2022-2023学年广东省揭阳市普宁二中实验学校九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年广东省揭阳市普宁二中实验学校九年级（上）期中数学试卷1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角2. 下列方程一定是一元二次方程的是( )A. 3x2+2−1=0 B. 5x2−6y−3=0xC. ax2−x+2=0D. (a2+1)x2+bx+c=03. 若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个解为x=−1，则另一个解为( )A. 1B. −3C. 3D. 44. 以下说法合理的是( )A. 小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12D. 小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是125. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( )A. 2，3，6，9B. 1，2，3，4C. 2,1,1,4 D. √2,√3,2√3,2√226. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( )A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有( )A. AC=BDB. AB=6，BC=8，AC=10C. AC⊥BDD. ∠1=∠28. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为( )A. 60°B. 45°C. 75°D. 67.5°9. 如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是( )A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD =BCDED. ABAD=ACAE10. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为( )A. 11.5米B. 11.75米C. 11.8米D. 12.25米11. 一元二次方程x(x−7)=0的解是_____．12. 若ab =34，则2a−bb=______．13. 分别从数−5，−2，1，3中，任取两个不同的数，则所取两数的和为正数的概率为______．14. 在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A(−4,0)，B(0,−3)，则菱形ABCD的面积是．15. 已知(x2+y2)2+5(x2+y2)−6=0，则x2+y2的值为______ ．16. 若a+bc =b+ca=c+ab=k(a+b+c≠0)，则k=______．17. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则EC的长度是______．18. 解下列方程3x2+4x−1=0.(用配方法)19. 用公式法解方程：2x(x−3)=(x−1)(x+1)．20. 已知：x2=y3=z4，2x−3y+4z=22，求：代数式x+y−z的值．21. 某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A.文学院，B.小小数学家，C.小小外交家，D.未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有______人；(2)请你将条形统计图(2)补充完整；(3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．22. 关于x的一元二次方程mx2−(2m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为最大负整数，求此时方程的根．23. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠ACB．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长．24. 某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)在(1)的定价情况下，衬衫的成本是100元，为了更快的盈利和清理库存，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带按照标价的8折出售，领带标价是其进价的2倍，要使每套的利润率不低于40%，则选择的领带的成本至少多少钱？25. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(0< t≤25).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．故选：D．由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意a2+1一定是一个正数．找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程即可．【解答】解：A、是分式方程，不合题意；B、含有2个未知数，不合题意；C、没有说明a的取值，不合题意；D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，故选：D．3.【答案】C【解析】解：设方程的另一个解为x1，根据题意得：−1+x1=2，解得：x1=3．故选：C．设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于−b，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出a本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于−ba 、两根之积等于ca是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，根据题意对选项逐个判断即可．根据各个选项中的说法结合用频率估计概率的知识可以判断是否合理，从而可以解答本题．【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误；某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误；某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误；小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确．故选D．5.【答案】B【解析】解：A、由于2×9=3×6，所以2，3，6，9成比例；B、由于1×4≠2×3，所以1，2，3，4不成比例；C、由于12×4=1×2，所以2，1，12，4成比例；D、由于√2×2√3=√3×2√2，所以√2，√3，2√3，2√2成比例．故选：B．根据比例线段的定义，计算每组中的最小数与最大数的积与另外两个数的积，若它们的积相等，则四条线段成比例，否则不成比例．本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例6.【答案】C【解析】解：设参加酒会的人数为x人，x(x−1)=55，根据题意得：12整理得：x2−x−110=0，解得：x1=11，x2=−10(不合题意，舍去)．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．B、正确．∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=62+82=102，∴∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，D、正确，∵∠1=∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：C．根据矩形的判定方法即可一一判断．本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．8.【答案】C【解析】解：如图，在□ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC．∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°，AB=BE，∴∠EBC=90°−60°=30°，BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=12(180°−30°)=75°．故选：C．在□ABCD中，△ABE是等边三角形，可求出∠ABE的大小以及推断出BC=BE，从而可求出∠BEC．本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE=BC是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；添加D选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．故选：C．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．10.【答案】C【解析】解：设树在第一级台阶上面的部分高x米，则10.4=x4.4+0.2，解得x=11.5，∴树高是11.5+0.3=11.8米．故选C．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：树在第一级台阶所在的平面的影子与树在第一级台阶上面的部分，以及经过树顶的太阳光线，所成三角形与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出第一级台阶以上部分的树高，再加上台阶高就是树高．考查相似三角形的性质和投影知识．11.【答案】x1=0，x2=7【解析】解：x=0或x−7=0，所以x1=0，x2=7．故答案为x1=0，x2=7．利用因式分解的方法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．12.【答案】12【解析】解：∵ab =34，∴设a=3k，b=4k，∴2a−bb =6k−4k4k=2k4k=12．故答案为12．利用比例的性质可设a=3k，b=4k，然后把a=3k，b=4k代入2a−bb中进行分式的混合运算即可．本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．13.【答案】13【解析】解：如图所示：由树状图可知，共有12种可能的情况，两个数的和为正数的共有4种情况，所以所取两个数的和为正数的概率为412=13．故答案为：13．先依据题意画出树状图，然后依据树状图确定出所有情况，以及符合题意的情况，最后，再依据概率公式求解即可．本题主要考查的是列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．14.【答案】24【解析】解：∵A，B两点的坐标分别为(−4,0)，(0,−3)．∴OA=4，OB=3．∴S△AOB=12OA⋅OB=6．∵菱形是轴对称图形，且菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．∴菱形对角线的交点为坐标原点O．∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×6=24．故答案为：24．根据已知条件与菱形的轴对称性，可得坐标原点O就是菱形ABCD对角线的交点，再根据菱形的性质可得菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以S菱形=4S△AOB．本题考查了菱形的性质．熟记菱形的对角线互相垂直且平分并把菱形分成四个全等的直角三角形是解题的关键．15.【答案】1【解析】解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t2+5t−6=0即(t+6)(t−1)=0∴t=−6(舍去)或t=1，即x2+y2=1．故答案是：1．先设x2+y2=t，则方程即可变形为t2+5t−6=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．16.【答案】2【解析】解：∵a+bc =b+ca=c+ab=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴(a+b)+(b+c)+(c+a)=ck+ak+bk，∴(a+b+c)k=2(a+b+c)，∵a+b+c≠0，∴k=2．故答案为：2．去掉分母，然后整理求解即可．本题考查了比例的性质，比较简单，用含k的式子表示出分子是解题的关键．17.【答案】2.5【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=12AC=5，OB=OD=12BD=5，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DAC=30°，∴DC=12AC=5，∴EC=12DC=2.5．故答案为：2.5．根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出DC=12AC，进而求得CE的长．本题主要考查了直接三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC=30°是解题关键．18.【答案】解：∵3x2+4x−1=0，∴3x2+4x=1，则x2+43x=13，∴x2+43x+49=13+49，即(x+23)2=79，∴x+23=±√73，∴x1=−23+√73，x2=−23−√73．【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19.【答案】解：2x(x−3)=(x−1)(x+1)，化简为x2−6x+1=0，∵a=1，b=−6，c=1，∴Δ=b2−4ac=36−4=32>0，∴x=6±√322=3±2√2，∴x1=3+2√2，x2=3−2√2．【解析】把方程化为一般形式为x2−6x+1=0，然后根据公式法可进行求解．本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法求解一元二次方程是解题的关键．20.【答案】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，∵2x−3y+4z=22，∴4k−9k+16k=22，∴k=2，∴x+y−z=2k+3k−4k=k=2．【解析】根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k.又因为2x−3y+4z=22，则可得k的值，从而求得x、y、z的值，故x+y+z可求．本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．21.【答案】解：(1)200；(2)如图，C有：200−20−80−40=60(人)，(3)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：212=16．【解析】解答：(1)∵A是36°，∴A占36°÷360=10%，∵A 的人数为20人，∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200(人)，故答案为：200；(2)见答案；(3)见答案．【分析】(1)由A 是36°，A 的人数为20人，即可求得这次被调查的学生总人数；(2)由(1)，可求得C 的人数，即可将条形统计图(2)补充完整；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：(1)根据题意得m ≠0且△=(2m −3)2−4m(m −1)≥0，解得m ≤98且m ≠0；(2)m 的最大负整数为−1，此时方程变形为x 2−5x +2=0，△=25−4×2=17，x =5±√172×1， 所以x 1=5+√172，x 2=5−√172．【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m ≠0且△=(2m −3)2−4m(m −1)≥0，然后解不等式即可；(2)m 的最大负整数为−1，则方程变形为x 2−5x +2=0，然后利用求根公式解方程．23.【答案】解：(1)∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；(2)由(1)可知：△ADE∽△ACB，∴AD AC =AEAB，∵点E是AC的中点，设AE=x，∴AC=2AE=2x，∵AD=8，AB=10，∴8 2x =x10，解得：x1=2√10，x2=−2√10<０(舍去)，∴AE=2√10．【解析】(1)根据相似三角形的判定即可求证．(2)由于点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知ADAC =AEAB，从而列出方程解出x的值．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．24.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=20，x2=10，∵要增加盈利并尽快减少库存，∴每件衬衫应降价20元；(2)设选择的领带的成本为y元，由题意，得(40−20)+(0.8×2y−y)≥(100+y)×40%，解得y≥100．答：选择的领带的成本至少100元．【解析】(1)设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利=每件的利润×数量建立方程求出其解即可；(2)设选择的领带的成本为y元，根据每套的利润率不低于40%列出不等式，解不等式即可求出结论．本题考查了一元二次方程的运用，一元一次不等式的运用，销售问题的数量关系的运用，解答时找到等量关系与不等关系是关键．25.【答案】证明：(1)由题意得：AE=2t，CD=4t，∵DF⊥BC，∴∠CFD=90°，∵∠C=30°，∴DF=12CD=12×4t=2t，∴AE=DF；∵DF⊥BC，∴∠CFD=∠B=90°，∴DF//AE，∴四边形AEFD是平行四边形；(2)四边形AEFD能够成为菱形，理由是：由(1)得：AE=DF，∵∠DFC=∠B=90°，∴AE//DF，∴四边形AEFD为平行四边形，若▱AEFD为菱形，则AE=AD，∵AC=100，CD=4t，∴AD=100−4t，∴2t=100−4t，t=503，∴当t=503时，四边形AEFD能够成为菱形；(3)分三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，则四边形DFBE为矩形，∴DF=BE=2t，∵AB=1AC=50，AE=2t，2∴2t=50−2t，t=25；2②当∠DEF=90°时，如图4，∵四边形AEFD为平行四边形，∴EF//AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=2t，∴AD=t，∴AC=AD+CD，则100=t+4t，t=20；③当∠DFE=90°不成立；或20时，△DEF为直角三角形．综上所述：当t为252【解析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论．(1)根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF，再证明，AE//DF即可解决问题．(2)根据(1)的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；(3)当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，②当∠DEF=90°时，如图4，③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值即可．。