2020中考数学复习分类汇编专题4：二次函数与直角三角形以及矩形问题

专题：二次函数与直角三角形、矩形问题

1. 如图，抛物线y ＝14x 2－3

2x －4与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右侧)，与y 轴交于

点C.连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q .

(1)求点A ，B ，C 的坐标；

(2)点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M ，N .试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

(3)当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出．．．．

点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图，直线y ＝－12x ＋n 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0，4)，抛物线y ＝－1

2x 2

＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点C 为点B 关于x 轴的对称点，连接A C.

(1)求点A 的坐标及抛物线的表达式；

(2)点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线l ，与x 轴交于点E ，与AC 交于点M ，设点P 的横坐标为m .

①求四边形PBCA 的最大面积；

②是否存在点P ，使得△P AM 是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于 A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B (3，0)，C (0，3)，点M 是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P 是线段MB 上一个动点，且点P 的横坐标为m ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点E ，求线段PE 的最大值，并求出此时点E 的坐标；

(3)在(2)的条件下，若在线段MB 上存在点P ，使得△PCD 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．

4. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴交于点A ，二次函数y ＝12x 2－3

2x ＋1的图象

与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于B (0，1)、C (4，3)两点，与x 轴交于D 、E 两点，且OD ＝1.

(1)求一次函数的表达式及点A 的坐标；

(2)若抛物线上存在点P ，使S △BDC ＝S △PBC ，求出P 点坐标(不与已知点重合)； (3)若N 为x 轴上一点，平面内是否存在点M ，使得以点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 如图，二次函数y ＝kx 2－3kx －4k （k ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，OC ＝O A.

（1）求点A的坐标和抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标.

6. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （0，3）、B （1，0），其对称轴为直线l ：x ＝2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连接PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

7. 如图，抛物线y ＝－4

9x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，8），与x 轴交于点B （6，0），

C ，过点A 作A

D ∥x 轴与抛物线交于另一点D.

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接AB ，点P 为AB 上一个动点，由点A 以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动（不与点B 重合），运动时间为t ，过点P 作PQ ∥y 轴交抛物线于点Q ，求PQ 与t 的函数关系式；

（3）点M 是y 轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 、N ，使得以B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1. 解：(1)当y ＝0时，则14x 2－3

2x －4＝0，解得，x 1＝－2，x 2＝8，

∵点B 在点A 的右侧，

∴点A 、B 的坐标分别为(－2，0)、(8，0)， 当x ＝0时，y ＝－4， ∴点C 的坐标为(0，－4)；

(2)四边形CQBM 的形状是平行四边形，理由如下： 由菱形的对称性可知，点D 的坐标为(0，4)．

设直线BD 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B (8，0)，D (0，4)代入解析式，

得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝0，

b ＝4，解得⎩⎪

⎨⎪⎧k ＝－1

2，b ＝4.

∴直线BD 的表达式为y ＝－1

2

x ＋4.(4分)

∵l ⊥x 轴，∴点M ，Q 的坐标分别是(m ，－12m ＋4)，(m ，14m 2－3

2m －4)．

当MQ ＝DC 时，四边形CQMD 是平行四边形， ∴(－12m ＋4)－(14m 2－3

2m －4)＝4－(－4)＝8，

化简得m 2－4m ＝0.解得m 1＝0(舍去)或m 2＝4， ∴当m ＝4时，四边形CQMD 是平行四边形， 此时，四边形CQBM 是平行四边形．