伴随矩阵的性质及应用研究
伴随矩阵的性质及应用汇总
伴随矩阵的性质及应用汇总伴随矩阵，也被称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随法方阵，是与一个给定的矩阵相关联的矩阵。
在线性代数中，伴随矩阵的性质及应用非常重要。
下面是对伴随矩阵的性质及应用的汇总。
一、伴随矩阵的基本性质：1.对于任意的n阶矩阵A，它的伴随矩阵存在且唯一2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵A的n次方，即，adj(A)， = ，A，^(n-1)。
3. 如果原矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵也是可逆的，并且有逆矩阵的性质，即(adj(A))^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
4. 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即(adj(A))^T = adj(A^T)。
二、伴随矩阵的应用：1. 伴随矩阵在求逆矩阵中的应用：利用伴随矩阵可以很方便地求解矩阵的逆。
对于可逆矩阵A，有A^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
通过计算原矩阵的行列式和伴随矩阵，即可得到逆矩阵。
2. 伴随矩阵在线性方程组求解中的应用：对于线性方程组AX = B，如果矩阵A是可逆的，则可以通过左乘伴随矩阵满足（adj(A) * A）* X= adj(A) * B，进而求解出X的解。
3. 伴随矩阵在求解特征值和特征向量中的应用：矩阵A的伴随矩阵adj(A)与矩阵A一样具有相同的特征值，但是特征向量方向相反。
因此，可以通过求解伴随矩阵的特征值和特征向量来得到矩阵A的特征值和特征向量。
4. 伴随矩阵在向量夹角和投影中的应用：对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过伴随矩阵求解得到，即cosθ = (A・B) / (，A，* ，B，) = (adj(A)・B) / (，A， * ，B，)。
此外，在向量的投影计算中也可以通过伴随矩阵来实现，即投影向量P = A * (adj(A)・B) / (adj(A)・A)。
综上所述，伴随矩阵具有独特的性质和广泛的应用。
它在求逆矩阵、线性方程组求解、特征值和特征向量求解、向量夹角和投影等方面发挥着重要的作用。
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。
伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。
伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。
2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。
3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。
二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。
2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。
3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。
三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。
2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。
3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。
四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。
浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】
开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等.矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义.正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质, 并提出了自伴随矩阵的定义及其性质, 归纳了伴随矩阵较强的继承性; 郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系, 探讨了伴随矩阵的性质, 并且将伴随矩阵推广到了m重; 徐淳宁也探究了m重伴随矩阵的定义及其性质, 得到了一些有意义的结果, 使伴随矩阵的内涵更加丰富. 上述结论都是在A为方阵的前提下提出来的, 对于Am 矩阵的伴随矩阵的定义与一些性不为方阵的情况又有许多种性质. 贾美娥提出了关于n质的证明. 这一主张的提出, 更加完善了伴随矩阵的性质. 伴随矩阵的性质还有很多, 在此不一一举例.尽管前人的研究很多, 但是目前对伴随矩阵的性质还没有一套完整的证明. 在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 但是在后继的课程的学习中经常用伴随矩阵来解决很多问题, 为此我们常常不知所措. 为了解决更多的问题, 有必要探讨它的性质及其一些应用. 本文将对伴随矩阵的性质和应用进行探讨, 这不仅有利于教师的教学, 还有助于学生的学习, 以便我们更得心应手地运用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题及拓宽它在各领域中的应用.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:研究的基本内容: 本文主要研究伴随矩阵的性质及其各领域上的应用.拟解决的主要问题: 证明伴随矩阵的性质和探究它的应用, 并作推广.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤: 1. 明确任务, 查阅相关资料, 做好笔记.2. 在老师指导下, 撰写开题报告, 翻译英文资料, 撰写文献综述.4. 上交开题报告、文献综述、英文资料; 确定整个论文的思路, 列出论文提纲.5. 确定论文提纲, 撰写毕业论文.6. 上交论文初稿.7. 反复修改论文.8. 论文定稿.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同学研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题.四、参考文献:[1]R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.[2]蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.[3]杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2004, (3):20~25.[4]王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.[5]郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3):55~60.[6]徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.m 矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17.[7]贾美娥. 关于n[8]北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003, 9.[9]韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.[10]刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.[11]肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3):48~49.[12]吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.[13] C. M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journalof Mathematics Reseearch, 2009, 1(2): 119~122.[14]苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31: 61.。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。
如果行号与列号之和为奇数次时，元素值不变。
伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。
1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。
即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。
3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。
这可以通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。
4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。
5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。
这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。
6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。
这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。
7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。
即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!通过以上性质的探讨，我们可以看到伴随矩阵在矩阵的求逆、线性方程组的求解等问题中起着重要的作用。
它可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用伴随变换与伴随矩阵是线性代数中重要的概念，它们在矩阵论和线性变换的理论中有着广泛的应用。
本文将探讨伴随变换与伴随矩阵的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、伴随变换的定义与性质伴随变换是指在线性空间中，给定一个线性变换T，其伴随变换T*是一个线性变换，满足对于任意的向量u和v，有内积的性质：（T(u), v）= （u, T*(v)）其中（，）表示内积。
伴随变换的性质包括：1. 线性性质：对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，有T*(au+bv) = aT*(u) + bT*(v)。
2. 对偶性质：如果存在一个向量w，使得对于任意的向量u，有（T(u), v）= （u, w），则称w为T的伴随向量，记作w=T*(v)。
伴随变换的作用是根据给定的线性变换T，求解其对应的伴随向量。
二、伴随矩阵的定义与性质对于一个线性变换T，如果存在一个矩阵A，使得对于任意的向量u和v，有 T(u) = Av，则称矩阵A为线性变换T的矩阵表示。
伴随矩阵B是指对于给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得（AB）^T =BA^T，其中（）^T表示矩阵的转置。
伴随矩阵的性质包括：1. 转置性质：伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即（A^T）^T = A*。
2. 乘法性质：对于两个线性变换T和S，其伴随矩阵分别为A和B，则对应的复合变换的伴随矩阵为BA，即（TS)* = B*A。
三、伴随变换与伴随矩阵的应用伴随变换与伴随矩阵在实际问题中有各种各样的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
1. 线性变换的正交性判断：对于给定的线性变换T，可以通过求解其伴随变换T*，再判断T和T*的关系来确定T是否是正交变换。
如果T和T*相等，则T是正交变换；如果T和T*互为逆变换，则T是酉变换。
2. 矩阵的相似性判断：对于给定的两个矩阵A和B，可以通过求解其伴随矩阵A*和B*，再判断A*和B*的关系来确定A和B是否相似。
伴随矩阵与伴随变换的定义与性质
伴随矩阵与伴随变换的定义与性质伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与伴随变换有着密切的关系。
本文将介绍伴随矩阵和伴随变换的定义与性质，并探讨它们在矩阵理论与线性变换中的应用。
一、伴随矩阵的定义给定一个n阶矩阵A=(a_ij)。
我们定义A的伴随矩阵Adj(A)为A的代数余子式矩阵的转置矩阵，即Adj(A) = (C_ij)T，其中C_ij是A的代数余子式。
二、伴随变换的定义根据伴随矩阵的定义，我们可以引入伴随变换的概念。
给定一个n 维向量空间V上的线性变换T，我们定义其伴随变换为V上的另一个线性变换T*，其中对于任意向量v∈V，有(T*v, u) = (v, T*u)，这里(u, v)表示内积。
三、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等。
证明：设A为一个n阶矩阵，rank(A)=r。
对于任意的n阶矩阵B，有rank(B)≥ rank(A)。
因此，我们只需证明rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
首先，矩阵A的伴随矩阵的任意一列都可以由A的列向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
其次，由于A的伴随矩阵的每一行都由A的行向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
综上所述，rank(Adj(A)) ≤ rank(A)，即rank(Adj(A)) = rank(A)。
2. 伴随矩阵的秩与伴随变换的秩相等。
证明：对于伴随矩阵Adj(A)，我们可以定义一个新的线性变换T_1，其矩阵表示为Adj(A)。
根据伴随矩阵的定义，我们可以得到T_1为T的伴随变换。
根据伴随变换的定义，我们知道rank(T_1) = rank(T)。
同时，根据伴随矩阵的性质1，我们知道rank(Adj(A)) = rank(A)。
因此，我们有rank(T_1) = rank(Adj(A)) = rank(A)。
3. 伴随变换的伴随变换是原变换自身。
证明：设T为V上的一个线性变换，其伴随变换为T*。
伴随矩阵与原矩阵关系
伴随矩阵与原矩阵关系介绍在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，常用于表示线性方程组、线性映射和线性变换等。
矩阵的伴随矩阵是一种特殊的矩阵，与原矩阵有着一定的关系。
本文将详细探讨伴随矩阵与原矩阵的关系，介绍伴随矩阵的定义、性质和应用。
伴随矩阵的定义伴随矩阵，也称为伴随矩阵、复共轭转置矩阵或Hermitian转置矩阵，是指对于一个复矩阵A，将其每个元素取复共轭并转置得到的矩阵，通常用符号A*表示。
对于一个m×n的复矩阵A=(a_{ij})，其伴随矩阵A*=()T。
其中，表示a_{ij}的复共轭，T表示转置。
伴随矩阵与原矩阵的关系伴随矩阵与原矩阵之间有着一些重要的关系。
下面将介绍几个常见的关系。
1. 基本关系对于一个复矩阵A和B，有以下基本关系成立：•(A^)^ = A•(A+B)^* = A^* + B^*•(kA)^* = A^其中，A^表示矩阵A的伴随矩阵，k是一个复数。
2. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下重要性质：•(AB)^* = B^A^•(A^)^n = (A n)（n为正整数）•A是Hermitian矩阵（即A=A^*）当且仅当A的所有特征值为实数•A是正规矩阵（即AA^=A^A）当且仅当A可对角化为实对角阵3. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数和数学物理等领域具有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用。
3.1. 线性方程组的解法通过求解伴随矩阵的线性方程组，可以求解原矩阵的线性方程组。
设A为一个m×n的复矩阵，X为一个n×1的向量，B为一个m×1的向量，可表示为AX=B的线性方程组。
则该线性方程组的解为X=(A^){-1}B，其中，A为A的伴随矩阵。
3.2. 矩阵的共轭转置伴随矩阵也可以表示矩阵的共轭转置。
对于一个复矩阵A，其共轭转置矩阵为A^*。
通过求解伴随矩阵，可以得到原矩阵的共轭转置。
3.3. 矩阵的特征值和特征向量伴随矩阵与原矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
伴随矩阵的性质和应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
复合矩阵与伴随矩阵的关系及应用
复合矩阵与伴随矩阵的关系及应用引言：在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
复合矩阵和伴随矩阵是矩阵理论中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系，并在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍复合矩阵与伴随矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、复合矩阵的定义与性质：复合矩阵是指一个方阵与其自身的转置矩阵相乘得到的矩阵。
设A 为一个n阶方阵，则其复合矩阵记作A*AT。
复合矩阵具有以下性质：1. 复合矩阵是对称矩阵：由于复合矩阵是方阵与其转置矩阵相乘得到的，而转置矩阵是原矩阵的行列互换，因此复合矩阵是对称矩阵。
2. 复合矩阵的秩等于原矩阵的秩：设A为一个n阶方阵，且rank(A)=r，则rank(A*AT)=r。
3. 复合矩阵的特征值是原矩阵特征值的平方：设A为一个n阶方阵，其特征值为λ，则A*AT的特征值为λ²。
二、伴随矩阵的定义与性质：伴随矩阵是指一个方阵的转置矩阵与其伴随矩阵相乘得到的矩阵。
设A为一个n阶方阵，则其伴随矩阵记作adj(A)=AT。
伴随矩阵具有以下性质：1. 伴随矩阵是可逆矩阵：若A为可逆矩阵，则其伴随矩阵也是可逆矩阵，并且有(adj(A))⁻¹=adj(A⁻¹)。
2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方：设A为一个n阶方阵，则|adj(A)|=|A|^(n-1)。
三、复合矩阵与伴随矩阵的关系：复合矩阵和伴随矩阵之间存在着以下关系：1. A*AT的伴随矩阵等于(A的伴随矩阵)的转置矩阵：即adj(A*AT)=(adj(A))T。
2. A*AT的行列式等于A的行列式的平方：即|A*AT|=|A|²。
3. 若A为可逆矩阵，则(A*AT)的逆矩阵等于A⁻¹*adj(A)。
四、复合矩阵与伴随矩阵的应用：复合矩阵和伴随矩阵在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个具体的应用场景来说明：1. 矩阵的正定性判断：对于一个n阶对称矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有xTAX>0，则称A为正定矩阵。
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则摘要：一、伴随矩阵的定义二、伴随矩阵的性质三、伴随矩阵的运算法则四、伴随矩阵的应用正文：伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。
伴随矩阵的运算法则可以帮助我们更好地理解这些概念，并在解决实际问题时发挥重要作用。
首先，我们需要了解伴随矩阵的定义。
伴随矩阵是一个与原矩阵相似的矩阵，它的元素是原矩阵的代数余子式。
具体来说，设A 是一个n 阶方阵，P 是A 的一个n 阶子矩阵，那么A 的伴随矩阵|A|P 是一个n 阶方阵，它的元素是P 的代数余子式。
伴随矩阵有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解矩阵的性质。
例如，伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，这意味着伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。
另外，伴随矩阵的迹等于原矩阵的迹，这意味着伴随矩阵的主对角线元素之和等于原矩阵的主对角线元素之和。
伴随矩阵的运算法则包括矩阵乘法、矩阵加法、数乘等。
这些运算法则可以帮助我们在解决实际问题时更方便地使用伴随矩阵。
例如，如果我们想要计算一个矩阵的行列式，我们可以使用伴随矩阵的行列式公式来计算。
另外，如果我们想要计算一个矩阵的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵的逆矩阵公式来计算。
伴随矩阵在许多领域都有广泛的应用，例如线性方程组、二次型、特征值、特征向量等。
在解决这些问题时，伴随矩阵可以提供一种更简洁、更高效的计算方法。
例如，在解决线性方程组时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算方程组的解。
在解决二次型问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算二次型的标准型。
在解决特征值、特征向量问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算特征值、特征向量。
总之，伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。
伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵（也叫伴随矩阵、伴随矩阵或伴随矩阵）是在线性代数中常用的概念之一。
在此文档中，我们将讨论伴随矩阵的一些基本性质及其应用。
一、伴随矩阵的定义
伴随矩阵是一个矩阵的矩阵。
对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)定义为：
adj(A)=(Cij)T
其中Cij是矩阵A的余子式，即在第i行第j列元素上划掉所在行列后的行列式，T 表示矩阵的转置。
1．伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，即：
|adj(A)| = |A|n-1
2．如果矩阵A是可逆的，则其伴随矩阵也是可逆的，并且有：
3．矩阵A的伴随矩阵与其逆矩阵的关系为：
adj(A)·A-1 = A-1·adj(A) = |A|I
其中I为n阶单位矩阵。
4．如果矩阵A是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。
5．矩阵A和其伴随矩阵的乘积是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A每行的所有元素的余子式乘积：
A·adj(A) = (|A|C11 |A|C21 ··· |A|Cn1
|A|C12 |A|C22 ··· |A|Cn2
...
|A|C1n |A|C2n ··· |A|Cnn)
1．伴随矩阵可以用来求逆矩阵。
总之，伴随矩阵是一个非常有用的概念，它可以在各种不同的数学问题中发挥作用。
理解伴随矩阵的定义和性质，可以帮助我们更好地理解线性代数中其他的概念和定理。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的原理及应用
伴随矩阵的原理及应用1. 伴随矩阵的定义伴随矩阵是指对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，也称为A的伴随矩阵或共轭矩阵。
伴随矩阵的大小与A的大小相同，但其中的每个元素都是A对应位置元素的代数余子式。
2. 伴随矩阵的计算方法伴随矩阵的计算方法有多种，其中比较常用的方法是利用矩阵的代数余子式进行计算。
具体的步骤如下： 1. 对于矩阵A中的每一个元素a[i][j]，计算其代数余子式M[i][j]； 2. 计算伴随矩阵中每个元素的值，即adj(A) = transpose(M)。
3. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下性质： - A与其伴随矩阵adj(A)相乘，得到的结果是行列式的倍数，即A * adj(A) = det(A) * I，其中I为单位矩阵； - 当矩阵A可逆时，其伴随矩阵adj(A)也可逆，并且(adj(A))^-1 = (1/det(A)) * adj(A)； - 若A为对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。
4. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：4.1 矩阵求逆伴随矩阵在矩阵求逆中起到关键的作用。
当矩阵A可逆时，可以利用伴随矩阵进行求逆运算。
具体步骤如下： 1. 计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算矩阵A 的行列式det(A)； 3. 若det(A)不等于0，则矩阵A可逆，A的逆矩阵A^-1 =(1/det(A)) * adj(A)。
4.2 线性方程组的求解伴随矩阵在求解线性方程组中也有应用。
对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数项向量，可以利用伴随矩阵求解。
具体步骤如下： 1. 计算系数矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算系数矩阵A的行列式det(A)；3. 若det(A)不等于0，则方程组有唯一解，解为x = (1/det(A)) * adj(A) * b。
4.3 线性代数中的变换伴随矩阵在线性代数中也用于描述某些变换。
伴随矩阵的性质与应用_考研必看
( )
*
证明 (1) 当秩 ( A) = n 时 A A* = A
n
A ≠ 0 ，由于 AA* = A E ，两边同时取行列式，得 故秩 A* = n . A E得AA* = 0
所以 A* ≠ 0
( )
(2) 当秩 ( A) = n − 1时， A = 0 ，由 AA* =
从而可知 A* 的每一列都是方程组 AX = 0 的解向量,故由此可得 A* ≤ n − 秩( A) = 1 ， 又因为 所以
-2-
k n −1 A21 k n −1 A22 n −1 k A2 n
k n −1 An1 A11 n −1 k An 2 n −1 A12 =k A k n −1 Ann 1n
A21 An1 A22 An 2 n −1 * =k A A2 n Ann
n −1
(
)
*
(A
−1
−A
* *
)
1 * 1 1− A * = − 1 A* = = − A A A A A
*
*
(A )
* *
1− A = A
n −1
A
n−2
*
1.8 A*
( ) = (A )
T
T *
证明 由于 AA* = A* A = A E 所以 又
(A )
* T
AT AT
* T
( ) = (A )
*
* T
AT E = AT A*
* T T *
( )
T
= A A*
T T *
高考数学伴随矩阵与相关应用
高考数学伴随矩阵与相关应用矩阵作为一种非常实用的工具，在数学、物理、经济学等多个领域都有着广泛的应用。
而在高中数学学科中，矩阵也被纳入其中，成为常考的一个考点。
其中，伴随矩阵作为矩阵理论中的一种重要概念，也是高考数学的重点之一。
在这篇文章中，我们将详细讲解伴随矩阵的定义、性质以及相关的应用，帮助大家更好地掌握这一知识点。
伴随矩阵的定义伴随矩阵，又称为伴随矩阵或共轭矩阵，是一个矩阵理论中的特殊矩阵。
对于一个n阶复矩阵A，设其伴随矩阵为A*。
那么A*的定义如下：A* = (Cij)T其中，Cij是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉A的第i行和第j列后所剩余的n-1阶行列式的符号因子。
而在这个定义中，我们限定了矩阵A为复矩阵，是因为当矩阵A为实矩阵时，伴随矩阵就变成了A的转置矩阵。
伴随矩阵的性质了解了伴随矩阵的定义之后，我们再来看看伴随矩阵的一些性质。
1. 对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵A*也是n阶矩阵。
2. 若矩阵A为正则矩阵（即可逆矩阵），则有A* = A-1。
这个性质也是伴随矩阵应用最广泛的地方之一。
3. 若矩阵A为对角矩阵，即A的非零元素只存在于其主对角线上，那么A*也是一个对角矩阵，并且A和A*对角线上的元素相同。
4. 对于任意矩阵A、B和标量k，有(A+B)* = A* + B*和(kA)* = kA*。
5. 若矩阵A的秩为r，则A与其伴随矩阵A*乘积的行列式为det(AA*) = dr。
这个性质的应用非常广泛，可以用于求解线性方程组以及判断矩阵的可逆性等问题。
伴随矩阵的应用了解了伴随矩阵的定义和性质之后，我们再来看看它在实际应用中的作用。
1. 解线性方程组对于一个由n个线性方程组成的方程组Ax=b，其中A为n阶矩阵，x和b都是n维列向量，如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么方程组的解为x=A-1b。
但当矩阵A不可逆时，我们可以使用伴随矩阵求解方程组的解。
具体来说，我们将矩阵A的伴随矩阵A*乘以b向量，得到c 向量。
伴随矩阵求法
伴随矩阵求法在线性代数中，矩阵是一个重要的概念，它是由数个数排列成的矩形阵列。
在矩阵的运算中，伴随矩阵是一个非常重要的概念，它可以用来求解矩阵的逆矩阵、解线性方程组等问题。
本文将介绍伴随矩阵的定义、性质和求解方法，希望对读者有所帮助。
一、伴随矩阵的定义伴随矩阵是指一个矩阵的每个元素的代数余子式所组成的矩阵的转置矩阵，也就是说，如果矩阵A的元素a[i][j]的代数余子式为A[i][j]，则A的伴随矩阵记作adj(A)，它的元素为adj(A)[j][i] = A[i][j]。
例如，对于一个3*3的矩阵A，它的伴随矩阵为：adj(A) = |A[1][1] A[2][1] A[3][1]||A[1][2] A[2][2] A[3][2]||A[1][3] A[2][3] A[3][3]|二、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵和原矩阵的乘积等于原矩阵的行列式乘以单位矩阵。
即：A*adj(A) = det(A)*E，其中E为单位矩阵。
证明：根据矩阵的定义，有：A*adj(A) = |a[1][1] a[1][2] ... a[1][n]| * |A[1][1]A[2][1] ... A[n][1]||a[2][1] a[2][2] ... a[2][n]| |A[1][2] A[2][2] ...A[n][2]||... ... ... ... ||a[n][1] a[n][2] ... a[n][n]| |A[1][n] A[2][n] ...A[n][n]|其中，A[i][j]表示矩阵A的元素a[i][j]的代数余子式。
根据代数余子式的定义，有：A[i][j] = (-1)^(i+j) * M[i][j]其中，M[i][j]为矩阵A去掉第i行和第j列后的行列式。
因此有：A*adj(A) = |a[1][1] a[1][2] ... a[1][n]| *|(-1)^(1+1)M[1][1] (-1)^(2+1)M[2][1] ... (-1)^(n+1)M[n][1]||a[2][1] a[2][2] ... a[2][n]| |(-1)^(1+2)M[1][2](-1)^(2+2)M[2][2] ... (-1)^(n+2)M[n][2]||... ... ... ... ||a[n][1] a[n][2] ... a[n][n]| |(-1)^(1+n)M[1][n](-1)^(2+n)M[2][n] ... (-1)^(n+n)M[n][n]|将每一行展开，有：A*adj(A) = (-1)^(1+1)*a[1][1]*M[1][1] +(-1)^(2+1)*a[1][2]*M[2][1] + ... + (-1)^(n+1)*a[1][n]*M[n][1](-1)^(1+2)*a[2][1]*M[1][2] + (-1)^(2+2)*a[2][2]*M[2][2] + ...+(-1)^(n+2)*a[2][n]*M[n][2] ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...(-1)^(1+n)*a[n][1]*M[1][n] + (-1)^(2+n)*a[n][2]*M[2][n] + ... + (-1)^(n+n)*a[n][n]*M[n][n]根据行列式的定义，有：det(A) = a[1][1]*M[1][1] + a[1][2]*M[2][1] + ... +a[1][n]*M[n][1]因此，有：A*adj(A) = det(A)*E2. 如果矩阵A的行列式不等于0，则A的逆矩阵为：A^-1 = (1/det(A))*adj(A)证明：根据矩阵的定义，有：A*A^-1 = E即：A*(1/det(A))*adj(A) = E因此，有：A^-1 = (1/det(A))*adj(A)三、伴随矩阵的求解方法1. 求解伴随矩阵的元素对于一个n*n的矩阵A，求解它的伴随矩阵的元素，需要先求出每个元素的代数余子式，然后将它们组成一个矩阵，并将该矩阵转置得到伴随矩阵。
伴随矩阵的原理及应用
伴随矩阵的原理及应用伴随矩阵（也称为伴随矩阵、伴随方阵或对合方阵）是一个与给定矩阵相联系的矩阵，用于计算矩阵的逆矩阵、求解线性方程组以及解决其他代数和几何问题。
在本文中，我们将讨论伴随矩阵的原理和应用。
伴随矩阵的定义：给定一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，定义如下：伴随矩阵adj(A) = C^T （转置），其中C为矩阵C的元素c_ij的代数余子式。
即c_ij=(-1)^(i+j) M_ij，其中M_ij 为元素a_ij的代数余子式。
伴随矩阵的原理：伴随矩阵与原矩阵满足以下关系：A * adj(A) = adj(A) * A = A * I （单位矩阵），其中A 表示矩阵A的行列式。
应用一：求解线性方程组伴随矩阵在求解线性方程组中发挥重要作用。
考虑一个线性方程组Ax=b，其中A为n阶矩阵，b为n维向量，x为未知向量。
我们可以通过伴随矩阵求解该线性方程组。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式A ，如果A =0，则方程组无解；如果A ≠0，则方程组有唯一解。
2. 计算伴随矩阵adj(A)。
3. 求解未知向量x，令x = adj(A) * b。
应用二：计算逆矩阵伴随矩阵也可以用于计算矩阵的逆。
对于一个n阶非奇异矩阵A（即矩阵A的行列式A ≠0），其逆矩阵记作A^{-1}，有以下关系：A * A^{-1} = A^{-1} * A = I （单位矩阵）。
根据这个关系，我们可以计算矩阵A的逆矩阵A^{-1}，如下所示：1. 计算矩阵A的行列式A ，如果A =0，则矩阵A没有逆矩阵；如果A ≠0，则矩阵A存在逆矩阵。
2. 计算伴随矩阵adj(A)。
3. 根据A^{-1} = (1/ A ) * adj(A)，计算矩阵A的逆矩阵A^{-1}。
应用三：计算矩阵的生成方法除了求解线性方程组和计算逆矩阵，伴随矩阵还可以用于求解矩阵的生成方法。
给定一个矩阵A，我们可以通过伴随矩阵找到其生成方法。
具体步骤如下：1. 计算伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵的若干性质及应用
伴随矩阵的假设干性质及应用摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵.1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA ==**可得()AAA =-1*； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA ==**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310241A ，求()1*-A .解 经计算可得1=A ，所以()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===-1003102411*A A AA .例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且41=A ，求()*132A A --. 解()1111*1432132132------=-=-A A A A A A A 16114141413131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--AA A . 例3、已知A 和B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，求C 的伴随矩阵*C . 解 由E C C C CC ==**得， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==------111111*B B A O OA B A B OO A B A B O O A B O O A CC C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有()()*11*--=A A证明 因为 ()E A A AE A AA 1*11*,---==故有，AA A *1=-；又因为A A 11=-从而 ()()E AE A A AA A A11*1**11===----，因0≠A ，故()E A A =-*1*, 所以()()*11*--=A A .例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2311123211A ，求伴随矩阵*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 ()A A AAA 11*--==， 而2311123211=-A =8，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==--3155131518111A A ,所以()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-3155131511*A .㈡此题用性质6可直接得()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==--315513151*11*A A ，可见简单之处. 1.3 ()*1*A k kA n -= 〔k 为常数〕证明 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211*A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111所以kA 的1-n 阶子式中每一个元素都是A 中的相对应元素的k 倍，从每一行中提取公因子k ，从而矩阵kA 中每一元素ij ka 的1-n 阶代数余子式就是ij n A k 1-.所以()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---------nn n nn n n n n n n n n n n A k A k Ak A k A k A k A k A k A k kA 121112122112111211111*=1-n k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111=*1A k n - 故证之.例5、设A 为一个3阶矩阵，且已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112211123A ，求*41⎪⎭⎫⎝⎛A .解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513555531332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛1651611631651651651651631615135555311614141*2*A A .1.4 伴随矩阵的秩的性质 设A 是n 阶矩阵()2≥n ,则秩()=*A ()()(),;1,1;0,1;n A n A n A n =⎧⎪=-⎨⎪<-⎩当秩时当秩时当秩时证明 ()1 当秩()n A =时 0≠A ，由于E A AA =*，两边同时取行列式，得 nA A A =* 所以0*≠A 故秩()n A =*. ()2当秩()01=-=A n A 时，，由0**==AA E A AA 得从而可知*A 的每一列都是方程组0=AX 的解向量,故由此可得()()1*=-≤A n A 秩，又因为 A 矩阵至少有一个1-n 阶子式不为零，故*A 至少有一个元素不为零， 所以 此时秩()1*=A .()3当秩()1-<n A 时，矩阵01*=-A n A 阶子式全为零，故的所有，所以秩()0*=A .性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.例6、设()2>n n 阶方阵A ，假设秩()2-=n A 时，则秩()=*A ______.A.nB.1-nC.1D.0解 因为秩()2-=n A ，由以上性质可得秩()=*A 0，故选D.例7、设A 为一四阶矩阵，且*,0000001001001000A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=是A 的伴随矩阵，求秩()()**A.解 因为秩()3=A ，而A 为4阶矩阵，所以 秩()3141*=-<=A ，由以上性质可得 秩()()0**=A .1.5 1*-=n AA证明 ()1当A 可逆时，由于两边同时取行列式，得,*E A AA =nA A A =*，因为0≠A ，两边同时乘以1-A，得1*-=n AA ；()2当A 不可逆时，()1;0*≤=A A 可得秩，则,0*=A从而此时也有 1*-=n AA .例8、已知B A 和都是n 阶方阵，=-==-1*4,2,4B A B A 则. 解 34111*1*221441444------=-⋅⋅===n n n n n n B A B A B A . 1.6()A AA n 2**-= 〔2>n 〕证明 ()1当0≠A A 可逆时，则， 因为,*E A AA = 所以,1*-=A A A 于是 ()()()()**11*111111nAA A A AA A A AA A-------=== =A A A AA A n n211--= ()2当(),1,0*≤=A A A 秩不可逆时，则由此可得 当()()所以此时有所以时，秩,0,02****==>A A n()*2*n A AA -=.例9、已知A 为n 阶可逆矩阵,且3=A ，化简()**1A A --. 解 因为E A A A AA ==**，所以 *11A AA =-，所以 ()()()AA AA A A A A A A A A A AAn n n n 3211111121**1*******1------=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1.7 ()[]5***A B AB =证明 ()1;0,00≠≠≠B A AB 时，此时有当从而有1*1*,--==B B B A A A 可得 ()()**11111*A B A A B B A B B A AB AB AB ====-----()()(),,02E B B E A A AB λλλλ-=-==时，此时考察矩阵当 因为矩阵B A 和的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个λ，使得 ()()0,0≠≠λλB A ∆由()1得结论可得，()()()()()λλλλ***A B B A = ，令()()()()(),*n n ij h B A ⨯=λλλ ()()()()n n ij k A B ⨯=λλλ** 则由上式得()()λλij ij k h =， ()n j i ,...,2,1,= Θ因为知有无穷多个式成立，使穷多个式成立，从而也就有无使Θ∆λλ但是由于()()λλij ij k h ,都是多项式，因此Θ式对一切都成立λ；特别，当令0=λ时有 ()()()()()()******0000A B A B B A AB ===故证明之.例10、已知A 和B 为三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211212131*A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310241*B ，求()*1AB -.解 经计算可得()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-10031010411*B ， 所以 ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--21142113932112121311003101041**1*1A B AB.1.8 ()()**T TA A =证明 由于 E A A A AA ==**所以 ()()()()()TTT T TT T TA A A A E A A A A A *****===又 ()()()()()()()******T T TT TT T TA A A E A A AA A A A ===因此有 ()()**T TA A A A =()1当A 可逆时，则0≠A ， 所以 ()()**T TA A =；()2当A 不可逆时，则0=A ，此时用矩阵A E A 代替矩阵λ-，得 ()()()()**T TE A E A E A E A λλλλ--=--因为矩阵A 的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个λ使得,0≠-E A λ从而有()()()()**T TE A E A λλ-=-令()()()()nn ijTh E A ⨯=-λλ*， ()()()()nn ijT k E A ⨯=-λλ*， ∆所以有 ()()λλij ij k h = ()n j i ,...,2,1,=由此可得存在无穷多个λ使得上式成立，而()()λλij ij k h ,都是多项式，因此上式对一切λ都成立，取0=λ代入∆式时，有 ()()**T TA A =.1.9 伴随矩阵的特征值]5[设矩阵n n A λλλ，，，个特征值有...21；()阵的特征值为为满秩矩阵时，伴随矩当A 1A A A n 11211,...,,---λλλ()2当A 为降秩矩阵时，那么伴随矩阵*A 的n 个特征值至少有1-n 个为0，而且另一个不等于零的特征值假设存在，则等于nn A A A +++...2211.[5]证明 ()1因为A 为满秩矩阵，所以A 为可逆矩阵也即0≠A 1*-=A A A ，此时矩阵A 的特征值均不为零，且1-A 的n 个特征值为,...,1211--λλ,1-n λ，再由1*-=A A A 可得，伴随矩阵有n 个特征值为A A A n 11211,...,,---λλλ；()2 ①当秩()2-≤n A 时，此时，秩()0*=A ，所以0*=A因此 可推得0,0，…,0为伴随矩阵*A 的特征值 此时结论成立.②当秩()1-=n A 时，此时，秩()1*=A ，那么设*A 的特征值为''2'1,...,,n λλλ由假设尔当标准形知，存在可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-''1*10**n T A T λλ ， 其中''2'1,...,,n λλλ为*A 的全部特征值因为()1*=A ，不妨设,0 0'2'1===≠n λλλ而则上式为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0...0.........**'1*1λT A T从而 nn A A A trA +++==...2211*'1λ.例11、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，假设A 有特征值λ，则()E A +3*必有特征值什么?解 由性质知，A 有特征值λ，*A 必有特征值λA，从而()E A +3*必有特征值3⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA +1. 1.10 如果A 是可逆矩阵，且**~,~B A B A 则证明 因为B A ~，则存在可逆矩阵T ，使得 B AT T =-1 把上式两边同时取行列式得B T A T =-1，又由于A 可逆，故0≠A ，从而0≠B ，即B 也是可逆的， 所以，1*1*,--==B B B A A A 由B AT T =-1，则()()111111111---------===B T A T T A T ATT因此 11~--B A 因为B A ~，则B A =把111---=B T A T 两端同时乘以A 得，*1111*1B B B B A T A A T T A T ====-----所以，,**1B T A T =-**~B A .例12、设A 、B 为三阶相似矩阵，A 的特征值为1，1，3，求*B .解 因为A 的特征值为1，1，3， 故3=A ，所以 *A 的特征值为131,31,31=⨯=⨯=⨯A A A ，又因为B A ~，所以**~B A ，所以 *B 的特征值为3，3，1， 所以9*=B .1.11 如果A 是可逆矩阵，且也合同与和合同，则与**B A B A证明 由题中矩阵B A 与合同，因此存在可逆矩阵C ，使[1] B AC C T =，等式两边分别取行列式，得B C A C T = 因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，从而0≠B ，而B A C =2又因为()()11111-----==B C A C ACC TT ， 令()1-=TC T则()()TT TCT 1-==()()11--=C C TT ， 从而11--=B T A T T ， 故是合同的与11--B A ， 从而()11112----==B B T C A A T C B B T A T A C TT 即所以()()**B T C A T C T=，所以**B A 与也合同.2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质[4]2.1 假设A 是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是可逆的对称矩阵a.已知数量矩阵()0≠k kE ，它的伴随矩阵也是数量矩阵；A 是可逆的，则它的伴随矩阵*A 也是对角矩阵.2.2 假设A 是上〔下〕三角矩阵，且A 是可逆的，则*A 也是上〔下〕三角矩阵例13、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100130211A ，故3=A ，所以A 是可逆的，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300110513332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以*A 是可逆的，且为上三角矩阵.2.3 ()1当n 阶实矩阵A 是半正定时，则它的伴随矩阵*A 也是半正定的证明 由于A 是半正定的，因此存在实矩阵C ，使 C C A T = 从而()()()P P C C C C C C A T TTT ====****** 其中()TC P *=即有实矩阵P ，使得P P A T =* 所以*A 也半正定的.()2当n 阶实矩阵A 是正定矩阵时，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵证明 由于矩阵A 是正定的，从而可知存在可逆矩阵T ，使 E AT T T = 所以()()()E E T A T T A T AT T TT T ====********即有 ()E T A T T=***所以 *A 也是正定矩阵.2.4 当n 阶矩阵A 为正交矩阵时，则其伴随矩阵*A 也为正交矩阵[7] 证明 由于A 为正交矩阵，从而可知E A A T =，1±=A ， 而E A AA =*，所以11*--±==A A A A 而()()()E A A A A TT=±±=--11**故*A 也是正交矩阵.例14、设正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121A ，易算⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212121*A ， 从而可算的()=TA A **E,即*A 也为正交矩阵.2.5 假设A 为幂等矩阵，也就是说满足A A =2，当秩()()1-<=n A n A 或秩时，对应可得矩阵*A 也是幂等矩阵[4]证明 ()1当秩()n A =时，由于A A =2，左式两边同时取行列式，得 A A =2，所以1=A ，由A A =2，又可得12--=A A ；而E A AA =*，1*-=A A A ，从而()()()*11221212*A A A A A A A A A ======-----，即()*2*A A =所以，此时*A 也是幂等矩阵.()2当秩()1-<n A 时，可得秩()0*=A ，所以*A =0，当然有()*2*A A =，所以，此时*A 也是幂等矩阵.小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵，从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003：177-203[2]贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值[J].陕西师范大学继续教育学报，2007年第24卷第1期：98-99[3]乐茂华.高等代数[M].南京大学出版社，2002[4]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].中国科技信息，2006年第22期：322-323[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社，2009年10月第二版：100-218[6]邱森.高等代数[M].武汉大学出版社，2008[7]王萼芳.高等代数[M].上海科学技术出版社，1981：271-296[8]姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社，1995：38-39[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社，1995[10]张禾瑞.高等代数〔第4版〕[M].北京高等教育出版社，1999[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报，2003年增刊：28-29Some Properties and Applications of the Adjoint Matrix Name:Yang Ting Student Number:200740510647Advisor:Ge XintongAbstract Matrix is a very important point in learning higher algebra,while in matrix’s calculations and application adjoint matrix plays an extremely important role.This paper using some techniques and methods in matrix’s calculations,proved some properties of general n order phalanx and some special matrix’s adjoint matrix.These properties are discussed based on the relationship between the original matrix and adjoint matrix,using the study of matrix methods to begin.Through these properties we can have a deeper understand of matrix and adjoint matrix.Moreover,we can use these properties directly to make it simple when we encountered some problems about adjoint matrix.Keywords matrix ;adjoint matrix; eigenvalue;。
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２ １年 ９ 月 ０１
河 南教 育 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｅ ａ ｎ ｔｕｅｏ ｄ ｃ ｔ ｎ（ ａｕａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｎ Ｉｓ ｔｔ ｆ ｕ ａ ｏ Ｎ ｔ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ Ｈ ｉ Ｅ ｉ ｒ ｉ
Ｉ ） （ Ａ 一＝
） ｉ ２・ ＝ｌ － Ａ Ａ ｎ
（ ） （ ） — 时，Ｕ （ ） ，ＡＩ ０ 从而 ｒ Ａ ＝ ，Ａ ） ＝ ＝ｌ 一 ． ２ 当ｒＡ ≤ｎ Ｉ 贝 ａ ≤Ｉ Ｉ ＝ ， ｒ （ ） ０ （ ’ ０ Ｉ ’ Ａ Ａ
综合 （ ） （ ） 即证（ ） ＝Ｊ Ａ １ 、２ ， Ａ Ｊ ． Ａ ～
Ａｈ Ａ２
Ａ
●
称 为 Ａ 的 伴 随
：
Ａ
矩阵．
定 理 １“ 矩 阵 Ａ可 逆 的充 分 必 要 条 件 是 非退 化 ， Ａ～ １ 且
Ａ ・
推论 １ Ａ ＝ Ａ：Ｉ Ｉ ， ｎ阶单 位矩阵． Ａ Ａ’ ， 为 ，
２ 相 关 命 题
命题 １
摘 要 ： 伴 随 矩 阵 性 质 作 进 一 步 的 讨 论 ， 出 相 关 的 命 题 和 证 明 ， 利 用 这 些 性 质 对 相 关 问题 做 出快 速 简便 对 给 并
求 解．
关 键 词 ： 阵 ； 随 矩 阵 ； 定 矩 阵 矩 伴 正
中图分类号 ： ５ ．１ Ｏ１ １２
文献标识码 ： Ａ
‘ 中用Ａ 换Ａ （ － ～＝ １（ ＝Ｉ ｌ ） 所以 （ － ＝ Ａ 得 ＡＩ ） Ａ ） （ ， Ａ Ａ Ａｊ ． ）
综上 可得（ ） Ａ ‘＝（ ） １ Ａ 一． 命题 ５ 设 Ａ， Ｂ均 为 ｎ阶 方 阵 ， （ Ｂ） ＝Ｂ 则 Ａ Ａ‘ ．
意 义 ． 文 将 对 伴 随 矩 阵 的 性 质 作 进 一 步 的 讨 论 ， 出 相关 的 命 题 和证 明． 本 给
１ 有 关 定 义
ＡＩ ｌ Ａ２ ｌ Ａ ｌ
ＡＩ Ａ ２ ２ ２
定义 １ … 设 Ａ 是 矩 阵 Ａ： Ⅱ
中元 素 。 的 代 数 余 子 式 ， 阵 Ａ ＝ 矩
作者 简 介 ： 群 珍 （ ９ ０ ） 女 ， 西 宝 鸡 人 ， 州 大 学 数 学 系在 读 硕 士 研 究 生 、 南 教 育 学 院 数 学 系讲 师 ． 郑 １８一 ， 陕 郑 河
进 行 分 求 解 １ ４ 河 南 教 育 学 院 学 报 （自然 科 学版 ） ２１ ０ １血 析 解 就 利 该 很 用 因为存在无穷多个 Ａ， ２ 当 ｌＢＩ ０时 ， ） ＝ Ａ 考虑矩阵 Ａ Ａ Ａ—Ａ ， （ ＝Ｂ— Ｉ 由于 Ａ和 都是最多只有有限个特征根 ， （ ）＝ ＩＢ Ａ） Ａ， 使
设 Ａ为 ｎ 阶矩阵， Ｉ ’ｌ Ｉ ． 则 ：Ｉ Ａ Ａ 一’
，
ｎ 当 ｒ Ａ）＝ｎ时 ， （
命题２ 设Ａ 为ｎ 阶矩阵， （ ’ ＝ ， （） ， １ ． 则ｒ ） Ｊ 当ｒ ＝ｌ 时 Ａ １ Ａ 一
【， （） 一 时 ０当， ≤ ２ Ａ
命题 ３ 设 Ａ为 Ｉ阶矩阵 ， Ａ ） ＝Ｉ Ａ ＂ ｔ 则（ ‘ ｌ ． Ａ 一
题 方 初 若 ，变 直 便 等
收 稿 日期 ：０ ｌ—ｏ ２１ ４—２ ８
基 金 项 目 ： 南 省 科 技 厅 软 科 学 研 究 项 目（ １４ ０ ５ １ ２ 成 果 ； 南 省 政 府 决 策 招 标 课 题 （ ０ １ １ ３ 成 果 ； 南 教 育 学 院 院 河 １２ ０ ４ ０ ８ ） 河 ２ １Ｂ７ ） 河 级 精 品 课 程 “ 间解 析几 何 ” 目成 果 空 项
证明 由于 ｉ ｆ ｆ 可分情况讨论． ＿ｆ 一 ， Ａ （） （ ） Ｕ １ 当ｒＡ ＝ 时，Ａｌ ０ 则 Ａ可逆． Ｉ ， ≠ 又由于Ａ ‘＝Ｉ ， Ａ ｌ 对该式两边同时左乘 Ａ 可得 Ａ Ａ， ～， ＝｝ ～， ＡＩ 将上式中 Ａ换 Ａ
为｜ ， ４ 则有（ ） ＝ ’ Ａ
文章 编 号 ：０ ７— ８４ ２ １ ） ３— ０ ３— ３ １０ ０ ３ （ ０ １ ０ ０ １ ０
矩 阵 Ａ 的伴 随矩 阵 Ａ 作 为 一 类 重 要 矩 阵 ， 论 在 矩 阵 的 理 论 ｌ 疗 面 ， 是 在 矩 阵 的实 际 应 用 方 面 都 有 很 重 要 的 研 究 无 识 还
证明 １ 当 ＩＢｆ ０时 ， 时 Ｉ ０ Ｉ ０ 由公式 Ａ ） Ａ ≠ 这 Ｉ ，ＢＩ ， Ａ≠ ≠ ＝Ｉ Ａ～， Ａ【 可得 ：Ａ ） ＝ＩＢｌ 曰 ～＝ （Ｂ ’ ） Ａ （
ｌ Ｉ Ｉ Ａ Ｂ ～＝ｌ ｌ Ｉ～＝ ’ ， Ａ Ｉ Ｂ Ｉ Ａ Ｂ Ａ 结论成立． ＢＢ Ａ
ＶｏＩ２ Ｎｏ ３ ．０ ． Ｓｅ ２ ｐ． ０１１
ｄ ｉ １ ３ ６ ／ ．ｓｎ １ ０ —０ ３ ． ０１ ． ３ ０ ５ ｏ：０． ９ ９ ｊ ｉｓ ． ０ ７ ８ ４ ２ １ ０ ． ０
伴 随 矩 阵 的 性 质 及 应 用 研 究
郑 群 珍 封 平 华２ ２，
（ ． 州 大 学 数 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０ ０ ； ． 南教 育 学 院 数 学 系 ， 南 郑 州 ４ ０ ４ ） １郑 河 ５０１ ２ 河 河 ５ ０ ６
命 题 ４ 若 为 ｎ阶 （Ａ ～ ＝ １Ａ～ ￣ｔ ｋ） ｔＪ Ｔ
，
再 Ａ＝ 边 逆得 ＝ ， （）＝ 对～南Ａ 取 可 ＡＩＡ ～ 以 ～冈Ａ 两 ）所 Ａ １． Ａ Ｉ （
又，～＝ Ａ