人教版高中数学选修2-1课件-求曲线的方程
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
数学2-1-2曲线方程的求法课件(人教A版选修2-1)
(0,2y) ， 连 结
PM. 因 为
l1⊥l2
，
所
以
|PM|
＝
1 2
|AB|.
而
பைடு நூலகம்|PM|
＝
(x－2)2＋(y－4)2，
|AB|＝ (2x)2＋(2y)2，
所以 2 (x－2)2＋(y－4)2＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
• [点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基 本方法，大多数题目可以依据文字叙述的 条件要求，直接“翻译”列出等式整理可 得．
• [例1] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 lA2B，[解的若析中]l1交点解xM法轴一的于：轨如A迹图点所方，示程l，2交．设y点轴A于(a,0B)，点B，(0，求b)线，M段(x，
y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
• (6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由 方程直接消去参数，例如求动直线的交点 时常用此法，也可以引入参数来建立这些 动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方 程．
• 1．解析几何研究的主要问题
• (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程 ；
• (2)通过曲线的方程，研曲究线的性质
．
• 2．求曲线的方程的步骤
故所求轨迹方程为 x2＋y2＝94.
• [例3] 求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y ＝[0解的析对] 称设所曲求线对的称曲方线程上．任一点的坐标为(x，y)，它关
于 x＋y＝0 的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
高中数学(人教A)选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程
• 2．了解求曲线方程的几种常用方法，能够利 用它们去求曲线的方程．
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
人教版高二数学选修2-1_求曲线的方程(一)_ppt
y
B
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
11
小结 （1）如何求曲线的方程？ 如何求曲线的方程？ （2）请对求解曲线方程的五个 步骤进行评价．各步骤的作用， 步骤进行评价．各步骤的作用， 哪步重要，哪步应注意什么？ 哪步重要，哪步应注意什么？
12
13
则 |MA|=|MB| |
2 2
需要尝试、 需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2
坐标化 坐标化 ∴ ( x + 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 7) 2 2 2 2 ∴ x + 2x +1+ y + 2y +1 = x − 6x + 9 + y −14y + 49 化简
课本例
7
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l , 2.一条曲线也在 的上方,它上面的每 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程 当的坐标系 求这条曲线的方程. 求这条曲线的方程
(1)
由上可知，动点 的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 ）；容易证明 （1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨 ）；容易证明，以方程（ ） 迹上。所以，方程（ ）就是动点M的轨迹方程 的轨迹方程。 迹上。所以，方程（1）就是动点 的轨迹方程。 9
──需要掌握一般性的方法 ──需要掌握一般性的方法
4
1.设 、 问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 - - 、 求线段 AB 的垂直平分线的方程 我们的目标就是要找 与y的关系式 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与 的关系式
【人教A版】高中选修2-1数学：2.1.2-求曲线的方程-教学课件
第二章 §2.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学思考1 知识点一 坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.答案梳理(1)坐标法：借助于，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .曲线的性质坐标系表示曲线的方程知识点二 求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解题型探究类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解答设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解答据题设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.解答类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.解答反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解答类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1，2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解答结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.反思与感悟跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答当堂训练1.曲线y＝与xy＝2的交点是A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在联立方程组无解.答案解析√234512.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析√答案解析x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______.答案解析5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.因为点M(x0，y)在直线2x－y＋3＝0上，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.解析规律与方法求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.。
高中数学(人教版)选修2-1课件：2.1.2 求曲线的方程
5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。
求曲线的方程的一般步骤
步骤
(1)建系设点 (2)找等量 (3)列方程 (4)化简 (5)检验
方法
建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲 线上任意一点M的坐标 写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)} 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0 化方程f(x，y)＝0为最简形式(运算要合理，准确) 检验所求的方程中有无特殊点情况
求曲线方程的一般步骤：
（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有序实数对
（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）
2.寻找条件－－ 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；
若曲线C与二元方程f（x，y）=0满足
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是
曲线上的点
则称：方程是曲线C的方程； 曲线C是方程的曲线.
例1、设A、B两点的坐标是（－1，－1）和 （2，3），求线段AB的垂直平分线的方程？
y
B
oБайду номын сангаас
A
x
思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点 运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一 点应该满足怎样的几何条件？ ②几何条件能否转化为代数方程？用什么方 法进行转化？ ③用新方法求得的直线方程，是否已符合要 求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关 系,必须满足什么条件?)
发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两 端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。
人教版选修2-1第二章2.1.2求曲线方程(共21张PPT)
(8 2 y1 ) 2 ( y1 1)2
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
15:22
【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
15:22
再 见！
15:22
11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
15:22
【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
15:22
【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
15:22
再 见！
15:22
11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
15:22
【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3双曲线的方程的求法课件
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
双 焦 点 （±c，0）
（±c，0）
曲
（0，±c）
线 的 比
a.b.c 的关系 a>b>0，b2=a2-c2
较
（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，b2=c2-a2
题型探究
题型一 求双曲线的标准方程 例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点 P(3，145)，Q(－136，5)；
解析答案
(2)焦点在 x 轴上，经过点 P(4，－2)和点 Q(2 6，2 2).
解 因为焦点在x轴上，
可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2 6，2 2)代入方程得12aa6422－ －bb4822＝ ＝11， ，
① ②
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为x82－y42＝1.
y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
y
F1
o
F2 x
x2 y2 1 a2 b2
b2 c2 a2
焦点在 y 轴上
y F2
o
x
F1
y2 x2 1 a2 b2
焦点看正负
练习2
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程课件(11张)
垂足为 B , 点M属于集合
P M MF MB 2
由两点间距离公式，点 M 适 合的条件可表示为： 2 2 x ( y 2 ) y 2 1 2 化简得 y x 8 因为y>0,所以曲线的方程是
y
F.(0, 2)
O
.M
l
B
(x, y)
x
1 2 y x（x 0) 8
曲线的方程 那么，这个方程叫做_______________ ；这条曲线叫做
方程的曲线． __________________
2、坐标法与解析几何 在平面中建立坐标系，用坐标表示点，把曲 线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线 上点的坐标（x，y） 所满足的方程 f (x，y)=0表 示曲线, 通过研究方程的性质间接地来研究曲线 的性质，这就是坐标法.
M A x 1 y 1 8 2 y y 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 5 y 6 y 1 3 ; 1 1
M A x 1 y 1 8 2 y y 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
M
பைடு நூலகம்
课堂小结 1、本节我们学习了求曲线方程的一般步骤： 建系设点、列方程、化简. 2、关注两点： （1）障碍点：根据几何条件寻求等量关系 （2）易错点：化简的过程是否是同解变形 3、数学思想： 数形结合、转化思想
谢谢观看！
谢谢指导
2 x y 2( x 1)
2 2
练习3、过点P (2,4) 作两条互相垂直的直线分别 交x轴、y轴于A、B两点，求线段AB的中点M的 轨迹方程．
解：设 M 的坐标为 (x， y)，则 A、 B 两点坐标分别是(2x, 0)、 (0,2y)，连接 PM，如图． ∵ l1⊥ l2，∴ 2|PM|＝ |AB|. 而 |PM|＝ x－ 2 ＋ y－ 4 ， |AB|＝ 2x ＋ 2y ， ∴ 2 x－ 2 ＋ y－ 4 ＝ 4x ＋ 4y . 化简，得 x＋ 2y－ 5＝ 0，即为所求轨迹方程．
P M MF MB 2
由两点间距离公式，点 M 适 合的条件可表示为： 2 2 x ( y 2 ) y 2 1 2 化简得 y x 8 因为y>0,所以曲线的方程是
y
F.(0, 2)
O
.M
l
B
(x, y)
x
1 2 y x（x 0) 8
曲线的方程 那么，这个方程叫做_______________ ；这条曲线叫做
方程的曲线． __________________
2、坐标法与解析几何 在平面中建立坐标系，用坐标表示点，把曲 线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线 上点的坐标（x，y） 所满足的方程 f (x，y)=0表 示曲线, 通过研究方程的性质间接地来研究曲线 的性质，这就是坐标法.
M A x 1 y 1 8 2 y y 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 5 y 6 y 1 3 ; 1 1
M A x 1 y 1 8 2 y y 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
M
பைடு நூலகம்
课堂小结 1、本节我们学习了求曲线方程的一般步骤： 建系设点、列方程、化简. 2、关注两点： （1）障碍点：根据几何条件寻求等量关系 （2）易错点：化简的过程是否是同解变形 3、数学思想： 数形结合、转化思想
谢谢观看！
谢谢指导
2 x y 2( x 1)
2 2
练习3、过点P (2,4) 作两条互相垂直的直线分别 交x轴、y轴于A、B两点，求线段AB的中点M的 轨迹方程．
解：设 M 的坐标为 (x， y)，则 A、 B 两点坐标分别是(2x, 0)、 (0,2y)，连接 PM，如图． ∵ l1⊥ l2，∴ 2|PM|＝ |AB|. 而 |PM|＝ x－ 2 ＋ y－ 4 ， |AB|＝ 2x ＋ 2y ， ∴ 2 x－ 2 ＋ y－ 4 ＝ 4x ＋ 4y . 化简，得 x＋ 2y－ 5＝ 0，即为所求轨迹方程．
人教B版高中数学选修2-1课件2.1曲线与方程
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程 ①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
建系设点
列式:动点的几何条件
代换:转换为代数方程 化简 利用坐标系 化形为数
这种方法叫直接法
审查
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l 的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当 的坐标系，求这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系 设点M(x,y)xOy, 是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足 1）建系设点 是B，
解：设 C（x，y） ．由已知，得 直线 AC 的斜率 y 参数法 : 选取适当的参数 kAC＝ （x≠－5） ； ,分别用参数表示动 x 得出轨迹的参数方程，消去参数， 5 点坐标x,y, 直线 BC 的斜率 x y 即得其普通方程。 写成 － ＝1（x≠±5） ． y 25 25m kBC＝ （x≠5） ； x5 由题意，得 kACkBC＝m，
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也 P M | MA || MB | 就是点M属于集合 由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
.
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2
高中数学选修2-1人教A版：.1抛物线及其标准方程ppt课件
2 ． ———————————— y M
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛 物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的 方 程 为 ： yx1 yy2x4x1x26x10
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛 物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的 方 程 为 ： yx1 yy2x4x1x26x10
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
课本例
5
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
综上所述M,线1A段ABM的1方B1垂法直小平结分线的方程是 x 2y 7 40 .
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
0
曲线 坐标化 曲线的方程
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质. 2
问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
1
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
课本例
5
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
综上所述M,线1A段ABM的1方B1垂法直小平结分线的方程是 x 2y 7 40 .
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
0
曲线 坐标化 曲线的方程
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质. 2
问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
1
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过高Biblioteka 的奢望，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
(x c)2y2(x c)2y2 2 a
2
2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
人教课标版高中数学选修2-1《求曲线方程》教学课件
2、已知点 M 与 x 轴的距离和它与点 F ( 0 , 4 ) 的距离相等，求点 M 的轨迹方程.
x 2 －8y + 16 = 0
小结
同学们，这节课我们 有什么收获呢？
（1）如何求曲线的方程？
（2）请对求解曲线方程的五个步骤进行评 价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什 么？
例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1）,（3， 7），求线段AB的垂直平分线的方程.
解: 设点M (x, y)是线段AB的垂直平分线上一点 ,
如图,则点M的集合为P M | MA|| MB|
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
y
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2
通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确 建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时， 根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲 线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式， 如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的 斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适 当复习.
练习
1、求到坐标原点的距离等于 2 的轨迹方程. x2+ y2= 4
1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐
标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
2．平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
B(3,
x 2y 7 0 __(1) M
7)
证明:（1）由求方程的过程可知，
垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解.
x 2 －8y + 16 = 0
小结
同学们，这节课我们 有什么收获呢？
（1）如何求曲线的方程？
（2）请对求解曲线方程的五个步骤进行评 价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什 么？
例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1）,（3， 7），求线段AB的垂直平分线的方程.
解: 设点M (x, y)是线段AB的垂直平分线上一点 ,
如图,则点M的集合为P M | MA|| MB|
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
y
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2
通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确 建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时， 根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲 线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式， 如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的 斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适 当复习.
练习
1、求到坐标原点的距离等于 2 的轨迹方程. x2+ y2= 4
1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐
标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
2．平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
B(3,
x 2y 7 0 __(1) M
7)
证明:（1）由求方程的过程可知，
垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解.
2018年优课系列高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.2 求曲线的方程 课件(11张)
高中数学选修 2-1
2.1.2 求曲线的方程
复习回顾、启动思维
1．曲线的方程、方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适
合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x，y)＝0的
实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是__这__个__方__程__的_解____； (2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲__线__上__的__点_．____ 那么，这个方程叫做___曲__线__的_方__程_____；这条曲线叫做 ___方__程__的_曲__线__．______
(x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
o
x
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
⑴由求方程的过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x 2y 7 0 的解 即 x1 2 y1 7 0 ， 那么， x1 7 2 y1 .
垂足为B, 点M属于集合
P M MF MB 2
由两点间距离公式，点M适 合的条件可表示为：
x2 (y 2)2 y 2 化简得 y 1 x2
8 因为y>0,所以曲线的方程是
y 1 x（2 x 0) 8
y
.M
(x, y)
F.(0, 2)
O
lB x
及时巩固、强化训练 练习1、平面内有两定点A、B距离为4，一 条曲线上每一点与A、B的距离的平方和都 为16，建立适当的坐标系，求这条曲线的方
5 y12 5 6yy112 163y1;13 ;
M1A M1B，点M在线段AB的垂直平分线上.
2.1.2 求曲线的方程
复习回顾、启动思维
1．曲线的方程、方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适
合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x，y)＝0的
实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是__这__个__方__程__的_解____； (2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲__线__上__的__点_．____ 那么，这个方程叫做___曲__线__的_方__程_____；这条曲线叫做 ___方__程__的_曲__线__．______
(x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
o
x
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
⑴由求方程的过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x 2y 7 0 的解 即 x1 2 y1 7 0 ， 那么， x1 7 2 y1 .
垂足为B, 点M属于集合
P M MF MB 2
由两点间距离公式，点M适 合的条件可表示为：
x2 (y 2)2 y 2 化简得 y 1 x2
8 因为y>0,所以曲线的方程是
y 1 x（2 x 0) 8
y
.M
(x, y)
F.(0, 2)
O
lB x
及时巩固、强化训练 练习1、平面内有两定点A、B距离为4，一 条曲线上每一点与A、B的距离的平方和都 为16，建立适当的坐标系，求这条曲线的方
5 y12 5 6yy112 163y1;13 ;
M1A M1B，点M在线段AB的垂直平分线上.
高二数学选修2-1课件抛物线及其标准方程新人教A版1.ppt
例1. 若点M到定点F(5，0)距离和它到
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴