1D10-1二重积分概念

End Demand 15
三、积分区域的表示法
由前面的讨论我们知道：
⑴在直角坐标系下的面积元素为dsdxdy，故有
f(x,y)dsf(x,y)dxdy
⑵由定积分D应用中所讨论D的空间立体体积的计算
方法知道：若已知物体的平行截面的面积为A(x)
a≤x≤b，则该立体的体积为：
b
V a A(x)dx
这为我们在计算曲顶柱体体积提供了一种思路：设法
⑶平顶柱体体积之和 n f (i ,i )si i1
可以认为是整个曲顶柱体
z
zf(x，y)
体积的近似值．
问题：曲顶柱体体积的精确值=？
⑷曲顶柱体体积的精确值为
O
y
n
Vlim l0 i1
f(i,i)si
D
si
x
其中l是n 个小区域的直径中的最大值 lm 1 ia x nl( si)
上述数学模型抽象后即为二重积分的定义:
ms f (x, y)ds Ms
D
两边同除s 则有
ms1Df(x,y)dsM
由介值定理知， $ (, ) ∈ D 使得
f(,)s1Df(x,y)ds
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End Demand 14
例1. 比较下列积分的大小:
D (x y )2d s, D (x y )3d s
求该立体平行截面的面积，然后加以计算。
为此，首先考虑区域的形式与表示方法：
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1、区域的形式： （1）X型区域：
D ： j1( x) y j2 ( x)，a x b ．
y=j2(x)
y
y
y=j2(x)
End Demand 11
性质 3 若D 划分为两个闭区域D 1与D 2， 则
f(x, y)ds
z
zf(x，y)
D
f(x, y)ds f(x, y)ds
D1
D2
性质 4 1 ds ds
D
D
O
y
=s (s 为D 的面积)．
D
1
D2
x
D=D1 D2
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End Demand 10
二． 二重积分的性质
性质 1 kf(x, y)ds kf(x, y)ds (k 为常数)．
D
D
性质 2 (f(x,y)g(x,y)d)s
D
f(x, y)ds g(x, y)ds
D
D
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End Demand 12
性质5 如果在D 上，f(x, y)g(x, y)，则有不等式
f(x, y)ds f(x, y)ds
D
D
特殊地有 f ( x, y)ds f(x, y)ds
D
D
性质6 (估值定理)设M、m 分别是f(x, y)在闭区域D
上的最大值和最小值，s 为D 的面积，则有
msf(x,y)dsM s
设矩形闭区域s i的边长为xi 和yi ，则s i xiyi ，
因此在直角坐标系中，有时也把 z
面积元素ds 记作dxdy，
而把二重积分记作 f (x, y)ds
D
O
其中dxdy叫做直角坐标系
D
中的面积元素．
x
yi y
s i
xi
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End Demand 9
二重积分的存在性： 当f(x,y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在 的，即f(x, y)在D 上的二重积分必定存在． 我们总假定f(x, y)在闭区域D 上连续，所以f(x, y) 在D 上的二重积分都是存在的．
二重积分的几何意义：
若 f(x, y)0，f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处 的竖坐标，故二重积分的几何意义就是曲顶柱体 的体积．若f(x, y)<0，曲顶柱体就在xOy 面的下方， 二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积， 但二 重积分的值是负的．
⑷若当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，
这和的极限总存在, 则称此极限值为f(x, y)在D
上的二重积分， 记作 f (x, y)ds
Dn
即
D
f (x, y)ds
lim
l0 i1
f(i,i)si
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End Demand 7
二重积分各部分名称：
n
D
f
(x,
y)ds
lim
l0 i1
f(i,i)si
积分号，
f D(x，y)
被积函数，
f (x，y)ds 被积表达式，
x，y
积分变量，
D
积分区域，
ds
面积元素，
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End Demand 8
直角坐标系中的面积元素： 若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划 分D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其 余的小闭区域都是矩形闭区域。
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•二重积分的定义：
设f(x, y)是有界闭区域D 上的有界函数．
⑴将闭区域D任意分成n 个小闭区域 s 1, s 2 ,···, s
n
其⑵⑶中在作第和s个i 表ns示if上第(任ii,个取i 小)一s区点i域(，i ,也i)表，示作它乘的积面f(积i．,i)si i1
D
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End Demand 13
性质7 (中值定理) 设f(x, y)在闭区域D 上连续，
s 为D 的面积， 则$(, )∈D 使得下式成立：
f (x, y)ds =f (,)s ．
D
证：因为 f(x, y)在闭区域D 上连续，故存在m及M
使得 m≤ f(x,y)≤M，故由性质6：
y
其中 D :(x 2 )2 (y 1 )22
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o1 2 3 x xy1
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它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而
(xy)2(xy)3
D ( x y )2 d s D ( x y )3 d s
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