第04章 市场风险：风险价值VaR
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EStq Et 1 rt rt VaRtq
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4.3 VAR与预期损失
ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。
例如，当X ＝99，T ＝10天时，VaR＝6400万 美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元 时的期望值。 ES比VaR更符合风险分散原理。
本章内容：
－ VaR的概念 － VaR的计算例子 － VaR与ES － VaR与资本金 － VaR中的参数选择 － 后验分析（Backtesting analysis）
4/64
4.1 VAR的定义
VaR：我们有X％的把握，在未来T 时期内，资产 组合价值的损失不会大于V。 V ：资产组合的VaR
2/64
引言
风险价值VaR （Value at Risk）是试图对金融 机构的资产组合提供一个单一风险度量，这一 度量能够体现金融机构所面临的整体风险。
VaR最早由J. P. Morgan投资银行提出，随即被 各大银行、基金等金融机构采用。
3/64
引言
目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地 区银行的风险资本金，包括针对市场风险、信用风险和 操作风险的资本金。
CHAPTER 04 市场风险：风险价值VAR
引言
金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千 个市场变量。
某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合 价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、 Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能 为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体 风险的完整图像。
另外，VaR也比较容易进行后验分析 （Backtesting analysis）。
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4.3 VAR与ES
然而，VaR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。
例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未 来一天内99％的VaR额度为1000万美元，该交易 员可以构造某一资产组合，该组合有99.1％的可 能每天的损失小于1000万美元，但有0.9％的可能 损失5000万美元。 这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交 易员使银行承担了不可接受的风险。
VaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X% VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得 出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布 得出。
5/64
4.1 VAR的定义
当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100X) %分位数的负值
6/64
4.1 VAR的定义
当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。
可以这样描述：我们有99％的把握认为在未来 1年后该项目损失不会超过400万美元。
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4.2 VAR的计算例子
Example 4
续上例，试求99.5％置信度下的VaR
上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任 何损失值出现的可能性都不超过99.5％。 VaR在这一情形下不具备唯一性
对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求 在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9 ％的置信度。
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4.4 VAR和资本金
对于99.9％的置信度和1年时间，某个组合的VaR 为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上， 每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损 失会超过5000万美元。
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4.2 VAR的计算例子
Example 3 一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概率 损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
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4.2 VAR的计算例子
在这样的累积分布下，对应于99％累积概率的 损失为400万美元。
VaR＝400万美元
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4.3 VAR与预期损失
ES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观； 较难进行后验分析。
ES也已在监管机构和风险管理人员中得到了 广泛应用。
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4.4 VAR和资本金
VaR被监管机构用来确定资本金的持有量。
对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于 在未来10天99％VaR的若干倍数；
概率：1.25％
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4.4 VAR和资本金
1年期99％的VaR是多少？
要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：
1000 X 1.25% 1% 1000
解得：X＝200。 对单笔贷款， VaR＝200 （万美 元）
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4.4 VAR和资本金
一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值， 即99.5%置信度下的VaR为700万美元。
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4.3 VAR与ES
在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会 是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理人 员都应关心的问题。 VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的 敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大 为简化。
35/64Biblioteka Baidu
4.5 满足一致性条件的风险度量
将两个贷款项目结合到一起时，在2.5％的尾 部概率中，有0.04％的概率损失2000万美元， 有2.46％的概率损失1100万美元。
因此，在2.5％的尾部分布内，预期损失ES为 (0.04/2.5)× 20＋(2.46/2.5)×11=11.144（百万 美元）
4.4 VAR和资本金
（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构 成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产 各自风险测度值之和。
含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里” 的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险 一定要小于等于集中化投资的风险。
VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远 满足条件（4）。
也就是说，我们有99.9％的把握认为，持有该组 合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资 本金。 如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度 选择吗？
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4.4 VAR和资本金
Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该 满足： （1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件 下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风 险测度值一定要大于B组合的风险测度值；
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4.4 VAR和资本金
假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款 一定不会违约。
首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25％。如果 发生违约，损失均匀地介于0～1000万美元， 这意味着损失大于零的概率为1.25％；损失大 于500万的概率为0.625％；损失大于1000万的 1000 概率为零。 0
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4.2 VAR的计算例子
Example 2
假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元 损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具 有均等的可能性。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美 元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为 1％。 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万 美元。
综合考虑两笔贷款。
由于每笔贷款的违约概率均为1.25％，且两笔 贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔 贷款违约出现的概率为2.5％。 违约触发的损失介于0～1000万美元的概率为 均等。
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4.4 VAR和资本金
贷款组合99％的VaR是多少？
要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：
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4.4 VAR和资本金
Example 5
假定两个独立的贷款项目在1年内均有2％的概率 损失1000万美元，同时均有98％的概率损失100 万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、 置信度为97.5％下的VaR均为100万美元。
将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有 0.02×0.02＝0.0004的概率损失2000万美元，有 2×0.02×0.98＝0.0392的概率损失1100万美元， 有0.98×0.98＝0.9604的概率损失200万美元。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
在2.5％的尾部概率中，有2％的概率损失1000 万美元，有0.5％的概率损失100万美元。 因此，在2.5％的尾部分布范围内，有2％（占 2.5％的80％）的可能损失1000万美元，有0.5 ％（占2.5％的20％）的可能损失100万美元。
预期损失ES为0.8×10＋0.2×1＝8.2（百万美 元）
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4.4 VAR和资本金
在时间期限为1年，97.5％的置信度下，贷款 组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的 VaR之和为200万美元。
贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元 违反次可加性
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4.4 VAR和资本金
Example 6
考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的 贷款，每笔贷款的违约率均为1.25％。 当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量 不定，但回收率介于0～100％的可能性均等。 当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美 元。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等 四个条件的风险测度被称为“一致性风险测度” VaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测 度
Example 7
继续考虑例5。每笔贷款的VaR均为100万美元， 现在要计算置信度为97.5％的尾部期望损失。
1000 X 2.5% 1% 1000
解得：X＝600（万美元）
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4.4 VAR和资本金
由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20 万美元，因此将这一盈利考虑在内，可得贷款 组合1年期99％的VaR＝580万美元。
单笔贷款的VaR之和＝200＋200＝400（万美 元） 这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效 应”的论断相悖。
含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差， 那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资 本金数量更大。
22/64
4.4 VAR和资本金
（2）转换不变性（Translation invariance）： 如果在交易组合中加入K 数量的现金，则风险 测度值必须减少K；
含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则 该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要 求也应该可以减少K。
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4.3 VAR与ES
交易员所追求的概率分布：
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4.3 VAR与ES
许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更 大的收益。
某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控 制系统会使我的交易无法进行”。
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4.3 VAR与预期损失
预期损失ES
一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的 风险测度为预期损失－ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条件VaR” （conditional VaR）、“条件尾部期望 （conditional tail expectation）”、“尾部损失” （tail loss）。 ES：超过VaR的损失期望值
例：当T =5，X =97%时，VaR对应于投资组合 在5天后收益分布的3％分位数的负值，也对应 于投资组合在5天后损失分布的97％分位数。
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4.2 VAR的计算例子
Example 1
假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分 布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。 由正态分布的性质可知，收益分布的1％分位数为 2-2.33×10，即-21.3。 因此，对于6个月的时间期限，在99％置信度下的VaR 为21.3（百万美元）。
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4.4 VAR和资本金
（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产 组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资 产数量增至原来数量的n （n > 0）倍，则新组 合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的 资本金要求也应该放大两倍。
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2×8.2 > 11.144，故该例中，ES满足次可加性。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均 就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100％的 权重，而对其它分位数设定了0权重；
ES对高于X ％分位数的所有分位数设定了相同的权重， 但对低于X ％分位数的所有分位数设定了0权重。 基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所 有分位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测 度”（Spectral risk measure）。
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4.3 VAR与预期损失
ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。
例如，当X ＝99，T ＝10天时，VaR＝6400万 美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元 时的期望值。 ES比VaR更符合风险分散原理。
本章内容：
－ VaR的概念 － VaR的计算例子 － VaR与ES － VaR与资本金 － VaR中的参数选择 － 后验分析（Backtesting analysis）
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4.1 VAR的定义
VaR：我们有X％的把握，在未来T 时期内，资产 组合价值的损失不会大于V。 V ：资产组合的VaR
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引言
风险价值VaR （Value at Risk）是试图对金融 机构的资产组合提供一个单一风险度量，这一 度量能够体现金融机构所面临的整体风险。
VaR最早由J. P. Morgan投资银行提出，随即被 各大银行、基金等金融机构采用。
3/64
引言
目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地 区银行的风险资本金，包括针对市场风险、信用风险和 操作风险的资本金。
CHAPTER 04 市场风险：风险价值VAR
引言
金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千 个市场变量。
某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合 价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、 Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能 为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体 风险的完整图像。
另外，VaR也比较容易进行后验分析 （Backtesting analysis）。
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4.3 VAR与ES
然而，VaR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。
例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未 来一天内99％的VaR额度为1000万美元，该交易 员可以构造某一资产组合，该组合有99.1％的可 能每天的损失小于1000万美元，但有0.9％的可能 损失5000万美元。 这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交 易员使银行承担了不可接受的风险。
VaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X% VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得 出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布 得出。
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4.1 VAR的定义
当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100X) %分位数的负值
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4.1 VAR的定义
当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。
可以这样描述：我们有99％的把握认为在未来 1年后该项目损失不会超过400万美元。
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4.2 VAR的计算例子
Example 4
续上例，试求99.5％置信度下的VaR
上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任 何损失值出现的可能性都不超过99.5％。 VaR在这一情形下不具备唯一性
对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求 在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9 ％的置信度。
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4.4 VAR和资本金
对于99.9％的置信度和1年时间，某个组合的VaR 为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上， 每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损 失会超过5000万美元。
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4.2 VAR的计算例子
Example 3 一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概率 损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
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4.2 VAR的计算例子
在这样的累积分布下，对应于99％累积概率的 损失为400万美元。
VaR＝400万美元
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4.3 VAR与预期损失
ES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观； 较难进行后验分析。
ES也已在监管机构和风险管理人员中得到了 广泛应用。
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4.4 VAR和资本金
VaR被监管机构用来确定资本金的持有量。
对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于 在未来10天99％VaR的若干倍数；
概率：1.25％
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4.4 VAR和资本金
1年期99％的VaR是多少？
要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：
1000 X 1.25% 1% 1000
解得：X＝200。 对单笔贷款， VaR＝200 （万美 元）
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4.4 VAR和资本金
一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值， 即99.5%置信度下的VaR为700万美元。
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4.3 VAR与ES
在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会 是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理人 员都应关心的问题。 VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的 敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大 为简化。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
将两个贷款项目结合到一起时，在2.5％的尾 部概率中，有0.04％的概率损失2000万美元， 有2.46％的概率损失1100万美元。
因此，在2.5％的尾部分布内，预期损失ES为 (0.04/2.5)× 20＋(2.46/2.5)×11=11.144（百万 美元）
4.4 VAR和资本金
（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构 成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产 各自风险测度值之和。
含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里” 的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险 一定要小于等于集中化投资的风险。
VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远 满足条件（4）。
也就是说，我们有99.9％的把握认为，持有该组 合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资 本金。 如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度 选择吗？
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4.4 VAR和资本金
Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该 满足： （1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件 下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风 险测度值一定要大于B组合的风险测度值；
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4.4 VAR和资本金
假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款 一定不会违约。
首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25％。如果 发生违约，损失均匀地介于0～1000万美元， 这意味着损失大于零的概率为1.25％；损失大 于500万的概率为0.625％；损失大于1000万的 1000 概率为零。 0
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4.2 VAR的计算例子
Example 2
假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元 损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具 有均等的可能性。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美 元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为 1％。 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万 美元。
综合考虑两笔贷款。
由于每笔贷款的违约概率均为1.25％，且两笔 贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔 贷款违约出现的概率为2.5％。 违约触发的损失介于0～1000万美元的概率为 均等。
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4.4 VAR和资本金
贷款组合99％的VaR是多少？
要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：
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4.4 VAR和资本金
Example 5
假定两个独立的贷款项目在1年内均有2％的概率 损失1000万美元，同时均有98％的概率损失100 万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、 置信度为97.5％下的VaR均为100万美元。
将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有 0.02×0.02＝0.0004的概率损失2000万美元，有 2×0.02×0.98＝0.0392的概率损失1100万美元， 有0.98×0.98＝0.9604的概率损失200万美元。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
在2.5％的尾部概率中，有2％的概率损失1000 万美元，有0.5％的概率损失100万美元。 因此，在2.5％的尾部分布范围内，有2％（占 2.5％的80％）的可能损失1000万美元，有0.5 ％（占2.5％的20％）的可能损失100万美元。
预期损失ES为0.8×10＋0.2×1＝8.2（百万美 元）
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4.4 VAR和资本金
在时间期限为1年，97.5％的置信度下，贷款 组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的 VaR之和为200万美元。
贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元 违反次可加性
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4.4 VAR和资本金
Example 6
考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的 贷款，每笔贷款的违约率均为1.25％。 当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量 不定，但回收率介于0～100％的可能性均等。 当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美 元。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等 四个条件的风险测度被称为“一致性风险测度” VaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测 度
Example 7
继续考虑例5。每笔贷款的VaR均为100万美元， 现在要计算置信度为97.5％的尾部期望损失。
1000 X 2.5% 1% 1000
解得：X＝600（万美元）
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4.4 VAR和资本金
由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20 万美元，因此将这一盈利考虑在内，可得贷款 组合1年期99％的VaR＝580万美元。
单笔贷款的VaR之和＝200＋200＝400（万美 元） 这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效 应”的论断相悖。
含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差， 那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资 本金数量更大。
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4.4 VAR和资本金
（2）转换不变性（Translation invariance）： 如果在交易组合中加入K 数量的现金，则风险 测度值必须减少K；
含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则 该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要 求也应该可以减少K。
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4.3 VAR与ES
交易员所追求的概率分布：
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4.3 VAR与ES
许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更 大的收益。
某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控 制系统会使我的交易无法进行”。
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4.3 VAR与预期损失
预期损失ES
一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的 风险测度为预期损失－ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条件VaR” （conditional VaR）、“条件尾部期望 （conditional tail expectation）”、“尾部损失” （tail loss）。 ES：超过VaR的损失期望值
例：当T =5，X =97%时，VaR对应于投资组合 在5天后收益分布的3％分位数的负值，也对应 于投资组合在5天后损失分布的97％分位数。
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4.2 VAR的计算例子
Example 1
假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分 布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。 由正态分布的性质可知，收益分布的1％分位数为 2-2.33×10，即-21.3。 因此，对于6个月的时间期限，在99％置信度下的VaR 为21.3（百万美元）。
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4.4 VAR和资本金
（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产 组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资 产数量增至原来数量的n （n > 0）倍，则新组 合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的 资本金要求也应该放大两倍。
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2×8.2 > 11.144，故该例中，ES满足次可加性。
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4.5 满足一致性条件的风险度量
一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均 就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100％的 权重，而对其它分位数设定了0权重；
ES对高于X ％分位数的所有分位数设定了相同的权重， 但对低于X ％分位数的所有分位数设定了0权重。 基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所 有分位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测 度”（Spectral risk measure）。