应用多元统计分析-第七章 主成分和因子分析
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Tot al Va rianc e Exp laine d
Initial Eigenvalues % of Compon Varianc Cumulati ent Total e ve % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.
18
主成分的推导
19
主成分的推导
20
主成分的推导
设F=a1X1 a 2X2 a p Xp aX
其中： a=(a1 ,a2 ,,ap ) X=(X1 ,X2 ,, Xp )
求主成分就是寻找X的线性函数aX, 使相应的方差尽可能地大。
即使：Var(aX) E(aX-E(aX))(aX-E(aX)) aE(X EX)(X EX)a a a
44
如果考虑了特殊因子以 后，协方差阵为： AA' 1 e1' 12 0 ( 1 e1 , , m em ) 2 e ' 0 pp m m 当 未知，可用样本协差阵 去代替，要经过标准化 S 处理，则S与相关阵R相同，仍然可做上面类 似的表示。 ˆ ˆ ˆ 一般设 为样本相关阵 的特征根，相应 R
Extraction Sums of Squared Loadings % of Varianc Cumulati Total e ve % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142
32
主成分分析
• 头两个成分特征值对应的方差累积占了总方差的 81.142%，称为累计方差贡献率为81.142%。后面的 特征值的贡献越来越少。 • 一般我们取累计方差贡献率达到85%左右的前k个 主成分就可以了，因为它们已经代表了绝大部分的 信息 。 • Spss中选取主成分的方法有两个：一是根据特征 根≥1来选取； 另一种是用户直接规定主成分的个 数来选取。
X i ai1F1 ai 2 F2 aij Fj aimFm i
可以得到，X与F的协方差为：
m cov(X i , F j ) cov aik Fk , F j k 1 m cov aik Fk , F j cov( i , F j ) aij k 1
3
主成分与因子分析
结果统计学家成功了! 这两个不相关的指标就是上衣的型和号。 本章的教学目的就是教会学生如何建立和 使用降维模型。
4
主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。 比如全国或各个地区的带有许多经济和社 会变量的数据；各个学校的研究、教学等各 种变量的数据等等。 这些数据的共同特点是变量很多，在如此 多的变量之中，有很多是相关的。人们希望 能够找出它们的少数“代表”来对它们进行 描述。
由Component1、2的系数除以 以 3.735 、 1.133，得到：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6 Y2=0.183x1+0.275x2+0.265x3+0.158x4+0.225x5+0.220x6
31
主成分分析
为什么spss中只取了两个主成分呢？
0.0
-.5
-1.0 -1.0
该图左面三个点是数学、物理、化学三科， 右边三个点是语文、历史、外语三科。
-.5 0.0 .5 1.0
35
C omponent 1
因子分析
因子分析是主成分分析的推广和发展。 为什么要进行因子分析？ 由主成分分析的模型可知：
36
成绩数据（student.sav）
达到最大，且aa=1
21
主成分的推导
22
主成分的推导
23
24
上述推导表明： 的主成分就是以 的特征向量为系数的线性组合，他们互不相关， 其方差为 的特征根。 由于 的特征根 所以有： ，
25
主成分的含义
26
对于我们的数据，SPSS输出为：
Tot al Va rianc e Exp laine d Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Variance Cumulative % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142
8
主成分分析
例中的数据点是六维的；也就是说，每个 观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6 维空间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的）
这里的Initial
Eigenvalues就是这 里的六个主轴长度，即特征值（数据 相关阵的特征值）。
27
方差贡献率
28
主成分分析
选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的 主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。 有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主 轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一 个大体的说法；具体选几个，要看实际情况 而定。
Initial Eigenvalues Component Total % of Variance Cumulative % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.
因主 子成 分分 析分 析 和
1
第七章 主成分与因子分析
2
主成分与因子分析
好裁缝做上衣，要测量上体长、手臂长、 胸围等 14 个指标。用流水线生产上衣时要 测量每个顾客的 14 个指标是不可能的。 于是统计学家出了个主意：这 14 个指标 是相关的，可以找出几个反映上衣特征的综 合指标，加工出的上衣大多数人都能穿，当 然特体除外。
9
10
பைடு நூலகம்4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
11
主成分分析
那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在 短轴方向上，数据变化很少；在极端的情 况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴 的方向才能够解释这些点的变化了；这样， 由二维到一维的降维就自然完成了。
12
主成分分析
当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的 变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量 就描述了数据的次要变化。 但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因 此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新 变量和椭圆的长短轴平行。 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就 用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维）， 降维就完成了。 椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道 理。
1 , 2 p 0为 的特征根， 1 , , e p为 e
对应的标准正交化特征 向量。则根据线性代数 知识 可分解为： 1 U 0 0 ' U p
i ei ei '
i 1
p
( 1 e1 , ,
' 1 e1 p e p ) e' p p
39
因子分析模型
简记为: X 且满足： 1）m p 2) Cov(F, )=0 0 1 3) D(F)= I m 即F1 Fm不相关且方差=1. 0 1
40
A
F
+
(p 1)
（p 1） (p m)(m 1)
因子载荷的统计意义
对于因子模型
100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英 语的成绩如下表（部分）。
7
从本例可能提出的问题
目前的问题是，能不能把这个数据的6个变 量用一两个综合变量来表示呢？ 这一两个综合变量包含有多少原来的信息 呢？ 能不能利用找到的综合变量来对学生排序 呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对 企业，对学校进行分析、排序、判别和分类 等问题。
33
特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出
Scree Plot
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6
34
Component Number
可以把第一和第二主成分的点画出一个二维图以直 观地显示它们如何解释原来的变量的。
Component Plot
1.0
.5
phys chem math
history english literat
43
因子载荷阵的估计方法
因为这时因子模型为： AF，其中D( F ) I m X 所以D( X ) D( AF ) AD( F ) A' AA' , 对照 的分解式， 则因子载荷阵A的第j列应该是 j e j , 也就是说除常数 j 外，第j列因子载荷恰是第个主成分的系数 j，故称为 j e 主成分法。
主成分一：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6
主成分二：
37
因子分析
我们如果想知道每个变量与公共因子的关系，则 就要进行因子分析了。因子分析模型为：
38
因子载荷
a ij 称为因子载荷（实际上是权数）。
因子载荷的统计意义：就是第i个变量与第j个公共 因子的相关系数，即表示变量xi依赖于Fj的份量 （比重），心理学家将它称为载荷。
13
主成分分析
对于多维变量的情况和二维类似，也有高 维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表 大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量； 这样，主成分分析就基本完成了。 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴 也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是 原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component)。
41
因子载荷的统计意义
如果对X作了标准化处理，X的标准差为1， 且F的标准差为1，因此：
rX i , F j cov( X i , F j ) D( X i ) D( F j ) cov( X i , F j ) aij
42
因子载荷阵的估计方法
' 设随机向量 X 1， , X P） X （ 的协差阵为 ，
5
主成分分析和因子分析
本章就介绍两种把变量维数降低以便于描 述、理解和分析的方法：主成分分析 （principal component analysis）和因子 分析（factor analysis）。实际上主成分分 析可以说是因子分析的一个特例。在引进主 成分分析之前，先看下面的例子。
6
成绩数据（student.sav）
29
主成分的含义
但是，spss软件中没有直接给出主成分系数(即特 征向量)，而是给出了因子载荷，我们可将因子载 荷系数除以相应的 ，即可得到主成分系数。
30
a Com ponent Matri x
Component 1 2 MATH -.806 .353 PHYS -.674 .531 CHEM -.675 .513 LITERAT .893 .306 HISTORY .825 .435 ENGLISH .836 .425 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 2 components extracted.
14
主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成 分。
15
主成分分析的一般模型
这个方程且满足：
16
主成分分析
其中 μ ij 有以下原则来确定：
这时称：Y1是第一主成分
Y2是第二主成分 ｜
17
主成分分析
如何求出满足上述要求的方程组的系数呢？ a , , , pi a a 而每个方程式中的系数向量 1i 2i 恰好是X的协差阵 的特征值所对应的特 ( 征向量，也就是从数学上可以证明使 Var F1) 达到最大，这个最大值是在的第一个特征 之所对应特征向量处达到。 以此类推…
Initial Eigenvalues % of Compon Varianc Cumulati ent Total e ve % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.
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主成分的推导
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主成分的推导
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主成分的推导
设F=a1X1 a 2X2 a p Xp aX
其中： a=(a1 ,a2 ,,ap ) X=(X1 ,X2 ,, Xp )
求主成分就是寻找X的线性函数aX, 使相应的方差尽可能地大。
即使：Var(aX) E(aX-E(aX))(aX-E(aX)) aE(X EX)(X EX)a a a
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如果考虑了特殊因子以 后，协方差阵为： AA' 1 e1' 12 0 ( 1 e1 , , m em ) 2 e ' 0 pp m m 当 未知，可用样本协差阵 去代替，要经过标准化 S 处理，则S与相关阵R相同，仍然可做上面类 似的表示。 ˆ ˆ ˆ 一般设 为样本相关阵 的特征根，相应 R
Extraction Sums of Squared Loadings % of Varianc Cumulati Total e ve % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142
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主成分分析
• 头两个成分特征值对应的方差累积占了总方差的 81.142%，称为累计方差贡献率为81.142%。后面的 特征值的贡献越来越少。 • 一般我们取累计方差贡献率达到85%左右的前k个 主成分就可以了，因为它们已经代表了绝大部分的 信息 。 • Spss中选取主成分的方法有两个：一是根据特征 根≥1来选取； 另一种是用户直接规定主成分的个 数来选取。
X i ai1F1 ai 2 F2 aij Fj aimFm i
可以得到，X与F的协方差为：
m cov(X i , F j ) cov aik Fk , F j k 1 m cov aik Fk , F j cov( i , F j ) aij k 1
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主成分与因子分析
结果统计学家成功了! 这两个不相关的指标就是上衣的型和号。 本章的教学目的就是教会学生如何建立和 使用降维模型。
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主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。 比如全国或各个地区的带有许多经济和社 会变量的数据；各个学校的研究、教学等各 种变量的数据等等。 这些数据的共同特点是变量很多，在如此 多的变量之中，有很多是相关的。人们希望 能够找出它们的少数“代表”来对它们进行 描述。
由Component1、2的系数除以 以 3.735 、 1.133，得到：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6 Y2=0.183x1+0.275x2+0.265x3+0.158x4+0.225x5+0.220x6
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主成分分析
为什么spss中只取了两个主成分呢？
0.0
-.5
-1.0 -1.0
该图左面三个点是数学、物理、化学三科， 右边三个点是语文、历史、外语三科。
-.5 0.0 .5 1.0
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C omponent 1
因子分析
因子分析是主成分分析的推广和发展。 为什么要进行因子分析？ 由主成分分析的模型可知：
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成绩数据（student.sav）
达到最大，且aa=1
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主成分的推导
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主成分的推导
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24
上述推导表明： 的主成分就是以 的特征向量为系数的线性组合，他们互不相关， 其方差为 的特征根。 由于 的特征根 所以有： ，
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主成分的含义
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对于我们的数据，SPSS输出为：
Tot al Va rianc e Exp laine d Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Variance Cumulative % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142
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主成分分析
例中的数据点是六维的；也就是说，每个 观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6 维空间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的）
这里的Initial
Eigenvalues就是这 里的六个主轴长度，即特征值（数据 相关阵的特征值）。
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方差贡献率
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主成分分析
选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的 主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。 有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主 轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一 个大体的说法；具体选几个，要看实际情况 而定。
Initial Eigenvalues Component Total % of Variance Cumulative % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.
因主 子成 分分 析分 析 和
1
第七章 主成分与因子分析
2
主成分与因子分析
好裁缝做上衣，要测量上体长、手臂长、 胸围等 14 个指标。用流水线生产上衣时要 测量每个顾客的 14 个指标是不可能的。 于是统计学家出了个主意：这 14 个指标 是相关的，可以找出几个反映上衣特征的综 合指标，加工出的上衣大多数人都能穿，当 然特体除外。
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பைடு நூலகம்4
-2
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主成分分析
那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在 短轴方向上，数据变化很少；在极端的情 况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴 的方向才能够解释这些点的变化了；这样， 由二维到一维的降维就自然完成了。
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主成分分析
当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的 变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量 就描述了数据的次要变化。 但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因 此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新 变量和椭圆的长短轴平行。 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就 用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维）， 降维就完成了。 椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道 理。
1 , 2 p 0为 的特征根， 1 , , e p为 e
对应的标准正交化特征 向量。则根据线性代数 知识 可分解为： 1 U 0 0 ' U p
i ei ei '
i 1
p
( 1 e1 , ,
' 1 e1 p e p ) e' p p
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因子分析模型
简记为: X 且满足： 1）m p 2) Cov(F, )=0 0 1 3) D(F)= I m 即F1 Fm不相关且方差=1. 0 1
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A
F
+
(p 1)
（p 1） (p m)(m 1)
因子载荷的统计意义
对于因子模型
100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英 语的成绩如下表（部分）。
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从本例可能提出的问题
目前的问题是，能不能把这个数据的6个变 量用一两个综合变量来表示呢？ 这一两个综合变量包含有多少原来的信息 呢？ 能不能利用找到的综合变量来对学生排序 呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对 企业，对学校进行分析、排序、判别和分类 等问题。
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特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出
Scree Plot
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0 1 2 3 4 5 6
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Component Number
可以把第一和第二主成分的点画出一个二维图以直 观地显示它们如何解释原来的变量的。
Component Plot
1.0
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phys chem math
history english literat
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因子载荷阵的估计方法
因为这时因子模型为： AF，其中D( F ) I m X 所以D( X ) D( AF ) AD( F ) A' AA' , 对照 的分解式， 则因子载荷阵A的第j列应该是 j e j , 也就是说除常数 j 外，第j列因子载荷恰是第个主成分的系数 j，故称为 j e 主成分法。
主成分一：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6
主成分二：
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因子分析
我们如果想知道每个变量与公共因子的关系，则 就要进行因子分析了。因子分析模型为：
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因子载荷
a ij 称为因子载荷（实际上是权数）。
因子载荷的统计意义：就是第i个变量与第j个公共 因子的相关系数，即表示变量xi依赖于Fj的份量 （比重），心理学家将它称为载荷。
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主成分分析
对于多维变量的情况和二维类似，也有高 维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表 大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量； 这样，主成分分析就基本完成了。 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴 也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是 原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component)。
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因子载荷的统计意义
如果对X作了标准化处理，X的标准差为1， 且F的标准差为1，因此：
rX i , F j cov( X i , F j ) D( X i ) D( F j ) cov( X i , F j ) aij
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因子载荷阵的估计方法
' 设随机向量 X 1， , X P） X （ 的协差阵为 ，
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主成分分析和因子分析
本章就介绍两种把变量维数降低以便于描 述、理解和分析的方法：主成分分析 （principal component analysis）和因子 分析（factor analysis）。实际上主成分分 析可以说是因子分析的一个特例。在引进主 成分分析之前，先看下面的例子。
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成绩数据（student.sav）
29
主成分的含义
但是，spss软件中没有直接给出主成分系数(即特 征向量)，而是给出了因子载荷，我们可将因子载 荷系数除以相应的 ，即可得到主成分系数。
30
a Com ponent Matri x
Component 1 2 MATH -.806 .353 PHYS -.674 .531 CHEM -.675 .513 LITERAT .893 .306 HISTORY .825 .435 ENGLISH .836 .425 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 2 components extracted.
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主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成 分。
15
主成分分析的一般模型
这个方程且满足：
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主成分分析
其中 μ ij 有以下原则来确定：
这时称：Y1是第一主成分
Y2是第二主成分 ｜
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主成分分析
如何求出满足上述要求的方程组的系数呢？ a , , , pi a a 而每个方程式中的系数向量 1i 2i 恰好是X的协差阵 的特征值所对应的特 ( 征向量，也就是从数学上可以证明使 Var F1) 达到最大，这个最大值是在的第一个特征 之所对应特征向量处达到。 以此类推…