第10讲椭圆及双曲线的第二定义

第10讲 椭圆及双曲线的第二定义
一． 椭圆
1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （0<e<1），则动点M
的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆的准线（c
a 2
x :l ±=），常数e 是椭圆的离心率。

2. 焦半径：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径
设椭圆焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则
0201a ,a ex PF ex PF -=+=。

（简记为：左+右-） 3. 焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。

设过椭圆的焦点F 1(-c,0)的弦为AB ，其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则)(2a AB 21x x e ++=
4. 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，其长a
2
212b H H = 例1. 椭圆1641002
2
=+y x 上有一点P ，它到右焦点的距离为14，求点P 到左准线的距离。

例2. 若椭圆1342
2
=+y x 内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，在该椭圆上求一点M ，使得MF MP 2+最小，
并且求最小值
例3. 已知椭圆19252
2
=+y x ，若椭圆上有一点P 到右焦点的距离是1，则点P 的坐标为多少
二． 双曲线
1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （e>1），则动点M 的
轨迹叫做双曲线。

定点F 是双曲线的焦点，定直线l 叫双曲线的准线（c
a 2
x :l ±=），常数e 是双曲线的离心率。

2. 焦半径：双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径
设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，若P(x 0,y 0)是双曲线左支上任一点，则
0201a ,--a ex PF ex PF -==。

若P(x 0,y 0)是双曲线右支上任一点，则
0201-a ,a ex PF ex PF +=+=。

3. 通径：过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段称为双曲线的通径，其长
a 2212
b H H =
4. 共轭双曲线：
双曲线1-2222=b y a x 的共轭双曲线是1--22
22=b
y a x ，双曲线与共轭双曲线的离心率分别是e 1,e 2，则有22和1e 1e 12122
21≥+=+e e 性质：(1) 双曲线和它的共轭双曲线有相同的渐近线
(2) 双曲线和它的共轭双曲线有相同的焦距(焦点不同)
例4. 若双曲线1y -322
=x 右支上一点P 到左焦点的距离为34，则P 到右准线的距离为多少
例5. 已知双曲线116y -922
=x ，右焦点为F 2，M 是双曲线右支上一点，定点A(9,2),求25
3MF MA +最小值 练习:已知点A(3,1),F(2,0)，在双曲线13y -22=x 上求一点P ，使得F A P 21P +的值最小 例6. 在双曲线19
y -162
2
=x 上，求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的2倍。