圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用

尹建堂

一、圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：

。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点

斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为

。

1、抛物线的切线、法线性质

经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中。

事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，

所以

又焦半径

所以，从而得即

当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故

，从而得

也可以利用到角公式来证明

抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质

经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中

证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质

经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

二、圆锥曲线光学性质的应用

光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。

应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图4，MN切曲线C于点P，则∠APM＝∠BPN。这是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的。

例1 求证：椭圆和双曲线在交点处的切线互相垂直。

分析：如图5，用圆锥曲线光学性质证明∠1＋∠3＝90°即可。

证明：如图5，两曲线的公共焦点，设P为两曲线的一个交点，PQ、PR分别为椭圆、双曲线的切线，连，并延长，由椭圆光学性质，推得∠1＝∠2；由双曲线光学性质，得∠3＝∠4。

又∠2＝∠5，∠4＝∠6（对顶角相等），

所以∠1＝∠5，∠3＝∠6（等量代换）。

又∠1＋∠3＋∠5＋∠6＝180°，

所以∠1＋∠3＝90°，即PQ⊥PR，命题得证。

评注：（1）本题也可采用代数运算证出的方法来证明，但比较复杂。这里采用光学性质证明法则直观简捷。（2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直，叫做这两曲直交。

例2 如图6，已知是椭圆的焦点，分别是在椭圆任一切线CD上的射影。（1）求证：为定值；（2）求的轨迹方程。

分析：（1）欲证为定值，即证为定值（由光学性质推得），从而知应用余弦定理于即可获证。）（2）求出分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。

证明：（1）设Q为切线，由椭圆光学性质推知设为，则

所以

又，则在中，

则

所以为常数，即定值。

（2）设点O在CD上的射影为M，则OM是直角梯形的中位线，于是有

。

在中，

同理

所以的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，其方程为

例3 设抛物线的焦点为F，以F与A（4，4）为焦点作椭圆，使其与已知抛物线有公共点（如图7），当长轴最短时，求椭圆方程。

分析：求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴。

解：设以点A（4，4）、F（4，0）为焦点的椭圆为（a为长半轴长）。①

再设P 为抛物线与椭圆的公共点，

由椭圆第一定义知：

②

即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和，若2a最小，当且仅当椭圆与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线FP的反射线PA平行于x轴。

所以P（1，4）。由②知

所以所求的椭圆方程为

例4 如图8，已知探照灯的轴截面是抛物线，平行于对称轴的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为P、Q，设点P的纵坐标为，当a为何值时，从入射点P到反射点Q的路程PQ最短？

分析：设，由抛物线光学性质知PQ过焦点，故可用弦长公式建立目标函数，求出最小值条件a即可。

解：由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点，设点，则直线PQ的方程为

①

将方程代入①，消去x，得

或

故知点Q坐标为

则

当且仅当，即时，等号成立。

此刻，即当时，亦即入射点、反射点时最短，过时P、Q恰好关于x轴对称。