2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选-完全doc版)
2017年全国高中数学联赛试题与答案
2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-．又当07x ≤<时，()()2log 9f x x =-，则()100f -的值为 ．答案：1.2-解：由条件知，()()()114,7f x f x f x +=-=+所以()()()()21111001001472.5log 42f f f f -=-+⨯=-=-=-=- 2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是 ．答案：1.⎡⎤-⎣⎦解：由于[]212cos 1,3x y =-∈-，故.x ⎡∈⎣由21cos 2x y -=可知，()2211cos 1 1.22x x y x x --=-=+-因此当1x =-时，cos x y -有最小值（这时y 可以取2π）；当x =cos x y -1（这时y 可以取π）．由于()21112x +-的值域是1⎡⎤-⎣⎦，从而cos x y -的取值范围是1.⎡⎤-⎣⎦ 3.在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．解：易知()()3,0,0,1.A F 设P的坐标是()3cos ,0,,2πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则11313cos 23OAPF OAP OFP SS S θθ=+=⋅+⋅⋅)()3sin .2θθθϕ=+=+其中ϕ=当θ=时，四边形OAPF 另解：易知()()3,0,0,1.A F 经过C 上位于第一象限内点()000,P x y 一条切线与直线1AF 平行．该切线方程为001910x x y y+=． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 00101.93x y -⋅=- 又因22001,910x y +=所以00x y ==易得点0P ⎝⎭到直线1:330AF x y +-=)1.于是，四边形OAPF 的面积的最大值为)01131122OAF FAP S S +=⋅⋅+=4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．答案：75.解：考虑平稳数abc ．若0b =，则{}1,0,1a c =∈，有2个平稳数．若1b =，则{}1,2a ∈，{}0,1,2c ∈，有236⨯=个平稳数． 若28b ≤≤，则{},1,,1a c b b b ∈-+，有73363⨯⨯=个平稳数． 若9b =，则{},8,9a c ∈，有224⨯=个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是2663475.+++= 另解：设abc 是一个平稳数，则1b a -≤且 1.c b -≤ 由1b a -≤可知0b a -=，1．由1c b -≤可知c b -=0，1. 1）若0,0b a c b -=-=，则,1,2,,9abc aaa a ==，有9个平稳数．2）若0,1b a c b -=-=，则 ,1,b a c a =⎧⎨=+⎩或,1.b a c a =⎧⎨=-⎩于是，()1abc aa a =+，1,2,,8a =；或()1abc aa a =-，1,2,,9a =．有8917+=个平稳数．3）若1,0b a c b -=-=，则 ,1,c b a b =⎧⎨=-⎩或, 1.c b a b =⎧⎨=+⎩ 于是，()1abc b bb =-，2,3,,9b =；或()1,0,1,,8abc b bb b =+=．有8917+=个平稳数．4）若1,1b a c b -=-=，则1b a -=±， 1.c b -=± 由1,1b a c b -=-=得()()12,1,2,,7abc a a a a =++=；由1,1b a c b -=-=-得()1,1,2,,8abc a a a a =+=；由1,1b a c b -=--=得()1,1,2,,9abc a a a a =-=；由1,1b a c b -=--=-得()()12,2,3,,9.abc a a a a =--=有789832+++=个平稳数．综上可知，平稳数的个数为 917173275.+++=5.正三棱锥P -ABC 中，1,2AB AP ==，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．解：设,AB PC 的中点分别为,K M ，则易证平面ABM 就是平面α．由中线长公式知()()222222*********,24242AM AP AC PC =+-=+-⨯=所以KM ==又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK，而1,CM KC ==所以222531cos 2KM MC KC KMC KM MC +-+-∠===⋅故棱PC 与平面α6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){},|,1,0,1.K x y x y ==-在K 中随机取出三个点，则的概率 ．答案：4.7解：易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式有3984C =种．将K 中的点按右图标记为128,,,,,A A A O 其中有8由对称性，考虑14,A A 两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个()1,2,,8i A i =，K 中恰有35,i i A A ++（这里下标按模8理解），因而恰有{}()35,,1,2,,8i i i A A A i ++=这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484.847= 7.在ABC 中，M 是BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3A π∠=，ABC 的面积AM AN ⋅的最小值为 ．1. 解：由条件知，()131,244AM AB AC AN AB AC =+=+，故()22131134.2448AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13sin ,24ABCSAB AC A AB AC ==⋅⋅⋅=⋅⋅所以4AB AC ⋅=，进一步可得 cos 2,AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=从而2212348AM AN AB AC AB AC ⎛⎫⋅≥⋅+⋅ ⎪⎝13 1.2AB AC AB AC ⋅+⋅=+当,2AB AC ==AM AN ⋅ 1.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ， 有211,2,n n n n n a a a b b +++=+=则11a b +的所有可能值为 ．答案：13,20.解：由条件可知：121,,a a b 均为正整数，且12.a a <由于9101120172512b b b >=⋅=，故{}11,2,3.b ∈反复运用{}n a 的递推关系知 1098877665542325385a a a a a a a a a a a =+=+=+=+=+43322113821131421,a a a a a a =+=+=+ 因此1101032212121133421,a a b a a a a ≡==+=+而13213481⨯=⨯+，故()1111132113226mod34.a a b b ≡⨯≡⨯= ①另一方面，注意到12a a <，有1211553421512,a a a b <+=故11512.55a b <② 当11b =时，①，②分别化为()1151226mod34,,55a a ≡<无解． 当12b =时，①，②分别化为()11102452mod34,,55a a ≡<得到唯一的正整数118,a =此时1120.ab +=当13b =时，①，②分别化为()11153678mod34,55a a ≡<，得到唯一的正整数110,a =此时1113.ab +=综上所述，11a b +的所有可能的值为13,20.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式21x kx m --≤对所有[],x a b ∈成立．证明：b a -≤证明：令()2f x x kx m =--，[],x a b ∈，则()[]1,1.f x ∈-于是 ()21,f a a ka m =--≤ ① ()21,f b b kb m =--≤ ②21.222a b a b a b f k m +++⎛⎫⎛⎫=-⋅-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 由①+②2-⨯③知，()()()22 4.22a b a b f a f b f -+⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭故b a -≤另证：令()2f x x kx m =--，[],.x a b ∈因为不等式()1f x ≤对所有[],x a b ∈成立，所以()f x 在[],a b 上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明b a -≤假设b a ->1）当2ka ≥时，()()(()2f b f a f a f a ≥->+-((()22a k a m a ka m =+-+----228a ka m a ka m =++----++888.2k=-+≥-+=矛盾．2）当2kb ≤时， ()()(()2f a f b f b f b ≥->--888.2k=-++≥-++=矛盾．3）当2ka b <<时， ⅰ）若22k a b+≤，则 ()()222k a b f b f f b f +⎛⎫⎛⎫≥-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b a b a b f f +++⎫⎛⎫>-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭2 2.2k≥+=矛盾．ⅱ）若22k a b+>，则 ()()22222k a b a b a b f a f f a f f f +++⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫≥->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭22 2.22a b k+=-++>-+=矛盾．10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求 ()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最大值和最小值．解：由柯西不等式()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭ ()2123 1.x x x =++=当1231,0,0x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为()()52123113312315353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2123123115355543x x x x x x ⎡⎤⎛⎫≤⋅+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦212311466203x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()212319666,205x x x ≤++= 当12311,0,22x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最大值为9.511.（本题满分20分）设复数12,z z 满足()()12Re 0,Re 0z z >>，且()()2212Re Re 2z z ==（其中()Re z 表示复数z 的实部）． （1）求()12Re z z 的最小值；（2）求121222z z z z +++--的最小值．解：对1,2k =，设()i ,k k k k k z x y x y R =+∈．由条件知()()222Re 0,Re 2.k k k k k x z z y z =>-== 因此()()()()1211221212Re Re i i z z x y x y x x y y =++=-()12122 2.y y y y +-≥又当12z z ==()12Re 2z z =．这表明，()12Re z z 的最小值为2.（2）对1,2k =，将k z 对应到直角坐标系xOy 中的点(),k k k P x y ．记2P '是2P 关于x 轴的对称点，则12,P P '均位于双曲线22:2C x y -=的右支上．设12,F F 分别是C 的左、右焦点，易知()()122,0,2,0.F F -根据双曲线的定义，有11122122PF PF P FP F ''=+=+进而得 1212112222z z z z z z z +++--=++-112112122212PF P F PP PF P F PP ''''=+-=+-≥等号成立当且仅当2F 位于线段12P P '上（例如，当122z z ==时，2F 恰是12P P '的中点）．综上可知，121222z z z z +++--的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在ABC 中，AB AC =，I 为ABC 的内心．以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）．设IP 与BQ 交于点R ．证明：.BR CR ⊥证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC由于点Q 在圆2Γ上，故,IB IQ =所以.IBQ IQB ∠=∠又,,,B I P Q 四点共圆，所以,IQB IPB ∠=∠于是,IBQ IPB ∠=∠ 故IBP ∽IRB ，从而有,IRB IBP ∠=∠且RQP ICBA A BCIP Q R,IB IP IR IC= 注意到AB AC =，且I 为ABC 的内心，故IB IC =，所以,IC IP IR IC= 于是ICP ∽IRC ，故.IRC ICP ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故11802BPC A ∠=-∠，因此BRC IRB IRC IBP ICP ∠=∠+∠=∠+∠360BIC BPC =-∠-∠113609018022A A ⎛⎫⎛⎫=-+∠--∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭90,= 故.BR CR ⊥二、（本题满分40分）设数列{}n a 定义为11,a = 1,,1,2,.,,n n n nn a n a n a n a n a n ++≤⎧⎪==⎨->⎪⎩若若求满足20173r a r <≤的正整数r 的个数．解：由数列定义可知121, 2.a a ==假设对某个2r ≥有r a r =，我们证明对1,,1t r =-，有2122121,2.r t r t a r t r t a r t r t +-+=+->+-=-<+ ①对t 归纳证明．当1t =时，由于r a r r =≥，由定义，121,r r a a r r r r r +=+=+=>+()()2112112r r a a r r r r r ++=-+=-+=-<+，结论成立．设对某个11t r ≤<-，①成立，则由定义()21222221,r t r t a a r t r t r t r t r t +++=++=-++=+>++()()222121221122,r t r t a a r t r t r t r t r t ++++=-++=+-++=--<++即结论对1t +也成立．由数学归纳法知，①对所有1,2,,1t r =-成立，特别当1t r =-时，有321r a -=，从而()3132323 1.r r a a r r --=+-=- 若将所有满足r a r =的正整数r 从小到大记为12,,,r r 则由上面的结论可知1211,2,31,2,3,.k k r r r r r +===-=由此可知，()11131,,122k k r r k m +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，从而11111313.222m m m r r --+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由于201730182017201820193131322r r ++=<<=，在20171,2,,3中满足r a r =的数r 共有2018个，为122018,,,.r r r由①可知，对每个1,2,,2017k =，1,2,,32k k k r r r ++-中恰有一半满足.r a r <由于2017201831112r ++=+与20173均为奇数，而在201720181,,3r +中，奇数均满足r a r >，偶数均满足r a r <，其中偶数比奇数少1个．因此满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为()20172017132019320181.22---= 另解：易知1231,2,4a a a ===；4567891,5,10,4,11,3,a a a a a a ======10111212,2,13a a a ===；1314151617181920211,14,28,13,29,12,30,11,31,a a a a a a a a a =========222310,32,a a == 242526272829309,33,8,34,7,35,6,a a a a a a a =======31323336,5,37,a a a ===344,a = 353637383938,3,39,2,40a a a a a =====；……当正整数n 足够大时，若1n a =，则()121321,1,122,2,n n n n n n n a a a n n a a n n a a n n +++++==+=+=++=+=-+=()435465323,41,524,n n n n n n a a n n a a n n a a n n ++++++=++=+=-+=-=++=+由以上等式易观察出：若1n a =，正整数2k n <+，则 2122,2 1.n k n k a n k a n k +-+=-+=++因为当21n k -+=时，1k n =+，2131,n k n +-=+所以，当1n a =时，使得1m a =且m n >的最小正整数3 1.m n =+当1n >，且1n a =时， 11,11n n a n a n n +=<=+≤+，2222,n a n n +=+>+ 212221,212,2,,.n k n k a n k n k a n k n k k n +-+=-+<+-=++>+= 因为11a =，所以使得1m a =且1m >的最小正整数31m =+．因为311a +=，所以使得1m a =且31m >+的最小正整数()2331133 1.m =⋅++=++依此类推下去，可知使得1n a =的一切正整数n 分别为221,13,133,,1333,k +++++++．设220121,13,133,,1333,k k n n n n ==+=++=++++．易知2007201620173,n n <<20161n a =，2016201612016201622016201611,22 2.n n a n n a n n ++=+≤+=+>+ 201620162120162016220162016221,212,n k n k a n k n k a n k n k +-+=-+<+-=++>+2017201632,,.2n k -=满足01,r a r n r n <≤<的正整数r 的个数为零；满足,3r i i a r n r n <≤<+ 的正整数r 的个数为1，1,2,,2016.i =满足1331i i i n r n n ++≤<=+的正整数r 共有22i n -（偶数）个，1,2,,2015,i =其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．满足2017201633n r +≤≤的正整数r 共有2017201632n --（偶数）个，其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．于是，满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为20172017332017320192016.22-⨯-+=三、（本题满分50分）将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =下面证明56.L ≥将方格纸的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,,B B B ．行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ．三种颜色分别记为123,,.c c c 对于一种颜色j c ，设()j n c 是含有j c 色方格的行数与列数之和．记()1,,0,i j i j A c A c δ⎧⎪=⎨⎪⎩若行含有方格，否则，类似地定义(),i j B c δ．于是()()()()()()33333111,,iiijiji i j n A n B A c B c δδ===+=+∑∑∑11331716()()()()3333111,,.i j i j j j i j A c B c n c δδ====+=∑∑∑由于染j c 色的方格有21333633⋅=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此363ab ≥，从而()38,j n c a b =+≥> 故 ()39,1,2,3.j n c j ≥= ①由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，因此至少有()1i n A -条分隔边．同理在列j B 中，至少有()1j n B -条分隔边．于是()()()()33331111i i i i L n A n B ==≥-+-∑∑()()()33166i i i n A n B ==+-∑ ②()3166.j j n c ==-∑ ③下面分两种情形讨论．情形 1：有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为1c 色，从而方格纸的33列中均含有1c 色方格．由于1c 色方格有363个，故至少有11行中含有1c 色方格，于是()1113344.n c ≥+= ④由①，③及④即得()()()123664439396656.L n c n c n c ≥++-≥++-=情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意133i ≤≤，均有 ()()()33166334666656.i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 四、（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，.m n ≥12,,,n a a a 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素．证明：对任意实数x ，均存在一个()1i i n ≤≤，使得()2,1i a x x m m ≥+这里y 表示实数y 与它最近的整数的距离．证明：首先证明以下两个结论． 结论1：存在整数12,,,n c c c ，满足11221,n n c a c a c a +++=并且,1.i c m i n ≤≤≤由于()12,,,1n a a a =，由裴蜀定理，存在整数12,,,n c c c ，满足1122 1.n n c a c a c a +++= ①下面证明，通过调整，存在一组12,,,n c c c 满足①，且绝对值均不超过m ．记()()112212,,,0,,,,0.i j n in j c mc mS c c c cS c c c c ><-=≥=≥∑∑如果10S >，那么存在1,i c m >>于是1,i i c a >又因为12,,,n a a a 均为正数，故由① 可知存在0.j c <令i i c c a '=-。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2.填空题1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。
2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$，且$a\in A$，$3\notin A$，则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2<a\leq 3$。
3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$，则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。
4.在平面直角坐标系$xOy$中，设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线右支上一点，$M$是$PF_2$的中点，且$OM\perp PF_2$，$3PF_1=4PF_2$，则双曲线的离心率为$5$。
5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。
若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$，值域为$[0,2]$，则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。
6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$，则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。
7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sinx}{\cos8x\cos4x\cos4x\cos2x\cos2x\cos x\cos x}$，则$\sin^2x+\sin^24x+\sin^28x=3$。
2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)
2017年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题6分，共8小题，共48分）1.已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n N +=−∈，则13579a a a a a ++++= （ ）A. 40B. 44C. 45D. 492.设n 为正整数，以下各组数,a b 中，使得ba为既约分数的是 （ ）A. 1,21a n b n =+=−B. 21,52a n b n =−=+C. 1,31a n b n =+=+D. 31,52a n b n =+=+3.在空间直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为()()()3,4,10,4,55,2,0A B C 、、，则tan 2A 的值为（ ）A.B.C.D.4.如图，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，222:O x y a +=与y 轴正半轴交于点B ，过点B 的直线与椭圆E 相切，且与O 交于另一点A .若∠AOB =60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A.6B.12C.6D.125.已知函数()2241,02,0x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨>⎪⎩，则()()y f x x R =∈上关于坐标原点对称的点共有（ ）A. 0对B. 对1C. 2对D. 3对6.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别为棱AB 、AD 、AA 1的中点.以△PQR 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也均在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上，则这个三棱柱的体积为（ ）A.38B.C.316D.7.设集合{|,|4.3n A n N B y y x +⎧⎫=∈==+⎨⎬⎩⎭则集合A B 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.设0x y >≥，若存在实数a 、b 满足0,0a x b y ≤≤≤≤，且()()222222.x a y b x b y a −+−=+=+则x y的最大值为（ ）A. 3B.C.2D. 1二、填空题（每题8分，共4小题，共32分） 9.设函数()23axf x x =+.若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____. 10.袋中装有两个红球、三个白球、四个黄球，从中取出四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为______.11.设a 、b 、c 为互不相同的正整数，则abca b c++的最小值为_______.12.设方程()6xy x y =+的全部正整数解为()()()1122,,,,,,.n n x y x y x y 则()1nk k k x y =+∑________.第二试一、（本小题满分20分）设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .向量()()sin ,,sin sin ,m A b c n C B a b =+=−−，且存在实数λ，使得m n λ=. （Ⅰ）求∠C 的大小；（Ⅱ）若a b kc +=，求实数k 的取值范围.二、（本小题满分20分）已知抛物线2:E y x =的焦点为F ，过y 轴的正半轴上一点M 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且 2.OA OB ⋅=. （Ⅰ）证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设点F 关于直线OB 的对称点为G ，求四边形OABC 面积的最小值.三、（本小题满分20分）已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =−+++∈在区间(),0−∞上单调递减，在区间()0,1上单调递增，且()f x 在R 上有三个零点，1为其中的一个零点.（1）求()2f 的取值范围；（2）试讨论直线:1l y x =−与曲线():C y f x =的公共点的个数.四、（本小题满分30分）如图，1O 与2O 交于A 、B 两点，直线PQ 为两圆距离点B 较近的公切线，且分别与1O 、2O 切于点P 、Q .设QB 、PB 的延长线分别与AP 、AQ 交于点C 、D .证明：AC BC AD BD ⋅=⋅.五、（本小题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足()()() 1.a b b c a c +++=2221.2。
2017年全国高中联赛一试(B卷)数学试题 Word版 含答案
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C ==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE ===同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H E F ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为。
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
2017年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B =．2.若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.3.已知02πβα≤≤<，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +5.已知点P ,,A B C6.在ABC ∆则ABC ∆7. 则实数a8.若整数设A 是集{1,2,M =9.（110.（F ，PQ 11. （2）ω（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,AB AC D >、E 分别是边AB 、AC 的中点，ADE ∆的外接圆与BCE ∆的外接圆交于点P （异于点E ），A D E ∆的外接圆与BCD ∆的外接圆交于点Q （异于点D ）。
求证：AP AQ =. 二、（本小题满分40分）求所有素数p ，使得12211p p k pk -+=å三、（本小题满分50分）设n 是一个正整数，1212232,,,,,,,,,,,n n n a a a b b b c c c 是4n －1个正实数，使得2,1,i j i j c a b i j n +≥≤≤．令22max i i nm c ≤≤=，证明：22321212()()(2nn nm c c c a a a b b b nn n++++++++++≥．四、（本小题满分50分）n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m －1个棋手，也有一个棋手输给了其余m －1个棋手，就称此赛况具有性质P （m ）．对给定的m （m ≥4），求n 的最小值f （m ），使得对具有性质P （m ）的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同．2017年全国高中数学联赛模拟试题04第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B =．解：由于1x x +?，故1x y +=．由3log (2)1x +?知1x ¹，又因为10x +>，所以1132x x e x ++>>+即3log (2)1x x +<+故只能是11y x =+=，这样{0,1}A =，3{1,log 2}B =，得3{0,1,log 2}A B =2.若函数23log f x ax x ⎛⎫=-+在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.解：1,10.2>，解得1a >.综上，a()1,∞+.3.已知0≤3tan αβ=解：因为.所以(tanα4.21n +，22n a +1,2,3,.那么，解：因为{11n +，22n a +22221n n n a +++=⎩ =，数列是等差数列.易得36a =，49a =1=.1n =+，()221n a n =+，2100512601a ==.5.已知点(1,2,5)P 是空间直角坐标系O xyz -内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C 三点，则所有这样的四面体OABC 的体积的最小值为． 解：设此平面的方程为1x y z a b c++=，,,0a b c >分别是该平面在,,x y z 轴上的截距，又点P 在平面ABC内，故1251a b c ++=，由于12551a b c =++≥，即11027abc ≥，得1456OABC V abc =≥．当12513a b c ===，即(,,)(3,6,15)a b c =时，OABC V 的最小值为45．6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，又知31cos()32A B -=， 则ABC ∆的面积为．解法1：由等比定理sin sin sin sin sin sin a b a b a bA B A B A B+-===+-得9(sin sin )1(sin sin )A B A B ⋅-=⋅+， 故18sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B -++-=，即tan 9tan22A B A B+-=． 因为cos()A B -=221tan 21tan 2A BA B ---+，又根据a b >知A B >，所以tan 2A B -=，从而tan 2A B +=，于是tan cot 22C A B +==sin C，1sin 2S ab C == 解法1A B 因此7.a解：(,5a A ，2:C 对1C 处的斜率8.若设A 是集}2,,2014M =的取}504,505,,1007A k k =，以下证，},,n a ，若2014j ≤，即2j a M ∈，显然2j a A ∉，（因2j a 与j a 有整除关系）．今在A 中用2j a 替代j a ，其它元素不变，成为子集A '，则A '仍然是联盟子集，这是由于对于A 中异于j a 的任一元素i a ，因j a 与i a 不互质，故2j a 与i a 也不互质；再说明2j a 与i a 没有整除关系：因j a i a ，则2j a i a ；又若2i j a a ，设2j i a ka =，（显然1,2k ≠，否则,i j a a 有整除关系），则2k >，于是i j a a <，这与j a 的最小性矛盾！因此A '仍然是联盟子集，并且仍是n 元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于1007为止，于是得到n 元联盟子集{}12,,,n B b b b =，其中10072014j b <≤．即{}1008,1009,,2014B ⊆，因任两个相邻整数必互质，故在这1007个连续正整数中至多能取到504个互不相邻的数，即504n ≤．又据前面所述的构造可知，n 的最大值即为504．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列{}n a 满足21131,,12n n na a a n a ++==≥．求证：（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥时，1|nn a +-=，这里2r =-解：（1）由21131,,12n n n a a a n a ++==≥及归纳法易得*0()n a n N >∈，且n a 均为有理数…………4分当2n ≥时，由均值不等式得，21132n n n a a a --+=≥，又因为n a 均为有理数，故当2n ≥时n a从而221330(2)22n n n n n n na a a a a n a a ++-+-=-=<≥，所以当2n ≥时，n a 严格单调递减．…………8分（2）由n a 12分 解得1n a +=10.（F ，PQ 证：设(P )1y +，①FP FQ k k ∴⋅设公切线 将公令242222222242220404p k m a k b a k b p k b k a ∆=⇒=+⇒=+⇒--=，两曲线有相同焦点，222244()2p c p c a b ∴=⇒==-，代入上式解得22224p b k p +=…………15分22222121442,22p b p b a y p p p p ++∴=⋅==22222222212244442a pa pa p y y pb a b b =-=-=-=-+-+， 2221242+2a p b y y p p-∴==，代入②式，得2222222221242122FP FQp b p a a b b a pk k b b-⋅----∴⋅===- PF QF ∴⊥.…………20分11.（本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数；（2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．证明：（1）设3()1f x x x =--，则2'()31f x x =-.()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛- ⎝⎭上单调递减，在3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()(10,3f x f =-=<极大()(103f x f ==-<极小 再由(1)10,(2)50f f =-<=>知，方程310x x --=恰有一个实根()1,2ω∈…………5分 假设mnω=，其中,m n 是互素的正整数，则32()m n m n =+，故23n m 于是1n =，即m ω=是整数，这与()1,2ω∈（2ω减去②乘以a …………15分由于ω代入2a +因此ω一、ADE ∆Q （异于点D ）。
2017年全国高中数学联赛模拟试题02
2017全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示）2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a n a a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。
4.21,F F 是椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ∆的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则=a 5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(≠+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,,,n a a a 与非负实数12,,,n b b b 满足(1) 1212n n a a a b b b n +++++++=;(2) 121212n n a a a b b b +=，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭的最大值为__________．7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设)1()(x x x g -=是定义在区间[]1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列{}n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221≥++=++++n n n S S S n n n ，已知,5,121==a a 求数列{}n a 的通项公式。
(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选-完全版)
2017年全国高中数学联赛考前模拟训练（原创精选）姓名___________班级____________学号_____________作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师.一.填空题 1.已知22ππα-<<，2tan tan 2,tan()βαβα=-=-cos α=_________.解：2tan()2tan tan 22tan 2tan()1tan()tan βαααββααβαα-+==-+==--，又tan 2α= 22tan 1tan αα-，从而22tan 1tan αα=-，化简得3tan α=-，即tan α= 又22ππα-<<，从而cos α=.2.(1)已知数列{}n a 满足*111215,(2,)2n n n a a a n n N a ---==≥∈-，则其前100项的和是________.解：依次计算可得12345,3,5,3a a a a ====，则数列{}n a 为周期2的数列，从而10050(53)400S =⨯+=.(2)记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.已知数列{}n a 满足：12111,22n n n a a a a a +-===+ ()n Z +∈.则20162111[]k k k a a =-+=∑_______________.解：由于111111111121122n n n n n n n n n a a a n n n n n n a a a a a a a a a a a a -++-+-+--+=+⇔=-⇔=-左右同除111111112n n n n n n a a a a a a +--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而201620162211111111[][]2k k k k k kk k a a a a a a ==-+-+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑ 201620162212201620172016201711111[][2]22k k a a a a a a ==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，显然{}n a 单调递增，且201620172a a >，从而201622016201711[2]12k a a =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，故20162111[]1k k k a a =-+=∑.3.已知点(0,1)A ，曲线:log a C y x =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，若AB AP ⋅的最小值为2，则实数a 的值为___________解：由于(0,1),(1,0)A B ，则根据向量的投影的定义可知，AP 在AB 方向上的投影的最大:log a C y x =在点(1,0)B 处的切线垂直直线AB ，考虑到1AB k =-， 又()1log 'log a a x e x =，则1log 11a e =，即a e =.4.若复数z 满足||2z =2_____________.2|11|z-|22⋅==，由于||2z =，根据复数运算几何意义可知，在圆224x y +=上的点Z与点1(,2的距离的最大值为3，故232.5.已知正四棱锥P ABCD -的五个顶点都有一个球面上.若该四棱锥的体积为V ，则该球的表面积的最小值为_____________.解：设正四棱锥的底边长为,a 高PH 为h ，则213a h V =.设四棱锥的外接球的球心为O ，则在OBH ∆中，由于,,OH h r OB r BH =-==222()2a r h r =-+，从而222222232213132()244244V a h h h a V V h r h h h h h h h h +++====+=++≥则球的表面积()222394434S r V πππ=≥=.6.已知函数2()4arcsin (arccos())f x x x π=--的最大值为,M 最小值为N ，则M N -=_____.解：由于arccos()arcsin()arcsin 22x x x ππ-=--=+，从而2()4arcsin (arcsin )2f x x x ππ=-+，从而令arcsin [,]22t x ππ=∈-，则222()4()3,[,]2422f x t t t t t ππππππ=-+=-+-∈-，显然当2()()322M N f f πππ-=--=.7.点P 是椭圆221169x y +=在第一象限上的动点，过点P 引圆229x y +=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则MON ∆的面积最小值为____________.解：设点(4cos ,3sin )P θθ，则直线AB 的方程为4cos 3sin 1169x yθθ+=，即3cos 4sin 12x y θθ+=，则43(,0),(0,)cos sin M N θθ，则61212sin cos sin 2MON S θθθ∆==≥当4πθ=取等号.故MON ∆的面积最小值为12.8.多项式21003(1)x x x ++++的展开式在合并同类项后，150x 的系数为___________.解：利用多项式展开原理可知21003210021002100(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++++++设三个括号中所取的项的次数分别为123,,x x x ，从而150x 的系数即方程123150x x x ++=且1230,,100,i x x x x Z ≤≤∈的不同的解123(,,)x x x 的个数.显然方程组123150x x x ++=123(,,0,,1,2,3)i x x x x Z i ≥∈=的解的个数用隔板法即得1503122152C C +-=， 当存在101(1,2,3)i x i ≥=时，不妨设为1101x ≥，则()1231100(+1+152(101)x x x x -++=≥）（）的解的个数为251C . 综合上述，所求的150x 的系数为221525137651C C -=.9.已知,OA OB 为非零的不共线的向量.设111r OC OA OB r r=+++.定义点集{|}||||KA KC KB KCM K KA KB ⋅⋅==,当12,K K M ∈时，若对任意的2r ≥，不等式12||||K K c AB ≤恒成立，则实数c 的最小值为______________.解：显然,,A C B 共线，且AC r CB =，不妨设,1,AC r CB ==由于||||KA KC KB KCKA KB ⋅⋅=，则CK 为AKB ∠的角平分线，从而||||KA r KB =，则根据圆的定义可知点K 的轨迹为圆,在AB 的延长线上取一点D ，使得||||AD r DB =，从而11r BD r +=-，从而点K 在以CD 为直径的圆上.由此12122max 11||||221,(2)111||||r K K K K r r c r r r AB AB r r++⎛⎫-≥===≥ ⎪+-⎝⎭-，从而12max ||43||K K c AB ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭.故c 的最小值为43.r+1r-11rDCBA10.数列11{}:2n n na a a +=-，若对任意的正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围为______,解：根据图像可知11a <.11.甲、乙两人做一种游戏：连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到5次，则甲获胜；否则乙获胜.那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为____________.解：先考虑9次结束游戏的情形，则前8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，从而9次结束的概率为488352128C =，从而抛掷不足9次就决出胜负的概率为4883593112128128C -=-=.二.简答题13.在数列{}n a 中，2111,23(,2)1n n n na a a n n N n n --==+⨯∈≥-. （I ）求数列{}n a 的通项公式. （II ）令*1()1n n a b n N n +=∈+，证明：数列22(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和2n S <. 解：（1）21231n n n a a n n --=+⋅-，从而112211()()()112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 23012(333)13n n n ---=++++=，即13n n a n -=⋅.（2）由于3nn b =，则112211223233323(1)(31)(31)(31)31(31)(31)n n n n n n n n n nn n b b ----⋅⋅-⋅==⋅<------- 111(1)3131n n n -=-≥--，从而2311223131nn S <+-<--.14.已知二次函数()f x 满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤当[2,2]x ∈-时，求|()|y f x =的最大值.解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，则(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++=222222224224(2)(2)(0)884442x x x x x x x x x x f f f +--+--+-+≤++，考虑到当 [2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而 2222222224224|()|||24424422x x x x x x x x x x x f x x +--+--≤++=-+=-++则当||1x =时，|()|f x 有最大值52. 从而当(2)(2)(0)2f f f =-==，且||1x =取最大值，显然函数21()(2)2f x x x =±+-或21()(2)2f x x x =±--满足条件.故|()|y f x =的最大值为52.15.已知222:(2)G x y r -+=是椭圆22116x y +=的内接ABC ∆的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点.（I ）求G 的半径r ； （II ）过点(0,1)M 作G 的两条切线与椭圆交于,E F 两点.证明：直线EF 与G 相切.解：（1）设点0(2,)B r y +，BC 与x 轴的交点为D ，AB 与圆的切点为H ，则根据相似关系得0GH AH r BD AD y =⇔=，从而0y =.则点(2)B r +代入椭圆中可得222(2)6(6)(2))116616r r r r r r +++-+=⇔⋅=-，从而求得23r =. （2）设直线,ME MF 的方程分别为121,1y k x y k x =+=+，由于两直线与圆222(2)x y r-+=相切，则2323==，即12,k k 是方程2323650k k ++=的两根，从而121298532k k k k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩.联立方程12221121(161)320116y k x k x k x x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，从而12132161E k x k =-+，2121116161E k y k -=+，故点E 坐标为211221132116(,)161161k k k k --++，同理得222222232116(,)161161k k F k k --++. 故22212221122112222111611691611613853232116411632161161EFk k k k k k k k k k k k k ----+++====--⨯-+++，由此直线EF 的方程为 21112221113211624233()141611614161k k k y x x k k k -+=++=-++++，即121242314161k y x k +==-++.考虑到211323650k k ++=，从而2113161182k k +=--，从而12124241613k k +=-+.故直线 EF 的方程为3743y x ==-.此直线与圆G的距离37|2|23d ⨯-==，与圆G 相切.加 试 试 题试题1：设n 为正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，且满足对任意的1,2,,i n =，都有0i i a b +>.证明：2211111()nnni i i ni i i i i i ni i ii i i a b b a b b a b a b =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑.试题2：设n 是正整数，,p q 为素数，且|1,2|ppqpq n n n n +++，证明：存在正整数m ，使得|42mq n ⋅+.试题3：如图，△ABC 的内切圆I 在边,,AB BC CA 上的切点分别是,,D E F ，直线EF 与直线,,AI BI DI 分别相交于点,,M N K ．证明：DM KE DN KF ⋅=⋅．k k 个点，其中任意三点不共线.在任意两点之间连一条线段，并试题4：若平面上有2(3)将每条线段染为红色或蓝色.称三边颜色相同的三角形为同色三角形，记同色三角形的个数为S.多于所有可能的染法，求S的最小值.。
2017年全国高中数学联赛模拟题2
2017年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时刻上午8：00~9：20，共80分钟，总分值120分一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分.把答案填在横线上.2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________. 118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，那么知足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________.n （n N ∈，2n ≥）是常数，且1x ，2x ，，n x 是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任意实数，那么函数1212231(,,,)sin cos sin cos sin cos n n f x x x x x x x x x =+++的最大值等于_________________.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，若是没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每一个极点，它都等机遇地爬向另外两个极点之一，那么它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 知足||||AC AB OP OA AC AB λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，那么点P 的轨迹为_________________. m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=_________________.a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为a V ，b V ，c V ，那么22a b V V +与2(2)c V 的大小关系是_________________.二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.1.（本小题总分值16分）是不是存在实数a ，使直线1y ax =+和双曲线2231x y -=相交于两点A 、B ，且以AB 为直径的圆恰好于坐标系的原点？2.（本小题总分值20分）求证：不存在如此的函数{}:1,2,3f Z →，知足对任意的整数x ，y ，假设{}||2,3,5x y -∈，那么()()f x f y ≠.3.（本小题总分值20分）设非负实数a ，b ，c 知足1a b c ++=，求证：19(19)4abc ab bc ca abc ≤++≤+2017年全国高中数学联赛模拟题2（加试）9：40~12：10共150分钟 总分值180分平面几何、代数、数论、组合一、二、设函数f （x ）的概念域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有f （x+y ）=f （x ）f （y ）（Ⅰ）求f （0），判定并证明函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）数列{a n }知足a 1=f （0），且)()2(1)(*1N n a f a f n n ∈--=+ ①求{a n }通项公式。
2017年全国高中数学联赛模拟试题15
（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()()23x x f x a a a =-+()01a a >≠且[]0,1a 2．在四棱锥中，已知四边形是矩形，且,P ABCD -ABCD 4,3,5AB BC PA PB PC PD ======与交于点，为边的中点，则与平面所成角为AC BD O M PC OM PBC 3．将中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和等于{}1,2,,9M =L S 4．已知曲线上任意一点到点与直线的距离之和等于，对于给定的点，在曲线上恰C ()0,1A 4x =5(),0B b 有三对不同的点关于点对称，则的取值范围是B b 5．设方程的三个实根是．则 3310x x --=()123123,,x x x x x x <<()()()323231x x x x x x -+--=6．已知正实数满足，则的最大值为,,x y z 3xyz xy yz zx x y z ++++++=()u xyz x y z =++7．设方程的个复根分别为，则 ()10101310x x +-=1210,,,x x x L 11221010111x x x x x x +++=L 8．将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编1,2,,9L 号之差的绝对值之和为，则取得最小值的放法的概率是T T 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知数列满足，．{}n a 12a =()()()()2*213512432n k k a n n nN k k k n n =+=∈++++∑证明：11n k ka =<<∑10.（本小题满分20分）设椭圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F 1F 的直线与椭圆交于点．若，且θl C ,A B 113cos ,355F A BF θ==u u u r u u u r 2380845ABF S =△⑴ 求椭圆的方程；C ⑵ 若是椭圆的有准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.,P Q C 10PQ =1F PQ △M 11.（本小题满分20分）设且，其中为给定(),1,2,,,2,,2i x R i n n m N m +∈=≥∈≥L 1n i i xT ==∑,,,k a m T 的正实数，求的值域1n i W ==（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，Rt ABC △CD AB 12,,I I I ,,ABC ADC BDC △△△于点，直线与，与，与分别交于点．IE AB ⊥E AI BC BI AC MN CD ,,N M Q 求证：(1)且；12QE I I ⊥12QE I I = (2) 且．//QE CI QE CI = 二、（本小题满分40分）设．试求的最大值和最小值（规定）. []()4,101,2,,i x i n ∈=L 111nn i i i i i i x S x x x ==+=++∑∑11n x x +=三、（本小题满分50分）个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九11个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．四、（本小题满分50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.M 12k a a a L 证明：存在，使得的十进制表达的前位是*n N ∈3nk 12k a a a L第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）1．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()()23x x f x a a a =-+()01a a >≠且[]0,1a 2．在四棱锥中，已知四边形是矩形，且,P ABCD -ABCD 4,3,5AB BC PA PB PC PD ======与交于点，为边的中点，则与平面所成角为AC BD O M PC OM PBC3．将中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和等于{}1,2,,9M =L S 4．已知曲线上任意一点到点与直线的距离C ()0,1A 4x =之和等于，对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，则的取值范围是5(),0B b B b5．设方程的三个实根是．则 0 3310x x --=()123123,,x x x x x x <<()()()323231x x x x x x -+--=6．已知正实数满足，则的最大值为,,x y z 3xyz xy yz zx x y z ++++++=()u xyz x y z =++7．设方程的个复根分别为，则 1700 ()10101310x x +-=1210,,,x x x L 11221010111x x x x x x +++=L 8．将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编1,2,,9L 号之差的绝对值之和为，则取得最小值的放法的概率是T T二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知数列满足，．{}n a 12a =()()()()2*213512432nk k a n n n N k k k n n =+=∈++++∑证明：11n k k a =<<∑10.（本小题满分20分）设椭圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F 1F 的直线与椭圆交于点．若，且θl C ,A B 113cos ,355F A BF θ==u u u r u u u r 2380845ABF S =△⑴ 求椭圆的方程；C ⑵ 若是椭圆的有准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.,P Q C 10PQ =1F PQ △M11.（本小题满分20分）设且，其中为给定(),1,2,,,2,,2i x R i n n m N m +∈=≥∈≥L 1ni i x T ==∑,,,k a m T 的正实数，求的值域1ni W ==2017年全国高中数学联赛模拟试题14加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，Rt ABC △CD AB 12,,I I I ,,ABC ADC BDC △△△于点，直线与，与，与分别交于点．IE AB ⊥E AI BC BI AC MN CD ,,N M Q 求证：(1)且；12QE I I ⊥12QE I I = (2) 且．//QE CI QE CI =二、（本小题满分40分）设．试求的最大值和最小值（规定）. []()4,101,2,,i x i n ∈=L 111nn i i i i i i x S x x x ==+=++∑∑11n x x +=三、（本小题满分50分）个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九11个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．四、（本小题满分50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.M 12k a a a L 证明：存在，使得的十进制表达的前位是*n N 3n k 12k a a a L 证明：先证明一个引理．。
2017年全国高中数学联赛模拟试题13
0和双曲线y -交于点T ,这两条曲线的公切线分别切抛物线于点 P ，切双曲x线于点Q •求△ PQT 的面积.11•设 Z 1,Z 2, Z 3 是 3个模不大于 1 的复数，W 1,W 2是方程(z zj(zZ 2) (z Z 2)(z Z 3) (z Z 3)(z Z 1) 0的两个根.证明：对j = 1, 2, 3,都有min Z j w 1 , Z j w 21 .1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2017年全国高中数学联赛模拟试题 13第一试(时间：8:00-9:20 满分：、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分. 若正实数a,b 满足log 8 a log 4b 5和log 8 b log 4a 2 7, 如果△ 函数 120) 则log 4 a log 8b 的值是 ABC 中，tanA, tan B , tanC 都是整数，且 sin 2sin( 1 i,b 2 i,c f (x)满足 f (x) A >B>C ，则 tan B= 2 )sin( i,x 3,x f(f(x 在四面体ABCD 内部有一点0, x 2设A,B 是椭圆— a 自代B 分别作直线 3)，当 1000;5)),x 、3i)，则 |a bx x 的小数点后第一位数字是 cx 2|的值是则f (84)的值是 1000. 满足OA=OB=OC=4, OD=l ，则四面体 ABCD 体积的最大值为 2 每 1 a b 0的长轴端点，P 是椭圆上异于A,B 的点, b 2l 1 PA,l 2 PB,则l 1,l 2的交点轨迹方程是 _______________________ 某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上 1.2.3.4中的某个数，如果他 最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束•则他完成游戏时所写的最后一个数为 二、解答题：本大题共 3小题， 9•设函数f(x) 1 e 共56分. 1的概率为(I )证明：当x 0时,f(x)(2)数列｛ a n ｝满足a 113朋an 1f (a n )，证明：数列｛ a n ｝递减且a n1 2n210.设抛物线y ax a2017年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10 满分：180）、（本小题满分40分）设p 为给疋素数，a 1, a 2 ,La k是kk 3个整数，均不被 p 整除，且模 p 互不同余,设b 0p a k ,b i a i q 1 i 1,2,L ,k其中a 。
2017年全国高中联合竞赛竞赛一试(A卷)数学试题 Word版 含答案
2017年全国数学联合竞赛一试（A 卷）试 题一、填空题：本大题共8小题,每小题8分,共64分.1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅→+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是________.5.正三棱锥ABC P -中，21==AP AB ，,过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若ABC A ∆=∠，π3的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为________.二、解答题 （本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9. 设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(,0)Re(21>>z z ，且2)R e()R e(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国数学联合竞赛一试（A 卷）答 案一、填空题1.答案：21-. 解：由条件知，)()7(1)14(x f x f x f =+-=+，所以214log 1)5(1)2()714100(_100(2-=-=-=-=⨯+-=-f f f f . 2.答案：13,1+-.解：由于[]3,1cos 212-∈--y x ，故[]3,3-∈x ； 由21cos 2x y -=可知，1)1(2121cos 22-+=--=-x x x y x .因此当1-=x 时，y x cos -有最小值1-（这时y 可以取2π）；当3=x 时，y x cos -有最大值13+（这时y 可以取π）.由于1)1212-+x （的值域是[]13,1+-，从而y x cos -的取值范围是[]13,1+-.3.答案：2113 解：易知)10(),03(，，F A .设P 的坐标是）π2,0(),sin 10,cos 3(∈θθθ，则θθcos 3121sin 10321⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆OFP OAP OAPE S S S )sin(2113)sin cos 1023ϕθθθ+=+=（.。
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2017年全国高中数学联赛考前模拟训练(原创精选)姓名 ____________ 班级 ____________ 学号 _______________作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师一.填空题1.已知一 —<« < —， 2tanP=tan2o (,tan( P —ot ) =—2血，贝y cosa =2 22tan(『■ x) 2tan :-4 2 2tan :解：tan 2: =2tan ： =2tan( ■ ■ ■■)，又 a2 :-1 -tan(P -a)tan a1+^2 tan a2 tan 二1 -tan 2:-从而2tan :1 - ta n2 ：4血'tan “，化简得 tan'o = -2/2，即 tan 。
= —J2 1 2、2 tan:■JI 兀又 2 2 从而cos ：2.(1)已知数列｛a n ｝满足c =5,a n 2a _1 十 g 2“N *)，贝其前100项的和是 解：依次计算可得 a 1 =5,a 2 =3,a 3 =5,a 4 =3|1(，则数列｛a .｝为周期2的数列，从而 S oo =50 (5 3) =400.(2)记［x ］表示不超过实数 x 的最大整数.已知数列｛a n ｝满足:1 c旦=a 2 二 2® 1 二 2a n a n 」2016 1 (n ■ Z ).则［］=k=2 a k 4a k + 解：由于a n^2a n 'a n 4- 2a n 昏n 1 一 a n 4左右同除!曲何也心 a n 」a n a n a n -1a n 1a n 12 l a n 4a na n a n 十丿从而 2016 2016 A —］干2“ a k ak 12016.【Tk =2 ‘2 <a 1 a 2a2016a20172016k =2，显然｛a n ｝单调递增，且玄2016玄2017 ■ 2，从2016而「k =2a2016a 20172_2 a2016a20172016=1，故［7k =2 a k 4a k 13•已知点A(0,1)，曲线C: y =log a X 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，若小值为2，则实数a 的值为 _____________解：由于A(0,1),B(1,0)，则根据向量的投影的定义可知, 值为 2，即曲线C : ^ log a x 在点B(1,0)处的切线垂直直线 AB ，考虑到k AB =-1，1又 log a X 'log a e ， X 贝y 】log a e=1，即 a =e .1Z 与点(丄，-丄3)的距离的最大值为3，故2 25•已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都有一个球面上 •若该四棱锥的体积为 V ，则该球的 表面积的最小值为 ____________________ .1 2 解：设正四棱锥的底边长为 a,高PH 为h ，则-ah 二V •设四棱锥的外接球的球心为3球的表面积 S =4 二 r 2 _4—i 3 33V "3V14丿46.已知函数f (x) = 4二arcsin x -(arccos(-x))2的最大值为M ,最小值为N ,则M -N -4•若复数z 满足|z| = 2 ,」z 2 二 z_[L|2z-1 -、、3i|的最大值为|Z 2-Z 1|解：由于| 2z-1 -J3i |I j 3i 「1- 3i_|z-—z —^|1 + 恥―2」3i | Jz-1 _ 3i |，由于|z|=2，根据复2 2|z 2-z 1||2z -1 -、、3i|最大值为AP 在AB 方向上的投影的最大数运算几何意义可知，在圆x 2y^4上的点O ，则在 OBH 中，由于OH=h - r,OB = r, BHa “2，则r 2a =(h - r)2，从而22r22h2h 2a 22h 24h3V」=-h 4h 2」(h h 卑)一 33-3V .则4 h 4解: 由于 arccos(-x)arcsin(-x) arcsinx ，从而 2 2f (x) =4\ arcsin x -(三'arcsin x)2 ，从而AP 的最令t =arcsinx •[,],则f(x)=4-t_「t)2 -_t2，显然2 2' 2 " 4 2 2当M _N =f (j) _f (_j) =3二2.x2y2227.点P是椭圆1在第一象限上的动点，过点P引圆x y =9的两条切线16 9PA, PB,切点为A, B，直线AB与x轴，y轴分别交于点M ,N，则.MON的面积最小值为.解：设点P(4cos -,3sin -)，则直线AB的方程为4c°S=x 3si^^1，即16 93co ⑹4 sy n，则M(丄4 ,0), N(0^3 )，则S MON6 1212cos 日sin 日sin 日cos 日sin 20当取等号.故：MON的面积最小值为12.42^i 100 3 1508•多项式(1+x+x卄||+x )的展开式在合并同类项后，x 的系数为______________ .解：利用多项式展开原理可知(1 X X2川X100)3二(1 X X2•川X100)(1 X X2川X100)(1 X X2川x100)设三个括号中所取的项的次数分别为x-i, x2, x3，从而x150的系数即方程X| x2 x^ 150且0^X1,X2,X3^100,X「Z的不同的解(X1 ,X2 ,X3的个数•显然方程组X1+x尹x亏150 (X1 ,X2 ,X3 i0 x z=,i的解的个数用隔板法即得= ，当存在x i _101(i -1,2,3)时，不妨设为洛一101 ，贝V (% -100 )+(x2 + 1) +(x3+1) =52(X >101)的解的个数为C：综合上述，所求的X150的系数为-3C；1 =7651.9.已知關非零的不共线的向量.设OC OA OB .定义点集M 二｛K |KAKC|KA| _K1, K2 M 时，若对任意的r—2 ,不等式|K1K2匸c|AB|恒成立，则实数c的最小值为AC解：显然A,C,B共线，且--，不妨设AC = r,CB 二1,由于|KA| |KB|则CK 壮AKB 的角平分线，从而笔=「，则根据圆的定义可知点K 的轨迹为圆，在AB 的延长线上取一点 D ，使得LAD-Lr ，从而BD，从而点K 在以CD 为直径的圆|DB | r -1二三（r 一2） r -r11.甲、乙两人做一种游戏：连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达 到5次时游戏结束•游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到 5次，则甲获胜；否则乙获胜•那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为 _______________ .解：先考虑9次结束游戏的情形，则前 8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，从而 9上.由此2r r 2-1l|AB| 皿-4.故c 的最小值为3110.数列{a n } :a n 1，若对任意的正整数2—a .n ，均有am a .，则印的取值范围为二.简答题13.在数列｛a .｝中，a1 =1,a^— 4/2n 3心（n N,n_ 2）. n —1 （I ）求数列｛a n ｝的通项公式.（II ）令0=色』（n ・N *），证明：数列如飞 的前n 项和S 「：：2.n+1g-1）J解：（1）空=_^耳2 3n，从而旦n =（空_邑A ）.（电1巫L ）. HI •（竺_旦）•色n n-1n n n_1n_1 n-22 1 1= 2（3n _ 3n「||「3°）"沪，即 a — n 3nJ .n n _1 nn 」2b n_ 2 3 _ 2 3 3 -3 2 3 (b n -1)2_(3n-1厂(3n-1)(3nJ -1) 3n-1 (3n-1)(3心 -1)14.已知二次函数f (x)满足| f ( 0列 2f, |伍2 ) | f 2, | M 当［—2,2］时，求y H f ( x)的最大值.次结束的概率为 C ； 35128，从而抛掷不足9次就决出胜负的概率为C 8「 2835 93128 128（2）由于b n =3n，则1 3nJ -113n -1 3 1 （n -1），从而〈：：：2 •厂13n-1：2.c = f(0)，则 ^a =2解：设 f (x)二 ax bx c(a =0)，则 4a 2b• c = f (2) 4a -2bc = f(-2)c 二 f (0)f(2) f(-2) -2f (0) 从而 y =| f (x) | = f(2) + f (—2)—2f(0) 2 卜 f(2) — f (—2) X4 x+ f(0)=x 22xx 2_2x8 f⑵飞—4 _x 2fWp f(0)x 2+2xx - 2x + 4 - x22 -，考虑到当x 22xx ［-2, 2］时42小x -2x 0,从而4X 2+2X + x 2 -2x+ 4-x 2 - X 2+2Xx 2-2x /-X 2 一2x 4丨42 - 4 422|x| 25 则当|x| = 1时，|f(x)|有最大值丫 . 2从而当| f ( 2哥f —( 2)f\=0且| 2丰 取最大值，显然函数115f(x)二(2 X 2^2)或 f(x)二 gx 2-x-2)满足条件•故 y =| f (x)| 的最大值为-.215.已知 L G :(X -2)2 • y 2 二 r 2是椭圆 令 y 2的左顶点•(I) 求L G 的半径r ；(II) 过点M(0,1 )作［G 的两条切线与椭圆交于解：(1)设点B(2 r,y o )，BC 与x 轴的交点为D ，AB 与圆的切点为H ，则根据相似GH AH r 36 -r 26 r6 r关系得，从而y °r .则点B （2 ■ r,r ）代入椭BD ADy o 6 + r467（2 r ）2/、6 r 26 r 2 （6 r ）（2 - r ） 2圆中可得 （r ）2=1r 2，从而求得r .16 ^6^6-r 16 32 2 2（2）设直线ME, MF 的方程分别为y =Kx • 1,y =k 2x • 1，由于两直线与圆（x - 2） • y = r|2匕=1| 二相切，则J £3，即k 1,k 2是方程32k 2 36k ^0的两根，从而|2k 2 +1| 22 2 21一产，故点E 坐标为(-虫学丄驴)，同理得F( 琴「，1婪2).16k f 116k ： 1 16k 12 116k ； 1 16k ； 13斗）*壬-1 *，即4 16k 121 16k2 1 416k 12 11 -16k ； 1 -16k 12916k ； 1 16k 21k 1 k 283二3，由此直线— — 32 k 2 32k 1 1 -16k 1k 2 1-16 —4 16k 2" 116k 12132故k EFEF 的方程为 E, F 两点.证明：直线EF 与L G 相切.联立方程y = k j X 1x 22 二（16好 1）x 232&x=0，怎八1xE32k 116k 21y 二二3x-1 牛 4 16k 121考虑到 32k i 236k i • 5 = 0，从而 16k ； •仁-18^ -3，从而24k； 2=.故直线216k 1 +13试题2：设n 是正整数，p,q 为素数，且pq | n P T,n • 2 | n P • n q ，证明：存在正整数 m , 使得 q|4m n 2.EF 的方程为y 二二3x.此直线与圆4 3试题1:设n 为正整数,a 1,a 2,|l(,a n ,b!,b 2,M,b n • R ，且满足对任意的 i =1,2,|||,n ，都n有a i b i 0证明：i 二ab _b ：ai - b in nn 2、a i)i)i) 2 )、(a i b i )与圆G 相切.试题3：如图，△ ABC的内切圆I在边AB, BC, CA上的切点分别是D, E, F ,直线EF与直线AI, BI , DI分别相交于点M , N, K •证明：DM K^DN KF .试题4：若平面上有2k(k _3)个点，其中任意三点不共线•在任意两点之间连一条线段，并将每条线段染为红色或蓝色•称三边颜色相同的三角形为同色三角形，记同色三角形的个数为S.多于所有可能的染法，求S的最小值•。