伴随矩阵的性质及应用研究

‘ 中用Ａ 换Ａ （ － ～＝ １（ ＝Ｉ ｌ ） 所以 （ － ＝ Ａ 得 ＡＩ ） Ａ ） （ ， Ａ Ａ Ａｊ ． ）
综上 可得（ ） Ａ ‘＝（ ） １ Ａ 一． 命题 ５ 设 Ａ， Ｂ均 为 ｎ阶 方 阵 ， （ Ｂ） ＝Ｂ 则 Ａ Ａ‘ ．
Ａｈ Ａ２
Ａ
●
称 为 Ａ 的 伴 随
：
Ａ
矩阵．
定 理 １“ 矩 阵 Ａ可 逆 的充 分 必 要 条 件 是 非退 化 ， Ａ～ １ 且
Ａ ・
推论 １ Ａ ＝ Ａ：Ｉ Ｉ ， ｎ阶单 位矩阵． Ａ Ａ’ ， 为 ，
２ 相 关 命 题
命题 １
命 题 ４ 若 为 ｎ阶可 逆 矩 阵 ， （ ） ＝（ ） 则 Ａ Ａ ～．
证 明 Ｉ ） （Ａ ～ ＝ １Ａ～ ￣ｔ ｋ） ｔＪ Ｔ
，
再 Ａ＝ 边 逆得 ＝ ， （）＝ 对～南Ａ 取 可 ＡＩＡ ～ 以 ～冈Ａ 两 ）所 Ａ １． Ａ Ｉ （
又，～＝ Ａ
ＶｏＩ２ Ｎｏ ３ ．０ ． Ｓｅ ２ ｐ． ０１１
ｄ ｉ １ ３ ６ ／ ．ｓｎ １ ０ —０ ３ ． ０１ ． ３ ０ ５ ｏ：０． ９ ９ ｊ ｉｓ ． ０ ７ ８ ４ ２ １ ０ ． ０
伴 随 矩 阵 的 性 质 及 应 用 研 究
郑 群 珍 封 平 华２ ２，
（ ． 州 大 学 数 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０ ０ ； ． 南教 育 学 院 数 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０ ４ ） １郑 河 ５０１ ２ 河 河 ５ ０ ６
文章 编 号 ：０ ７— ８４ ２ １ ） ３— ０ ３— ３ １０ ０ ３ （ ０ １ ０ ０ １ ０
矩 阵 Ａ 的伴 随矩 阵 Ａ 作 为 一 类 重 要 矩 阵 ， 论 在 矩 阵 的 理 论 ｌ 疗 面 ， 是 在 矩 阵 的实 际 应 用 方 面 都 有 很 重 要 的 研 究 无 识 还
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作者 简 介 ： 群 珍 （ ９ ０ ） 女 ， 西 宝 鸡 人 ， 州 大 学 数 学 系在 读 硕 士 研 究 生 、 南 教 育 学 院 数 学 系讲 师 ． 郑 １８一 ， 陕 郑 河
进 行 分 求 解 １ ４ 河 南 教 育 学 院 学 报 （自然 科 学版 ） ２１ ０ １血 析 解 就 利 该 很 用 因为存在无穷多个 Ａ， ２ 当 ｌＢＩ ０时 ， ） ＝ Ａ 考虑矩阵 Ａ Ａ Ａ—Ａ ， （ ＝Ｂ— Ｉ 由于 Ａ和 都是最多只有有限个特征根 ， （ ）＝ ＩＢ Ａ） Ａ， 使
证明 １ 当 ＩＢｆ ０时 ， 时 Ｉ ０ Ｉ ０ 由公式 Ａ ） Ａ ≠ 这 Ｉ ，ＢＩ ， Ａ≠ ≠ ＝Ｉ Ａ～， Ａ【 可得 ：Ａ ） ＝ＩＢｌ 曰 ～＝ （Ｂ ’ ） Ａ （
ｌ Ｉ Ｉ Ａ Ｂ ～＝ｌ ｌ Ｉ～＝ ’ ， Ａ Ｉ Ｂ Ｉ Ａ Ｂ Ａ 结论成立． ＢＢ Ａ
设 Ａ为 ｎ 阶矩阵， Ｉ ’ｌ Ｉ ． 则 ：Ｉ Ａ Ａ 一’
，
ｎ 当 ｒ Ａ）＝ｎ时 ， （
命题２ 设Ａ 为ｎ 阶矩阵， （ ’ ＝ ， （） ， １ ． 则ｒ ） Ｊ 当ｒ ＝ｌ 时 Ａ １ Ａ 一
【， （） 一 时 ０当， ≤ ２ Ａ
命题 ３ 设 Ａ为 Ｉ阶矩阵 ， Ａ ） ＝Ｉ Ａ ＂ ｔ 则（ ‘ ｌ ． Ａ 一
收 稿 日期 ：０ ｌ—ｏ ２１ ４—２ ８
基 金 项 目 ： 南 省 科 技 厅 软 科 学 研 究 项 目（ １４ ０ ５ １ ２ 成 果 ； 南 省 政 府 决 策 招 标 课 题 （ ０ １ １ ３ 成 果 ； 南 教 育 学 院 院 河 １２ ０ ４ ０ ８ ） 河 ２ １Ｂ７ ） 河 级 精 品 课 程 “ 间解 析几 何 ” 目成 果 空 项
意 义 ． 文 将 对 伴 随 矩 阵 的 性 质 作 进 一 步 的 讨 论 ， 出 相关 的 命 题 和证 明． 本 给
１ 有 关 定 义
ＡＩ ｌ Ａ２ ｌ Ａ ｌ
ＡＩ Ａ ２ ２ ２
定义 １ … 设 Ａ 是 矩 阵 Ａ： Ⅱ
中元 素 。 的 代 数 余 子 式 ， 阵 Ａ ＝ 矩
摘 要 ： 伴 随 矩 阵 性 质 作 进 一 步 的 讨 论 ， 出 相 关 的 命 题 和 证 明 ， 利 用 这 些 性 质 对 相 关 问题 做 出快 速 简便 对 给 并
求 解．
关 键 词 ： 阵 ； 随 矩 阵 ； 定 矩 阵 矩 伴 正
中图分类号 ： ５ ．１ Ｏ１ １２
文献标识码 ： Ａ
第２ Ｏ卷 第 ３期
２ １年 ９ 月 ０１
河 南教 育 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｅ ａ ｎ ｔｕｅｏ ｄ ｃ ｔ ｎ（ ａｕａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｎ Ｉｓ ｔｔ ｆ ｕ ａ ｏ Ｎ ｔ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ Ｈ ｉ Ｅ ｉ ｒ ｉ
题 方 初 若 ，变 直 便 等
证明 由于 ｉ ｆ ｆ 可分情况讨论． ＿ｆ 一 ， Ａ （） （ ） Ｕ １ 当ｒＡ ＝ 时，Ａｌ ０ 则 Ａ可逆． Ｉ ， ≠ 又由于Ａ ‘＝Ｉ ， Ａ ｌ 对该式两边同时左乘 Ａ 可得 Ａ Ａ， ～， ＝｝ ～， ＡＩ 将上式中 Ａ换 Ａ
为｜ ， ４ 则有（ ） ＝ ’ Ａ
Ｉ ） （ Ａ 一＝
） ｉ ２・ ＝ｌ － Ａ Ａ ｎ
（ ） （ ） — 时，Ｕ （ ） ，ＡＩ ０ 从而 ｒ Ａ ＝ ，Ａ ） ＝ ＝ｌ 一 ． ２ 当ｒＡ ≤ｎ Ｉ 贝 ａ ≤Ｉ Ｉ ＝ ， ｒ （ ） ０ （ ’ ０ Ｉ ’ Ａ Ａ
综合 （ ） （ ） 即证（ ） ＝Ｊ Ａ １ 、２ ， Ａ Ｊ ． Ａ ～