二次函数的几种形式
二次函数的三种形式
二次函数的三种形式
二次函数是一类函数，它的定义域为实数集，形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。
二次函数的三种形式分别为：
原式形式：这是最常见的二次函数形式，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）。
在这种形式下，可以直接通过求解二次方程来求解函数的零点。
平移形式：这种形式通常是在原式形式的基础上进行平移得到的。
例如，二次函数y=x^2-2x+1可以通过平移得到y=(x-1)^2。
在平移形式中，函数的零点位置会发生变化。
顶点形式：这种形式的函数一般是通过将原式形式转化为y=a(x-h)^2+k的形式得到的。
在顶点形式中，函数的零点位置也会发生变化，同时会出现一个新的特征点——顶点。
顶点位置由(h,k)表示，表示函数图像的最高或最低点。
在使用二次函数时，我们通常会使用原式形式或顶点形式，因为这两种形式可以直接求出函数的零点或顶点。
但是，在某些情况下，平移形式也是有用的。
例如，在绘制函数图像时，可以使用平移形式来调整函数的位置，使得图像更美观。
总之，二次函数有三种形式，每种形式都有其特定的用途。
在使用二次函数时，我们要根据具体情况选择合适的形式，从而达到我们想要的结果。
二次函数 2
二次函数知识回顾1、二次函数的三种形式（1）一般式：y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 均为常数）；（2）顶点式：y=a(x －h)2＋k [a ≠0，对称轴为x=h,（h ，k ）为顶点坐标]；（3）交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) [a ≠0；(x 1，0)和(x 2，0)为抛物线与x 轴的两个交点]。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
2、二次函数的性质：（1）、二次函数的图象：总平行于y=ax 2的一条抛物线。
（2）、开口方向：a>0， 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
a<0， 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 开口大小由a 决定，a 大开口小，a 小开口大。
（3）、对称轴：x=ab 2- （4）、顶点坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22。
（5）、抛物线与坐标轴的交点坐标：可总结为公式，也可按照与y 轴有交点x=0，与x 轴有交点y=0 ,然后 解方程即可。
（6）、增减性：以对称轴为界限，左右两部分增减性不相同，增减性可看右方箭头。
3、最值（1）a>0时，当4ab 4ac y 22-=-=最小时，a b x （2）a<0时，当4ab -4ac y 22=-=最大时，a b x 特别地当c=0时，抛物线过原点，反之也成立。
4．抛物线与x 轴的位置关系（1）Δ=b 2-4ac<0，抛物线与x 轴无交点。
（2）Δ=b 2-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点，交点坐标为（ab 2-，0） （3）Δ=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标为（a ac b b 242-±-，0） 5、抛物线与x 轴两交点之间的距离若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个 根，故a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、抛物线与一次函数或反比例函数相交一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y b kx y 2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 （1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】 （1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2． 【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6， 解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）； （3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式． 【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0， 解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2； （2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
二次函数常见的表达形式有
二次函数常见的表达形式有：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）顶点式：y a x m h =-+()2，其中点（m,h ）为该二次函数的顶点； （3）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点。
1）二次函数关系式设为：y=ax 2+bx+c （a ≠0）复习1．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y ，对称轴为直线x ＝2，且过点P （3，0），则c b a ++= ； 2．函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则ab 0，c 0（填“＜”或“＞”）3．已知抛物线c bx x y ++=2的部分图象如图所示，若y<0,则x 的取值范围是 ；4．已知抛物线y=3(x-1)2+k 上有三点A(2,y 1),B(2,y 2),C(-5,y 3),则y 1,y 2,y 3的大小关系为 ；5．已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有b 2-4ac 0；例1. （南通市）已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示。
求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）。
由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()() ∴该抛物线的顶点坐标为()32258，。
例2 （江西省）一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
二次函数三种解析式
（1，0）、（2，3) 【变式】如果将(2)题中的“顶点（－1，－2）”
改为“有最低点（－1，－2）”，怎么办？
拓展与提升
求满足下列条件的抛物线的解析式 (1)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得 的线段长为2
解：设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2） ∵ B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为
x1
o x2
x
P
那么AB=
|a|
x x1 x2 2
顶点横坐标=
x x
1
2
2
两根式y=a(x-x1)(x-x2)
x1x2>0, 点A,点B在原点同侧
x1 x2 0,原点ຫໍສະໝຸດ 侧x1 x2 0，原点左侧
x1x2<0,点A,点B在原点两侧
x1 x2 0, BO AO
B
∴此函数解析式可设为 - 3 o 1 5 x
y=a（x-1）2+16
或y=a（x+3）（x-5）
三: 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
对称轴x=__-_1__
y
顶点坐标:__(-_1_,-_2_)
当x=_-_1_时,y有最_小__值是_-_2_
函数值y<0时,x的取值范围_-_3<_x_<_1_-3_ o 1
解：设所求二次函数为 y ax2 bx c
由已知，这个函数的图象过（0，1），
可以得到 c 1
又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，
可以得到 4a 2b 3
9a 3b 9
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表白形式：①普遍式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶面坐标为[,]把三个面代进函数剖析式得出一个三元一次圆程组，便能解出a、b、c的值.之阳早格格创做②顶面式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶面坐标为对于称轴为直线x=h，顶面的位子特性战图像的启心目标与函数y=ax2的图像相共，当x=h时，y最值=k.偶尔题目会指出让您用配要发把普遍式化成顶面式.例：已知二次函数y的顶面(1,2)战另一任性面(3,10)，供y 的剖析式.解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代进上式，解得y=2(x-1)2+2. 注意：与面正在仄里直角坐标系中的仄移分歧，二次函数仄移后的顶面式中，h>0时，h越大，图像的对于称轴离y 轴越近，且正在x轴正目标上，没有克没有及果h前是背号便简朴天认为是背左仄移.简直可分为底下几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再进与移动k个单位，便不妨得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再进与移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.③接面式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有接面时的扔物线，即b2-4ac≥0] .已知扔物线与x轴即y=0有接面A（x1，0）战 B（x2，0）,咱们可设y=a(x-x1)(x-x2),而后把第三面代进x、y中即可供出a.由普遍式形成接面式的步调：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).要害观念：a，b，c为常数，a≠0，且a决断函数的启心目标.a>0时，启心目标进与；a<0时，启心目标背下.a的千万于值不妨决断启心大小.a的千万于值越大启心便越小，a的千万于值越小启心便越大.能机动使用那三种办法供二次函数的剖析式；能流利天使用二次函数正在几许范围中的应用；能流利天使用二次函数办理本质问题.•二次函数阐明式的供法：便普遍式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而止，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．供二次函数的普遍式时，必须要有三个独力的定量条件，去修坐闭于a ，b ，c 的圆程，联坐供解，再把供出的a ，b ，c 的值反代回本函数剖析式，即可得到所供的二次函数剖析式.1.巧与接面式法：知识归纳：二次函数接面式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是扔物线与x轴二个接面的横坐标.已知扔物线与x轴二个接面的横坐标供二次函数剖析式时，用接面式比较烦琐.①典型例题一：报告扔物线与x轴的二个接面的横坐标，战第三个面，可供出函数的接面式.例：已知扔物线与x轴接面的横坐标为-2战1 ，且通过面（2，8），供二次函数的剖析式.面拨：解设函数的剖析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过面（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1).解得a=2，∴扔物线的剖析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4.②典型例题二：报告扔物线与x轴的二个接面之间的距离战对于称轴，可利用扔物线的对于称性供解.例：已知二次函数的顶面坐标为（3，-2），而且图象与x 轴二接面间的距离为4，供二次函数的剖析式.面拨：正在已知扔物线与x轴二接面的距离战顶面坐目标情况下，问题比较简单办理．由顶面坐标为（3，-2）的条件，易知其对于称轴为x＝3，再利用扔物线的对于称性，可知图象与x轴二接面的坐标分别为（1，0）战（5，0）.此时，可使用二次函数的接面式，得出函数剖析式.2.巧用顶面式：顶面式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是扔物线的顶面.当已知扔物线顶面坐标或者对于称轴，或者不妨先供出扔物线顶面时，设顶面式解题格外简净，果为其中惟有一个已知数a.正在此类问题中，常战对于称轴，最大值或者最小值分离起去命题.正在应用题中，波及到桥拱、隧讲、弹讲直线、投篮等问题时，普遍用顶面式便当．①典型例题一：报告顶面坐标战另一个面的坐标，间接不妨解出函数顶面式.例：已知扔物线的顶面坐标为（-1，-2），且通过面（1，10），供此二次函数的剖析式.面拨：解∵顶面坐标为（-1，-2），故设二次函数剖析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）.把面（1，10）代进上式，得10=a·(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的剖析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.②典型例题二：如果a>0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=. 报告最大值或者最小值，本质上也是报告了顶面坐标，共样也不妨供出顶面式.例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴二接面间的距离为6，供那个二次函数的剖析式.面拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶面坐标为（4，-3），对于称轴为直线x＝4，扔物线启心进与.由于图象与x轴二接面间的距离为6，根据图象的对于称性便不妨得到图象与x轴二接面的坐标是（1，0）战（7，0）. ∴扔物线的顶面为（4，-3）且过面（1，0）.故可设函数剖析式为y＝a(x－4)2－3.将（1，0）代进得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73.③典型例题三：报告对于称轴，相称于报告了顶面的横坐标，概括其余条件，也可解出.比圆：（1）已知二次函数的图象通过面A（3，-2）战B（1，0），且对于称轴是直线x＝3．供那个二次函数的剖析式. （2）已知闭于x的二次函数图象的对于称轴是直线x=1，图象接y轴于面（0，2），且过面（-1，0），供那个二次函数的剖析式.（3）已知扔物线的对于称轴为直线x=2，且通过面（1，4）战面（5，0），供此扔物线的剖析式.（4）二次函数的图象的对于称轴x=-4，且过本面，它的顶面到x轴的距离为4，供此函数的剖析式．④典型例题四：利用函数的顶面式，解图像的仄移等问题非常便当.例：把扔物线y=ax2+bx+c的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位, 所得图像的剖析式是y=x2-3x+5, 则函数的剖析式为_______.面拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114. ∵它是由扔物线的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位得到的，∴本扔物线的剖析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.。
九年级数学 二次函数的解析式三种形式
二次函数的解析式三种形式（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。
定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a 是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
考点分析1．二次函数的概念、图像和性质2.二次函数的图像与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系5.二次函数图像常见的变换思想方法基本思想：数形结合，从二次函数的图像研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图像的平移变化，到利用二次函数图像求解方程与方程组，再到利用图像求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想真题精选例题精讲类型一二次函数的解析式【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)^2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．类型二二次函数的图像、性质【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图像的特点、二次函数的性质，注意数形结合．类型三二次函数的图像变换【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．类型四二次函数的综合问题【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．【解后感悟】抛物线与x轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．类型五二次函数的应用【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．热点题型专题小结二次函数是中考必考题型。
二次函数的三种解析式
二次函数的三种解析式甘肃农大附中滕汉千我们知道二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c (a≠0 )，然而，二次函数还有两种形式，一种为顶点式y=a(x+m)2+n (a≠0 )，其中（-m,n）是二次函数的顶点坐标；另一种为交点式y=a(x—x1)(x—x2) (a≠0 )，其中，x1, x2为二次函数与x轴两交点的横坐标，也为二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0 )的两个实根。
下面介绍这三种解析式在求二次函数解析式中的应用。
1.一般式y=ax2+bx+c (a≠0 )适用于任何条件下求解析式，只要所给条件充分（一般需要三个条件），利用待定系数法，列出方程组，解出a，b，c，即可得解析式。
利用这种解析式求解，好处在于容易理解、掌握，但一般计算量较大。
例1.已知抛物线经过（-2，19），（2，-9），（1，-8）三点，求此抛物线的解析式。
解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0 )，根据题意19=4a-2b+c a=2-9=4a+2b+c 得b=-7-8=a+b+c c=-3所以，此抛物线的解析式为y=2x2—7x—32. 顶点式y=a(x+m)2+n (a≠0 )，这种解析式适用于已知抛物线的顶点坐标（再需一个条件求出a），或已知抛物线的对称轴方程（再需两个条件求出a、n）。
利用这种解析式求解，好处在于计算量小，准确率高。
但要已知顶点坐标（或对称轴方程）。
例2. 已知抛物线在x=2时，它的最大值是16，且它的图象经过点（-1，4），求此抛物线的解析式。
解：设此抛物线的解析式为y=a(x—2)2+16 (a≠0 )，根据题意4=a(-1—2)2+16 得a=-4/3所以，此抛物线的解析式为y=-4/3(x-2)2+16即y=-4/3x2+16/3x+32/3例3. 已知二次函数的对称轴方程是x+3=0，它的图象与x轴的交点为（-1，0），与y轴的交点为（0，10），求此二次函数的解析式。
二次函数的基本形式和像特征
二次函数的基本形式和像特征二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的基本形式和像特征是我们学习和理解二次函数的关键。
本文将以清晰、简洁的语言，详细介绍二次函数的基本形式和像特征。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在二次函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
1. 基准形式当二次项系数a=1时，二次函数的基本形式可以简化为f(x) = x^2 + bx + c。
这种形式被称为基准形式，b和c仍然是常数。
2. 顶点形式为了更好地研究二次函数的性质，我们可以将基准形式转化为顶点形式。
顶点形式可以表示为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)是二次函数的顶点。
通过配方法可以将基准形式转化为顶点形式，这样可以更加方便地分析二次函数的性质。
二、二次函数的像特征对于二次函数，我们关注的主要像特征有顶点、对称轴、开口方向、最值和零点等。
下面我们逐一介绍这些像特征。
1. 顶点顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是对称轴与函数图像的交点。
对于基准形式f(x) = x^2 + bx + c，顶点的横坐标可通过公式h = -b/2a求得，纵坐标可通过将横坐标代入函数中求得。
2. 对称轴对称轴是二次函数图像的镜像轴，对称轴与函数图像相交于顶点。
对于基准形式f(x) = x^2 + bx + c，对称轴的方程可以通过公式x = -b/2a求得。
3. 开口方向二次函数的开口方向可以根据二次项系数a的正负来判断。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
4. 最值对于开口向上的二次函数，在顶点处取得最小值；对于开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值。
最值可直接由顶点坐标得出。
5. 零点零点是指函数值等于零的横坐标，即f(x) = 0的解。
通过解二次方程可以求得零点，若零点为实数，则函数图像与x轴有交点；若零点为复数，则函数图像与x轴无交点。
二次函数三种表达形式
函数三种表达形式与a,b,c,∆符号【知识要点】一．图形a ，b ，c ，∆的符号的确定，它们之间的关系：1. 0>a ⇔ 开口向上 0<a ⇔ 开口向下2. 02=-a b ⇔ 对称轴为y 轴 02<-ab ⇔ 对称轴在y 轴左侧 02>-ab⇔ 对称轴在y 轴右侧（左同右异） 3. 0=c ⇔ 经过原点 0>c ⇔ 与y 轴正半轴相交 3.0<c ⇔ 与y 轴负半轴相交 4. 0=∆ ⇔ 与x 轴只有一个交点（顶点在x 轴上） 0>∆ ⇔ 与x 轴有两个交点0<∆ ⇔ 与x 轴无交点二．二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：2y ax bx c =++(a,b,c 为常数，a ≠0)；已知抛物线上任意三点或三组x,y 的对应值时，通常设函数解析式为 一般式2y ax bx c =++，然后列三元一次方程组求解a,b,c 。
（2）顶点式：k h x a y +-=2)( (a,h,k 为常数，a ≠0)已知抛物线顶点坐标 或对称轴，函数最值等及第三点时，设二次函数k h x a y +-=2)(，求解。
（3）两根式（或截距式）：12()()y a x x x x =--（a, 12,x x 为常数，a ≠0）其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
【例题讲解】例1．1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是 （1）a 0，b 0，c 0（填“>”或“<”） （2）点（bc ac ,）在直角坐标系中的第 象限． （3）二次函数，满足ac b 42- 0．（4）一次函数c ax y +=的图象不经过第 象限．2． 二次函数c bxax y ++=2的图象,如图（1）所示，则系数b ax y +=的图象只可能是图（ ）x例2.二次函数的图象如下图所示，则在下列不等式中，成立的个数是（ ） ①abc<0 ②a+b+c<0 ③a+c>b ④a<2c b- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例3．(1)若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为（ ）（2）．二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 的图象，如图，下列结论①0<c ②0>b ③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例4.不论x 为何实数，二次函数22y ax x c =-+的值恒为负的条件（ ） A ．0,1a ac >> B ．0,1a ac >< C ．0,1a ac << D ．0,1a ac <>例5 ．如图，抛物线2812y mx mx n =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），在第二象限内抛物线上的一点C ，使△OCA ∽△OBC ，且:3:1AC BC =，若直线AC 交y 轴于P 。
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表达形式：①一般式：y=a*2+b*+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(*-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线*=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a*2的图像一样，当*=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(*-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(*-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在*轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(*-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(*-*1)(*-*2) (a≠0) [仅限于与*轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .抛物线与*轴即y=0有交点A〔*1，0〕和 B〔*2，0〕,我们可设y=a(*-*1)(*-*2),然后把第三点代入*、y中便可求出a。
数学公式二次函数公式大全
数学公式二次函数公式大全二次函数是高中数学中重要的概念之一，它是一个二次方程的图像，具有一些重要的性质和特点。
在本文中，我们将详细介绍二次函数的公式，包括标准形式、一般形式、顶点形式、焦点形式等。
准备好了吗？让我们开始吧！1.标准形式方程标准形式方程是二次函数最基本的形式，通常写作：y = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
这个方程表示了一个抛物线的形状，其中a决定了抛物线的开口方向（正向上，负向下）和宽度，b决定了抛物线的位置和对称轴，c是抛物线与y轴的交点。
标准形式方程的一些性质如下：-抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中顶点的纵坐标f(-b/2a)可以通过将x=-b/2a代入方程求解得到。
-对称轴的方程为x=-b/2a，它是通过抛物线顶点的垂直线。
-y轴交点即方程中的常数项c。
2.一般形式方程一般形式方程是二次函数的另一种表达方式，通常写作：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
虽然一般形式方程与标准形式方程含义相同，但在使用中一般形式方程更灵活，可以更容易地处理线性和常数项。
一般形式方程的性质和标准形式方程类似，如抛物线的开口方向、位置、顶点坐标、对称轴和y轴交点等。
3.顶点形式方程顶点形式方程又称为完全平方形式方程，通常写作：y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k为常数，且a不等于0。
这个方程表示了一个平移后的抛物线，其中(a,h)为顶点坐标。
顶点形式方程的一些性质如下：-顶点即为抛物线的最高点或最低点。
-如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
-对称轴与顶点形式方程中的h值相同，即x=h。
-y轴交点即为顶点形式方程中的常数项k。
4.焦点形式方程焦点形式方程是描述抛物线焦点和准线关系的一种表达方式，通常写作：4p(y-k)=(x-h)^2，其中(p,h,k)为焦点坐标，p为焦距。
焦点形式方程的一些性质如下：-抛物线焦点为(h,k)。
二次函数的七种形式
二次函数的七种形式所谓二次函数，是指函数中自变量最高次指数为2的函数，其标准形式为：y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数）.二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
如果说函数的表达形式共有7种，有开放型，一般式，平移型，定义型，顶点式，两格式，翻折式（对称式）。
01开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以答案不唯一。
例2：经过点A（0，3）的抛物线的解析式可能是。
解：设该抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线的函数图象经过点A（0，3），∴c=3，且a≠0，∴函数解析式可能为y=x2+x+3。
（注：答案不唯一，只需满足a≠0，c=3即可）02一般式当题目给出函数图象上的三个点时，设为一般式，代入三个点的坐标，将问题转化成求三元一次方程组，以求得a，b，c的值。
例4：已知函数图象经过点（1，-4），（-1，0），（-2，5），求该二次函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得图片解得图片∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3。
03 平移型将一个二次函数的图象经过上下左右的平移得到一个新的抛物线。
要解此类题目，应先将已知函数的解析式写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图象向左（右）平移n个单位长度时，在x–h上加上（减去）n；当图象向上（下）平移m个单位长度时，在k上加上（减去）m．其平移的规律是：左加右减（对x而言）；上加下减。
由于经过平移的函数图象形状、大小和开口方向都没有改变，所以a的值不变。
例3：二次函数y=x2+6x+5的图象是由y=x2的图象先向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到的。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
二次函数的变形和性质的推理归纳
二次函数的变形和性质的推理归纳一、二次函数的基本形式1.一般形式：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k3.标准式：y = a(x - m)^2 + n二、二次函数的变形1.横向平移：h → h + p，m → m + p2.纵向伸缩：a → k * a (k > 1 或 0 < k < 1)3.横向拉伸：a → k * a (k > 1 或 0 < k < 1)，m → m + p4.旋转：顶点(h, k) → (h + p, k + q)三、二次函数的性质1.开口方向：a > 0 时，开口向上；a < 0 时，开口向下2.顶点坐标：(-b/2a, c - b^2/4a)3.对称轴：x = -b/2a4.判别式：Δ = b^2 - 4ac5.Δ > 0：抛物线与x轴有两个交点6.Δ = 0：抛物线与x轴有一个交点7.Δ < 0：抛物线与x轴无交点四、二次函数的增减性1. a > 0 时：2.x < -b/2a 时，y随x增大而减小3.-b/2a < x < +∞ 时，y随x增大而增大4. a < 0 时：5.x < -b/2a 时，y随x增大而增大6.-b/2a < x < +∞ 时，y随x增大而减小五、二次函数的图像特点1.顶点：最小值（a > 0）或最大值（a < 0）2.开口：a > 0 时，向上；a < 0 时，向下3.交点：Δ > 0 时，与x轴有两个交点；Δ = 0 时，与x轴有一个交点；Δ < 0 时，与x轴无交点4.对称性：以直线x = -b/2a为对称轴六、二次函数的应用1.最值问题：求函数在定义域内的最大值或最小值2.交点问题：求函数与x轴的交点坐标3.范围问题：求函数值域4.几何问题：求抛物线与坐标轴围成的三角形面积等七、二次函数的变换规律1.横向平移：改变顶点横坐标2.纵向伸缩：改变函数值3.横向拉伸：改变顶点横坐标，同时改变函数值4.旋转：改变顶点坐标八、二次函数与现实生活的联系1.抛物线：如投篮、射击、跳伞等运动的轨迹2.二次函数模型：如物体运动、人口增长、商品销售等领域的数学模型以上是对二次函数的变形和性质的推理归纳的知识点总结，希望能对您的学习有所帮助。
二次函数九种类型
二次函数九种类型
二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、 b、c是实数且a ≠ 0。
下面将介绍九种常见的二次函数类型。
1.普通二次函数：
f(x) = ax^2 + bx + c，a、 b、 c是实数且a ≠ 0。
2.单调递增二次函数：
当a>0时，二次函数开口向上，且图像为单调递增曲线。
3.单调递减二次函数：
当a<0时，二次函数开口向下，且图像为单调递减曲线。
4.对称轴与x轴平行的二次函数：
当c=0时，二次函数的图像与x轴平行，也称为抛物线。
5.对称轴垂直于x轴的二次函数：
当b=0时，二次函数的对称轴为y轴，图像左右对称。
6.对称轴为y=k的二次函数：
当对称轴为y=k时，二次函数的图像关于直线y=k对称。
7.最值与顶点：
当a>0时，二次函数的最小值为顶点，当a<0时，二次函数的最大值
为顶点。
8.关于x轴对称的二次函数：
当对称轴为x轴时，二次函数与x轴关于原点对称。
9.关于y轴对称的二次函数：
当对称轴为y轴时，二次函数与y轴关于原点对称。
这些是常见的二次函数类型，每种类型都有独特的特点和性质。
通过研究这些类型，可以更好地理解和分析二次函数的图像和特性。
在实际应用中，二次函数常用于描述抛物线运动、曲线拟合以及经济学、物理学等领域中的问题。
二次函数表达式的三种形式
二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式：1、一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
2、顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)。
3、交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。
扩展资料：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
1、当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；2、当a与b异号时（即ab抛物线与x轴交点个数：1、Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式：1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。
3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
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y=a(x-h)2+k
(a≠0)
(h,k)
x=h
已知抛物线的顶点坐标(h,k)
a＜0
向下
（ , ）
x=
x＞ 时，y随x的增大而减小；x＜ 时，y随x的增大而增大；x= 时，y有最大值
·
3、二次函数的几种表达方式
名称
函数表达式
顶点
对称轴
备注
一般式（标准式）
y=ax2+bx+c
(a≠0)
（ , ）
.
x=
两点式
y=a(x-m)(x-n)
(a≠0)
已知抛物线与X轴的两个
交点坐标（m,0）、(n,0)
向下
（0,0)
y轴
x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0
y=ax2+ c
(上加下减)
a＞0
&
向上
(0,c)
y轴
x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c
a＜0
向下
(0,c)
y轴
x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值cy=a(x-h)2；源自(左加右减)a＞0
向上
（h,0）
x=h
x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0
a＜0
向下
（h,0）
x=h
}
x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0
y=a(x-h)2+k
(左加右减)
a＞0
向上
（h,k）
全体实数
y=ax2+ c
》
a≠0
b=0
c≠0
全体实数
y=ax2+bx
a≠0
b≠0
c=0
全体实数
2、二次函数的几种形式及性质
、
二次函数的形式
a的符号
抛物线开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
y=ax2
a＞0
向上
（0,0）
^
y轴
x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0
a＜0
二次函数
1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c均是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数。a的绝对值越大，抛物线的开口越小
解析：
二次函数的表达式
a
（二次项系数）
B
（一次项系数）
C
（常数项）
自变量x取值范围
？
y=ax2+bx+c
a≠0
b≠0
c≠0
全体实数
y=ax2
a≠0
b=0
c=0
x=h
x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k
a＜0
向下
?
（h,k）
x=h
x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k
二次函数的形式
a的符号
抛物线开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
y=ax2+bx+c
[
a＞0
向上
（ , ）
x=
x＞ 时，y随x的增大而增大；x＜ 时，y随x的增大而减小；x= 时，y有最小值