初中数学平行四边形复习题附解析
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4．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
5．在正方形 中，点 是 边上任意一点，连接 过点 作 于 ，交 于 .
（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；
（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．
①求证：点M是CD的中点；②求x的值．
（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．
7．感知：如图①，在正方形 中， 是 一点， 是 延长线上一点，且 ，求证： ；
∴ ；
（2）连接CG、BE，如图2，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
由（1）得， ，
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．
9．如图， 中， ，连结 ， 是 边上一点，连结 交 于点 ．
（1）如图1，连结 ，若 ， ，求 的面积；
（2）如图2，延长 至点 ，连结 、 ，点 在 上，且 ， ，过 作 于点 ．若 ，求证： ．
2．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是
10．如图①，在 中， ，过 上一点 作 交 于点 ，以 为顶点， 为一边，作 ，另一边 交 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）当点 为 中点时， 的形状为；
（3）延长图①中的 到点 使 连接 得到图②，若 判断四边形 的形状，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
【百度文库解】
解：(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴CE＝CF，
∴BC﹣CE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：
(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；
(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．
拓展：在图①中，若 在 ，且 ，则 成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形 中， ， ， ， 是 上一点，且 ， ，求 的长．
8．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
如图1，过点 作 于 .求证: ；
如图2，点 为 的中点，连接 ，试判断 存在什么数量关系并说明理由；
如图3， ，连接 ，点 为 的中点，在点 从点 运动到点 的过程中，点 随之运动，请直接写出点 运动的路径长.
6．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．
初中数学平行四边形复习题附解析
一、解答题
1．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，则 ．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正 和正方形 ，连结 、 、 .已知 ， ，求 的长，请你帮助小明解决这一问题．
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4 ，BE=5 ，
∴ ，
∴GE= ．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析
【分析】
(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明△ABE≌△ADF即可求解；
∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，
∴AF＝2DM，
∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，
由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；
∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，
∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，
∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，
1．（1）证明见解析；
（2） ．
【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出 进行分析求证即可；
（2）根据题意连接CG、BE，证明△GAB≌△CAE，进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，
(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
3．如图正方形 ， 与 相交于点 （ 不与 、 重合）．
（1）如图（1），当 ，
①求证： ；
②求证： ；
（2）如图（2），当 ，边长 ， ，求 的长．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
5．在正方形 中，点 是 边上任意一点，连接 过点 作 于 ，交 于 .
（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；
（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．
①求证：点M是CD的中点；②求x的值．
（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．
7．感知：如图①，在正方形 中， 是 一点， 是 延长线上一点，且 ，求证： ；
∴ ；
（2）连接CG、BE，如图2，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
由（1）得， ，
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．
9．如图， 中， ，连结 ， 是 边上一点，连结 交 于点 ．
（1）如图1，连结 ，若 ， ，求 的面积；
（2）如图2，延长 至点 ，连结 、 ，点 在 上，且 ， ，过 作 于点 ．若 ，求证： ．
2．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是
10．如图①，在 中， ，过 上一点 作 交 于点 ，以 为顶点， 为一边，作 ，另一边 交 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）当点 为 中点时， 的形状为；
（3）延长图①中的 到点 使 连接 得到图②，若 判断四边形 的形状，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
【百度文库解】
解：(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴CE＝CF，
∴BC﹣CE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：
(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；
(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．
拓展：在图①中，若 在 ，且 ，则 成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形 中， ， ， ， 是 上一点，且 ， ，求 的长．
8．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
如图1，过点 作 于 .求证: ；
如图2，点 为 的中点，连接 ，试判断 存在什么数量关系并说明理由；
如图3， ，连接 ，点 为 的中点，在点 从点 运动到点 的过程中，点 随之运动，请直接写出点 运动的路径长.
6．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．
初中数学平行四边形复习题附解析
一、解答题
1．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，则 ．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正 和正方形 ，连结 、 、 .已知 ， ，求 的长，请你帮助小明解决这一问题．
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4 ，BE=5 ，
∴ ，
∴GE= ．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析
【分析】
(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明△ABE≌△ADF即可求解；
∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，
∴AF＝2DM，
∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，
由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；
∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，
∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，
∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，
1．（1）证明见解析；
（2） ．
【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出 进行分析求证即可；
（2）根据题意连接CG、BE，证明△GAB≌△CAE，进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，
(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
3．如图正方形 ， 与 相交于点 （ 不与 、 重合）．
（1）如图（1），当 ，
①求证： ；
②求证： ；
（2）如图（2），当 ，边长 ， ，求 的长．