第二讲---数据结构

A*算法的主要数据结构。
排序与查找
排序：对给定的元素集排顺序。
O(n^2)：冒泡排序、插入排序 O(nlogn)：快速排序、合并排序、堆排序 O(n)：计数排序、桶排序
查找：在给定的元素集中查找目标元素。
O(n)：顺序查找
O(logn)：二分查找 or 折半查找
O(1)：散列(hash)
滚动数组 块状数组 后继数组
滚动数组
滚动数组：
用两个数组交替存储，始终将当前数据存入第
一个数组，同时用第二个数组来接收新数组， 这样一来，就等于将以前的数据全部删去，可 节省大量空间。 经常用于动态规划问题。
块状数组
块状数组：
把一个一维数组分成许多块，每一块也是一个
线性数据结构
数组 链表 栈 队列 排序与查找 散列技术 离散化
数组
数组是数据结构中最基本的结构形式 它是一种顺序式的结构，存储的是同一类型的数 据。 每个数组元素都拥有下标（index）和元素值 （value），下标方便存取数据，而元素值就是被 存储的数据。 占用空间大；添加、删除的操作比较低效；成批 修改元素的复杂度高。
插入、删除 复杂度为1。
缺点：
查找 复杂度为O(n)。
单向链表
双向链表
块状链表
网上很多人认为：块状链表 = 数组 + 链表 大家都这么认为，我们也可以这样认为。 把数组做为链表的一个节点，提高了查询 速度。 用链表把数组串起来，提高了插入和删除 速度。 查询、插入和删除复杂度为：
静态树、动态树
我的理解： 静态树：开静态数组存储树的信息。 动态树：动态开辟内存存储树的信息。 我们建议使用第一种方法。
速度快，好处理 感觉好，写得爽
poj-Count Color
给定一个长度为L的board。 (1<=L<=100000) 给定颜色的种数T。(1<=T<=30) 给定两种操作
ＣＡＢＣ在［Ａ，Ｂ］上涂上颜色C ＰＡＢ输出［Ａ，Ｂ］上颜色的种数。
求：sum(7)：Seg[7] +Seg[6] +Seg[4] = 13
(7)10 2 位置1插入5 =>(111)2 (1)2 =>1 =>(110)2 (1) 2+(1)2 =>2 =>(100) 2 0 5 (10)2+(10)2 =>4
当两个或两个以上的关键字散列到同一个 值的时候，发生冲突。 解决方法：开散列和闭散列 Hash冲突取决于
Hash函数的选择 散列空间的大小 输入数据
开闭散列
离散化
把分散的数据紧凑在一起。 例如：3 5 4 8 10 46 78 操作：
排序：3 4 5 8 10 46 78
左儿子右兄弟表示法
二叉树。 用二叉链表做树的存储结构，链表中的每个结点 的两个指针域分别指向其最左儿子和右邻兄弟。 易于存储儿子节点数不确定的树。
并查集(Disjoint Sets)
并查集是一种树型的数据结构，支持集合 上的查找和合并操作。 并查集是一种简单的数据结构，但是用途 非常的多。 实现：
将结点少的树合并到结点多的树上。
2.路径压缩
当一条路找到根结点了以后，把所有处于路径
中的结点的父亲指针直接指向该集合的父亲。
二叉树
二叉搜索树
二叉搜索树(binary search tree)也称二叉排序树 (binary sort tree)，是一种最容易实现的搜索树。 很多高级的树结构都由它衍生的。
双端队列(deque:double-ended queue)
一种具有队列和栈的性质的数据结构。 双端队列中的元素可以从两端弹出，其限 定插入和删除操作在队列的两端进行。 看似灵活，但用处不是很多。
优先队列(priority queue)
优先级队列：不同于先进先出队列的另一 种队列。每次从队列中取出的是具有最高 优先权的元素。如果优先级相同，则是先 进先出。
一维数组，在块与块之间预留空间。 这样的结构，在数组中插入和删除数据的复杂 度就是小块的空间大小。
推荐题目：(poj-2887,foj-1697)
链表
单向链表 双向链表 块状链表 跳跃表 Dancing Links
链表
是一个链起来的线性结构。 每一个节点是一个元素，再由这些元素通 过指针链接在一起。 优点：
0 5
树状数组 =>(111)
13 0 5
13 0 5
0
0 8
0
0
数据
5
8
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构， 假设数组a[1...n]，那么查询a[1] + …… + a[i] 的时间是log 级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个 元素的值，复杂度也为log级别。 令这棵树的结点编号为C1，C2……Cn。令每个结点的值 为这棵树的值的总和，那么容易发现： C1 = A1 C2 = A1 + A2 C3 = A3 C4 = A1 + A2 + A3 + A4 C5 = A5 C6 = A5 + A6 C7 = A7 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 …… C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
求sum{a[1..m][1..n]} 维护和查询复杂度均为O(logm*logn)
用于动态求子阵和,数组内容保存在sum.a[][]
能在O(1)时间找到某个结点的父亲。 查找儿子及兄弟结点时可能要遍历整个数组。
儿子链表表示法
树中的每个顶点建立一个单链表，第i个单 链表存放父亲为结点Vi的所有儿子结点。 特点：
可以在O(k)时间找到某个结点的所有儿子。 查找父亲可能要遍历所有链表。 查找兄弟要先找父亲，因此，也可能需要遍历
树状数组用于统计个数
树状数组统计比b大的数的个数 更新值改为1。
插入数字v，相当于v更新+1。
下标 原始数组 0 1 2 3 4 5 1 6 7 8 1 2 9
来了个8
来了个5
又来了个8
查询比4大的个数：Num(4) = sum(9)-sum(4) = 3
树状数组推广
二维树状数组
对应：1 2 3 4 5 6
7
把数字集中在一起，缩小了数据的范围。 对线段树、树状数组等数据结构起到很好 的优化作用。
树形数据结构
树的概念 并查集 二叉树 线段树 树状数组 二叉堆 左偏树 字典树 AC自动机 后缀数组 伸展树
ACM竞赛中经常出现的 树形数据结构 做为ACMer要知 道的树形数据结 构：知道它们， 让你更像一个高 手。
数制转换
表达式求值 。。。
队列
只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在 表的后端（rear）进行插入操作的线性表。 进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端 称为队头。队列中没有元素时，称为空队列。 队列具有先进先出（FIFO）的特点。 普通的队列经常用于广度优先搜索的存储接点。

笛卡尔树 胜者树、败者树 红黑树 动态树
树
树：一个具有层次结果的集合。
树在算法中的表示方法
父结点数组表示法 儿子链表表示法 父结点数组表示法+儿子链表表示法 左儿子右兄弟表示法
父结点数组表示法
树中的结点转换为数字，用一个一维数组 存储每个结点的父亲结点号，根结点为0。 由于每个结点的父亲只有一个，因此表示 法是唯一的。 特点：
不同的算法有不同的适用范围。
Hash—散列
Hash在计算机领域有许多应用 但在acm竞赛中，Hash最常用的是通过一个变换函数f， 将对象变换为一个数组下标，并存储在该下标的数组单元 中，以方便下次通过对象查找，判断是否出现过。
我们可以在常数时间再次通过函数f算出其下标，多用于 判重。 数学表述为：h = H(M) ，其中H( )--散列函数，M—数据 对象，h—下标 通常的hash对象：数值、字符串、排列、树、图
（Binary Search Tree），
在输入数据随机的情况下，算法效率大约 为n*log(n)。 最坏情况下将退化到链表，O(n^2)
推荐题目：FOJ 1353 Hardwood Species
线段树
线段树其实可以理解成一种特殊的二叉树。 线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表 了一条线段[a , b)。 长度为1的线段成为元线段。非元线段都有两个 子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2)， 右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 , b)。 线段树较树状数组、RMQ灵活，应用也比较多， 因此这种东西最好能手写，模板是靠不住的。
助存储空间； 算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。
ACM算法题目是对算法的时间和空间的限 制。 而比赛的时间则是对代码的限制。
算法的时间性能分析
算法耗费的时间和语句频度 问题规模和算法的时间复杂度 渐进时间复杂度评价算法时间性能 算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规 模，还与输入实例的初始状态有关。 最坏时间复杂度和平均时间复杂度