数学建模——微分方程模型
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微分方程解决的主要问题： (1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程 (2)分析对象特征的变化规律 (3)预报对象特征的未来性态 (4)研究控制对象特征的手段
微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。 由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分， 而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要 附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称 为定解条件。
例：对Logistic方程，
dx rx(1 x )
dt
N
它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平
衡点，x=N是稳定的平衡点。
例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基
本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消 耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热 量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这 个人体重的变化。
fn fn x1 x2
f1
xn
f2
xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义：
如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
Q k1T
在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大于 室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为
dT k(T T 0) dt
模型的解为 T T0 Cekt
这里有三个参数，其中T0=25。还剩两个参数，利 用剩下的两个条件可以确定。
问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液，将一 个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液中。求 溶液温度的变化规律。(平均温度)
常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程， 需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定 解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条 件个数之和。 定解问题分为初值问题和边值问题。 初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的 定解条件在不同点上。
导数的意义：瞬时变化率 在实际上我们遇到的描述变化的词有
微分方程模型
常微分方程的基本方法
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
h h
ds
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
根据能量转换关系，水失去的势能转化为动能，
即
mgh 1 mv2
2
或
v 2gh
综合得到
dh B 2gh dt A
问题1：给出定解条件。 问题2：求出桶里的水流光所需时间。
动力学： 牛顿第二定律 能量守恒定律 欧拉-拉格朗日方程 空气和水的阻力
例1：求单摆的运动：摆长L，摆锤质量m的单摆的 运动方程
Leabharlann Baidu
(1)利用Newton定律 f=ma 得到
ml
d 2
dt 2
mg sin
即
d 2
dt 2
g l
sin
(2)利用能量方程建模。设=0的点为零势点
则
mg(l l cos ) 1 m(l )2
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就 会发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
Q k T d
对于两个固定热源，距离d是常数，则
练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥)或球形 的，计算水深的变化规律。
练习题：
1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。几年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？
2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
速率(物理) 增长率(经济，生物，人口等) 衰变(原子反应) 边际的(经济)
瞬时变化率的描述： 绝对增加率：单位时间增加的量。 相对增加率：单位时间增加的百分比。 变化率= 增加率-减少率
由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间 隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)
微分方程的建模方法： (1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分方
2
等式两边求导数则得到第一个方程。
例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。 底部有一个直径0.02米的孔。 (1)水多长时间可以流光？ (2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m 的高度。求 水流喷出距离的变化规律。
解：直接利用Newton第二定律建模比较困难，我 们利用能量的转换。在流水的过程中，桶的顶部减 少的势能化为水的动能。(如图)
程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f (x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
Df D( f1, f2, Dx D(x1, x2 ,
, ,
fn ) xn )
f2 x1
f2 x2
分析：问题研究人体重量随时间的变化w(t)。条件 给出的是 热量单位时间的变化
2500-1200-16w(t) 转换成体重为
(2500-1200-16w(t))/10000 因此得到变化关系
dw 2500120016w
dt
10000
常微分方程建模的物理方法
热传导： 牛顿冷却定律(加热定律)：
例：将一只读数为25度的温度计放在室外，10分钟 后度数为30度，又过了10分钟，读数变为33度，问 室外温度是多少？
微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。 由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分， 而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要 附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称 为定解条件。
例：对Logistic方程，
dx rx(1 x )
dt
N
它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平
衡点，x=N是稳定的平衡点。
例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基
本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消 耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热 量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这 个人体重的变化。
fn fn x1 x2
f1
xn
f2
xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义：
如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
Q k1T
在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大于 室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为
dT k(T T 0) dt
模型的解为 T T0 Cekt
这里有三个参数，其中T0=25。还剩两个参数，利 用剩下的两个条件可以确定。
问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液，将一 个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液中。求 溶液温度的变化规律。(平均温度)
常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程， 需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定 解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条 件个数之和。 定解问题分为初值问题和边值问题。 初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的 定解条件在不同点上。
导数的意义：瞬时变化率 在实际上我们遇到的描述变化的词有
微分方程模型
常微分方程的基本方法
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
h h
ds
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
根据能量转换关系，水失去的势能转化为动能，
即
mgh 1 mv2
2
或
v 2gh
综合得到
dh B 2gh dt A
问题1：给出定解条件。 问题2：求出桶里的水流光所需时间。
动力学： 牛顿第二定律 能量守恒定律 欧拉-拉格朗日方程 空气和水的阻力
例1：求单摆的运动：摆长L，摆锤质量m的单摆的 运动方程
Leabharlann Baidu
(1)利用Newton定律 f=ma 得到
ml
d 2
dt 2
mg sin
即
d 2
dt 2
g l
sin
(2)利用能量方程建模。设=0的点为零势点
则
mg(l l cos ) 1 m(l )2
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就 会发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
Q k T d
对于两个固定热源，距离d是常数，则
练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥)或球形 的，计算水深的变化规律。
练习题：
1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。几年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？
2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
速率(物理) 增长率(经济，生物，人口等) 衰变(原子反应) 边际的(经济)
瞬时变化率的描述： 绝对增加率：单位时间增加的量。 相对增加率：单位时间增加的百分比。 变化率= 增加率-减少率
由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间 隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)
微分方程的建模方法： (1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分方
2
等式两边求导数则得到第一个方程。
例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。 底部有一个直径0.02米的孔。 (1)水多长时间可以流光？ (2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m 的高度。求 水流喷出距离的变化规律。
解：直接利用Newton第二定律建模比较困难，我 们利用能量的转换。在流水的过程中，桶的顶部减 少的势能化为水的动能。(如图)
程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f (x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
Df D( f1, f2, Dx D(x1, x2 ,
, ,
fn ) xn )
f2 x1
f2 x2
分析：问题研究人体重量随时间的变化w(t)。条件 给出的是 热量单位时间的变化
2500-1200-16w(t) 转换成体重为
(2500-1200-16w(t))/10000 因此得到变化关系
dw 2500120016w
dt
10000
常微分方程建模的物理方法
热传导： 牛顿冷却定律(加热定律)：
例：将一只读数为25度的温度计放在室外，10分钟 后度数为30度，又过了10分钟，读数变为33度，问 室外温度是多少？