解三角形高考大题-带答案(汇编)

解三角形高考大题，带答案

1. （宁夏17）（本小题满分12分）

如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，

90ACB =o

∠，BD 交AC 于E ，2AB =．

（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．

解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=o

o

o

∠，

CB AC CD ==，

所以15CBE =o

∠．

所以62

cos cos(4530)4

CBE +=-=o

o

∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理

2

sin(4515)sin(9015)

AE =-+o o o o ．

故2sin 30

cos15AE =

o

o

122

624

⨯

=

+62=-． 12分

2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10

cos cos AQ OA BAO θ

=

=∠，

故10

cos OB θ

=

又1010OP tan θ=-，所以1010

1010cos cos y OA OB OP tan θθθ

=++=

++- B

A

C

D

E

B C D A

O

P

所求函数关系式为2010sin 10

(0)cos 4

y θ

π

θθ

-=

+≤≤

②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+

所求函数关系式为2220200

(010)y x x x x =+-+≤≤

（2）选择函数模型①，22

10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)

'cos cos y θθθθθθθ

-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046

ππ

θθ≤≤∴=Q

当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64

ππ

θ∈时'0y >，y 是θ的增函数；

所以当6πθ=时，min 1

2010210103103

2

y -⨯

=+=+ 此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边103

3

km 处。 3. （辽宁17）（本小题满分12分）

在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，2

2

4a b ab +-=， 又因为ABC △的面积等于3，所以

1

sin 32

ab C =，得4ab =． ·

······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩

，

，解得2a =，2b =． ·············································· 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································· 8分

联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，

解得233a =，43

3b =．

所以ABC △的面积123

sin 23

S ab C =

=． ····················································· 12分 4．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）

设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：

3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b

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