二次函数的最值问题的教案

二次函数的最值问题

例1求下列函数的最值

(1) y=3x 2+6x+8 (2)y=2(x-3)(1-x)

（3）y=

12x 2+4x+3 (4) y=-7x 232

2、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，

决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件。

① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式； ② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？

③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？

3．如图所示，•公园要建造圆形的喷水池，•水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA 距离为1m 处达到距水面最大高度

2.25m ．

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，•才能使喷出的水流不能落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？

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4．某化工材料经销公司购进一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，•每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x 元，•日均获利为y 元．

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围．

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x+2b a ）2+2

44ac b a

的形式，写出顶点坐标，画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多？多多少？

5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.

(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式;

(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式.

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？

6.一合资企业生产某种产品，每件产品成本为3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x （万

元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x +107x+10

7，如果把利润看作是

销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）之间的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？

7、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。

设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）。

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的二次函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）请把（2）中的二次函数配方成y = a (x - h)2 + k的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；

8、某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品

的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系

z=10y+42.5.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)

的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年

总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?

9．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A （0，9），其轨迹方程为y=a x 2+c （a<0），若物体落在x 轴上的D （x 0，0）处，x 0>0．

（1）若6

（2）若物体运动时又经过点P （2，8.1），问这时物体落在x 轴上的D （x 0，0），此时x 0能否满足6

10．心理学家研究发现一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式：

－t 2+24t+100 (0<4≤10)

Y = 240 (10<4≤20)

－7t+380 (20

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果好，要求学生的注意力最低达到180，

那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道难题？

11.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v (km/h)的汽车的刹车距离s (m)可以由公式s =

1001v 2确定；雨天行驶时，这一公式为s =50

1v 2. (1)如果行车速度是70 km/h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多 少米？

(2)如果行车速度分别是60 km/h 与80 km/h ，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？

(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？