地球物理反演理论

地球物理反演理论 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

地球物理反演理论

一、解释下列概念

1.分辨矩阵

数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====，其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G （它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。

模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。

2.协方差

模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。

在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。在这种情况下,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只 有采取折衷的办法。可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题:

()(1)(cov )u aspread R size m α+-

如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。

3.适定与不适定问题

适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题

4.正则化

用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。对于方程c Gm d =，若其是不稳定的，则可以表述为

()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数，其正则解为

1()T T c m G G I G d α-=+。这种方法叫做正则化方法。

5.多解性

由于观测数据并非无限,以及观测数据具有误差,使解具有多解性。

6.稳定性

反演问题就是从数据空间到模型空间的映射问题，如果数据空间有一个小范围的变化，相应于模型空间存在一个大范围的变化，则成这种映射或反演是不稳定的。实践证明，地球物理学中的反演问题都是不稳定的，只是严重程度不同罢了。

二、从最速下降法、共轭梯度法、牛顿法、L-bfgs 方法、阻尼最小二乘法和广义逆等地球物理反演方法中选取不少于4种方法，简述各自的特点和适用性。

1.最速下降法有称梯度法，就是从一个初始模型出发，沿负梯度方向搜索目标函数极小点的一种最优化方法，在用该方法进行反演时，一是要有一个出发点——初始模型，初始模型越选在极小点附近，反演越容易成功和收敛；二是要沿一个正确的方向——负梯度方向；三是要一个合适的步长，步长不能太小，也不能太大，太小反演收敛的速度降低，太大使反演不稳定，甚至不会收敛。一般来说，从任意初始模型出发进行搜索，最速下降法均会收敛，开始（远离极小点处）收敛速度快，往后越接近极小点处收敛越慢，尤其是在极小点附近，收敛很慢。此时，要向真正的极小点前进一点，都需要经过多次迭代。

2.共轭梯度法：采用共轭方向去搜索极小点,必须在第一步搜索时取最速下降方向,否则就不能在有限的迭代中达到极小点。共轭梯度法正是基于这种思想

对函数极小点进行逐步探测的。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向,沿着这组方向而不是负梯度方向去搜索目标函数极小点,根据共轭方向的性质,共轭梯度法具有二次终止性。理论上对于二次正定函数共轭梯度法经有限步迭代必达到极小点。但对于一般函数,尤其是通过泰勒级数展开后得到近似二次型函数,通过有限次迭代不一定能达到极小点。

3.牛顿法和前面的最速下降法都是非约束反演法，即在反演迭代过程中不加任何先验信息对质进行约束。牛顿法不仅利用了梯度，而且利用了目标函数的曲率，即二阶偏导数，在极小点附近收敛比最速下降法要快。该方法的不足之处在于，计算时间长，且当初始模型远离全局极小时，收敛速度很慢。因而，在实际应用中，最速下降法和下面的牛顿法相互配合，取长补短，以达到既能保证收敛又能加速迭代速度的目的。

4.阻尼最小二乘算法：用最小二乘法进行迭代时,校正向量的步长较大,若初始值选择合适,能很快收敛,但其收敛性很不稳定,若初始值选择不合适,易于发散。最速下降法则相反,它沿最速下降方向搜索,可以保证收敛,但步长太小,收敛很慢。阻尼最小二乘法是在两种方法之间取某种折衷,力图以最大的步长,同时又靠近最速下降方向,以保证稳定收敛,并加快收敛速度。这种方法又称马奎特法。

三、推导建立共轭梯度法及预条件共轭梯度方法反演的公式，讨论其收敛性。

g，即第推导：设(0)

b为任意给定的初始点，在(0)

b处我们取()b

Φ的梯度(0)

一次搜索向量

(0)(0)

=-

p g

再从(0)b 出发，沿(0)p 方向找出()x Φ的极小点

(1)(0)(0)(0)b b t p =+

设()b Φ在(1)b 处的梯度为(1)g ，显然有(1)(0)0T

g g =。利用(1)g 和(0)p 构造第二次搜索方向

(1)(1)(0)0p g p β=-+ （1） 这里要求(1)p 与(0)p 是关于Q 共轭的，即(1)(0)0T

p Qp =，用(0)Qp 右乘（1）转置后的两边得 (1)(0)(1)(0)(0)(0)00T T T

p Qp g Qp p Qp β=-+= （2）

则有 (1)(0)

0(0)(0)T T g Qp p Qp β= （3）

从()k p 点出发，沿()k p 方向找出()b Φ的极小点

(1)()()()k k k k b b t p +=+

进一步取(1)k p +为

(1)(1)()k k k k p g p β++=-+ （4）

当

(1)()

()()T T k k k k k g Qp p Qp β+= (0,2,,1)k n =- （5）

时，即构造出n 个共轭向量(0)p 、(1)p 、…、(1)n p -。可以证明，对Q 为正定的极小问题，有

2(1)(1)(1)22()()()

2T

T k k k k k k k g g g

g g g β+++== （6）

()()

()()()T T k k k k k g g t p Qp = （7）