11-1-2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
11-1数项级数的基本概念及性质
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令
gn
5
n k 1
1 k
1 k 1
5(1
1 )
n1
n1
5 n(n 1)
lim
n
gn
5lim(1 n
1) n1
5
机动 目录 上页 下页 返回 结3束1
n1
1 2n
是等比级数
,
公比
q
1 2
1 , 首项是
1， 2
1
2n
n1
lim
1 2
(1
1 2n
)
n 1 1
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
机动 目录 上页 下页 返回 结束7
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形——“Koch雪花”。
发散
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
发散
综上所述
aqn
a 1 q
,
n0
发散 ,
| q | 1 | q | 1
右图给出了几何级数的一个
a aq
几何解释:
由三角形的相似
S a a a aq
a
aq3 aq2 aq2
aq
aq
S
a
S a 1q
a
机动 目录 上页 下页 返回 结2束0
函数项级数的一致收敛性及基本性质
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
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只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
ppt课件
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
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练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
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s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
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对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
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例3 研究例1中的级数
数学分析课件 一致收敛性
22 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x),
前页 后页 返回
xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x) (n ), x D.
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
前页 后页 返回
给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx n
,
所以函数列
sin nx n
在(-,+)上一致收敛于
收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于
lim sup sin nx 0 lim 1 0,
n n x(, )
n n
所以在(,
)上,
sin nx n
0
(n ).
前页 后页 返回
例3 定义在[0,1]上的函数列
2n2 x,
0 x 1 , 2n
fn ( x) 2n 2n2 x,
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2, .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), .
(2)
前页 后页 返回
一致收敛
∞
n= 1
∞
∫x
证: 因为
k= 1
x
0
S(x)d x = ∑ ∫ un(x)d x
n= 1 x0
x
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
∑ ∫x
n
x
0
uk (x)d x = ∫
x
x0
k= 1
∑uk (x)d x = ∫x
目录
n
x
0
Sn(x)d x
下页 返回 结束
上页
所以只需证明对任意 x0, x∈[a,b] (x0 < x), 一致有
2 n n− 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
+ 证: Sn(x) = x +(x − x) +L (x − x
)=x
n
0, S(x) = 1,
− xn, 0 ≤ x <1 rn(x) = S(x) −Sn(x) = 0, x =1 1 1, 对无论多么大的正数 N , 取x = (1) N+1, 取正数 ε < 0 2 2
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
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结束
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式, 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 例如 级数
x +(x − x) +(x − x ) +L+(x − x
2) 正 级 ∑an 收 , 项 数 敛
则函数项级数 ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛 .
11-2 数项级数收敛性的判定
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
§13..2一致收敛性质
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)
例.
求证fn ( x)
1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)
x
lim
n
1
n2
x
2
0, 逐点收敛于f ( x)
（整理）一致收敛性判别及应用.
（整理）⼀致收敛性判别及应⽤.⼀致收敛性判别及应⽤摘要：函数是⾼等数学中重要的内容之⼀，但是函数项级数与函数列的⼀致收敛性问题往往是初学者学习函数的最⼤障碍，本⽂对函数项级数、函数列的⼀致收敛性的常⽤判别⽅法进⾏简单分析并阐述其应⽤。
关键词：函数项级数函数列⼀致收敛判别法及应⽤设(){}n x ?为定义在区间Z 上的函数序列，假如那么就存在x 1，x 2∈Z ，当|x 1-x 2|＜，对于⼀切n 有|()()12n -n X X ??|＜，则称之为函数序列(){}n x ?在区间Z 上等度连续。
假设函数列{}n ?与函数?定义在区间Z 上，假如对于任意给的正数|()()n x -x ??|＜以上情况则称之为{}n ?在区间Z 上⼀致收敛于?。
⼀、函数列及其⼀致收敛性假设1?，2?，，n ?，是⼀列定义在同⼀数集Z 上的函数，那么则称为定义在Z 上的函数列，可以表达为：{}n ?或n ?，n=1,2，。
（1）以x 0∈Z 带⼊以上数列，可以得出以下数列：（2）假如数列（2）收敛，那么则称为数列（1）在点0X 收敛，x 0则是函数列（1）的收敛点，当函数列（1）在数集D Z 上每⼀个收敛点都出现收敛时，则称（1）在数集D 上收敛，这时候D 上⾯的每⼀个点x 都有相应的数列(){}n x ?的⼀个极限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的D 上的函数，则称为函数列（1）的极限函数假如将此极限函数记作为?，那么则有：或者是：（），x ∈D例 1 设，n=1,2，，为定义在（-，。
证明：设＞0，当＞0时，由于有：||=|n x |，只要N （=，当n ＞（||=|x n |＜|x|N =.当x=0，x=1，对于任何正整数n ，都存在||=0＜，||=0＜.以上结果证明了{}n ?在(]-1,1上收敛。
例2 定义在()-∞∞，上的函数列，n=1,2，。
由于对于任何的实数x ，都存在sin nx n ≤1n，因此，对于任意＞0，只要符合n ＞N=，就存在sin nx-0n＜所以，函数列{}sin nx/n 的收敛域为()-∞∞，。
函数列与函数项级数
第十三章 函数列与函数项级数(12学时)§1 一致收敛性教学目的： 让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法．教学重点难点：一致收敛定义、一致收敛的柯西准则、一致收敛的充要条件、一致收敛的优级数判别法、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法．一致收敛与非一致收敛的定义的几何解释、例3、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法的应用和证明．学时安排： 6学时 教学方法： 讲授法． 教学过程：我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。
一 函数列及其一致收敛性。
设ΛΛ,,,,21n f f f （1）是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。
也可简记为： }{n f 或 n f ， Λ,2,1=n 。
设E x ∈0，将0x 代入ΛΛ,,,,21n f f f 得到数列：ΛΛ),(,),(),(00201x f x f x f n （2）若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点0x 收敛，0x 称为函数列（1）的收敛点。
若数列（2）发散，则称函数列（1）在点0x 发散。
则称函数列（1）在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。
这时D x ∈∀，都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D 上的一个函数，称它为函数列}{n f 的极限函数。
记作f 。
于是，有)()(lim x f x f n n =∞→， D x ∈，或 )()(x f x f n →)(∞→n ，D x ∈。
函数列极限的N -ε定义 对每一个固定的D x ∈，对0>∀ε，0>∃N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关），使得当N n >时，总有 ε<-)()(x f x f n 。
使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列}{n f 的收敛域。
例1 设nn x x f =)(，Λ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列，证明它的收敛域是]1,1(-，且有极限函数 ⎩⎨⎧=<=1,11,0)(x x x f （3）证 任给0>ε（不妨设1<ε），当10<<x 时，由于nn x x f x f =-)()(，故只要取xx N ln ln ),(εε=，则当),(x N n ε>时，就有ε<-)()(x f x f n 。
函数项级数的一致收敛性及非一致收敛性判别法归纳
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一 概念引言设函数列{}n f 与函数f 概念在同一数集D 上，假设对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 那么称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x fn →→()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是概念在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ )1(称为概念在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1, E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部份和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，那么对每一个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．概念1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，假设{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部份和函数列来确信，因此能够依照函数列一致收敛性概念取得等价概念．概念2]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是概念在同一数集D 上，假设关于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，那么称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．概念3 设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部份和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，假设0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，那么函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1 试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明 显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1． 对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xxn nk k1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+ 成立,只要当N n >时，恒有()r r n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依概念，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1． 存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使 ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依概念，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二 函数项级数一致收敛性的判定方式定理1 Cauchy 一致收敛准那么]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使适当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或()ε<∑++=pn n k kx u 1专门地，当1=p 时，取得函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．定理2]2[ 函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3 放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列,和函数)(x S ,都是概念在同一数集D 上,关于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得关于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,那么称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明 因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由概念2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要明白)(x S . 定理4 确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是 ()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n证明 充分性 设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列, )(x S 为和函数,那么有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方式把一致收敛问题转化为求数列极限的问题． 定理5 若()∑x u n 在区间D 上收敛,那么()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明 充分性 假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,那么0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此取得{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性 因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,因此N ∃>∀,0ε,使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,关于{}D x n ⊂∀,那么有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2 设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上持续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于持续函数()x f ，那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明 已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，因此[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上持续,既然()ε<x R n ,因此00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时, ()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每一个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}组成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6 M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑概念在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,假设对一切D x ∈,有 2,1,)(=≤n M x u n x)3(那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明 由假设正项级数()x u n ∑收敛,依照函数项级数的Cauchy 准那么,∀0>ε,∃某正整数N ,使适当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1依照函数项级数一致收敛的Cauchy 准那么,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:假设能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,那么()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3 函数项级数∑∑22cos ,sin n nxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin nn nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n 是收敛的. 推论2 设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得关于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,那么函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明 已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,那么()n n a k ∑∞=+1ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n pn,当1>p 时收敛,故当n a =p n 1时,有 推论2' 设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,假设存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,那么函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4 证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明 关于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim 2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得, ∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7 比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,假设N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()x u n ∑区间I 绝对一致收敛.证明 已知 ()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准那么知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4 假设有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,那么函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明 已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数). 又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3 比较极限法假设有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,假设级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明 由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4 有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,那么函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明 由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知, 函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5 假设函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,那么函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明 由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,那么级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5 设函数项级数()∑x u n 概念在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，假设对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9 逼近法[]5假设对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,那么()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明 设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,因此D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即 +∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；因此+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛概念知, ()x u n n ∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10 由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，那么[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛证明 由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使 适当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21 ()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(因此 ()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)( εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准那么知，[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛定理11 Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上持续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于持续函数，那么函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．利用步骤：⑴判定()0≥x u n 且持续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上持续．Abel 引理定理12 Abel 判别法[]1 证明推论6 设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，那么()()x u x g n∑在D 上一致收敛.证明 因为()x g 在D 上有界,因此,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u pn nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式说明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g p n nk k pn nk k .由Cauchy 准那么知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13 Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部份和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调; (ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,那么级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明 充分性 由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n , 时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,取得 ()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；因此()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++于是由一致收敛的Cauchy 准那么级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,那个地址再也不赘述.例6 假设数列{}n a 单调且收敛于0,那么级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明 由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x xn kx n k 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,因此级数∑nx cos 的部份和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnna x v nx x u ==,cos ,那么由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14 积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数, ()x u n ∑是概念在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,若是()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,假设含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,那么()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明 由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,因此()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7 设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0持续.证明 第一对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,咱们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,而且无穷级数dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,因此含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, ()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 持续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也持续,因此()x S 在0x 持续,由0x 在()+∞,0的任意性可知, ()x S 在()+∞,0上持续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者持续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性概念及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如持续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,咱们可利用积分的便利条件判定某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15 函数列(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,那么级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明 级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.那么()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,那么()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6 设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且知足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,那么函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 对0>∀ε,因为b a ,为有限数,因此存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,咱们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时, 对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j j x x u()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj j pn j j x x u u()ε12+≤M因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使适当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17 设()x u nn ∑为概念在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每一个()x u n 在上一致可微, ()x u nn ∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn ∑.定理18 设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上持续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n ∑∞=1在点0x处收敛; ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,那么函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛, ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.依照拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2 假设函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明 由函数项级数的柯西收敛准那么有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两头取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准那么知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,持续,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19 利用内闭一致收敛判别[]7假设函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛. 证明 必要性,充分性用终归法,那个地址再也不赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能取得函数级数在区间一致收敛的.例8 证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛. 证明 ∑<<∀nx sin ,0,πεε的部份和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知, ∑nnx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n nx n ,2,02ππ,那么0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知, ∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛. 推论7 若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,, ()x u n ∑皆收敛.证明 与定理19类似,略.定理20[]7 设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且知足引理2中必要条件,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明 必要性 用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,那么由定理20知不可;假设()b a x ,0∈,那么存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性 用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,那么由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8 设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且知足引理的必要条件,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明 与定理20的类似,略.推论12[]4 设∑)(x u n 使概念在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D 上有界，假设D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，那么当1>q 时，∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，因此1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n n n n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n s n s ++≥，因此s S O N SOn sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑sSO nMN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明 不妨设关于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，那么1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，那么当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1因此1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，那么函数项级数在D 上一致收敛．证明 因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε )1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11 判定函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛性． 证明 因为11)(1≤=xx u ， 且 11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛． 定理23[]8 （根式判别法）设∑)(x u n 为概念在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，假设存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8 （根式判别法的极限形式）设)(x u n 为概念在数集D 上的函数列，假设nn x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，因此εε+<+<q x q x u n n )()(，因此n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51' 设()∑x u n 为概念在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明 由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么存在正整数N ,使适当N n >时，有()1<≤q x q n ，那么对任意的N n >，D x ∈∀有 ()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12 函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()xnx u q nn n n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n D x n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛． 推论16[]8 有函数项级数()∑x u n ，假设对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明 因()1lim <=∞→l x u n n n ，那么1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13 判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明 因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8 （对数判别法）设()x u n 为概念在D 上的正的函数列，假设()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，那么函数项级数()∑x u n 一致收敛；②假设对D x ∈∀，()1<<p x p ，那么函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明 由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ， 即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，那么当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25 设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是概念在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q D x =∈；①当+∞<=21,0q q 时，假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n 在D 上也一致收敛． ②当+∞=>21,0q q 时，假设()∑x u n 在D 上一致收敛，那么()∑x v n 在D 上也一致收敛． ③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛． 证明 由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，那么任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n，取得()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部份可知假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部份可知假设()∑x u n 在D 一致收敛，那么()∑x v n在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5概念4 设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的持续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，那么称这种级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26 假设()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，那么①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明 ①因为()x u n 是[]b a ,上的持续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于持续函数()0=x u ．因此()()x u x u k k 1+-在[]b a ,持续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，因此()1111≤-∑=+n k k ,故()∑=+-nk k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交织函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14 试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的持续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17 设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，假设()x S n 可写成L 型函数项级数的部份和，那么函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明 设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k n k k n ∑=+-=111，那么对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15 证明()∑-xnn 11在[)+∞,δ上一致收敛． 证明 因为[)+∞∈∀,δx ，()x xnn 1110≤+≤，01lim =∞→x n n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k211，由Cauchy 准那么证毕．定理27[]9 利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，那么①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1 Cauchy 准那么与M 判别法比较有效一样优先考虑；2 Cauchy 准那么、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对必然的表达式进行有效是我放大．三 非一致收敛性的判别 1 利用非一致收敛的概念概念3，略．例16 讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是不是一致收敛．解 ()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，不管n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2 利用确界原理的逆否命题定理28 假设函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明 它是确界原理的逆否命题，故成立．例17 函数项级数()∑x u n 的部份和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是不是一致收敛．证明 部份和函数()xx x S nn --=11，当1<x 时，()(),11lim x x S x S n n -==∞→又当∞→n 时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数明白时值得用3 利用定理5的逆否命题定理29 设()()x S x u n =∑，假设存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明 略．注：此定理比较有效．4 利用Cauchy 准那么逆否命题定理30 函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明 它是Cauchy 准那么的逆否命题，故成立． 例18 讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性． 解 取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>o ε= 故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛． 注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方式，即取1=p 能适用于很多例题．此方式比较有效，优先考虑．推论18 函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明 它是推论1的逆否命题，故成立． 例19 设()()()()12sin 1212cos +⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解 取()12+=n n x n ，那么()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，因此(){}x u n 在概念域内非一致收敛于0，那么()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9 假设函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim≠∞→n n n x u ，那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛． 例20 讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解 因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛． 5 利用求极值的方式定理31 ()()∑∞+==1n k kn x u x R ，假设()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21 证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明 因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，因此()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,因此[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛． 注：极限函数明白时，可考虑用．6 利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2 假设持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim证明 由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．依照持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么()x f 也必在D 上持续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32 持续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}D x n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22 讨论∑+221xn x在()+∞∞-,上一致收敛性． 解 显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上持续，取() ,2,11==n n x n ，那么0lim =∞→n n x ．再设()221x k xx u k +=，由定积分概念。
数学分析 第十一章 函数项级数
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一 致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条 件是: lim f n f 0 .
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1
高等数学11-1常数项级数的概念和性质
所以s=-1. 判断上述结论是否正确，说明理由。
13
例4.判别级数 ln 1
解:
ln 1
n
1 n
2
的敛散性 .
n2
1 n
2
ln
n 1 n
1
2
2
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
Sn
ln 1
k 2
k
2
[ln 3 ln 1 2 ln 2 ] [ln 4 ln 2 2 ln 3 ] [ln 5 ln 3 2 ln 4 ] [ln( n 1) ln( n 1) 2 ln n ]
1 2
1 2
1 2
2
1 2
3
2
1
n 1
2n 1 2
n 1
1 2
1
1 1 n 1 2 1 2
2n 1 2
n 1
1 2
2 1
1 2
1
n 1
故 lim S n 3, (3)
n
这说明原级数收敛, 其和为 3 .
n 1 2
2n 1
n
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
11
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 3 4
1 n ( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
n 1
【微积分】09-函数项级数
【微积分】09-函数项级数1. ⼀致收敛函数1.1 函数项级数 前⾯讨论了数列的极限和级数，它们都是对单点的逼近，现在我们把这些讨论扩展到函数对象。
设u_1(x),u_2(x),\cdots是同⼀定义域上的函数序列，则式（1）左被称为函数项级数，式（1）右是它的部分和函数。
如果S_n(x)处处收敛于S(x)，则S(x)称为函数项级数的和函数。
函数项级数问题的本质其实就是函数序列\{S_n(x)\}的问题，下⾯的叙述更多地是讨论函数序列\{f_n(x)\}的性质。
\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots;\quad S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)\quad\tag{1} 关于函数项级数（函数序列），我们更关⼼的不是它在单点的收敛条件，⽽是着重讨论和函数S(x)（极限函数f(x)）的分析性质。
主要包括它的连续性、可微性和可积性，以及这些分析性质与函数序列分析性质的关系，这样的讨论反过来可以⽤函数序列的分析性质来近似和函数的分析性质，这使得⽤简单函数模拟和研究复杂函数成为可能。
但要有这样的关系，函数序列还要满⾜⼀些条件。
⽐如函数序列x^n在[0,1]上都是连续的，但它们的极限函数在[0,1)上为0，但在x=1时为1，并不连续。
再看函数序列\dfrac{\sin{nx}}{\sqrt{n}}，它的极限函数恒为0，导数⾃然为0，但通项的导函数\sqrt{n}\cos{nx}在有理点极限却为⽆穷。
再⽐如函数序列2nxe^{-nx^2}，它在[0,1]上的极限函数恒为0，故积分也为0，但通项的积分却恒为1。
1.2 ⼀致收敛的判定 仔细观察上⾯分析性质不⼀致的例⼦，你会发现本质上是因为，函数序列在每⼀点并不是“同时”收敛于极限函数，这导致了函数序列与极限函数并不“相似”，从⽽也就不会有相同的分析性质。
为此我们定义⼀种类似⼀致连续的收敛，即对任意\varepsilon>0，当n⾜够⼤后总有式（2）成⽴，则称函数序列f_n(x)⼀致收敛于f(x)。
11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档
nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2
n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1
1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn
1
发散
n1n
(方法2)
un
1 n
n11 dx nn
关于函数项级数的一致收敛性
关于函数项级数的一致收敛性刘江蓉(武汉轻工大学数学与计算机学院湖北·武汉430023)中图分类号：O1文献标识码：A文章编号：1672-7894（2013）18-0052-02摘要级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问题，包括收敛和一致收敛，主要讨论了函数项级数一致收敛中的优级数判别法，给出了几种寻找优级数的方法。
关键词函数项级数的一致收敛性优级数正项级数The Analysis on Convergence with Unanimously of Func原tional Series//Liu JiangrongAbstract Series is a tool of primary function,whose core problemis the sum of series(or summable function),namely,convergenceissues,including convergence and convergence with unanimous-ly.We analyzed U series convergence on convergence withunanimously of functional series,and gave several ways to find theU series.Key words convergence with unanimously of functional series;Useries;positive series在高等数学中主要讨论的是初等函数，虽然初等函数能够描述许多自然现象和工程技术中的客观规律，但是，只有初等函数还远远不能满足客观规律的需要。
为了使高等数学所讨论的函数能更广泛地服务于科学技术及科学理论本身，人们借助于极限、微分和积分等工具表示了更多的非初等函数，级数就是表示初等函数的一种工具。
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在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收
敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中 (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能
保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间 [a , b] 上函数项级数
u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (5)
§2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通
项函数的许多解析性质遗传给和函数，
如连续性、可积性、可微性等，这在
理论上非常重要.
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定理8 ( 极限交换定理 ) 设函数列
{ fn } 在
(a , x0 ) ( x0 , b) 上一致收敛于 f ( x ) , 且对每个 n,
证 设 lim f n ( x0 ) A, g 为 f n 在 [a , b] 上极限函数,
n
下面证明函数列 { f n } 在区间 [a , b]上收敛, 且其极限
函数的导数存在且等于g.
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证 设 lim f n ( x0 ) A, g 为 f n 在 [a , b] 上极限函数,
0
1
的充要条件是 lim
n
n
2n
0.
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{ f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致收敛于 0 的充要条件是 n 0 (n )
1
0
f n ( x )dx f ( x )dx 0 的充要条件是 lim
0
n
1
n
2n
0.
这样,当 n 1 时, 虽然 { f n ( x )}不一致收敛于 f ( x ) ,
3
3
和 | a N 1 A |
3
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| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
又因为 lim f N 1 ( x ) a N 1 , 故存在 0 , 当 x x
x
x0
g ( t )dt . 所以上式左边极限存在, 记为 f ,于是 f ( x ) lim f n ( x ) A g( t )dt .
n x0 x
由 g 的连续性及微积分学基本定理得 f g .
这就证明了等式(4).
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注 请注意定理中的条件 x0 为 { f n } 的收敛点的作用.
x x0
lim f n ( x ) an , 则 lim an和lim f ( x ) 均存在且相等. 即
n
x x0
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
n x x0
(1)
证 先证 {an }是收敛数列. 对任意 0 , 由于 { f n } 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 x (a , x0 ) ( x0 , b) 有
0
0 | x x0 | 时,也有 | f N 1 ( x ) a N 1 |
这样, 当 x 满足 0 x x0 时,
3
.
| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 |
n
n
fn
又 sup | f n ( x ) 0 | n
x[0, 1]
图 13 6
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致
O
1 2n
1 n
1
x
收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
又因 f n ( x )dx
0
1
n
2n
,故
1
0
f n ( x )dx f ( x )dx 0
n { x } 的各项在 ( 1, 1] 上都是连续的, 但 例如: 函数列
0, 1 x 1, 其极限函数 f ( x ) 在 x 1 时不连 1, x 1
n { x } 在 ( 1, 1] 上不一致收敛. 续, 所以
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定理10 (可积性) 若函数列 敛, 且每一项都连续, 则
这就证明了等式 (3 ). 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换.
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例1 设函数
1 0 x , 2n n x , 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
n x x0
下面证明 lim f ( x ) lim lim f n ( x ) A.
x x0 x x0 n
注意到
| f ( x) A |
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
| a N 1 A |
x x0
3
3
3
,
这就证明了 lim f ( x ) A.
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定理指出: 在一致收敛的条件下, { f n ( x )} 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
fn ( x) 类似地, 若 f n ( x ) 在 (a, b) 上一致收敛, 且 lim
n x b
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定理9 (连续性) 若函数列
{ f n } 在区间 I上一致收
敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证 设 x0 为 I 上任一点. 由于 lim f n ( x ) f n ( x0 ), 于 x x
0
是由定理 8 知
x x0
x x0
只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定
的任意正数即可.
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| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
an 收敛于A , 因此对任 由于 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x )，
| f n ( x ) f n p ( x ) | .
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从而
| an an p | lim | f n ( x ) f n p ( x ) | .
x x0
于是由柯西准则可知 {an }是收敛数列, 设 lim an A,
n
即 lim lim f n ( x ) A,
的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质
可根据函数列的相应性质推出.
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定理12(极限交换定理、连续性定理)
1. 若函数项级数 un ( x ) 在 U ( x0 ) 一致收敛, 且对
lim un ( x ) an , 则有 每个 n , x x
{ f n } 在 [a , b] 上一致收
lim f n ( x ) dx lim f n ( x ) dx .
n a a n
b
b
(3)
证 设 f 为函数列 { f n } 在 [a , b] 上的极限函数. 由定理 9知
f 在 [a , b] 上连续, 从而 f n ( n 1,2, ) 与 f 在
意 0 , 存在正数 N , 当 n N 时, 对任意 x (a , x0 )
( x0 , b) , 有
3 同时成立. 特别当 n N 1 时, 有 | f N 1 ( x ) f ( x ) | | f n ( x ) f ( x ) |
和 | an A |
lim f ( x ) 也存在, 且
n
lim f ( x ) lim f n ( x0 ) f ( x0 ),
因此 f ( x ) 在 x0 上连续.
定理9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区
间 Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上一定不一致收敛.
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[a , b] 上都可积. 于是(3)变为
lim f n ( x ) dx f ( x ) dx .
n a a
b
b
(3)
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因为在 [a, b] 上 f n一致收敛于f , 故对于任意 0 ,
存在 N , 当 n N 时, 对一切 x [a , b], 都有
与
在 [0, 1] 上都收敛于0, 由于
1 lim max | f n( x ) f ( x ) | , n x[0, 1] 2
所以导函数列 { f n( x )} 在 [0,1] 上不一致收敛, 但有
lim f n( x ) 0 [lim f n ( x )] .
n n
| f n ( x ) f ( x ) | .
再根据定积分的性质, 当 n N 时有
b
a
f n ( x ) f ( x ) dx
a
b
b
a
( f n ( x ) f ( x )) dx
f n ( x ) f ( x ) dx (b a ),
a
b
x a
lim f n ( x ) lim lim f n ( x ); 存在, 则有 lim