实变函数(4)解读

所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。
3 开集的性质
A
B
a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
注：无限多个开集的交不一定为开集，如： En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)
0
得
0
n
n
0
Eº 为开集 证明：只要证 E ( E )

任取 x E
，
由内点的定义知 0, 使得O( x, ) E
任取 y O( x, ) ，取 ' d ( x, y)
则O( y, ') O( x, ) E
从而y为E的内点，从而
利用( E )' ( E E ' )' E '( E ' )' E 'E ' E ' E 可得E为闭集
注： E 为包含E的最小闭集
2 开集与闭集的对偶性
a.
( E) ( E )
c
c
(E ) (E )
c
c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
O( x', ')
0, 有O( x, ) ( E'{x})
取x ' O( x, ) (E ' {x})，由x ' E '
知 ' 0, 有O( x ', ') ( E { x '}) (当 ' min{ d ( x, x '), d ( x, x ')}时,有x O( x ', ') O( x, )）
0, 使得O( p0 , ) E E的内点：
由于E E ' E E ' {E的孤立点全体 } 故E E等价于E ' E
E E ( 因为 E E显然) 说明：要证E是开集，只要证
要证E是闭集，只要证 E' E或E E(因为E E显然)
c O [ a , b ] 则 ( x, ) ,
从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集。
说明： 要证E是闭集，只要证
a
b
x
பைடு நூலகம்
E ' E或Ec (E' )c 或E E或Ec (E)c (因为E E显然)
注：闭集为对极限运算封闭的点集
例：开区间(a,b)为开集
证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 O( x, ) (a, b) ,
从而x是（a,b）的内点，
故(a,b)是开集。
a x b
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然)
例：闭区间[a,b]为闭集
证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},
若E为开集，则Ec为闭集;
4
4
闭集的性质
若E为闭集，则Ec为开集
c ( A )c A


a.空集，Rn为闭集； 5 b.任意多个闭集之交 仍为闭集； 6 c.有限个闭集之并仍 为闭集。
c ( A )c A


注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]
E`为闭集
知 ' 0, 有O( x ', ') ( E {x '})
O( x , )
(当 ' min{ d ( x, x '), d ( x, x ')}时,有x O( x ', ') O( x, )）
E
O( x', ')
从而 O( x, ) (E {x}) 即x为E的聚点，从而 ( E ' )' E '
O( x, ) E
x ( E )
所以x为Eº 的内点，即
从而E ( E )，即E 为开集
O( y , ')
E
注：
Eº 为含于E内的最大开集
O( x , )
E`为闭集
O( x , )
( E ' )' E '
E
证明：只要证
任取 x ( E ' )' ，由聚点的定义知
第二章 点集
第三节 开集,闭集,完备集
1. 开集、闭集 若Eº= E , 则称E为开集（E中每个点都为内点)
若
P0为 P0为 P0为
E E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
0, 有O( p0 , ) E E的接触点：
E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0})
5 .隔离性定理及点集间的距离

隔离性定理
n 设 F 1, F 2 是 R 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个
互不相交的开集 G1 ,G 2 ，使得
G1 F1 ,G 2 F2
注：隔离性定理中“闭集”的条件不能少， 如[2，3）和（3，5]

即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点
' E 若 E E （或 E ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）
利用： pn p p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 lim n 或 p 是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{p }, 使 lim pn p
开集的余集是闭集
证明：设E为开集，即
O( x, ) Ec
x E, 0, 使得O( x, ) E
从而 从而x不是Ec的接触点，
也即Ec的接触点一定在Ec内，
从而 CE CE ，即Ec为闭集。
闭集的余集是开集
证明：设E为闭集，即 E E 任取 x E c ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与 x E c 矛盾，
P0 为 P0 为 P0 为 P0为
E的接触点： 0, 有O( p0 , ) E E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0}) E的内点： 0, 使得O( p , ) E 0
c E的外点： 0, 使得O E , 即 O E ( p0 , ) ( p0 , )