30 几何概型

30 几何概型

教材分析

和古典概型一样，在特定情形下，我们能够用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．

教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这个知识板块更加系统和完整．

这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型使用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．

教学目标

1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会使用．

2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作水平．

3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提升学生对自然界的认知水平．

任务分析

在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，所以，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中理应注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数实行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，实行模拟活动．有条件的学校能够让学生用一种统计软件统计模拟的结果．

教学设计

一、问题情境

如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．

问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．

二、建立模型

1. 提出问题

首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否相关系，若相关系，和几何体图形的什么表面特征相关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积相关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．

题中甲获胜的概率只与图中几何因素相关，我们就说它是几何概型．

注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素相关，这是错误的．

（2）准确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．

2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

3. 再次提出问题，并组织学生讨论

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？

（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．

（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．

通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．

三、解释应用

［例题］

1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．

分析：我们有两种方法计算事件的概率．

（1）利用几何概型的公式．

（2）利用随机模拟的方法．

解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以

解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．

教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，所以，试验次数越多，频率越接近概率．

2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．

解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

假设正方形的边长为2，则

因为落在每个区域的豆子数是能够数出来的，所以

这样就得到了π的近似值．

另外，我们也能够用计算器或计算机模拟，步骤如下：

（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；

（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．

能够发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．

本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法能够近似计算不规则图形的面积．

［练习］

1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．

2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．

3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．

四、拓展延伸

1. “概率为数‘0’的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？

2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？

3. 你能说说频率和概率的关系吗？

点评

这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维水平，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．