1D10-1二重积分概念
二重积分概念与性质共16页文档
4
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f (x, y)在闭区域D 上的二重积分，
记为 f (x, y)d ，
D
n
即
D
f
(
x,
y)d
lim
0 i1
f
(i
,i
)
i
.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
书山有路勤为径●▂●学海无涯苦作舟
n
i
曲顶柱体的体积
书山有路勤为径●▂●学海无涯苦作舟
专业分享，敬请收藏
2
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域
D ， 在 点 (x ,y)处 的 面 密 度 为 (x ,y)， 假 定 (x ,y)在 D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ？
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设 函 数 f(x ,y)在 闭 区 域 D 上 连 续 ，为 D 的 面 积 ， 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 (,)使 得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
书山有路勤为径●▂●学海无涯苦作舟
性质１ 当k为常数时，
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
书山有路勤为径●▂●学海无涯苦作舟
专业分享，敬请收藏
二重积分的定义求极限
二重积分的定义求极限摘要：1.二重积分的定义概述2.二重积分与定积分的关系3.二重积分的计算方法4.二重积分的应用5.求极限的方法正文：一、二重积分的定义概述二重积分是一种在空间中对二元函数进行积分的方法，它是对定积分的扩展。
二重积分的定义与定积分类似，都是求解某种特定形式的和的极限。
在二重积分中，我们需要对一个有界闭区域上的有界函数进行积分。
具体来说，设zf(x,y) 为有界闭区域() 上的有界函数，我们将区域() 任意划分成n 个子域(k)，其面积记作k(k1,2,3,,n)，然后在每一个子域上对函数zf(x,y) 进行积分，最后求得所有子域积分的和的极限。
二、二重积分与定积分的关系二重积分与定积分在形式上有所不同，但在本质上是类似的。
定积分是求解一个函数在某一区间上的累积和，而二重积分则是求解一个函数在某一区域内的累积和。
在求解二重积分时，我们需要将区域划分成更小的子域，并在每个子域上计算函数的积分。
这与定积分的计算方法是相似的，只是在二重积分中，我们需要对更多的子域进行积分。
三、二重积分的计算方法求解二重积分的方法可以分为以下几个步骤：1.确定被积函数zf(x,y) 以及积分区域();2.将积分区域() 任意划分成n 个子域(k)，其面积记作k(k1,2,3,,n);3.在每一个子域(k) 上对函数zf(x,y) 进行积分，得到子域(k) 上的积分值;4.求得所有子域(k) 上的积分值的和;5.求得和的极限，即为所求的二重积分值。
四、二重积分的应用二重积分在实际应用中具有广泛的应用价值，例如计算曲面的面积、平面薄片的重心等。
此外，平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的有向曲面上进行积分，称为曲面积分。
五、求极限的方法在求解二重积分时，我们需要求得所有子域(k) 上的积分值的和的极限。
为了求得这个极限，我们可以采用以下方法：1.采用分割法，将积分区域() 划分成越来越小的子域，然后在每个子域上计算函数的积分;2.采用近似法，将函数在某一子域上近似为一个简单的函数，如多项式函数，然后在该子域上计算近似函数的积分;3.采用求和法，将所有子域上的积分值相加，得到一个总和;4.采用取极限法，当子域划分得越来越小，或者近似函数越来越接近原函数时，求得总和的极限，即为所求的二重积分值。
第一节二重积分的概念与性质
∫∫ D
f ( x , y )d σ
∫∫
D
f (x, y)dσ
才是该曲顶柱体 则
的体积； 的体积； f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时 上有正有负时, 当 )
二重积分 ∫∫ f ( x , y )d σ 的值为 xy 平面上方柱体体 积之和减去下方柱体体积之差. 积之和减去下方柱体体积之差
∫∫[ f (x, y)± g(x, y)] dσ =∫∫ f (x, y)dσ ±∫∫ g(x, y)dσ. D D D
性质 3 积分之和， 积分之和， 即
如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2，
则在 D 上的二重积分 等于各子区域 D1、D2 上的二重
∫∫ f (x, y)dσ =∫∫ f (x, y)dσ +∫∫ f (x, y)dσ.
D
二、二重积分的性质
性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到二重积 分号的外面， 分号的外面， 即
∫∫ kf ( x , y )dσ = k ∫∫ f ( x , y )dσ (k为常数 ).
D D
函数的和(或差) 性质 2 函数的和(或差)的二重积分 等于各个函 数的二重积分的和(或差) 数的二重积分的和(或差)， 即
D D 1 D 2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 . 性质4 性质 如果在 D 上， f(x, y) = 1，且 D 的面积为 ，
σ，则
∫∫ d σ D
=σ.
性质 5 如果在 D 上， f ( x, y)≤ g( x, y), 则
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ g( x, y)dσ . D D
mσ ≤
∫∫ D
f ( x, y)dσ ≤ Mσ .
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ= 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有1(,)niiii f I ξησε=∆-<∑不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰niiii Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σin a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from(1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰. Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
高等数学课件D101二重积分概念
b
a d x
2019/11/24
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0 k 1
(k , k ) k
2019/11/24
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
y
D
任取
平面
截柱体的
o a x0 b x
截面积为
y
故曲顶柱体体积为
b
V D f (x, y) d a A(x)d x
b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
oa
2019/11/24
高等数学课件
y 1(x) D bx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
10.1二重积分的概念与性质
24
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
25
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
26
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似 分割、 代替、求和、取极限”的方法， 代替、求和、取极限”的方法，如下动 画演示． 画演示．
∴
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ D
D
f ( x, y) dσ
17
性质5 性质5 估值性质
设f ( x , y )在有界闭区域D上的最大值为M，最小值
为m，σ 是D的面积，则有
mσ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ .
D
性质6 (二重积分的中值定理 性质6 (二重积分的中值定理) 二重积分的中值定理)
若f ( x , y )在闭区域D上连续，σ 是D的面积，则在
D上至少存在一点(ξ ,η )，使得
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
18
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ .
由性质6 可知, 证明 由性质6 可知, 1 m ≤ ∫∫ f (x, y)dσ ≤ M
V = lim∑ f (ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量:
M = lim∑µ(ξi , ηi )∆σi
λ→0
i =1
11
n
2. 二重积分的定义 定义 设 (x, y) 是定义在有界区域 D上的有界函数 , f 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解
二重积分的概念十分抽象，在没有接触相关课程的情况下，很容易就会感到困惑和不理解。
其实，这个概念在我们日常生活中也不断地出现，只是我们没有意识到而已。
二重积分可以用来计算一个物体在一段时间内所移动的总距离，以及一定面积内降雨量的总量，亦或是在一片土地上植物叶片籽粒的总数。
这些都是不同现实中的例子，但是形式上它们却有着一个共同之处：所有的运算都是按照一个累积的方式进行的，也就是积分。
在积分的时候通常会用到两个维度的变量，比如计算车在一段时间内的总里程就需要时间和速度两个维度变量。
这也就是二重积分的由来，它的数学形式是I=∫∫f(x,y)dA，其中，f(x,y)表示某一个变量在不同时间、不同空间中的变化值，dA表示面积，I则表示累计的值。
所有这些变量都必须要被一一累计，才能得到最终的结果。
这就是二重积分的基本含义，当我们把这个概念应用到每一个具体的问题，都要根据实际情况来进行具体的计算，本质上来说，就是计算某一变量在不同的地方不同时间的累积值。
- 1 -。
二重积分的基本知识点讲解
2015考研数学:二重积分的基本知识点来源：文都教育二重积分是考研数学中的大题常考点，主要考查的是同学们的计算能力。
下面文都考研数学老师对二重积分的基本知识点进行一些讲解，以帮助广大考生备考。
１．二重积分的概念设二元函数(,)f x y 在有界闭区域D 上有界．（1）将区域D 划分成若干小区域12,,,n σσσ∆∆∆；（2）(,)(1)i i i i n ξησ∀∈∆≤≤，作1(,)n i iii f ξησ=∆∑； （3）令1max{}i i n d λ≤≤=，i d 为i σ∆的直径，01(,)lim (,)n i ii i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰．注：①二重积分与区域的划分及点的取法无关；②若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上的二重积分一定存在； ③(,)D f x y d σ⎰⎰的几何意义是以D 为底，以(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积； ④(,)Df x y d σ⎰⎰的物理意义是以(,)f x y ρ=为面密度的平面区域D 的质量． 2．二重积分的性质（1）[(,)(,)](,)g(,)D D D f x y g x y d f x y d x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰． （2）(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰． （3）1212(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰． （4）D d A σ=⎰⎰．（5）（比较定理）若在D 上恒有(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)D Df x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰．（6）（估值定理）设,M m 分别为(,)f x y 在区域D 上的最大与最小值，A 为D 的面积，则(,)DmA f x y d MA σ≤≤⎰⎰．（7）（中值定理）若(,)f x y 在闭域D 上连续，A 为D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Df x y d f A σξη=⎰⎰．（8）二重积分的对称性质①若积分区域D 关于x 轴对称，则二重积分10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y f x y f x y f x y d f x y d f y f x y f x y σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为奇函数，即关于为偶函数，即，其中1D 为D 在上半平面部分．②若积分区域D 关于y 轴对称，则二重积分20,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D x x f f x y f x y f x y d f x y d f f x y f x y σσ-=-⎧⎪=⎨-=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为奇函数，即关于为偶函数，即，其中2D 为D 在右半平面部分．③设区域D 关于y x =对称，则(,)(,)D Df x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰．④设积分区域D 关于原点对称，(,)f x y 同时为,x y 的奇函数或偶函数，则 1,,0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D x y x y f f x y f x y f x y d f x y d f f x y f x y σσ--=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于的奇函数，即关于为偶函数，即，其中1D 为D 的右半平面部分．3．积分法（1）直角坐标法①（X -型区域）设12{(,)|,()()}D x y a x b x y x ϕϕ=≤≤≤≤，则21()()(,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰．②（Y -型区域）设12{(,)|()(),}D x y y x y c y d ϕϕ=≤≤≤≤，则21()(y)(,)(,)d y c D f x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰．（2）极坐标变换令00cos cos ()sin sin x x r x r y r y y r θθθθ-==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或，其中12{(,)|,()()}D r r r r θαθβθθ=≤≤≤≤，则 21()()(,)(cos ,sin )r r D f x y d d rf r r dr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰．4．应用（1）几何应用设:(,)((,))z x y x y D ϕ∑=∈为空间曲面，则该曲面段的面积为221()()D z z A d x yσ∂∂=++∂∂⎰⎰．（2）物理应用①质量(,)Dm x y d ρσ=⎰⎰． ②形心坐标(,)(,),(,)(,)DD D D x x y d y x y d x y x y d x y d ρσρσρσρσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，特别地，若薄片密度均为，则形心坐标,DD D D xd yd x y d d σσσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．（3）转动惯量设l 为平面xoy 上的直线，区域D 上任意一点(,)P x y 到直线l 的距离为d ，则区域D 绕直线l 的转动惯量为2(,)l D I dx y d ρσ=⎰⎰，特别地，2222(,),(,),()(,)x y o D D DI y x y d I x x y d I x y x y d ρσρσρσ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰．。
二重积分的概念与性质word资料6页
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and ItsProperties)一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)ii n σ∆=L 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, thereexists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念与性质
lim 0 i1
f (i ,i ) i B,
这个数(A和B)只与被积函数以及积分 范围有关 ,而
与积分变量的记法无关 , 且与积分范围的划分以 及局 部范围点的取法无关 .
不同之处： 定积分的积分范围为区 间, 被积函数是定义在区间 上的一元函数 ,而二重积分的积分范围 为平面区域 , 被 积函数是定义在平面区 域的二元函数 .
对定积分,小区间xi可正可负, 故积分上限可大于也
可小于下限, 而对二重积分, 小区域 i只能为正, 故在
化为累次积分时, 每个积分的上限一定要大于下限.
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的.
(2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在.
D
ab e d ( x2 y2 ) abea2 .
D
例 2 估计I
d
的值，
D x2 y2 2 xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解 f (x, y)
1
,
( x y)2 16
区域面积 2,
在D上 f ( x, y)的最大值 M 1 ( x y 0) 4
f (x, y) f (x, y) 即f关于y为奇函数,
f (x, y) f (x, y)
即f关于y为偶函数.
z
o
y
x
o
y
x
类似可得其它情形
D关于y 轴对称, f (x, y)为 x的奇、偶函数 ,则
0，
2
f
(x,
y)d
,
y
D2
D10_1二重积分概念z1n
y
( k , k ) k
k 1 n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
O x ( k ,k ) k
M lim ( k , k ) k
0 k 1
目录 上页 下页 返回 结束
n
两个问题的共性：
D D
3. f ( x, y )d D f ( x, y ) d D f ( x, y ) d
D
1 2
为D 的面积, 则
D 1 d D d
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5. 若在D上 f ( x, y ) ( x, y ) , 则
返回
结束
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 y x d ,
3 D
I 3 y
D
1
2 x3 d
的大小顺序为 ( D ) ( A) I1 I 2 I 3 ;
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
f ( x , y) f ( x, y),
若D关于x轴对称，f(x,y)关于y是偶函数(f(x,-y)=f(x,y)),
则I＝ 2 f ( x , y )d , 其中D1 {( x , y ) D | y 0} 。
D1
目录
上页
下页
返回
结束
2、若D关于y轴对称，f(x,y)关于x是奇函数,则I＝0
( sin x 2 cos x 2 )d
D
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
二重积分的概念和性质
f (x, y)dxdy 即
R
f (x, y)d f (x, y)dxdy
R
R
⑵根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积是：
V f (x, y)d
R
⑶函数 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，则 f (x, y) 在 R 上
的二重积分必定存在.
⑷二重积分仅与积分区域R 和 f (x, y) 有关，而与对 区域 R 的分法和(i ,i ) 的取法无关.
平顶柱 体的体积
=底面积（区域 D的面积）×高（ z f (x, y) 为常数）
请回忆在微积分上册解决曲边梯形面积的思想分析方法
z
z
x
D
y
x
i
D
y
(i ,i )
曲顶柱体体积 V ：
⑴分割：D 1 2 n
V V1 V2 Vn
i 为 Vi 的窄条曲顶柱体的底，d i 为 i 的直径
R
R {(x, y) 0 x 2,0 y 4}
解：⑴在区域R上有：0 xy 2 （此处严格的找法
应该按照二元函数在有界闭区域上最值的找法 去做），根据积分性质
0 SR 2xyd 4 SR
R
而 SR 2 ，所以：
0 xyd 8
R
⑵的解法同⑴
例3：试将下列区域 R 用 x, y 的不等式组形式表示 出来，并写成集合形式
⑴
y 2x yx
R
R (x, y) 0 x 2, x y 2x
⑵
y x2 / 4 1
y 2x
R
6
2
2
x2
R
二重积分的概念与性质-PPT精品文档
的体积为
Vlim λ0 i1
f(ξi,ηi)σi.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式 的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性 的研究。
为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种 特殊结构的和的极限称为二重积分。
者之间的共性与区别.
第一节 二重积分的概念与性质
（一）问题的提出
曲顶柱体 以曲面zf(x,为y)顶，以xy平面上区域D为
底，以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。
１．曲顶柱体的体积(volume)
zf(x,y)
（曲顶）柱体体积=？
特点：曲顶 D （平顶）柱体体积 =底面积 × 高
特点：平顶
以常代变Δ Si f(ξi)Δ xi;
n
n oa
积零为整 S Si f(ξi)Δxi.
bx
i1
i1
无限累加
n
b
Slλ i0m i1f(ξi)Δ xi af(x)dx.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
曲顶柱体: 以xOy平面上的
有界闭区域D为底, 其侧面为以 D的边界线为准线, 而母线平行于 z轴的柱面， 其顶是连续曲面
(3)若f (x,y)在D的某些子区域上为正的, 在D的另一些
子区域上为负的， 则 f (x, y)dσ表示在这些子区域上
曲顶柱体体积的代数和. D
（4）当 f(x,y时), 1 则 d =区域D的面积.
D
4.二重积分的性质
V bπ[f(x)]2dx. a
已知平行截面面积的几何体的体积
二重积分
推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它
的外面积 I P 0 , 即对任给的 0 , 存在直线网 T, 使得
S P (T ) ,
或对任给的 0 , 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的. 注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
D ( x, y ) x, y Q [0,1] .
易知 0 I D I D 1, 因此 D 是不可求面积的.
前页 后页 返回
D D
f ( x , y ) d .
6. 若 f ( x , y ) 在 D 上可积, 且
m f ( x , y) M , ( x , y) D ,
则有
mS D f ( x , y )d MS D ,
D
这里 S D 是积分区域 D 的面积.
前页 后页 返回
7. (积分中值定理) 若 f ( x , y ) 在有界闭域 D 上连续, 则存在 ( , ) D , 使得
D
D
就等于积分区域 D 的面积.
注1 xy . 此时通常把 f ( x , y )d 记作
f ( x , y)dxdy .
D
D
(6)
注2 可积条件
前页 后页 返回
可积的必要条件: 函数 f ( x , y ) 在可求面积的D上可积
的必要条件是它在 D上有界.
设函数 f ( x , y ) 在 D 上有界, T 为 D 的一个分割, 它 把 D 分成 n 个可求面积的小区域 1 , 2 , , n . 令 M i sup f ( x , y ) ( x , y ) i ( i 1,2, , n). mi inf f ( x , y )
高等数学10.1二重积分的概念与性质
§1. 二重积分的概念与性质
一、二重积分问题的提出
z f ( x, y)
１．曲顶柱体的体积 曲顶柱体体积=？ 特点： 曲顶.
D
柱体体积= 底面积× 高 特点：平顶.
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
S
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲
0 y i x
D
n
0 i 1
积分区域Ｄ为底面积 当被积函数大于零二重积分是f(x,y)为高的曲顶柱体的体积
二重积分的几何意义
2.
(1 x y)d , D : x y 1, x 0, y 0.
D
z
解 曲面z
f ( x , y ) 1 x y 是 一 平 面,
i 1
n
D
.
x
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
V i f ( x i , y i ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
V
4 取极限
令分法无限变细
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
D
n
0 i 1
积分和 面积元素 被积表达式
f ( i , i ) i 存在， 则称此极限为 如果极限 lim 0
f ( x , y ) 在闭区域D上的二重积分， 记为
D
积分区域
积分变量
n
被积函数
i 1
f ( x , y )d
记 f ( , ) 对二重积分定义的说明： lim i i i D 0
二重积分的定义
在D上的二重积分就等于 这些部分区域上的
柱体体积的代数和.
例 设D为圆域 x 2 y2 R2
z
二重积分
R2 x2 y2 d
D
D
=
O
y
R
x
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
1 , 2 ,, n 表示它们的面积。
于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。
任取一个小区域Di ， 并且在Di内任取一点 Pi ， 将以 Di 为底，曲面S为顶的曲顶柱体
地看作是以Di 为底，高度等于 f(Pi) 柱体。
上页 下页 返回 结束 机动
因此这个小柱体的体积近似地等于
Vi f (Pi ) i
任取一个小区域Di ， 并且在Di内任取一点 Pi ，
Di的平均质量密度近似的等于 m(Pi) .
于是可以将 Di 的质量近似地表示为：
mi m(Pi ) i
上页 下页 返回 结束 机动
各小区域质量近似值之和就是整个平板质量的近似值：
M m(Pi )
d (Di ) 表示Di的直径 (i=1,2,…,n) 当 max{d (Di )} 0 时 如果这个近似值存在极限:
D
存在. 连续函数一定可积
注 今后的讨论中, 都假定被积函数在相应的
积分区域内总是连续的.
二重积分的几何意义
(1) 当 f ( x, y) 0时, 二重积分是 柱体体积;
(2) 当 f ( x, y) 0时, 二重积分是 柱体体积的负值;
(3) 当f ( x, y) 在D上的若干部分区域上是正的,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 13
性质7 (中值定理) 设f(x, y)在闭区域D 上连续，
s 为D 的面积， 则$(, )∈D 使得下式成立：
f (x, y)ds =f (,)s ．
D
证：因为 f(x, y)在闭区域D 上连续，故存在m及M
使得 m≤ f(x,y)≤M，故由性质6：
y
其中 D :(x 2 )2 (y 1 )22
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o1 2 3 x xy1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而
(xy)2(xy)3
D ( x y )2 d s D ( x y )3 d s
Index First
Up
Back Down Last
二重积分的存在性： 当f(x,y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在 的，即f(x, y)在D 上的二重积分必定存在． 我们总假定f(x, y)在闭区域D 上连续，所以f(x, y) 在D 上的二重积分都是存在的．
二重积分的几何意义：
若 f(x, y)0，f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处 的竖坐标，故二重积分的几何意义就是曲顶柱体 的体积．若f(x, y)<0，曲顶柱体就在xOy 面的下方， 二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积， 但二 重积分的值是负的．
End Demand 12
性质5 如果在D 上，f(x, y)g(x, y)，则有不等式
f(x, y)ds f(x, y)ds
D
D
特殊地有 f ( x, y)ds f(x, y)ds
D
D
性质6 (估值定理)设M、m 分别是f(x, y)在闭区域D
上的最大值和最小值，s 为D 的面积，则有
msf(x,y)dsM s
End Demand 11
性质 3 若D 划分为两个闭区域D 1与D 2， 则
f(x, y)ds
z
zf(x，y)
D
f(x, y)ds f(x, y)ds
D1
D2
性质 4 1 ds ds
D
D
O
y
=s (s 为D 的面积)．
D
1
D2
x
D=D1 D2
Index First
Up
Back Down Last
n
D
f
(x,
y)ds
lim
l0 i1
f(i,i)si
积分号，
f D(x，y)
被积函数，
f (x，y)ds 被积表达式，
x，y
积分变量，
D
积分区域，
ds
面积元素，
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 8
直角坐标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的面积元素： 若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划 分D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其 余的小闭区域都是矩形闭区域。
ms f (x, y)ds Ms
D
两边同除s 则有
ms1Df(x,y)dsM
由介值定理知， $ (, ) ∈ D 使得
f(,)s1Df(x,y)ds
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 14
例1. 比较下列积分的大小:
D (x y )2d s, D (x y )3d s
求该立体平行截面的面积，然后加以计算。
为此，首先考虑区域的形式与表示方法：
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 16
1、区域的形式： （1）X型区域：
D ： j1( x) y j2 ( x)，a x b ．
y=j2(x)
y
y
y=j2(x)
End Demand 15
三、积分区域的表示法
由前面的讨论我们知道：
⑴在直角坐标系下的面积元素为dsdxdy，故有
f(x,y)dsf(x,y)dxdy
⑵由定积分D应用中所讨论D的空间立体体积的计算
方法知道：若已知物体的平行截面的面积为A(x)
a≤x≤b，则该立体的体积为：
b
V a A(x)dx
这为我们在计算曲顶柱体体积提供了一种思路：设法
⑶平顶柱体体积之和 n f (i ,i )si i1
可以认为是整个曲顶柱体
z
zf(x，y)
体积的近似值．
问题：曲顶柱体体积的精确值=？
⑷曲顶柱体体积的精确值为
O
y
n
Vlim l0 i1
f(i,i)si
D
si
x
其中l是n 个小区域的直径中的最大值 lm 1 ia x nl( si)
上述数学模型抽象后即为二重积分的定义:
Index First
Up
Back Down Last
End Demand
Index First
Up
Back Down Last
End Demand
Index First
Up
Back Down Last
End Demand
Index First
Up
Back Down Last
End Demand
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 10
二． 二重积分的性质
性质 1 kf(x, y)ds kf(x, y)ds (k 为常数)．
D
D
性质 2 (f(x,y)g(x,y)d)s
D
f(x, y)ds g(x, y)ds
D
D
Index First
Up
Back Down Last
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 6
•二重积分的定义：
设f(x, y)是有界闭区域D 上的有界函数．
⑴将闭区域D任意分成n 个小闭区域 s 1, s 2 ,···, s
n
其⑵⑶中在作第和s个i 表ns示if上第(任ii,个取i 小)一s区点i域(，i ,也i)表，示作它乘的积面f(积i．,i)si i1
设矩形闭区域s i的边长为xi 和yi ，则s i xiyi ，
因此在直角坐标系中，有时也把 z
面积元素ds 记作dxdy，
而把二重积分记作 f (x, y)ds
D
O
其中dxdy叫做直角坐标系
D
中的面积元素．
x
yi y
s i
xi
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 9
⑷若当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，
这和的极限总存在, 则称此极限值为f(x, y)在D
上的二重积分， 记作 f (x, y)ds
Dn
即
D
f (x, y)ds
lim
l0 i1
f(i,i)si
Index First
Up
Back Down Last
End Demand 7
二重积分各部分名称：