工程力学弯曲变形(H)详解

解：AC段:
P M ( x) x 2 P EIv x 2
y
A
P
B
x
l 2
C
x
l 2
P 2 EIv x C 4 P 3 EIv x Cx D 12
由边界条件： 由对称条件：
第七章 弯曲变形
x 0 时，v 0
l x 时， v 0 2
得：
D0
Pl 2 得： C 16
最大转角和最大挠度分别为：
2
x
l
max
vmax
第七章 弯曲变形
Pl 2 B 2 EI
Pl 3 vB 3EI
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力 P 作 用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax 。
y
A
P
B
x
l 2
C
x
l 2
第七章
弯曲变形
得：
第七章
ql 3 C , D0 24
弯曲变形
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
y
q
B
x l x
qx v (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为：
A
max A
v max v
第 7章
弯曲变形
※ 工程问题中的弯曲变形 ※ 挠曲线的近似微分方程
※ 用积分法求弯曲变形 ※ 用叠加法求弯曲变形
※ 简单静不定梁
※ 提高弯曲刚度的措施
第七章 弯曲变形
§7-1
概
述
一、工程实践中的弯曲变形问题
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求
具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即
要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正
常工作。
第七章
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件 的加工精度，甚至会出现废品。
F
F
第七章
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
P
P
第七章 弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的
弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l F
x
l
v( x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v 2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l
x
l
v( x)
B
F
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程
弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIv x x 2 2
y
q
B
x l x
A ql 2 q 3 EIv x x C 4 6 ql 3 q 4 EIv x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，v 0 x l 时，v 0
左 右 左 右 wC 0, wC 0 C C
左 右 左 右 左 右 wB wB , wE wE E E
可动铰:
vC 0
第七章
弯曲变形
例2：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷q
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和 vmax。
q
A
l
B
第七章
x
P 2 EIv x plx C 2 P 3 Pl 2 EIv x x Cx D 6 2
由边界条件： 得：
第七章 弯曲变形
l
x 0 时，v 0,v 0
C D0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px ( x 2l ) 2 EI
y
A
P
x
B
Px v ( x 3l ) 6 EI
第七章 弯曲变形
ql 3 B 24 EI
5ql 4 384 EI
x
l 2
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。 解： M ( x) P(l x)
y
A
P
x
B
EIv P(l x)
正负号确定——确定坐标系:
v
x
x
M 0, v 0
第七章 弯曲变形
M 0, v 0
§7-3
用积分法求弯曲变形
EIv M ( x )
EIv M ( x) dx C
EIv M ( x)dxdx Cx D
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
第七章 弯曲变形
边界条件：梁截面的已知位移条件
v0
v0
v0
0
连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件
F
A
B
M
D
C
$ 挠曲线在B、C点连续且光滑 连续:
第七章
v左 v右
光滑:
左 右
弯曲变形
例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
F A E B C D
边界条件： 固定端: v A 0, A 0 自由端：无位移边界条件 连续条件：
v f ( x)
df(x) F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小 —— θ tanθ dx
第七章 弯曲变形
§7-2
梁挠曲线的近似微分方程
中性层曲率表示的弯曲变形公式
1 M （纯弯） ρ EI
由高等数学知识
1 M ( x) （推广到非纯弯） ( x) EI
1 v( x) 2 ( x) 1 [v ( x)]
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (4 x 2 l 2 ) 16 EI
y
A
P
B
Px v (4 x 2 3l 2 ) 48EI
最大转角和最大挠度分别为：
x
l 2
C
x
l 2
max
vmax
第七章 弯曲变形
Pl 2 A B 16 EI
Pl 3 v l x 48EI 2


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挠曲轴微分方程
1 [v( x)]
v( x)
2 32
M x EI
第七章
弯曲变形
方程简化
1 [v( x)]
1
v( x)
2 32
M x EI
小变形时： v2
d 2v M x 2 dx EI
v 向上为正, 逆时针为正.
v
画挠曲线的大致形状
q
C B D
Q
3qa 4
+
qa 2
A
_
qa 4
a
a
a
M
3qa 2 4
+
qa 2 4
qa 2 32
d v M x 2 dx EI