条后，使五边形变为三角形的组合即可解题．【详解】AC CE，使五边形变为三个三角形，解：如图，钉上木条,根据三角形具有稳定性，可知这样的五边形不变形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【详解】解：∠一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∠这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．14．B【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180°×（n-2）=1080°，解得：n=8，∠这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．15．D【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n-2）•180°=2×360°，所以，这个多边形是六边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．16．D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．17．C【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛12m（m-1）．【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：12×15×（15-1）=105．故选：C．【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．18．B【分析】由八边形八个顶点即可知从一个定点能引出的对角线条数．∠八边形八个顶点，每个顶点除了本身和相邻点不能作对角线，∠可引出8-3=5条对角线，故选：B．【点睛】此题考查多边形的对角线，可由对角线定义：由某一顶点向其他顶点引出的线段，得出结论．19．B【分析】根据围绕一点的各个角的和为360°进行一一判断即可．【详解】解:∠正三角形与正方形,正三角形每个内角60°,正方形每个内角90°,3×60°+2×90°=360°, 能铺满地面；∠正三角形与正十二边形, 正三角形每个内角60°,正十二边形每个内角150°,1×60°+2×150°=360°, 能铺满地面；∠正方形与正六边形, 正方形每个内角90°,正六边形每个内角120°,k×90°+n×120°=360°，k，n不是整数，不能铺满地面；∠正八边形与正方形，正八边角形每个内角135°,正方形每个内角90°,2×135°+1×90°=360°, 能铺满地面，其中能铺满地面的是∠∠∠．故选择：B．【点睛】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为360°是解题关键．20．B【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【详解】正八边形的每个内角为()821808-⨯︒=135°，A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．21．B【分析】先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得．【详解】A、正方形的每个内角的度数为90︒，且490360⨯︒=︒，∴正方形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；B、正五边形的每个内角的度数为()180521085︒⨯-=︒，且360101083︒=︒不是整数，∴正五边形不能实施平面镶嵌，则此项符合题意；C、正六边形的每个内角的度数为()180621206︒⨯-=︒，且3120360⨯︒=︒，∴正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；D、等边三角形的每个内角的度数为60︒，且660360⨯︒=︒，∴等边三角形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题关键．22．1＜x＜5【分析】直接根据三角形三边的关系进行求解即可；【详解】根据三角形三边关系可得：AB-BC＜AC＜AB+BC，∠AB=3，BC=2∠1＜x＜5，故答案为：1＜x ＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解题意是解题的关键．23．6 11 6【分析】先分析出共有四种情况，再根据三角形三边关系即可求解【详解】解：每三根组合，有5cm ，6cm ，11cm ；5cm ，6cm ，16cm ；11cm ，16cm ，5cm ；11cm ，6cm ，16cm 四种情况．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得其中只有11，6，16能组成三角形．故答案为：6,11,6【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系并根据题意分出四种情况是解题关键．24．3c b a +-【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【详解】解：∠∠ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，∠必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，∠0,0,0a b c b c a c a b --<--<-+>， ∠a b c b c a c a b --+--+-+=()()()a b c b c a c a b ------+-+=++++a b c b c a c a b --+-+=3c b a +-故答案为：3c b a +-．【点睛】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．25．4 3【分析】根据三角形的高线的定义知BC 是边AC 上的高线．由三角形中线的定义知AD ＝BD ，则∠ACD 与∠BCD 的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．【详解】如图，90ACB ∠=︒，4BC cm =，BC ∴是AC 边上的高，即AC 边上的高为4cm ，又CD 是AB 边的中线，BD AD ∴=，21111343()2224BCD ABC S S AC BC cm ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯=． 故答案是：4；3．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求∠BCD 的面积的．26．CAD BAC CE12 【分析】（1）根据角平分线定义即可求解；（2）根据中点定义即可求解．【详解】解：（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么12BAD CAD BAC ∠=∠=∠． 故答案为：CAD ，BAC ；（2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么12BE CE BC ==． 故答案为：CE ，12． 【点睛】本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键． 27．4【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∠点E 是AB 的中点，∠AED 的面积为1，∠∠ABD 的面积=∠AED 的面积×2=2，∠点D是BC的中点，∠∠ABC的面积=∠ABD的面积×2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．28．105°【分析】过点G作HG∠BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为∠DEF和∠ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【详解】解：过点G作HG∠BC，∠EF∠BC，∠GH∠BC∠EF，∠∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，在Rt∠DEF和Rt∠ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，∠∠E＝60°，∠B＝45°，∠∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，∠∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，故∠EGB的度数是105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．29．22【分析】如图，延长HE，交BC于点G，求出∠2=∠HGF=68°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．解：如图，延长HE ，交BC 于点G ，∠AD ∠BC ，∠∠2=∠HGF =68°，由题意得∠FEH =∠FEG =90°，∠∠1=90°-∠EGF =90°-68°=22°．故答案为：22【点睛】本题考查了平行线的性质与直角三角形的两锐角互余，根据题意添加辅助线是解题关键．30．36︒【分析】利用折叠性质得到18DA A A ∠'=∠=︒，然后根据三角形外角性质求解．【详解】 解：纸片ABC ∆沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，18DA A A ∴∠'=∠=︒，136DA A A ∴∠=∠'+∠=︒．故答案为36︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180︒．也考查了折叠的性质． 31．三角形的稳定性【分析】直接根据题意进行解答即可．【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．【分析】根据三角形的性质进行解答即可．【详解】解：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，能解释这一实际应用的数学知识是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．33．2．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】如图，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形．34．5【分析】根据多边形的内角和与外角和即可求出答案．【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意可知：（n-2）•180°=1.5×360°，解得：n=5，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．35．540 360【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和多边形的外角和定理进行解答．【详解】解：（5-2）•180°=540°，所以五边形的内角和为540度，外角和为360度．故答案为：540，360．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．36．120°【分析】利用内角与外角的关系可得∠AED＝120°，然后再利用多边形内角和定理进行计算即可．【详解】解：∠∠DEF＝60°，∠∠AED＝120°，∠∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．37．6、5、4【分析】根据一个n边形对角线条数公式()32n n-共有n条对角线，列等式，求出边数，再利用分类将五边形截去一个角的情形求解即可．【详解】解：由这个n边形共有n条对角线，可得()32n nn-=，解得n＝5或0（不合题意，舍去），所以这个多边形是五边形，将一个五边形截去一个角，根据截法不同可以有三种情况如图，其结果分别是6、5、4条边，故答案为：6、5、4．【点睛】本题考查由对角线条数与边关，分类思想，数形结合思想截取一个角实质看边是否减少是解题关键．38．5【分析】根据对角线的意义求解．【详解】解：根据对角线的意义可知：一个八边形过一个顶点有8-2-1=5条对角线，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的对角线，熟练掌握多边形对角线的意义是解题关键．39．4【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．【详解】设这个多边形的边数为n，则（n-2）×180°=900°，解得，n=7，从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键．40．2【解析】试题分析：一个多边形能不能进行平面镶嵌，关键看同一个顶点处无缝且能组成一个周角，因为任意三角形的内角和是180°，所以放在同一顶点处6个即可；因为任意四边形的内角和是360°，所以放在同一顶点处4个即可；因为任意五边形的内角和是540°，不能整除360°，所以不能密铺；因为边长相等的六边形的内角和是720°，虽然能整除360°，但不一定能密铺；因为任意七边形的内角和是900°，不能整除360°，所以不能密铺．因此能进行平面镶嵌的几何图形有三角形和四边形2种．考点：平面镶嵌.41．∠【分析】分别求出正三角形，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60°，放在同一顶点处6个即能密铺；∠正方形的每个内角是90°，4个能密铺；∠正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺；∠正八边形每个内角是135°，不能整除360°，不能密铺．故答案为：∠【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.镶嵌定义是解答此题的重要依据.42．∠∠∠【分析】根据正多边形的内角特点即可依次判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60，能整除360，能镶嵌平面；∠正方形的每个内角是90，4个能镶嵌平面；-÷=，不能整除360，不能镶嵌平面；∠正五边形每个内角是：1803605108。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
《三角形》全章复习与巩固(培优篇)(含答案)
《三角形》全章复习与巩固（培优篇）（含答案）一、单选题1.如图，ZkABC的面积为3（）C∏Λ AE=ED, BD=2DC,则图中四边形EDCF的面积等于（）A. 8.5B. 8C. 9.5D. 92.如图，41/,。
“平分/^位＞和/88,若/8 = 34。
，/0 = 42。
，则NΛ∕=（）A. 34oB. 38oC. 40oD. 42°3.已知MBC中，CD是A8边上的高，C£平分ZAC8.若NA =机。
，ZB = ∕ιo, m≠n,则NQCE的度数等于（）A. -m oB. -n oC. ，（〃?。
一〃。
）D. -∖m o-n o2 2 2v f2l4.如图，AD∕∕BC,N力=NA8C,点E是边力。
上一点，连接4E交5C的延长线于点儿点尸是边A8上一点，使得NFBE= ∕FEB,作NFE"的角平分线EG交5〃于点G.若N8EG=40。
，则NOE”的度数为（）A. 50oB. 75oC. 100oD. 125°5.如图，在第1个4A∕3C中，ZB=3（）o, A1B=CB,在边A/3上任取一点力，延长C4/到使A∕A2=A∕O,得到第2个△ A lΛ2D i在边4。
上任取一点E,延长4/2到4,使A2A3=A2E,得到第3个AA2λ3E,…按此做法继续下去,则第2021个三角形中以A2O2O为顶点的底角度数是（）7 .如图，在四边形A5CO 中，AD//BC,若ND45的角平分线A£交。
于E,连接8E,且8E 边平分NABC,得到如下结 论：(l)ZAEB=90o ；(2)I3C+AD=AB ；③BE=^CD ； ®BC=CE-⑤若 A8=x,则 BE 的取值范围为 0<3EVx,那么以 8 .如图，已知AB = AC,点。
、E 分别在AC 、A8上且ΛE = AD,连接EC, BD, EC 交BD 于点、M,连接AM,过点A 分别 作AE_LC£AG_L8O,垂足分别为F 、G,卜.列结论：①.EBM 咨&DCM ；②NEMB = NFAG ；③M4平分NEMD ；④如果 S.BEM =S,ADM ,则E 是的中点；其中正确结论的个数为（ ）9 .“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下:A. (!) 2020∙75oB.弓)2020∙65oC. (；) 2021 ∙75D. (!) 2021 ∙6506.如图所示，锐角^ABC 中，D, E 分别是AB, AC 边上的点，2∖ADC/ z √iOC, ∆AEB^ ^AEB ,, 且C'D∕∕EB f "BC, BE 、CD 交于点F,若NBAO40。
《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练
专题1.17《解直角三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（）A ．12B ．3C ．2D 2．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB=B ．cos BC A AC=C ．tan AB C BC=D ．cos AC C BC=3．如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB 为（）A ．6cos αB ．6cos αC ．6sin αD ．6sin α4．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，ABC α∠=，那么A 、B 两地的距离等于（）A ．tan a αB ．tan a α⋅C ．sin a α⋅D ．cos a α⋅5．点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣1，2)，以点O 为圆心，将线段OA 逆时针旋转，使点A 落在x 轴的负半轴上点B 处，则点B 的横坐标为（）AB C D7．已知，斜坡的坡度i =1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A ．B ．20米C ．D ．1003米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE 的顶部测得信号发射塔AB 顶端的仰角∠FEA ＝56°，建筑物DE 的底部D 到山脚底部C 的距离DC ＝16米，小山坡面BC 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，坡长BC ＝40米（建筑物DE 、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直），则信号发射塔AB 的高约为（）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A ．71.4米B ．59.2米C ．48.2米D ．39.2米9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,210．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝1.18米，AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin2A＝_____．12．若关于x 的方程x 2+sin α=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan C =3AB =，则AC 的长为_____．17．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1sin 602︒；（2）26tan 30cos30tan 602sin 45cos 60︒-︒︒-︒+︒ ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设∠CAD =α．(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长．21．如图，为了测得旗杆AB 的高度，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得旗杆顶点A 的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m ，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，≈1.41）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝故选：D ．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，则sin ,cos ,tan ,cos BC AB AB BCA A C C AC AC BC AC====．故选：C ．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt △ABC 中，6BC =米，ABC α∠=，∵cos BCABC AB∠=，∴6cos BC AB ABC coa α==∠，故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵tanα=ACAB，∴AB =tan tan AC aαα=，故选A ．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∵sin60°cos30°，）关于y 轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA ，可得结论．解：∵A （﹣1，2），∴OA由旋转的性质可知，OB ＝OA∴B 0）．故选：C ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA 即可．7．A【分析】根据坡度意思可知1tan 2A ∠=，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，求出h 即可．解：如图：由题意可知：1tan 2A ∠=，100AB =米，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，解得：h =米，h =-．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC ，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43BGCG=，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43 BGCG=，设BG＝4x，CG＝3x，则BC x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴==90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA 、FE ，交于点D ，根据AB ⊥BC ，EF ∥BC 知∠ADE =90°，由∠AEF =143°知∠AED =37°，根据sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米求出AD 的长，继而可得BD 的值，从而得出答案．解：如图，延长BA 、FE ，交于点D ．∵AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∴BD ⊥DF ，即∠ADE =90°．∵∠AEF =143°，∴∠AED =37°．在Rt △ADE 中，∵sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米，∴AD =AE •sin ∠AED =1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD =AB +AD =1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．12【分析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵sin BC A AB ==∴∠A ＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0 ，α=-⨯⨯=解得：1sin 2α=∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．512解：∵P （12，a ）在反比例函数60y x =图象上，∴a=6012=5，∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512，故答案为512．14．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==4AD = 165AE ∴=125DE ∴===DE AC⊥ 90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠==534CD DE ∴=⋅=在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠==∴∠1=∠3，tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =，∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD ，根据勾股定理得：AC =．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质可知，AF =FM ,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG ，即可求解.解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3，在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB，∴EF当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1（2）1【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝11232-＝16（2）原式21316221222=⨯-⨯=--=-【定睛】此题主要考查实数的运算。
《三角形》全章复习与巩固——巩固练习(基础)
【巩固练习】一.选择题1. 如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°2.已知三角形两边长分别为 4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm3. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 图中的尺规作图是作（）A.线段的垂直平分线B.一条线段等于已知线段C.一个角等于已知角D.角的平分线6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB7. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8. 若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为 ( )A．40° B．80° C．60° D．120°二.填空题9．三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，在△ABC中， ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为．12. 若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为____ ____．13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 如图，△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OM ∥AB ，ON ∥AC ，BC ＝10cm ，则ΔOMN 的周长＝______cm ．三.解答题17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP ．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：在下面的△ABC 中，用尺规作出AB 边上的高（不写作法，保留作图痕迹）19. 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．20．已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF并延长交AC 于点E ，BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4＋∠C，∠2＝∠3＋∠C，即∠1＋∠2＝∠C＋∠C＋∠3＋∠4＝70°＋180°＝250°．2. 【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．3. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】A；【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线.6. 【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．7. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.8. 【答案】B；【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°.二.填空题9. 【答案】29cm；10．【答案】①②③；11. 【答案】3；【解析】∵ED 垂直平分BC ，∴可得△BED ≌△CED （SAS ）∴CE=BE=3.12. 【答案】100°，60°，20°．13.【答案】ab 21； 【解析】由三角形全等知D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14. 【答案】10°．15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16. 【答案】10；【解析】OM ＝BM ，ON ＝CN ，∴△OMN 的周长等于BC.三.解答题17．【解析】证明：延长AB 至E ，使BE ＝BP ，连接EP∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝80°∴∠E ＝∠BPE ＝802︒＝40°∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线， ∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP∴BQ ＝QC （等角对等边）在△AEP 与△ACP 中，EAP CAPE C AP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （AAS ）∴AE ＝AC∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.18.【解析】解：19. 【答案与解析】（1）∵DE 垂直平分AC ，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．答：（1）∠ECD 的度数是36°；（2）BC 长是5．20．【解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 90BEC ∠=︒.∴ BE⊥AC．。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可； （2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计 算即可． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2
《解直角三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（基础） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC. (3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．求∠要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 2.常见的应用问题类型 (1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
北京四中八年级下册数学三角形的证明全章复习与巩固-巩固练习(提高)
《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）【巩固练习】一.选择题1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）A． 3米 B． 4米C． 5米 D．6米2. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A B C D3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。
其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C7. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点若∠APD=60°，则CD的长为( )A．12 B．23C．34D．18. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A、三边中线的交点B、三条角平分线的交点C、三边上高的交点D、三边中垂线的交点二、填空题9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．10. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“”11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使35点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.13. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是___________.14. 如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__15. 已知⊿ABC中，∠A = 90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = .16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB.三、解答题17. 如图：△ABD和△CDH都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等的三角形，并写出证明过程．18. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30cm 2，求折叠△AED 的面积．19. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E,直线BM 、CN 交与F 点.(1)求证：AN=BM ；(2)求证： △CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）20.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB∴△AEB ≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D．2. 【答案】A；3. 【答案】D；【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE,故选D．4. 【答案】B；【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D∴CAD=∠EAD∵E⊥AB∴∠AED=∠C=90∵AD=AD∴△ACD≌△AED．（AAS）∴AC=AE，CD=DE∵∠C=90°，AC=BC∴∠B=45°∴DE=CE∵AC=BC，AB=6cm，∴2BC2=AB2，即BC=22AB=26322，∴BD=AB-AE=AB-AC=6-32，∴BC+BE= 32 +6- 32 =6(cm)，∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）．另法：证明三角形全等后，∴AC=AE，CD=DE．∵AC=BC，∴BC=AE．∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6(cm)．故选B．5. 【答案】B；【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180，∴x=36，∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．6. 【答案】B；【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等．故选B．7. 【答案】B；【解析】解：∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60+∠BAP=∠APD+∠CPD=60+∠CPD，∴∠BAP=∠CPD．又∵∠ABP=∠PCD=60，∴△ABP∽△PCD．∴AB BPCP CD=，即312CD=．∴CD=2/3．故选B．8. 【答案】D；【解析】三角形三边中垂线的运用.二.填空题9. 【答案】125°；【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，∴∠C=35°，∠A=110°，∵DE ⊥BC ，∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°，∵125°＞110°＞90°＞35°，∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C ．10.【答案】三角形的三个内角都小于60°；【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．11.【答案】6；【解析】∵∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB= 22AB BC +=10，∵△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在AB 边的点C′处，∴∠BC′D=∠C=90°，BC′=BC=6，DC′=DC，∴AC′=AB -BC′=10-6=4，∵S △ADB +S △DBC =S △ABC ，∴12 •AB•DC′+ 12 BC•DC= 12AC•BC， ∴10DC′+6DC′=6×8，∴DC′=3，∴S △ADC′= 12 DC′•AC′= 12×4×3=6． 【解析】将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，BD=2+3=5，AD=12，由勾股定理得：AB= 22AD BD +=13．13.【答案】20；【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．14.【答案】65°；【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF；又∵∠B=50°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠BCA）+12（∠B+∠BAC）=12（∠B+∠B+∠BCA+∠BAC）=2302（外角定理），∴∠AEC=180°-（12∠DAC+12ACF）=65°；故答案是：65°．15.【答案】135°；【解析】∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°-45°=135°．故答案为135°．16.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°-∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE．三.解答题17.【解析】解：△ACD≌△BHD；证明：∵△ABD和△CDH都是等腰直角三角形，∴CD=DH，AD=BD，∠ADC=∠ADB=90°，∴在△ACD和△BHD中，∴△ACD≌△BHD（SAS）．18.【解析】解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．由S△ABF=BF•AB=30，AB=5，得BF=12．在Rt△ABF中，由勾股定理，得．所以AD=13．设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，即（5﹣x）2+12=x2．解得．故．19.【解析】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．20.【解析】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：在△BEC中，∵BE=CE∴∠EBC=∠ECB又∵∠ABE=∠ACE∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC．在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC∴△AEB≌△AEC（SSS）∴∠BAE=∠CAE．。
初一数学《三角形》全章复习与巩固(基础)《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《三角形》全章复习与巩固（基础）责编：康红梅【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理， 得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．举一反三【变式】（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ） A．11B．5C．2D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5.3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的重要线段4.（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【答案】70°．【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD 证明：∠BAC＝∠EAD＝90° ∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE 即∠BAE＝∠CAD 又AB＝AC，AE＝AD， △ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA， 又∠COE＝∠AOD ∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90° 则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°， 所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA ）∴BD＝CE.6.己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC+【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDEAD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EDB（SAS ）∴AC＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD＜.()12AB AC +【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长的取值范围是( )x A.1 ＜＜ 6 B.5 ＜＜ 7 C.2 ＜＜ 12 D.无法确定x x x 【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以选A 选项.2x 类型五、全等三角形判定的实际应用 7.如图，小叶和小丽两家分别位于A 、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB 相等的线段的长，从而得知两家的距离．解：在点B 所在的河岸上取点C ，连结BC ，使CD=CB ，利用测角仪器使得∠B=∠D ，且A 、C 、E 三点在同一直线上，测量出DE 的长，就是AB 的长．在△ABC 和△ECD 中B D CD CBACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ECD （ASA ）∴AB=DE ．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决． 由已知易证△ABC ≌△ECD ，可得AB=DE ，所以测得DE 的长也就知道两家的距离是多少．类型六、用尺规作三角形8.作图：请你作出一个以线段a 为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：【思路点拨】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．【答案与解析】解：已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】考查等腰三角形的画法；会作一个角等于已知角是解决本题的突破点；注意画图的顺序为边，角，角．举一反三【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）已知：线段a与线段b．求作：线段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如图所示：作线段AB即为所求．。
北师大版八年级下册数学练习课件-第1章-三角形的证明 复习与巩固1
12
▪ ★考点2 等边三角形 ▪ 1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，
的关键．
5
▪ 考点4 线段的垂直平分线
▪ 【典例4】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周
长为( )
▪ A．13
B．14
▪ C．15
D．16
6
▪ 分析：∵DE是AB的垂直平分线， ▪ ∴AE＝BE， ▪ ∴△BEC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC. ▪ ∵AC＝8，BC＝5， ▪ ∴△BEC的周长＝8＋5＝13. ▪ 答案：A
20
▪ ★考点5 角平分线
▪ 1．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N 是OB上的任意一点，C则线段PN的取值范围为( )
▪ A．PN＜3
B．PN＞3
▪ C．PN≥3
D．PN≤3
21
2．【2018·山西中考】如图，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；②分别以 C、D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两 弧在∠NAB 内交于点 E；③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB＝2，∠ABP＝60°，则线 段 AF 的长为__2__3____.
C．22 cm
D．25 cm
人教版八年级数学上册第十一章《三角形》全章复习与巩固—巩固练习(提高)含答案
【答案与解析】
一、填空题 1. 【答案】50°；
【解析】解：∵AE 平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°， Rt△ABD 中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．下列正多边形能够进行镶嵌的是（ ）
A．正三角形与正五边形 B．正方形与正六边形
C．正方形与正八边形
D．正六边形与正八边形
11．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为 5 和 9，则满足上述条件的三角形个数
为( )
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
+（b﹣4）2=0，则第三边 c 的取值范围
是
．
8．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使 AB 固定，转动 AD，
当∠DAB＝_____时，ABCD 的面积最大，最大值是________．
二、选择题 9．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其 中可构成三角形的有( )
因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．
当高 AD 在△ABC 的外部时(如图(2))． 因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， 所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°． 综上可知∠BAC 的度数为 90°或 50°． （2）如图(1)，当 AD 在△ABC 的内部时， 因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°， 所以△ABC 是直角三角形． 如图(2)，当 AD 在△ABC 的外部时， 因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°， ∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°， 所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°． 所以△ABC 为钝角三角形． 综上可知，△ABC 是直角三角形或钝角三角形． 20.【解析】 解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短． （2）△BPC 的周长＜△ABC 的周长．理由如下： 如图，延长 BP 交 AC 于 M，在△ABM 中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC 中，PC＜PM+MC，两式 相加得 BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC 的周长＜△ABC 的周长．
苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/cd09fc14a4e9856a561252d380eb6294dd88223b.png)
苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了八年级上册数学中的全等三角形知识点，包括全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法，角的平分线的性质以及全等三角形证明方法。
要点一介绍了全等三角形的判定与性质，其中包括边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边、直角边定理(HL)、边边边(SSS)等判定方法，并说明了对应元素相等的性质。
要点二介绍了全等三角形的证明思路，包括找夹角、找直角、找另一边、边为角的对边等方法。
要点三介绍了角平分线的性质和判定定理，以及与角平分线有关的辅助线。
要点四介绍了全等三角形证明方法，包括证明线段相等的方法、证明角相等的方法等。
XXX∠FAE。
又∠EAG+∠XXX∠BAG=180°。
AEF≌△AGF（AAS）。
XXX．结论：BE=FD，EF=FD/2．2、（2014•北京市海淀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且AD=AC．连接CD，交AB于E点．证明：AE=DE．思路点拨】1）延长AD交CE于点F；2）证明△AFE≌△CFD，得到∠AFE=∠CFD，再证明△AED≌△CED，得到AE=DE．答案与解析】证明：（1）连接AF，CF，DF，因为AB=AC，AD=AC，∴∠BAD=∠CAD，∠AFD=∠CFD。
又∠AFE=∠XXX，∴△AFE≌△CFD（AAS）。
AE=DE．证明：作角平分线AD，连接BD，CD.AB＝AC。
BAD＝∠CAD。
又∠ABD＝∠ACD。
ABD≌△ACD（AAS）。
BD＝CD。
又∠BDA＝∠CDA。
BDA≌△CDA（SAS）。
B＝∠C.总结升华】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定方法，即AAS和SAS定理。
证明：过点A作AD⊥BC，则在Rt△ABD与Rt△ACD 中，由于AB=AC，AD=AD，根据HL（斜边-直角边-斜边）可得Rt△ABD≌Rt△ACD，因此∠B=∠C。
新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
](https://img.taocdn.com/s3/m/39a56a0f5a8102d276a22ffa.png)
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BA C（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵A E平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
人教版全等三角形全章复习与巩固(精品)
全等三角形全章复习要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边 要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ）边边边（SSS ） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL ） 性质对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1.证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2.证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等.3.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【题型一】公共边类型的全等三角形图形1 图形2 图形3注意：隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA 【例1】 在ABC ∆中，AB=AC,AD 平分∠BAC ，求证：ABD ∆≌ACD ∆【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.A B CD A B C D B C A DD C B A A D【例3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．【题型二】公共角类型的全等三角形【例4】如图，AB=AC, AD=AE，BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.【题型三】对顶角类型的全等三角形图形1 图形2【例5】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：∠B=∠D.【例6】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD 于点E,F，求证：OE=OF【题型四】边加减类型的全等三角形图形1 图形2A DBE FC(1)AB F EDC(2)∵ BE=CF∴ BE-EF=CF-EF∴ BF=CE∵ BE=CF∴ BE+EF=CF+EF∴ BF=CE【例7】已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D. 【例8】如图，已知：.,,CFBEDEACDFAB===求证：DFAB//.【例9】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．【例10】如图，已知：BFCEDFAECDAB===,,.求证：（1）DEAF=;(2)AE∥DF.【题型五】角加减（旋转）类型的全等三角形图形1 图形2ABFE CD(4)ABEFDC(3)∵ BE=CF∴ BE+EF=CF+EF∴ BF=CE∵ BE=CF∴ BE-EF=CF-EF∴ BF=CEBCDEFAEDCBA【例11】如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，证明：BC=DE【例12】已知：如图(1)，AB=AD，BC=DE，∠1=∠2. 求证：(1)AC=AE；(2) ∠CAE=∠CDE.【例13】已知：如图(2)，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≌△ABM；④CD=DN.其中正确的结论是__________________.【题型六】大山型的全等三角形【例14】已知：如图，AB⊥CD,ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证：AC⊥CE.NMFEDCBAEDCBA同步练习：1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．A SA C．A AS D．SSS3.如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB ＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）组．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7.如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．（1）若以“SAS”为依据，需添加条件；（2）若以“HL”为依据，需添加条件．8. 如图所示，已知CD CB AD AB ==,，E 是AC 上一点. 求证：AED AEB ∠=∠.9. 已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证：AE=DE .10.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .11.如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===. 求证：点B 是线段AC 的中点.12．已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ． 求证：ED ⊥AC ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形单元复习与巩固知识网络目标认知学习目标1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；5.掌握多边形内角和性质的应用.重点三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.难点本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.知识要点梳理知识点一：三角形的有关的概念1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.3.三角形的分类4.三角形的三边关系①三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：①这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的高线是一条线段；②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点.③三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.注意：①三角形的中线是一条线段；②三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；③三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段；②三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.知识点三：三角形的内角与外角1.三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.2.三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线.（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.3.多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.4.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌1.平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.2.镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.规律方法指导三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于180°等，这些在生产和生活中有广泛的应用. 通过本章学习可以进一步丰富对图形的认识和感受，提高同学们的思考和说服能力. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合. 数形结合思想和转化思想在本章中体现较为明显，如三角形的三边关系、内角和、外角和的语言表述与符号、数字之间的互化；多边形问题通过连接对角线转化为三角形问题等. 本章内容是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和、多边形内角和、平面镶嵌及其简单的应用，常以填空题、选择题的形式命题.经典例题透析类型一：数学思想方法的应用1．分类思想1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°思路点拨：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论．答案：D.总结升华：三角形的高与三角形的形状有关，应进行分类讨论.举一反三：【变式1】已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为__. 【答案】50°或130°思路点拨：本题中由于没有图形，△ABC的形状不确定，应分两种情况.图1 图2如图1所示，△ABC是锐角三角形，因为BD、CE是△ABC的高，所以△BOE、△BAD都是直角三角形，则∠A+∠2＝90°，∠1+∠2＝90°，所以∠A＝∠1＝50°，即∠BAC＝50°.如图2所示，△ABC是钝角三角形，因为BD、CE是△ABC的高，所以△ABD、△OBE都是直角三角形，则∠1+∠2＝90°，∠O+∠2＝90°，所以∠1＝∠O＝50°，所以∠BAC＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有( )A、1种B、2种C、3种D、4种解析：从四条线段中任选三条，共有4种选法：①1cm，2cm，3cm；②1cm，2cm，4cm；③1cm，3cm，4cm；④2cm，3cm，4cm，其中能构成三角形的选法只有④2cm，3cm，4cm，故选A。
答案：A总结升华：判断三条线段能否构成三角形，只要检验两条较短(小)线段之和能否大于第三条线段即可。
若大于，则能构成三角形；否则，不能。
2．转化思想2．(1)如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.(2)如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证.图1 图2 图3图4 图5解析：(1)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.理由：∵∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠2+∠A＝180°.(2)在图2,3,4,5中，仍有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.理由同(1).在图2中，∠B为∠EBD.在图4中，延长CE与AD交于一点，则∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠2+∠D＝180°.总结升华：运动变化的问题一直是中考的热点问题，处理这类问题的关键是抓住变化中不变的量. 将所求转化到我们所熟悉的知识点上，再求解.举一反三：【变式1】如下图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿。
解析：如下图，∠2＝∠1＝∠C＋∠B＋∠A，又∠2＋∠E＋∠F＋∠D＝360°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°。
答案：360°。
【变式2】一个零件的形状如下图所示，规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。
解析：连结AD，并延长至点E，如下图：因为∠CDE＝∠CAD＋∠C，∠BDE＝∠BAD＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)所以∠CDE＋∠BDE＝∠CAD＋∠C＋∠BAD＋∠B，即∠BDC＝∠BAC＋∠C＋∠B，如果零件合格，那么∠BDC＝90°＋21°＋32°＝143°。
而现量得∠BDC＝149°，所以零件不合格。
3．方程思想3．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.思路点拨：由三角形的内角和，建立方程解决.解析：∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.总结升华：本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三：【变式1】如下图，若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长。
解：设腰长为xcm，底边长为ycm，分两种情况(1)∴(2)∴∵4＋4＜13，不能形成三角形，应舍去。
∴等腰三角形三边长分别为10cm，10cm，1cm。
【变式2】已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线条数，求多边形内角和。