奥数因式分解
奥林匹克数学题型高级因式分解技巧
奥林匹克数学题型高级因式分解技巧数学是一门精密的学科，它需要我们掌握各种解题技巧和方法。
在奥林匹克数学竞赛中，因式分解是一种常见的题型。
而在高级因式分解题目中，我们需要掌握更多的技巧和方法来解题。
本文将介绍一些高级因式分解的技巧，帮助读者更好地应对奥林匹克数学题目。
一、整式的因式分解在奥林匹克数学竞赛题目中，有许多要求我们对整式进行因式分解的题目。
对于这类题目，我们需要掌握一些基本的技巧。
1.1 通用的因式分解公式对于形如$ab+ac+ad+...$的整式，可以使用因式分解的公式进行处理。
这个公式是：$a(b+c+d+...)$其中，$a$是整式中的一个公因式，$b$、$c$、$d$等是整式中的多项式。
使用这个公式，我们可以快速地将整式进行因式分解。
例如，对于整式$2xy+2xz+2yz$，我们可以提取公因式2，得到$2(x+y+z)$。
这样，整式就被因式分解为$2(x+y+z)$。
1.2 利用特殊的因式分解公式在奥林匹克数学竞赛中，有一些特殊的因式分解公式可以帮助我们处理题目。
下面是其中两个常用的公式：(1) 差平方公式差平方公式是$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
利用差平方公式，我们可以将某些整式进行因式分解。
例如，对于整式$x^2-4$，可以使用差平方公式进行因式分解，得到$(x-2)(x+2)$。
(2) 完全平方公式完全平方公式是$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
利用完全平方公式，我们可以将某些整式进行因式分解。
例如，对于整式$x^2+6x+9$，可以使用完全平方公式进行因式分解，得到$(x+3)^2$。
通过掌握和灵活运用这些因式分解公式，我们可以更高效地解答奥林匹克数学竞赛中的因式分解题目。
二、多项式的因式分解在奥林匹克数学竞赛中，我们还会遇到一些要求对多项式进行因式分解的题目。
对于这类题目，我们需要掌握一些高级的因式分解技巧和方法。
2.1 提取公因式和消元法对于形如$ax^3+bx^2+cx+d$的多项式，我们可以尝试提取公因式的方法进行因式分解。
初中数学因式分解奥数专题：双十字相乘法附答案
专题双十字相乘法阅读与思考分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于二元二次六项式，如：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f形式的，可以用十字相乘法分解因式．例题分析，分解因式：2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．方法讲解：我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，那么原式可化为：2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，此式可以看作是关于x的二次三项式，22y2-35y+3可以看做是常数项．常数项是关于y的二次三项式，可以用十字相乘法，分解为-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．然后利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解：那么，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程中，进行了两次十字相乘法．把上面步骤中的十字相乘图合在一起，可得下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这便是双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f因式分解的步骤是：（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图；（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上；（3）要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey；（4）第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例题与求解例1.因式分解：（1）233222+++-+y x y xy x （2）38844322--+-+y x y xy x 解：原式=)1)(23(+-++y x y x 解：原式=)32)(123(-++-y x y x例2.因式分解：2223103)(2b ab a x b a x -+-++解：原式=)3)(3(b a x b a x -++-能力训练1．因式分解：（1）2023265622-++--y x y xy x ；（2）34222----y x y x ；（3）43522+++-y x y x ；（4）12267222--++-y x y xy x 。
奥数讲座因式分解(1)答案
初一奥数讲座因式分解（1）答案例1．分解因式（提公因式法）（1）4a2 + 6ab + 2a解：原式= 2a(2a + 3b + 1)（2）2a m + 1 + 4a m– 2a m– 1解：原式= 2a m– 1(a2 + 2a– 1)（3）(m–n) – (n–m)2解：原式= (m–n)2 – (m–n)2= (m–n)[1 – (m–n)]= (m–n)(1 –m + n)（4）2a2b(b + c)(x + y)2 – 6a3b2(b + c)2(x + y)解：原式= 2a2b(b + c)(x + y)[(x + y) – 3ab(b + c)]= 2a2b(b + c)(x + y)(x + y– 3ab2– 3abc)例2．分解因式（运用公式法）（1）x2– 81解：原式= x2– 92= (x + 9)(x– 9)（2）4(x + y)2 – 9(x–y)2解：原式= [2(x + y) + 3(x–y)][2(x + y) – 3(x–y)]= (5x–y)(–x + 5y)= – (5x–y)(x– 5y)（3）x2 + 8xy + 16y2解：原式= x2 + 2·x·4y + (4y)2= (x + 4y)2（4）(x2– 2x)2 + 2(x2– 2x) + 1解：原式= (x2– 2x)2 + 2(x2– 2x)·1 + 12= (x2– 2x + 1)2= [(x– 1)2]2= (x– 1)4例3．分解因式（运用公式法）（1）125a3b6 + 8解：原式= (5ab2)3 + 23= (5ab2 + 2)[(5ab2)2– 2×5ab2 + 22]= (5ab2 + 2)(25a2b4– 10ab2 + 4)（2）512x9– 1解：原式= (8x3)3– 13= (8x3– 1)[(8x3)2 + 8x3 + 1]= (2x– 1)(4x2 + 2x + 1)(64x6 + 8x3 + 1)（3）1 – 12x2y2 + 48x4y4– 64x6y6解：原式= 1 – 3×4x2y2 + 3×(4x2y2)2– (4x2y2)3= (1 – 4x2y2)3= (1 + 2xy)3(1 – 2xy)3（4）x3 + 3xy + y3– 1解：原式= x3 + y3 + (– 1)3– 3·x·y(– 1)= (x + y– 1)(x2 + y2 + 1 –xy + y + x)（5）x2 + 9y2 + 4z2– 6xy + 4xz– 12yz解：原式= x2 + (– 3y)2 + (– 2z)2 + 2·x·(– 3y) + 2·x·2z + 2·(– 3y)·(2z) = (x– 3y + 2z)2例4．分解因式（1）12x2–xy +12y2解：原式= 12(x2– 2xy + y2)= 12(x–y)2（2）100 – 25x2解：原式= 25(4 –x2)= 25(2 + x)(2 –x) （3）x4– 2x2y2 + y4解：原式= (x2)2– 2x2y2 + (y2)2= (x2–y2)2= (x + y)2(x–y)2（4）2a6–12a3 +132解：原式= 2(a6–14a3 +164)= 2[(a3)2– 2×18·a3 + (18)2]= 2(a3–18 )2= 2(a–12)2(a2 +12a +14)例5．分解因式（1）– 2x5n– 1y n + 4x3n– 1y n + 2– 2x n– 1y n + 4解：原式= – 2x n– 1y n(x4n– 2x2n y2 + y4)= – 2x n– 1y n[(x2n)2– 2x2n y2 + (y2)2]= – 2x n– 1y n(x2n–y2)2= – 2x n– 1y n(x n + y)(x n–y)（2）(a2 + ab + b2)2 – 4ab(a2 + b2)解：原式= [(a2 + b2) + ab]2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2 + 2ab(a2 + b2) + a2b2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2– 2ab(a2 + b2) + a2b2= (a2b2–ab)2（3）(x2–x) – 4(x– 2)(x + 1) – 4解：原式= (x2–x)2– 4(x2–x– 2) – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 8 – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 4= (x2–x– 2)2= (x– 2)2(x + 1)2（4）a7–a5b2 + a2b5–b7解：原式= (a7–a5b2) + (a2b5–b7)= a5(a2–b2) + b5(a2–b2)= (a2–b2)(a5 + b5)= (a + b)(a–b)(a + b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)= (a + b)2(a–b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)例6．分解因式（1）a3 + b3 + c3– 3abc解：原式= (a + b)3– 3ab(a + b) + c3– 3abc= [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2– (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)(a2 + b2 + c2–ab–bc–ca)（2）(x + y)3 + (z–x)3 – (y + z)3解：原式= [(x + y) + (z–x)][(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2] – (y + z)3 = (y + z)[(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2–(y + z)2]= (y + z)(3x2 + 3xy– 3yz– 3xz)= 3(y + z)[x(x + y) –z(x + y)]= 3(y + z)(x + y)(x–z)（3）x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1解：因为x16– 1 = (x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1)∴原式= ()()15142111x x x x xx-+++++-=1611xx--=()()()()()842111111x x x x xx++++--= (x8 + 1)(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)例7．分解因式（分组分解法）（1）a2–b2– 2a– 2b解：原式= (a + b)(a–b) – 2(a + b)= (a + b)(a–b– 2) （2）25a4–x2– 2x– 1解：原式= (5a2)2– (x2 + 2x + 1)= (5a2)2– (x + 1)2= (5a2 + x + 1)(5a2–x– 1)（3）4a2–b2– 2a +1 4解：原式= 4a2– 2a +14–b2= (2a–12)2–b2= (2a–12+ b)( 2a–12–b)（4）(1 –a2)(1 –b2) – 4ab解：原式= 1 –a2–b2 + a2b2– 4ab= a2b2– 2ab + 1 –a2– 2ab–b2= (ab– 1)2– (a + b)2= (ab– 1 + a + b)(ab– 1 –a–b)（5）a4 + a2b2 + b4解：原式= a4 + 2a2b2 + b4–a2b2= (a2 + b2)2–a2b2= (a2 + b2 + ab)( a2 + b2–ab)练习1．证明：817– 279– 913能被45整除证明：∵817– 279– 913 = 328– 327– 326 = 326(32– 3 – 1) = 326×5 = 324×32×5 = 324×45 ∴817– 279– 913能被45整除2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数证明：设这四个连续自然数分别为n，n + 1，n + 2，n + 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 1) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1= (n2 + 3n + 1)2∴n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1一定是一个完全平方数。
初三奥数题知识点归纳总结
初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。
随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。
为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。
一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。
常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。
1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。
学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。
- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。
- 方程和不等式的应用问题解法。
1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。
学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。
同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。
二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。
学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。
同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。
2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。
学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。
2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。
学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。
三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。
学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。
奥数-因式分解-综合4师
第一讲 因式分解4：综合及应用§1.1 因式分解的基本方法一、 考试要点剖析因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小、判断函数的单调性、证明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“中考”和数学竞赛着重考查的热点问题．**基本知识因式分解 把一个多项式分解成几个非常数的多项式或单项式的积的形式叫做多项式的因式分解．多项式的因式分解是在给定的数域上进行的，即要求各因式的系数是给定数域上的数．因此，一个多项式在某个数域上可能不能分解因式，而在另外的(更广的)数域上也许是可以分解的．一般地，如果没有特别指定数域，则因式分解通常都是在有理数域上进行的．既约多项式 如果一个多项式在某数域上不能再分解，则称它是此数域上的既约多项式． 因式分解的常用公式：**基本方法初中教材中介绍了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分组分解法、十字相乘法、求根法，这些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和灵活地运用．此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一本讲纲要 §1.1 因式分解的基本方法1. 提取公因式2. 主元法3. 分组分解4. 公式5. 换元6. 配方7. 十字、待定系数法 8.倒数代数式§1.2 因式分解的特殊方法1. 添项、拆项2.因式定理§1.3 对称式的因式分解1. 对称式2. 轮换3.交代式§1.4 因式分解的应用1. 计算2. 化简3. 求值4. 整除5. 不定方程6.完全平方数(1)换元法将待分解的多项式中某些特殊的部分看作一个整体，用一个新的字母表示，使原来复杂的结构简化．(2)双十字相乘法对于二元二次多项式的分解，可先用“十字相乘法”将二次项进行分解，然后将局部分解的因式看作一个整体(字母)，连同后面的一次项和常数项再采用十字相乘法进行分解．(3)待定系数法将待分解的多项式表示成若干个含有待定系数的多项式的积的形式，得到一个恒等式．然后根据多项式恒等的性质，比较对应项的系数，或令变元取一些特殊值，得到关于待定系数的方程组，解方程组求出待定系数，进而得到多项式的分解．这种方法叫做待定系数法．(4)主元法对于多元多项式的分解，我们可选择其中一个字母当作变量，而将其他字母看成常数，其中当做变量的字母称为“主元”．这样，多项式就变成了关于“主元”的一元多项式，这种选择主元进行多项式分解的方法叫做主元法．**基本问题一元二次多项式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；一元高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等； 二元二次多项式的因式分解，常用的方法有：主元法、分组分解法、双十字相乘法、待定系数法等．多元(通常是二元、三元)高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等．1. 提取公因式例1.（★ 93 芜湖）分解因式：【解】：2. 主元法例2.（★★ 1996年扬州市初中数学竞赛题）分解因式：．【解】：以y 为主元降幂排列，则原式=3. 分组分解例3.（★★ 1995年昆明市初中数学竞赛题）将因式分解．【解】：原式=4. 公式（n na b ）例4.（★★★ 希望杯培训题）设n 为正整数，分解因式：【解】：5.换元例5.（★★希望杯培训题）分解因式：【解】：对于本题，代数式x + y,xy都在多项式中出现两次，例6.（★★中考模拟题）分解因式：6.配方例7.（★★ 97山东）分解因式：【解】：7.十字、待定系数法例8.（★★希望杯培训题）分解因式：【解】：解法l 单十字解法3 待定系数法8.倒数代数式例9.（★★★全国通讯赛）分解因式：【解】：§1.2 因式分解的特殊方法考试要点剖析**基本知识因式分解的常用定理：因式定理如果一个关于x的多项式在x=a时的值为零，则这个多项式必定含有因式x-a．**基本方法前边我们熟悉了因式分解的常用方法，此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一些方法：(1)拆添项法将一个项分成两个或多个项，或者同时加上或减去一个相同的项，再适当分组进行分解．(2)长除法(或综合除法)通过观察、试验，发现多项式含有某种因式，然后采用多项式除法求出另一个因式．如果先发现的因式是一次式，其多项式的除法可分离出系数来进行，这种除法叫综合除法．以一元二次多项式除以x-a为例：长除法：即综合除法当综合除法掌握得很熟练时，运用起来就比长除法简便得多，但长除法的适应范围更广，因为它可以进行任何两个多项式相除．(3)试根法根据多项式有理根判定定理，确定多项式的有理根的所有可能形式，逐一检验，发现其有理根，进而确定多项式含有的因式，最后用长除法或综合除法确定它的其他因式．1.添项、拆项例10.（★★★希望杯培训题）分解因式：【解】：2.因式定理例11.（★★★希望杯培训题）分解因式：【解】：§1.3 对称式的因式分解考试要点剖析**基本知识对称多项式设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与A恒等，则称A关于这两个字母对称．如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是对称的，则称A是全对称多项式，简称对称多项式．比如，都是关于x,y对称的多项式，而只有后者才是全对称多项式．对称多项式的一般形式为(以三次对称多项式为例)：基本对称多项式考察含有三个字母x、y、z的多项式，则 x+ y+ z,xy + yz + zx,xyz称为基本对称多项式．对于含有n个字母的多项式，其，n个字母的和、n个字母中每取r(r=2,3,……,n)作积的和，称为n元基本对称多项式．齐次多项式如果多项式所有项的次数都相等，则称为齐次多项式．比如，基本对称多项式都是齐次对称多项式．字母的个数和次数都不超过三的齐次对称多项式具有如下形式：上述一些特殊多项式具有如下一些性质：(1)任何一个对称多项式均可表示成若干基本对称多项式的和．(2)任何两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，任何两个轮换对称多项式的和、差、积仍是轮换对称多项式，任何两个齐次多项式的和、差、积仍是齐次多项式．(3)两个交代多项式的积是对称多项式，一个交代多项式与对称多项式的积是交代多项式．**基本方法赋值法先选择一个字母为主元，将多项式看成是一元多项式，再试验字母(主元)的某些取值使多项式的值为零，由此发现多项式含有的因式．待定系数法先根据多项式的特征，发现它含有的某些因式，再根据多项式的次数及多项式的对称性确定它的其他因式，进而将多项式表示成若干多项式的积(含有待定系数)的形式，最后通过比较系数或赋值确定待定系数．**基本问题对称多项式的因式分解通常采用赋值法，先通过试验，发现对称多项式含有的某些因式，然后将因式中某两个字母互换，得到的式子仍是原多项式的因式．此外，对称多项式也可先将其用基本对称多项式表示，然后再分解．轮换对称多项式的因式分解如果一个轮换对称多项式含有某种因式，那么，将这个因式中的所有字母按一定顺序轮换(第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，…，最后一个字母换成第一个字母)，得到的式子仍是原多项式的因式．交代多项式的因式分解任何交代多项式一定被它含有的任何两个字母的差整除．1.对称式例12.（★★★江苏初中数学竞赛）分解因式：【解】：2.轮换【解】：3.交代式例14.（★★★南昌初中数学竞赛）分解因式：【解】：§1.4 因式分解的应用考试要点剖析因式分解的应用是非常广泛的，它主要有以下几个方面：求值问题对于多项式的求值，如果知道某个整体的值，则可在多项式中分离出整体(因式)，然后将整体的值代入；对于分式的求值问题，可将分子分母分别分解，然后约去相同的因式，使分式化简，然后再求值．证明条件等式在给定约束条件下，证明某等式恒成立，常可对条件等式中的多项式进行因式分解，使条件得到简化，进而推出有关结论．整除问题要证明某个数(式子)整除一个多项式，可将数(式子)和多项式分别分解，然后证明多项式的每一个因式被一个对应的数(式子)整除．质数与合数问题要证明一个多项式的值是合数，只须将多项式分解因式，然后证明每一个因式的值都是大于l的整数．‘不定方程问题将方程中含有的多项式因式分解，然后判别各因式取值的奇偶性，使问题获解．完全平方数问题要证明一个多项式的值是完全平方数，可将多项式因式分解，然后证明多项式的每一个因式的值都是完全平方数．1.计算例15.（★★★长沙初中数学竞赛）计算【解】：例16.（★★★江苏省初中数学竞赛）化简3.求值例17.（★★吉林初中数学竞赛）设a,b是实数，且a+b=5,求的值．【解】：整除例18.（★★★基辅数学竞赛）设n是正整数，证明：被120整除．【解】：4.不定方程例19.（★★★天津初中数学竞赛）证明：方程无整数解．【解】：5.完全平方数例20.（★★★武汉初中数学竞赛）设a、n都是正整数，且，证明：不是完全平方数．【解】：三、练习题1.（★★分组）分解因式：【解】：2.（★★换元）分解因式：【解】：3.（★★★十字）分解因式：【解】：4.（★★★待定系数法）分解因式：【解】：5.（★★★主元）分解因式：【解】：6.（★★添项、拆项）分解因式：【解】：7.（★★★添项、拆项）分解因式：【解】：8.（★★★一题多解）分解因式： (至少5种方法)9.（★★★对称）分解因式：【解】：10.（★★★轮换）分解因式：【解】：b)11.（★★★交代）分解因式：12.（★★ 1995年北京市初二数学竞赛题）计算：【解】：13.（★★★第二届全国部分省市通讯赛试题主元）计算：【解】：分子、分母同乘以4，得14.（★★★）化简【解】：15.（★★）已知，化简【解】：16.（★★）设a、b、c是实数，且，求的值．当时，比较的大小．【解】：17.（★★★几何）已知一个直角三角形的三边都是整数，且一条直角边是17，求它的周长．18.（★★几何）在中三边a、b、c满足，试判定三角形的形状．【解】：19.（★★）证明：两个连续奇数的平方差能被8整除．【解】：20.（★★★）解方程组：【解】：补充题1.（★★★）分解因式：（一题多解）【解】：2.（★★★）分解因式：设多项式含有因式3x+l和2x - 3，试将此多项式因式分解．3.（★★★★）证明：已知多项式含有因式，证明：【解】：4.（★★★★）证明：设x,y,z为整数，证明：为整数【解】：5.（★★★）计算【解】：因为6.（★★★）分解因式：【解】：。
顶尖数学奥数因式分解题
顶尖数学奥数因式分解题一、因式分解表达式 x4 - 16，结果正确的是？A. (x2 + 4)(x2 - 4)B. (x + 2)2(x - 2)2C. (x2 + 2)(x2 - 8)D. (x + 4)(x - 4)(x2 + 1)（答案）A。
解析：x4 - 16 可以看作是平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 的应用，其中 a = x2, b = 4。
所以 x4 - 16 = (x2 + 4)(x2 - 4)。
而 x2 - 4 还可以继续分解为 (x + 2)(x - 2)，所以最终答案为 (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)，与选项A一致（注意：选项A中的(x2 + 4)(x2 - 4)已经包含了后续的分解，只是没有展开）。
二、下列哪个选项是 x2 - 5x + 6 的因式分解结果？A. (x - 2)(x - 3)B. (x - 1)(x - 6)C. (x + 2)(x + 3)D. (x - 1)(x - 5)（答案）A。
解析：寻找两个数，它们的和为-5，且它们的乘积为6。
这两个数是-2和-3。
因此，x2 - 5x + 6 可以分解为 (x - 2)(x - 3)。
三、因式分解 x3 - 8，结果正确的是？A. (x - 2)(x2 + 2x + 4)B. (x - 2)3C. (x - 2)(x2 + 4)D. (x - 2)(x2 - 2x + 4)（答案）A。
解析：x3 - 8 可以看作是立方差公式 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 的应用，其中 a = x, b = 2。
所以 x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)。
四、因式分解表达式 x2 + 7x + 12，结果正确的是？A. (x + 3)(x + 4)B. (x + 2)(x + 6)C. (x + 1)(x + 12)D. (x + 5)(x + 2)（答案）A。
初二因式分解奥数竞赛题
初二因式分解奥数竞赛题引言初中数学中的因式分解是一个重要的概念。
因式分解是将一个代数式表示为一系列不可再分解的乘积的形式。
它在代数运算、方程求解、多项式化简等问题中都有着广泛的应用。
在奥数竞赛中，因式分解也是常见的考点之一。
本文将介绍初二级别的因式分解奥数竞赛题，并提供详细的解题方法和策略，帮助读者更好地理解和应对这类问题。
基础知识回顾在开始具体讲解题目之前，我们先回顾一下关于因式分解的基础知识。
因子首先，我们需要明确什么是因子。
对于一个整数a，如果存在整数b使得a能够被b整除，则称b是a的因子。
例如，2是4的因子，因为4可以被2整除。
因式接下来，我们来定义什么是因式。
对于一个代数表达式，如果存在一个或多个代数表达式使得原表达式能够被这些表达式相乘得到，则这些表达式称为原表达式的因式。
例如，在表达式3x^2 + 2x中，3和x^2都是它的因式。
因式分解最后，我们来定义什么是因式分解。
对于一个代数表达式，如果可以将其写成一系列不可再分解的乘积的形式，则称这个过程为因式分解。
例如，将表达式6x^2 + 9x写成(2x + 3)(3x)的形式就是进行了因式分解。
题目讲解现在我们来看一个具体的初二级别的因式分解奥数竞赛题目：题目：将代数表达式x2+4xy+4y2−a2进行因式分解。
解题思路要完成这道题目，我们需要将给定的代数表达式进行因式分解。
具体而言，我们需要找到一种方式将该表达式写成一系列不可再分解的乘积形式。
步骤1：观察并尝试首先，我们可以通过观察和尝试来寻找可能的因子。
对于这个题目中给定的表达式x2+4xy+4y2−a2，我们可以注意到其中存在一个完全平方项x2和两个相同项4xy和4y2。
这提示我们可能存在一个完全平方三项之和公式(a+b)2的因式分解形式。
步骤2：应用完全平方三项之和公式根据步骤1的观察，我们可以将x2+4xy+4y2写成(x+2y)2的形式。
这是因为(x+2y)2=x2+4xy+4y2。
八年级奥数-第十讲：因式分解的应用
(52 4)(92 4)(132 4)(172 4)(212 4)(252 4)(292 4)(332 4)(372 4)(412 4) 原式 2 (1 4)(52 4)(92 4)(132 4)(172 4)(212 4)(252 4)(292 4)(332 4)(372 4) 412 4 2 337. 1 4
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不妨设 x y z, 因x、y、z为正数，对于不等式①，只能有如下两种情况： 1．左边的三个因式都大于0； 2．左边的因式为二负一正． 只要我们能推出第一种情况成立，则原命题成立，但直接证 比较困难，现假设不等式①左边三个因式为二负一正，则有：
• 这与所设X≥y≥z矛盾，于是可知不等式①左边三个因式不能 为二负一正，故只能是不等式①左边三个因式都为正， • 即有：y+z>z，z+x>y，x+y>z成立， • 所以原命题得证， • 即以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形，
• 任何数的N次方都有如下规律:x的(4k+1)次 方,(4k+2)次方,(4k+3)次方,(4k)次方个位数 分别相同,比如： • 2^1=2,2^5=32,2^9=512,个位数都是2. • 1985=4×496+1,1949=4×487+1,所以,任 何数的1985或1949平方,个位数都相同,所 以10可以被两数差整除.
4 4 4 4
2
64) . 4 4 4 4 4 (3 64)(11 64)(19 64)( 27 64)( 335 64)
4
解 : a 4 64 a 4 16a 2 64 16a ( a 2 8) 2 16a 2 ( a 2 4a 8)(a 2 4a 8) [(a 2)2 法扫描
初三奥数因式分解测试题及答案
【导语】把⼀个多项式在⼀个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为⼏个整式的积的形式，这种式⼦变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，在数学求根作图、解⼀元⼆次⽅程⽅⾯也有很⼴泛的应⽤。
是解决许多数学问题的有⼒⼯具。
下⾯是为⼤家带来的初三奥数因式分解测试题及答案，欢迎⼤家阅读。
⼀、选择题（共11题；每⼩题3分,共33分）1.代数式15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是（ ）A. 5（x+1）B. 5a（x+1）C. 5a（x﹣1）D. 5（x﹣1）2.下列因式分解完全正确的是（ ）A. ﹣2a2+4a=﹣2a（a+2）B. ﹣4x2﹣y2=﹣（2x+y）2C. a2﹣8ab+16b2=（a+4b）2D. 2x2+xy﹣y2=（2x﹣y）（x+y）3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A. (a＋1)(a－1)＝a2－1B. a2－6a＋9＝(a－3)2C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1D. -18x4y3=-6x2y2•3x2y4.下列各式能⽤完全平⽅公式进⾏分解因式的是（）A. x2+1B. x2+2x﹣1C. x2+x+1D. x2+4x+45.分解因式a2﹣9a的结果是（ ）A. a（a﹣9）B. （a﹣3）（a+3）C. （a﹣3a）（a+3a）D. （a﹣3）26.将x2﹣16分解因式正确的是（ ）A. （x﹣4）2B. （x﹣4）（x+4）C. （x+8）（x﹣8）D. （x﹣4）2+8x7.下列各组多项式没有公因式的是（）A. 2x﹣2y与y﹣xB. x2﹣xy与xy﹣x2C. 3x+y与x+3yD. 5x+10y与﹣2y﹣x8.已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（）A. -3B. 3C. -1D. 19.下列式⼦中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. （x﹣1）（x﹣1）=x2﹣2x+1B. 4x2﹣9y2=（2x﹣3y）（2x+3y）C. x2+4x+4=x（x﹣4）+4D. x2+y2=（x+y）（x﹣y）10.分解因式－2xy2+6x3y2－10xy时，合理地提取的公因式应为（）A. －2xy2B. 2xyC. －2xyD. 2x2y11.下列多项式在有理数范围内能⽤平⽅差公式进⾏因式分解的是（ ）A. x2+y2B. ﹣x2+y2C. ﹣x2﹣y2D. x2﹣3y⼆、填空题（共10题；共40分）12.若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z=________．13.多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是________．14.计算：（﹣2）100+（﹣2）99=________15.分解因式：18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3=________．16.如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的⼀个因式，则m的值________17.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是________．18.因式分解：xy3﹣x3y=________．19.9x3y2+12x2y3中各项的公因式是 ________ ．20.分解因式：9x3﹣18x2+9x=________．21.多项式12x3y2z3+18x2y4z2﹣30x4yz3各项的公因式是________．三、解答题（共3题；共27分）22.因式分解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；（2）a2x2y﹣axy2 ．23.我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当⼀个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平⽅形式时，我们可以尝试⽤下⾯的办法来分解因式．a2+6a+8=a2+6a+9﹣1=（a+3）2﹣1=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]=（a+4）（a+2）请仿照上⾯的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2 ．24.当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个⼀次因式的乘积．参考答案⼀、选择题A DB D A BCD B C B⼆、填空题12. 4 13. ﹣3x2yz 14. 299 15. 6（a﹣b）2（3﹣2a+2b）16. 15 17. 5mx 18. xy（x+y）（x﹣y）19. 3x2y2 20. 9x（x﹣1）2 21. 6x2yz2三、解答题22. 解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x+y）（x﹣y）；（2）a2x2y﹣axy2=axy（ax﹣y）23. 解：（1）原式=x2﹣6x+9﹣36=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；（2）原式=x2﹣2xy+y2﹣4y2=（x﹣y）2﹣4y2=（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）=（x+y）（x﹣3y）．24. 解：多项式的第⼀项是x2 ，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d），∵（x+ky+c）（x+ly+d）=x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，∴cd=﹣24，c+d=﹣5，∴c=3，d=﹣8，∵cl+dk=43，∴3l﹣8k=43，∵k+l=7，∴k=﹣2，l=9，∴a=kl=﹣18，．即当a=﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个⼀次因式的乘积．。
奥林匹克数学题型代数式的因式分解
奥林匹克数学题型代数式的因式分解奥林匹克数学竞赛是培养学生数学思维和解题能力的重要途径之一。
其中，代数式的因式分解是奥数中常见的题型之一。
通过对代数式进行因式分解，可以简化复杂的表达式，提高解题的效率。
本文将介绍代数式的因式分解的相关概念、方法和应用。
一、代数式的因式分解的概念代数式的因式分解是将一个代数式表示为若干个因式的积的形式。
在进行因式分解的过程中，可以使用不同的方法，如公因式法、提取公因式法、配方法等。
因式分解在代数运算中扮演着重要的角色，可以帮助我们更好地理解代数式的结构，简化运算过程，优化解题方法。
二、公因式法公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于求解含有公因式的代数式。
在公因式法中，我们需要找到代数式中的公因式，并将其提取出来。
举例来说，假设有一个代数式2x^2 - 6x，我们可以将2x作为公因式进行提取，得到2x(x - 3)。
因此，原代数式可以被因式分解为2x(x -3)。
三、提取公因式法提取公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于含有多个项的代数式。
在提取公因式法中，我们需要对每个项进行因式分解，并将相同的因式提取出来。
例如，对于代数式3x^2 + 6x，我们可以对每个项进行因式分解，得到3x(x + 2)。
然后，提取公因式3x，即可将代数式分解为3x(x + 2)。
四、配方法配方法是一种适用于二次三项式的因式分解方法。
在配方法中，我们需要通过构造一个合适的加法或减法，将二次三项式转化为完全平方式。
比如，对于二次三项式x^2 + 3x + 2，我们可以通过构造一个合适的加法或减法来将其转化为完全平方式。
根据二次三项式的特点，我们可以发现，该式可分解为(x + 1)(x + 2)。
五、因式分解的应用因式分解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在代数方程的求解、函数的图像绘制和计算等方面，都能够通过因式分解来简化操作过程。
举例来说，对于代数方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解可以得到(x - 2)(x - 3) = 0，进而求得方程的解x = 2或x = 3。
奥数因式分解
二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法三、例题讲解1、提取公因式法例1 x（a-b)2n+y（b—a）2n+1提示：（b-a)2n=(a-b)2n， (b-a）2n+1=—（a—b）2n+1解：原式=（a-b)2n［x—y（a—b)］=（a—b）2n（x-ay+by）例2 （ax+by）2+（ay-bx）2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2—2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开)=（a2+b2+c2）x2+（a2+b2+c2）y2（合并同类项）=(a2+b2+c2)（x2+y2）（提取公因式）2、运用公式例1 x7y-xy7提示：先取公因式,然后用公式。
用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解:原式=xy（x6—y6) （提取公因式)=xy［(x3）2-（y3）2] (公式2：平方差公式)=xy（x3—y3)（x3+y3) （公式6：立方和/差公式）=xy（x—y)（x2+xy+y2)（x+y)（x2-xy+y2）例2 (a+2b+c）3-(a+b）3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和原式=(a+2b+c）3-[（a+b）3+(b+c)3］(添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c）3-(a+2b+c)[(a+b）2-（a+b)(b+c)+ （b+c）2］（应用立方和公式展开）=（a+2b+c){［（a+2b+c）2—（a+b）2]+(a+b)（b+c)- （b+c）2｝（提取公因式a+2b+c形成平方差公式)=（a+2b+c)［（2a+3b+c）（b+c)+(a+b）（b+c）—（b+c)2] （提取公因式b+c）=（a+2b+c)(b+c)［(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)］(合并化简）= 3(a+b) (b+c) (a+2b+c）例3 若x=,y=,则x6+y6的值是:解：x6+y6=(x2)3+（y2)3=(x2+y2)[(x2）2-x2y2+(y2)2] （应用立方和公式）=（x2+y2)[(x2+y2）2—3x2y2] （应用完全平方公式）∵x2+y2=(）2+（）2=4, 3x2y2=3×()2×(）2=6∴x6+y6=4×（42－6）=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。
(完整版)因式分解(奥赛)
因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家,自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。
仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。
2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。
【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。
因式分解是一种重要的恒等变形,在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法，配方法，待定系数法等。
【解题思路与技巧】1．换元法。
在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替,从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3)，倒数代换(如例4),平均代换(如例5)等。
2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素,将其他字母看作常数,然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。
用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。
3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7,例8。
4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值,从而解决问题的方法,如例9，例10。
【典型示例】例1 （1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）在有理数范围内分解因式：(1)16（6x-1)(2x—1)（3x+1）(x-1）+25= 。
（2）(6x—1）(2x—1)（3x-1)（x-1)+x2= 。
(3）（6x—1)(4x-1)(3x-1)(x-1）+9x4= .[解] （1）原式=(6x—1)（4x—2）（6x+2)(4x+4)+25=（24x2-16x+2) （24x2-16x—8）+25设 24x2-16x+2=t，原式=t(t-10)+25=（t—5)2=(24x2—16x—3）2（2）原式=(6x-1）（x—1) (2x-1)(3x—1） +x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t（t-2x) +x2=（t—x)2=(6x2-6x+1)2（3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1） +9x4=(6x2-7x+1） (12x2-7x+1）+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t）+ 9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x–3y)3 + （3x–2y)3 –125（x–y）3= 。
初二因式分解奥数竞赛题
初二因式分解奥数竞赛题摘要：1.初二因式分解奥数竞赛题的概述2.初二因式分解的方法3.初二因式分解奥数竞赛题的解题技巧4.例题解析5.总结正文：【1.初二因式分解奥数竞赛题的概述】初二因式分解奥数竞赛题是针对初中二年级学生的一项重要数学竞赛内容，它涉及到的知识点主要是因式分解。
因式分解是指将一个多项式化简成若干个整式的积的形式，它可以帮助我们简化复杂的数学问题，提高解题效率。
在初二阶段，学生需要熟练掌握各种因式分解的方法，并在实际解题中灵活运用。
【2.初二因式分解的方法】初二阶段，学生需要掌握的因式分解方法主要有以下几种：(1) 提公因式法：通过提取多项式中的公因式，将多项式分解成较简单的整式积。
(2) 平方差公式法：利用平方差公式，将一个二次多项式分解成两个一次多项式的积。
(3) 完全平方公式法：利用完全平方公式，将一个二次多项式分解成一个一次多项式的平方。
(4) 分组法：将多项式按照一定规则分组，然后分别提取每组的公因式，最后将各组的因式积相乘得到原多项式的因式分解式。
(5) 公式法：利用一些已知的数学公式，如平方差公式、完全平方公式、立方差公式等，将多项式分解成简单的整式积。
【3.初二因式分解奥数竞赛题的解题技巧】(1) 熟练掌握各种因式分解方法，特别是提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，这些方法是解决初二因式分解奥数竞赛题的基本技巧。
(2) 在解题过程中，要善于观察多项式的特点，根据多项式的形式选择合适的因式分解方法。
(3) 注意分解过程中的符号问题，确保因式分解的正确性。
(4) 多做练习题，提高解题速度和准确度。
【4.例题解析】例题：将多项式x^2 - 4x + 4 分解因式。
解：利用完全平方公式，将多项式分解为(x - 2)^2。
【5.总结】初二因式分解奥数竞赛题是初中阶段数学竞赛的重要内容，学生需要熟练掌握各种因式分解方法，并在实际解题中灵活运用。
小升初奥数学习公式
小升初奥数学习公式奥数，全称为奥林匹克数学，是指参加奥林匹克数学竞赛的数学学科内容。
奥数的学习对于小学升初中的学生来说，有着重要的意义。
下面是小升初奥数学习中常用的一些公式。
1.逆元和幂运算公式：-逆元：对于任意非零数a，其逆元为1/a。
-幂运算：-a^0=1-a^m×a^n=a^(m+n)-(a^m)^n=a^(m×n)-(a×b)^n=a^n×b^n2.因式分解公式：- 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2-差平方公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)- 完全立方公式：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3- 差立方公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)3.三角函数公式：- 正弦和余弦关系：sin^2θ + cos^2θ = 1-同角三角函数关系：- tanθ = sinθ/cosθ- cotθ = cosθ/sinθ- secθ = 1/cosθ- cscθ = 1/sinθ-三角函数的和差公式：- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)4.平方根公式：- 二次方程公式：对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)5.数列和数列分布公式：-等差数列公式：对于等差数列 an = a1 + (n-1)d，其中an为数列第n项，a1为首项，d为公差，前n项和Sn = (n/2)(a1 + an) -等比数列公式：对于等比数列an = a1 × r^(n-1)，其中an为数列第n项，a1为首项，r为公比，前n项和Sn = a1 × (1 - r^n)/(1 - r)6.组合与排列公式：-排列公式：对于n个元素选取r个排列的方式数为A(n,r)=n×(n-1)×...×(n-r+1)=n!/(n-r)!-组合公式：对于n个元素选取r个组合的方式数为C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)7.概率公式：-事件发生的概率：对于随机试验中的事件A，其概率为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A可能的结果数，n(S)为样本空间可能的结果数。
初二奥数辅导-因式分解
初二奥数辅导因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了O次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理∮们蠖嘞钍降母 慈范ǘ嘞钍降囊淮我蚴剑 佣 远嘞钍浇 幸蚴椒纸猓?/DIV> 例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2为=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
奥数-因式分解-3师
因式分解3：对称式、轮换式、及应用一、对称式和轮换对称式对称式和轮换对称式是特殊的代数式，根据其结构对称的特点，可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质，利用这些性质，可以简便地解决有关对称的问题.(1) （完全）对称式如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么就说原来的代数式关于这些字母呈对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.例如，a b c ++，222x xy y ++，1ab，3333a b c abc ++-等都是对称式，但a b c --、1x y -、23a b c ++就不是对称式.(2) 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母……把最后一个字母换成第一个字母，我们把这种变换字母的方法叫作轮换.如果通过轮换后所得到的代数式和原来的代数式恒等，那么就把原来的代数式叫作关于这些字母的轮换对称式.例如，222x y y z z x ++中将x 以y 代换，y 以z 代换，z 以x 代换，则得222y z z x x y ++，它与原式完全相同，所以222y z z x x y ++是关于x 、y 、z 的轮换对称式.（3）交代对称式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
(4) 齐次轮换对称式如果轮换对称式中的各项的次数相等，那么就把这样的代数式叫作齐次轮换对称式.(5) 基本性质① 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.② 对称式的和、差、积、商也是对称式.③ 轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.④ 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.⑤ 一个m 次对称式乘一个n 次对称式，其积必为一个m n +次对称式．(6) 齐次轮换、对称式的因式分解：因式定理、待定系数法结合因式定理、待定系数法来分解因式，例如齐次轮换式()()()222a b c b c a c a b -+-+-，当a b =时，原式的值为0．根据因式定理可知：原式必有因式()a b -，同样的必有因式()b c -和()c a -，所以()()()()()()222a b c b c a c a b k a b b c c a -+-+-=---，可求得1k =-．例1 333()()()x y z y z x z x y -+-+-答案：33333333322()()()()()()()[()()]()()()()x y z y z x z x y x y z x z y zy z y y z x z zy y x zy y z y z z x x y x y z -+-+-=-+-+-=--++++=------例2 ()()ab bc ca a b c abc ++++-答案：上式中令0a b +=，则()()[()][())]0ab bc ca a b c abc ab b a c a b c abc abc abc ++++-=++++-=-=即a b +为上式中的一个因式，由轮换性知，,b c c a ++都是上式的一个因式 设()()()()()ab bc ca a b c abc k a b b c c a ++++-=+++ 待定系数法得1k =()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++例3 3333()x y z x y z ++---答案：上式中令0x y +=，则33333333()()0x y z x y z z x x z ++---=----=即x y +为上式中的一个因式，由轮换性知，,y z z x ++都是上式的一个因式设3333()()()()x y z x y z k x y y z z x ++---=+++待定系数法得3k =3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++例4 555()a b a b +--答案：法一： 55555554322344432234322322()()()()()()()[()()]()(555)5()()a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a b a b ab ab a b a ab b +--=+-+=+-+-+-+=++--+-+=+++=+++法二：555()a b a b +--分别令0,0,a b a b ===-，上式都为0，则()ab a b +为上式的因子设55522()()[()]a b a b kab a b m a b nab +--=+++ 分别令122,,,113a a a b b b =⎧==⎧⎧⎨⎨⎨==-=-⎩⎩⎩解答51k m n =⎧⎨==⎩即55522()5()()a b a b ab a b a b ab +--=+++例5 333()()()b c c a a b -+-+-=3（a-b ）（b-c ）（c-a ）例6 3333x y z xyz ++-=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx);因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据立方系数为1，用待定系数法可设(x+y+z)[x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)]例7 ()()()y z z x x y xyz ++++=(x+y+z)(xy+yz+zx) 因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据无立方项，且其它各项系数为1，故显然为(x+y+z)(xy+yz+zx)例8 ()()a b c ab bc ca abc ++++-=（a+b ）（b+c ）（c+a ） 这是例7的变形，或者利用a=-b 是根例9．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(222222x z zx z y yz y x xy -+-+-解析：原式是四次轮换式，由因式定理，可知x z z y y x ---,,都是它的因式.由轮换性，它的另一个一次因式只能是z y x ++，不可能是别的形式，否则与次数为四次不符.设原式))()()((x z z y y x z y x k ---++=.令,2,1,0===z y x 解得1-=k .也可以比较等式两边同类项的系数，得出1-=k .故原式))()()((x z z y y x z y x ---++-=例10．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a解析：考虑原式左边.令c b a +=，得到原式左边的代数式值为0，故c b a --是它的一个因式.由轮换对称性，b a c a c b ----,都是它的因式.因为原式左边是关于c b a ,,的三次式，故可设左边))()((b a c a c b c b a k ------=.比较两边的系数，或者设特殊值，可得1=k .所以左边))()((b a c a c b c b a ------=.由三角形两边之和大于第三边，原不等式可证.二、 因式分解的应用例1. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例2：若n 为整数，求证：()()()222222111++=++++n n n n n n 分析：本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解。
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奥数因式分解练习题及答案一、填空题：2.-；12.若m2 — 3m+2=，贝lj a-, b-；15.当时，x2 + 2x + 25是完全平方式.二、选择题：1.下列各式的因式分解结果中，正确的是A. a2b + 7ab —b —bB. 3x2y —3xy —6y-3yC. 8xyz —6x2y2 —2xyzD. —2a2 + 4ab —6ac——2aA. B. C. m D. m3.在下列等式中，属于因式分解的是A. a+b = ax + bm—ay+bnB. a2 — 2ab+b2+l=2 + 1C. —4a2 + 9b2=D. x2 — 7x — 8-x — 84.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A. a2 + bB・—a2+b C. —a2—b2D. b25.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是A. -IB. +C. 12D. +126.把多项式an+4 — an+l分解得A. anB. anTC. an+1D. an+17.若a2 + a= — 1,则a4 + 2a3 — 3a2 — 4a+3 的值为A. 8B. 7C. 10D. 128.已知x2 + y2 + 2x — 6y +10-0,那么x, y的值分别为A. x-1, y-3B. x-1, y- —C. x- — 1, y-3D. x-1, y- -39.把4-82 + 16分解因式得A. 4B. 22C. 2D. 22210.把x2 —7x —60分解因式，得A. B. C. D.11.把3x2 —2xy —8y2分解因式，得A. B. C. D.12.把a2 + 8ab-33b2分解因式，得A. B. C. D.13.把x4 —3x2 + 2分解因式，得C. D.14.多项式x2 —ax—bx + ab可分解因式为A. —B.C.D.15.一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1, 常数项是一12,且能分解因式，这样的二次三项式是A. x2— 1 lx —12 或x2 + llx— IB. x2—x—12 或x2 +C. x2 — 4x —12 或x2 + 4x — 12D.以上都可以16.下歹U各式x3—x2 — x+1, x2 + y—xy —x,x2~2x 一y2 + l, 2-2中，不含有因式的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17.把9—x2+12xy —36y2分解因式为A. B.—C. —D.—18.下列因式分解错误的是A. a2—bc + ac — ab-B. ab — 5a+3b—15-C. x2 + 3xy —2x —6y-D. x2 —6xy — l + 9y2-19.已知a2x2±2x + b2是完全平方式，且a, b都不为零，则a与b的关系为A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数C.相等的数D.任意有理数20.对x4+4进行因式分解，所得的正确结论是A.不能分解因式B.有因式x2 + 2x+C.D.21.把a4 + 2a2b2 + b4-a2b2 分解因式为A. 2B.C. D. 222.一是下列哪个多项式的分解结果C. x + 2y + 3x2 + 6xyD. x + 2y — 3x2 — 6xy3. 64a8 — b2因式分解为A. B.C. D. 4. 92 + 12 + 42因式分解为A. B. C. D. 225.2-2 +1因式分解为A. B. 2C. D. 226.把2-4+42分解因式为A. B. C. D. 227.把a22-2ab + b22分解因式为A. cB. c2C. c2D. c228.若4xy —4x2 —y2 —k有一个因式为，则k的值为A. 0B. 1C. -1D. 429.分解因式3a2x—4b2y —3b2x + 4a2y,正确的是A. —B.C. D.30.分解因式2a2 + 4ab + 2b2-8c2,正确的是A. 2B. 2C. D. 2三、因式分解：1. m2 —p + q；2. a—abc；3.x4 —2y4 —2x3y+xy3；. abc —a3bc + 2ab2c2；5. a2 + b2 + c2； . 2 + 2x+l；7. 2 + 12z + 36z2；. x2— 4ax + 8ab — 4b2；9. 2 + 2 + 2； 10. —22；11. 2-92；12. 4a2b2-2；13.ab2 —ac2 + 4ac —4a；14. x3n + y3n；15.3+125； 16. 3 + 3；17.x6 + y6； 18. 83+1；《因式分解》一、填空题1.若m2+2m+n2-6n+6-0,则m-. n-.2.分解因式y4+2y2+81二.3.多项式x4~2x2+ax+b有因式x2-x+1,试将这多项式分解因式，则x4~2x2+ax+b-，其中a-, b-.4.若T2=0,则x2+y2=5.分解因式a2+b2+c2二.116.如果m-a, n=a,那么m-n=. 3n+lnn-17,分解因式7xT4x+7x二.8.已知a-b = l, ab = 2,则a2b-2a2b2+ab2 的值是222222229.观察下列算式，T = 8-3= 1-5 = 9-7 =根据探寻到的规律，请用n的等式表示第n个等式10.若x-1是x2-5x+c的一个因式，则c二.二、选择题11.下列从左边到右边的变形①15x2y = 3x・5xy②-a2_b ③a2_2a+l-2④lx2+3x+l=x其中因式分解的个数为xA. 0个B. 2个C. 3个D. 1个22222212.在多项式①x+2y,②x-y,③-x+y,④-x2-y2 中能用两数和乘以它们的差的公式进行因式分解的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.下列各式中不能分解因式的是11A. 4x2+2xy+y2B. 4x2-2xy+y2411C. 4x2-yD. -4x2-y2414.下列能用两数和的平方公式进行因式分解的是A. m2-9nB. p2-2pq+4qC. -x2-4xy+4yD. 92-6+115.若25x2+kxy+4y2可以解为2,则k的值为A. -10B. IOC. -20D. 2016.下列多项式中不能用提公因式进行因式分解的是1A. -x2-xy+y B. x-xy C. -m3+mnD. -3x2+9217. 81-xk=,那么k的值是A. k-2B. k-3C. k-D. k-618.9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是A. IB. 2C. +12.D. +24三、解答题19.把下列各式分解因式8a2~2b 4xy2-4x2y-y34x2y2-9x2+162-24x3_22+a_b20.若x+2x+16是一个整式的完全平方，求m的值.22.求证32002-4X32001+10X32000 能被7 整除.23..已知a2+b2+a2b2+l=4ab,求a, b 的值四、综合探索题24.己知a、b、c为三角形三边，且满足a2?b2?c2?ab?bc?ac?0.试说明该三角形是等边三角形.参考答案：—" 1 —3 ■■—、-1- • VJ , ・・,, ・5. . a7. xnT = 7xnT2) . — ab2 —2X 1—2) 9.2-2= 8nl0.新课标第一网二、11. D . 12. B13. D 14. D22215. C =25x-20xy+4y 故k = -20)16. A . 17. C18. D222222 三、19. 2 -y xy-= 2—2 == 一= —229x2+162-24x-[4] 2-2X4 ・ 3x+2=[4-3x]2 = 23_22+a_b—3_22+a_b— [2-2+1]=[2-2+12] =220.18021.解：•..x2+2x+16=x2+2x+42x — + 2X4x .*.m—7 m—-122.证明：32002-4X32001+10X32000=32 X 32000-4 X3X 32000+10 X 3200-32000 = 7X32000A 32002-4X 32001+10X 32000 能被7 整除.23.a-1, b-1 或a--l, b--l.四、24.解：a2?b2?c2?ab?bc?ac?0,2?0,a2?b2?2ab?b2?c2?2bc?a2?c2?2ac?0,2?2?2?0,a —b —0, b —c —0, a —c —0,.. a b c.「・此三角形为等边三角形.新课标第一网因式分解3a3b2c —6a2b2c2 + 9ab2c3 = 3ab3.因式分解xy+6 —2x —3y =4.因式分解x2 + y2=i5.因式分解2x2—x— ab =6.因式分解a4 —9a2b2 = ai7.若已知x3 + 3x2 — 4含有x—l的因式，试分解x3 + 3x2—4=]8.因式分解ab + xy =9.因式分解+=2y10.因式分解a2 — a—b2 — b =11.因式分解 2 — 4+42— [3a~b~2] q -q12.因式分解2 — 6 —13.因式分解2 — 2 — -abc + ab—4a —a16x2 — 81 =9x2 — 30x + 25=ix2 —7x —30 =35.因式分解x2 —25 =36.因式分解x2 —20x+100=]37.因式分解x2+4x + 3 =38.因式分解4x2 —12x + 5 =39.因式分解下列各式：3ax2 — 6ax = 3axx—x —xx2 — 4x — ax + 4a =25x2-49 =36x2— 60x +25=i4x2+ 12x + 9=ix2 — 9x+18 =2x2 — 5x — 3 —12x2-50x+8 = 240.因式分解+ =41.因式分解2ax2 — 3x + 2ax — 3 —42.因式分解9x2 —66x+121=]43.因式分解8 —2x2 = 244.因式分解x2 —x+l =整数内无法分解45.因式分解9x2 —30x+25=i46.因式分解一20x2 + 9x + 20 =47.因式分解12x2 —29x+15 =48.因式分解36x2 + 39x + 9 = 349.因式分解21x2 —31x —22 =50.因式分解9x4 — 35x2—4 =51.因式分解+=252.因式分解2ax2 —3x + 2ax —3 =53.因式分解x —x —y—1 =54.因式分解+ 2 =55.因式分解9x2 —66x+121=[56.因式分解8 —2x2 = 257.因式分解x4 —1 =58.因式分解x2+4x —xy —2y+4 =59.因式分解4x2 —12x + 5 =60.因式分解21x2 —31x —22 =61.因式分解4x2 + 4xy+y2 — 4x — 2y — 3 =62.因式分解9x5 —35x3—4x = x63.因式分解下列各式：3x2 —6x —3x49x2-25 =6x2 —13x + 5 =)6.己知x, y为任意有理数，记M=x2+y2, N =xy, 则M 与N的大小关系为A.M>NB. MNNC. MWND.不能确定7.对于任何整数m,多项式2?9都能A.被8整除B.被m整除C.被整除D.被整除8.将？3x2n?6xn分解因式，结果是A. ?3xnB. ?3C. ?3xnD. 39.下列变形中，是正确的因式分解的是A. 0.09m2? n-B.x2?10 二x2?9?l 二?1C.x4?x-D.2?-ax10.多项式？的公因式是A.一定为负数B.不可能为正数C.一定为正数D.可能为正数或负数或零二、解答题：分解因式：)2?22?4ax27xn+l?14xn+7xn?l答案：一、选择题：1.B说明：右边进行整式乘法后得16x4?81 -4?81, 所以n应为4,答案为B.2.B说明：因为9x2?12xy+m是两数和的平方式，所以可设9x2?12xy+m - 2 ,则有9x2?12xy+m - a2x2+2abxy+b2y2,即a-, 2ab = ?12, b2y- m；得到 ab - ?2；或 a - ?3, b -；此时b二，因此，m - b2y-y2,答案为B.3.D说明：先运用完全平方公式，a4?a2b2+b- 2, 再运用两数和的平方公式，两数分别是a2、?b2,则有二22, 在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D.4. C 说明：2?4+4= 2?2 ⑵ +[2]二：a+b?2]= 2；所以答案为C.5. B 说明：2001+2000 = 2000[+1] = 2000 ?= 2001 二?2001,所以答案为B.6. B 说明：因为M?N = x2+y2?2xy = 2N0,所以MNN.7. A 说明：2?二二二.8. A9. D 说明：选项A, 0.0= 0. 32,贝U 0. 09m2? n二, 所以A错；选项B的右边不是乘积的形式；选项C右边可继续分解为x2；所以答案为D.10.A说明：本题的关键是符号的变化：z?x?y二？, 而x?y+zNy+z?x,同时x?y+zN?,所以公因式为x+y?z.11. B 说明：x?l?x二？二？2W0,即多项式x?l?x2 的值为非正数，正确答案应该是B.二、解答题：答案：a说明：2?= - - a.答案：4说明：2?4ax2=[]2?4ax2=22?4ax2二2[2?4ax]二 2二2二 4.答案：7xn?12说明：原式-xn?l ?x2?7xn?l ?2x+7xn?l -xn?l -xn?12.。
分解因式奥数练习题
分解因式奥数练习题分解因式是高中数学中的一个重要概念，也是奥数竞赛中经常出现的题型。
通过分解因式，可以将一个多项式拆分为简化的形式，从而便于进一步进行运算和研究。
下面，我将为大家提供一些分解因式的奥数练习题，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
题目一：将多项式$x^3+8y^3$分解因式。
解析：这是一个立方和的形式，我们可以使用立方和公式来进行分解。
根据立方和公式，$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，将$x^3$看作$a$，$8y^3$看作$b$，则有：$x^3+8y^3=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$。
题目二：将多项式$x^4-16y^4$分解因式。
解析：这是一个差方的形式，我们可以使用差方公式来进行分解。
差方公式是$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$x^4$看作$a^2$，$16y^4$看作$b^2$，则有：$x^4-16y^4=(x^2+4y^2)(x^2-4y^2)$，再进一步分解$x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$，则最终结果为$(x^2+4y^2)(x-2y)(x+2y)$。
题目三：将多项式$x^6-64y^6$分解因式。
解析：这是一个差方的形式，我们可以使用差方公式来进行分解。
差方公式是$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$x^6$看作$a^2$，$64y^6$看作$b^2$，则有：$x^6-64y^6=(x^3+8y^3)(x^3-8y^3)=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$。
题目四：将多项式$x^2+x+1$分解因式。
解析：这是一个二次多项式，无法直接使用立方和或差方公式进行分解。
我们需要使用一些其他的方法。
注意到$x^2+x+1$可以看成是$x^2+2x+1$和$-x$的和，进一步将其分解为$(x+1)^2-x$。
最终结果为$(x+1)^2-x$。
通过以上几个例子，我们可以看到分解因式的过程并不是一种机械的操作，而是需要灵活运用不同的方法和规则。
奥数-因式分解-1学
第3讲 因式分解1第一部分：基础知识把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
分解因式最基本方法有：（1）提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。
（2）运用公式法：平方差：22()()a b a b a b -=+- 完全平方：2222()a ab b a b ±+=± 立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---（3）分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法。
（4）十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a = 12c c c = 1221a c a c b +=分解因式的步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其他方法。
分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，结果一定是乘积的形式，每一个因式都是整式，相同的因式的积要写成幂的形式。
第二部分：基本题，将下列各式分解因式 例题1 （提取公因式）1. =++mc mb ma __________2. 2a （b +c ）－3（b +c ）=_______．3. 224a a -= ． 4. 3222x x y xy -+=5.328x x -=__________．6. 34a a -= ．7. 3654a a -=________． 8. 328a a -=____________．9. _____________223=---x x x . 10. =-ay ax . 11. =-822x . 12. 32x xy -＝___________．13.=+-+)(3)(2y x y x ． 14. 2ax a -= . 15. 22x x -= . 16. 2221a b b ---= ．例2（公式法）1）22(2)()(32)()a ab c d ab a d c --+-- 2）2114682452252020n m n m a xa x y a x y ++++-+3）332222()9()x y x y x y +-+4）333(23)(32)125()x y x y x y -+---5）222222444222a b a c b c a b c ++---例3 分组分解法：1）15129631x x x x x +++++ 2）43271471x x x x ++++例4 配方法：1)22221[2()]()()()x px x px ++=+++=+2) 分解因式：22423a b a b -+++的结果是 3）若222()25x xy y a x y ++-++是完全平方式，则a = 4）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=5）已知n 为正整数，且71998444n++是一个完全平方数，则n 的值为 。
奥林匹克数学竞赛因式分解
奥林匹克数学竞赛因式分解十二种方法1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)解：a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
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奥数因式分解 Prepared on 24 November 2020公式1练习：1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法三、例题讲解1、提取公因式法例1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解：原式=(a-b)2n[x-y(a-b)]=(a-b)2n(x-ay+by)例2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开）=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项）=(a2+b2+c2)(x2+y2) （提取公因式）2、运用公式例1 x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。
用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6) （提取公因式）=xy[(x3)2-(y3)2] （公式2：平方差公式）=xy(x3-y3)(x3+y3) （公式6：立方和/差公式）=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和原式=(a+2b+c)3-[(a+b)3+(b+c)3] （添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2] （应用立方和公式展开）=(a+2b+c){[(a+2b+c)2-(a+b)2]+(a+b)(b+c)- (b+c)2} （提取公因式a+2b+c形成平方差公式）=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2] （提取公因式b+c）=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)] （合并化简）= 3(a+b) (b+c) (a+2b+c)例3 若x=√2+√2，y=√2−√2，则x6+y6的值是：解：x6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2] （应用立方和公式）=(x2+y2)[(x2+y2)2-3x2y2] （应用完全平方公式）∵x2+y2=(√2+√2)2+(√2−√2)2=4, 3x2y2=3×(√2+√2)2×(√2−√2)2=6∴x6+y6=4×(42－6)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。
关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。
1)按系数分组例 2ax-10ay+5by-bx= (2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b) (x-5y)2)按字母分组例 x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)=ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括号）=[ ax3 -axy(x-y)]+[bxy(x-y)+by3]+[x3+y3] （适当分组）=(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) （去括号化简）=ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2) （提取公因式及应用立方和公式）=( x2-xy+y2)(ax+by+x+y)3)按次数分组例 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+[(x+y)-2)][(x+y)-2xy] （分组）=(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy （多项式相乘）=(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy （提取公因式整理）=[(xy-1)2+4xy] +[(x+y)2-2(x+y)(xy+1)] （再次分组）=[(xy)2-2(xy)+1+4(xy)]+ [(x+y)2-2(x+y)(xy+1)] （完全平方公式展开）=(xy+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2（合并后得到新的完全平方）=[(xy+1)-(x+y)]2（再次应用完全平方公式）=(xy-x-y+1)25、添拆项法例1 x5+x+1提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x2+x2后分组应用公式原式=(x5-x2)+(x2+x+1) （添加-x2+x2后分组）=x2(x3-1)+(x2+x+1) （提取公因式）=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) （应用立方差公式）=(x2+x+1)[x2(x-1)+1] （提取公因式）=(x2+x+1)(x3-x2+1)例2 2x4-15x3+38x2-39x+14提示：把-15x3拆成-13x3和-2x3，把38x2拆成13x2和25x2，把-39x拆成-25x和-14x，分组提取公因式原式=2x4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14 （拆项分组）=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-14(x-1) （各自提取公因式）=(x-1)( 2x3-13x2+25x-14) （提取公因式x-1）=(x-1)( 2x3-7x2-6x2+21x+4x-14) （再次拆项）=(x-1)[x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)] （分组各自提取公因式）=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2) （提取公因式2x-7）=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2) （对进行x2-3x+2十字相乘分解）=(x-1)2(x-2)(2x-7)真题精解：1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么（第12届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积（天津市竞赛试题）解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为(x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-33）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。
（美国犹他州中学竞赛试题）解法1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得：x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，对比原式系数得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，所以a+b=4k+5=16+5=21解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得a=7, b=14，故a+b=14真题实练：1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. (x+1)(x-1)=x2B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1)D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)（第8届“希望杯”试题）（提示：本题简单，因式分解的概念）2．下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（）①a2b2-a2-b2-1 ②x3-9ax2+27a2x-27a3③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b④3m(m-n)+6n(n-m) ⑤(x-2)2+4xA.①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ①②④（第10届“希望杯”试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）3．设b≠c，且满足(√3+1)(a-b)+√2(b-c)=a-c，则a−b的值（）b−cA.大于零B. 等于零C. 小于零D. 正负号不确定（第12届“希望杯”试题）（提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并）4．已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a的个数是（）个 B. 4个 C. 6个 D. 8个（第7届“希望杯”试题）（提示：对-12以十字相乘法拆分穷举）5．y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一个因式，则k的值是（）A. 0B. -1C. 2D. 4（第14届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）6．将多项式x2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是（）A. (x+2y-3z)(x-2y-3z)B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)C. (x+2y+3z)(x+2y-3z)D. (x+2y+3z)(x-2y-3z)（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）7．分解因式：x2-4y2-9z2-12yz= 。
（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）8．分解因式：x5+x-1= 。
（第9届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）9．x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，则k= 。
（第10届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）10．分解因式：xy-1-x+y= 。
（第10届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）。