不定积分的计算(凑微分法)
不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
不定积分的计算(凑微分法)
7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
不定积分(凑微分)
1 dx x ln x(1 ln x)
1 ln x 1 ln x 1 d lnx 1 ln x
1 1 ln x
2
2
2
dlnx
d lnx
2arcsin lnx C
1 arctan x dx 1 x2
1 因为 (arctan x ) 1 1 1 ( 2 ) 2 1 2 x 1 x 1 ( ) x
1 dsinx dsinx 2 sin x 1 sinx C sin x
3
cos 2 x 1 sin x cos xdx
cos 2 x dx 1 1 sin 2 x 2
1 1 dsin2x 2 1 1 sin 2 x 2 1 1 d(1+ sin2x) 1 2 1 sin 2 x 2
3 2 arctan x C 3
1 dx x (1 x)
1 1 dx 2 d x 1 x x (1 x)
2 1 1 x
2
d x
2arctan x C
da a ln a dx
x
x
2 3 2x d x 2x 3 2
x x
x 2 d ( 3) 1 2 x 2 2 ln 3 1 ( ) 3
e x + C1 , x 0 x e +C2 , x 0
1 C1 1 C2 因为原函数应在 x 0 处连续，所以
记C1 C得
ex + C , x 0 f ( x)dx x e +2+C , x 0
1 1 1 10 10 ( 10 10 dx 10 dx ) 2 10 x ( x 1) ( x 1)
不定积分怎么凑微分法
不定积分怎么凑微分法
微分法是求解不定积分的一种方法，是一种重要的数学工具。
它把不定积分（以及定积分）看作导数的反函数，以帮助解决某些学科（物理学、化学、经济学）中相关的复杂问题。
要用微分法求解不定积分，就必须充分了解定积分的基本概念，如积分的定义、应用、性质及转归。
我们需要了解不定积分和分部积分的基本概念，如定义、定应用、分部积分的概念和方法。
如果想要更好的理解不定积分的概念，可以把不定积分的解写成分部积分的形式。
要了解几何形式的不定积分的解法，如实数型函数和多项式函数的解法。
其中，多项式函数可以解析分解成一个个温和的小函数，这样就可以把问题简化成容易解决的形式。
对于实数型函数的解法中，可以用数值解积分的方法，这就是微分法的手段，同时也可以用统计学和概率论的方法来解决。
可以用微分法来求解不定积分，即把不定积分看作导数的反函数，把函数的导数展开到不定积分中，这样就可以用不定积分中的公式来求解。
总之，微分法是求解不定积分非常有效的一种方法，它可以把复杂的问题简化成容易解决的形式，可以用数值解积分的方法，也可以用统计学和概率论的方法来解决，同时可以把函数的导数展开到不定积分中，以求出不定积分的解。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是数学中常用的一种函数方法，它是一种“从某种变量微分出别的变量”的求解方法。
不定积分凑微分法公式可以应用于各种函数计算，对研究变量进行深入的分析、控制和模型的构建有很大帮助。
一般情况下，不定积分凑微分法公式主要求解几何型的微分方程。
它把一个方程中的一个变量与另一个变量之间的关系转化成微分方程，并用不定积分凑微分法分析两个变量之间的关系，以求解原方程。
说白了，就是用不定积分凑微分法对微分方程进行求解，以得到原方程的解。
不定积分凑微分法公式的基本形式：int_{x_0}^{x} {f(x}dx=F(x)-F(x_0)其中，f(x)是原方程中某一变量的函数表达式，F(x)是原方程的积分，x_0是不定积分的起始点，x是不定积分的终止点。
除此之外，不定积分凑微分法还可以应用于各种具体的微分方程，比如：1. 一阶微分方程：frac{dy}{dx}=f(x,y)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^{x} {f(xy(x))dx=y(x)-y(x_0)}2. 二阶微分方程：frac{d^2y}{dx^2}+p(x)frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^x{(frac{1}{2}p(xy^2+q(xy+g(x))dx=F(x)-F(x_0)} 以上就是不定积分凑微分法的一般形式和具体公式，它是一种解决微分方程的有效手段。
不定积分凑微分法最大的优点是能够求解一个微分方程，而一个微分方程大多由一系列问题系统所构成，因此，使用不定积分凑微分法可以解决复杂的多变量系统问题。
总之，不定积分凑微分法公式是一种广泛应用的数学方法，它可以应用于多个变量间的关系求解，有效地帮助我们研究和模型某一变量与另一个变量之间的关系，从而有效解决实际函数问题，是一种有效的解决办法。
高等数学 - 06 不定积分的积分方法
２．第二换元积分法 第 换 积 方 是 择 的 分 量 u =ϕ( x), 但 一 元 分 法 选 新 积 变 对 些 积 数 需 作 反 式 换 ， 令 =ϕ(t), 有 被 函 则 要 相 方 的 元 即 x 把 t作 新 分 量 才 积 结 ， 为 积 变 ， 能 出 果 即 x =ϕ ( t )
似 (4) 类 得
∫
cot xdx = ln| sin x | +C.
sec x(sec x +tan x) sec2 x +sec xtan x dx = ∫ dx (5) ∫sec xdx = ∫ tan x +sec x tan x +sec x
1 =∫ d(tan x +sec x) = ln| sec x +tan x | +C . (tan x +sec x)
微 法 用 的 点 于 题 未 明 该 凑 分 运 时 难 在 原 并 指 应 把 需 解 经 , 果 熟 列 哪 部 凑 dϕ(x),这 要 题 验 如 记 下 一 一 分 成 些 分 ,解 中 会 我 以 示 微 式 题 则 给 们 启 ． 1 2 dx 1 = 2d( x)， dx = d(ax +b)， xdx = d(x )， x 2 a 1 x x dx = d(ln| x |)， sin xdx = −d(cos x)， e dx=d(e )， x cos xdx = d(sin x)， 2 xdx =d(tanx)， 2 xdx =− (cotx) sec csc d ， dx dx = d(arcsin x)， = d(arctanx)． 2 2 1+ x 1− x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．
凑微分法求不定积分
凑微分法求不定积分不定积分是高等数学中常见的重要概念，占据着重要的地位，受到了广大学生和教师的广泛关注。
其解法不论是中学生还是大学生均需要充分掌握，掌握的核心思想是补充凑微分法。
本文就以凑微分法求不定积分来阐述凑微分法的重要性、基本原理及步骤。
什么是凑微分法求不定积分? 凑微分法是一种比较简单、容易理解的方法，它可以被应用来求解不定积分。
凑微分法一般用来求解单变量积分，其基本思想是 M = ∫f(x) dx = f(x) - F(x) =f(b) -f(a) -∫a~bF'(x)dx , 其中F'(x)是f(x)在x处的导数。
凑微分法求解不定积分的基本步骤大致如下：（1）确定积分的范围：积分的范围就是把函数的取值范围指定为[a,b], 其中a,b分别是函数f(x)的开始点和结束点；（2）确定函数f(x)：在确定函数f(x)之前，需要先确定函数是线性函数，指数函数，对数函数，三角函数，双曲函数等，不同的函数类型有不同的特点，需要分析清楚；（3）确定积分的起点a和终点b：它们是确定函数f(x)的取值范围，有一定的规律和范围；（4）求函数f(x)的导函数F'(x)：根据函数的类型和取值范围，对函数进行导数的求解；（5）求积分数值：利用步骤(1)～(4)中求得的数据计算出积分数值。
凑微分法在学习和研究数学上有着重要的作用，但同时也会给学生构成重要考试内容，所以充分掌握凑微分法就显得尤为重要。
学习凑微分法不仅仅是为了通过考试，更是为了使自己理解和掌握数学的本质，为自己的学习提供一个基础。
本文利用凑微分法求不定积分的方法，详细介绍了凑微分法的重要性、基本原理、步骤以及其应用于学习的重要性。
期望通过本文，使学生更加系统地、全面地掌握凑微分法的知识，以最大限度发挥其功能和价值，使学生在学习和考试中都可以获得成功。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
不定积分凑微分法
不定积分凑微分法不定积分凑微分法是一种常见的求解不定积分的方法，它的基本思想是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得原函数的形式更加简单，从而更容易求解。
这种方法在高等数学中应用广泛，是学习微积分的重要内容之一。
不定积分凑微分法的核心是“凑微分”，也就是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得被积函数的微分形式更加简单。
具体来说，我们可以通过以下几种方法来实现凑微分：1. 代数变形法：将被积函数进行一定的代数变形，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=x^2+2x+1，我们可以将其变形为f(x)=(x+1)^2，从而得到f(x)的微分形式为2(x+1)dx。
2. 分部积分法：将被积函数进行分部积分，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=xsinx，我们可以将其进行分部积分，得到f(x)=xcosx+sinx，从而得到f(x)的微分形式为cosxdx。
3. 有理函数分解法：将被积函数进行有理函数分解，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以将其进行有理函数分解，得到f(x)=1/2[(x-i)/(x^2+1)+(x+i)/(x^2+1)]，从而得到f(x)的微分形式为1/2arctanxdx。
不定积分凑微分法的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的不定积分，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
在实际应用中，我们可以根据被积函数的特点选择不同的凑微分方法，从而更加高效地求解不定积分。
不定积分凑微分法是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们更加轻松地求解各种类型的不定积分，提高我们的数学能力和解题能力。
因此，在学习微积分的过程中，我们应该认真掌握不定积分凑微分法，加强对其应用的理解和掌握。
不定积分的凑微分法
不定积分的凑微分法
凑微分法是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，,是换元积分法中的一种方法。
有时需要积分的式子与固定的积分公式不同，但有些相似，这时，我们就可以考虑是否把dx变换成du的形式，[u=f(x)]把积分式中的x的的函数变换成u 的函数，使积分式符合积分公式形式。
这样，就很方便的进行积分，再变换成x的形式。
凑微分法的基本思想为：
举个例子：求∫cos3XdX。
观察这个式子，发现它与积分公式∫cosXdX相似；
而积分公式∫cosXdX=sinX+C（C为常数）；
因此，此时可以利用凑微分法将∫cos3XdX转化为∫cosXdX的形式；
转化时，设：u=3X，则du=3dX；
∫cos3XdX=∫(cos3X)/3d(3X)=(1/3)∫cosudu；
因为∫cosudu=sinu+C，所以∫cos3XdX=1/3sinu+C；
将3X代回式中，可得：∫cos3XdX=1/3sin3X+C。
扩展资料：
凑微分法的计算步骤：
1、观察待求函数积分，找到与其相似的对应积分公式；
2、引入中间变量，作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式；
3、把原来的被积表达式变成较简易的不定积分。
；
4、新的被积表达式与对应积分公式形式一致，依照公式直接得出结果；
5、将中间变量替换成原变量，代入结果中，得到最终目标函数。
微积分(1)中常见不定积分公式的计算
不定积分的计算一、常见不定积分公式的计算22221()1(1)ln .(0)(2)arcsin 1(3)arctan 1111(4)ln (0)22sin (cos )(5)tan cos cos dx d ax b ax b C a ax b a ax b ax d x C a dx x C x a a a dx x adx C a x a a x a x a a x ax d x xdx dx x x +==++≠++⎛⎫ ⎪==+=++-⎛⎫=-=+≠ ⎪--++⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；tan ln cos cos (sin )(6)cot ln sin sin sin sec (sec tan )(sec tan )(7)sec ln sec tan sec tan sec tan (8)csc ln csc cot (9)sec ln sec tan x a ux C x d x xdx dx x C x x x x x d x x xdx dx x x C x x x x xdx x x C udu u u C ==-+===+++===++++=-++==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；；sec sin 2222tan 23ln (10)sec ln sec tan ln 1cos 2(11)cos cos 211sin 2arcsin 222(12)sec sec tan 2x a ux a tx a u x C udu u u C x C ta t a tdt a dt a a x t C C a a a udu u u ===+==++=++=⋅=⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰⎰；；；()()()2sec 222322ln sec tan arcsin 2(13)tan sec sec sec 1sec tan ln sec tan ln .222x a uu u Ca x C aa u udu a u u dua a u u u u C x C =+++=++=⋅=-=-++=-+⎰⎰；32233212sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec tan ln sec tan sec .11sec sec tan ln sec tan .22sec d .()(1)sec d ln sec tan sec n n xdx xd x x x x xdxx x x x dx x x x x xdx xdx x x x x C I x x n I x x x x C I x +==-=--=++-=+++=∈==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【】：因此【】：计算，注例2222222222d tan .(2)3sec d(tan )sec tan (2)sec tan d sec tan (2)sec d (2)sec d sec tan (2)(2).12sec tan .11n n n n n n n n n n n n n x x C n I x x x x n x x x x x n x x n x x x x n I n I n I x x I n n ---------=+≥==--⋅=--+-=--+--=+--⎰⎰⎰⎰⎰当时，因此二、常见的“凑微分”公式：22222221d (1)d d()(2)e d d(e )(3)d(ln )111(4)d d()d()d()222(5)sin d d(cos )(6)cos d d(sin )(7)sec d d(tan )(8)sec tan d d(sec )d (9)d(arctan )(10)d(arcsin 1x x xx ax b x x a x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x x=+====±=--=-=====+；；；；；；；；；222).d x x x =====-，【】：实际上，所谓常见的“凑微分”公式就是简单的积分公式.注三、不定积分中常见的积分变换2222.2(1)(2)sin cos (3)tan sec (4)sec sec tan 2(5)ln(1)1(6)u b u u x dx du a a x a u dx a udu x a u dx udu x a u dx a u udu uduu x u dx u -===========-=-在计算不定积分时，有一个宗旨就是“有根号去根号”：，则：；，则：；，则：；，则：；，则：，常见的积分变换222222().()11(7).du b ad bc u u x dx du a cu a cu x dx du u u--===--==-，则：倒数变换：令，则：【】：其实，换元法就是将被积函数中不熟悉的、复杂的转化为熟悉的和简单的再进行计算；一个基本原则是“有根号去根号”，将反三角函数通过变量代换化为三角函数等.积累一些常见函数的不定积分及不定积分的计算方法，对于不定积分的学习会有很大的帮助.注 四、 典型例题选讲【例题1】：e cos d e sin d .ax ax I bx x J bx x ==⎰⎰计算和()2222222211e cos cos (e )e cos e sin 11e cos sin (e )e cos e sin e cos .1e cos e cos sin .1e sin e sin cos ax axax ax ax axax ax ax axax ax axb I bxdx bxd bx bxdx a a a b b b bx bxd bx bx bxdx a a a a abxdx a bx b bx C a bbxdx a bx b b a b===+=+=+-=+++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【】：因此同样方法一()()()()()()()()()()()22222222.e cos sin e e d 1e cos sin ()1e cos sin sin cos .11e cos sin e sin cos .ax a ib x a ib xaxaxaxax x C bx i bx x C C a ib a ibbx i bx a ib C a b a bx b bx i a bx b bx C a b I a bx b bx C J a bx b bx C a b a b ++++=+=+++=+-++=++-++=++=-+++⎰【】：因此，；方法二【例题2】222221arctan arctan 1arctan ()(1)1arctan 1arctan 1ln ln(1)ln .221x dx x x I xd dx x x x x x x x x x x x x C C x x x⎛⎫=-=-+=-+- ⎪++⎝⎭=-+-++=-+++⎰⎰⎰【例题3】22.arcsin(21).01sin 2sin cos .2sin cos 2.sin cos C I x C x x u dx u udu u udu I u C C u u ==+=====-+<<====+=+⎰【】：【【】：由于，可设，则：方法一方法二方法三2222222212.1(1)122arctan .(1)u x u udux dx u u u udu I u u C C u u =⋅===+++=⋅⋅=+=++⎰【】：由于，则，方法四【例题422223222222222222221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12211ln(1)ln (1)2(1)4111ln(1)ln ln (1).2214x I x dx x d x d x x x x xdx x x x x x x x x C x x ⎛⎫⎛⎫=++=-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-+++++=-++++++⎰⎰⎰⎰。
3.2 不定积分的计算
1 1 cos x ln C（应用例10的结论） . 2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln sec x tan x C .
1 dx . 例12 求 2 2 a x 1 1 解 dx 2 2 2 a x a
1 2 dx x 1 2 a
例16
求
5
tan5 x sec3 xdx
3
4 2
解：tan x sec xdx
tan x sec x sec x tan xdx 1 f (ax b)dx f (ax b)d (ax b) a 6 4 2 (sec x 2 sec x sec x )d sec x
1 7 2 5 1 3 sec x sec x sec x C 7 5 3
例17 求 sin2 x cos5 xdx. 解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd (sin x )
sin x (1 sin x ) d (sin x )
2 2 2
(sin x 2 sin x sin x )d (sin x )
2 4 6
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例18：求 sin 2 x cos 4 xdx
3 2
例4
求 sin 2 xdx.
1 解（一） sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 cos 2 x C ; 2 解（二） sin 2 xdx 2 sin xcos xdx
2
2 sin xd (sin x ) sin x C ; 2 cos xd (cos x ) cos x C .
不定积分凑微分法
不定积分凑微分法不定积分凑微分法积分运算是数学中极为重要的一个分支，其中不定积分是一种最基本的积分形式。
不定积分的求解方法多种多样，其中凑微分法是一种被广泛使用的积分求解方法。
本文将详细介绍不定积分凑微分法的概念、应用以及注意事项。
一、概念凑微分法是一种通过构造某个式子来让被积函数的微分形式可以和该式子匹配，从而方便地求出不定积分的方法。
常用的凑微分法有以下几种：1、利用一元函数的导数公式来凑微分；2、利用恒等变换凑微分；3、利用三角函数公式凑微分；4、利用指数函数或对数函数的导数公式凑微分。
二、应用凑微分法在不定积分中的应用极为广泛，下面以几个初等函数为例进行介绍。
1、多项式函数对于多项式函数f（x）=ax^n，其中n为正整数，a为常数，我们可以利用恒等变换凑微分，得到如下的公式：∫f（x）dx=∫x^n d（ax）/n+a+x+C、该公式成立的前提是要求n不等于-1，C为任意常数。
2、三角函数对于三角函数f（x）=sinx、cosx、tanx等，我们可以利用三角函数的公式凑微分。
例如sinx的公式为：∫sinxdx=-cosx+C、cosx的公式为：∫cosxdx=sinx+C、tanx的公式为：∫tanxdx=-ln|cosx|+C、其中C为任意常数。
3、指数函数和对数函数对于指数函数f（x）=e^x、a^x等以及对数函数f （x）=lnx等，我们可以利用指数函数和对数函数的导数公式凑微分。
例如：∫e^xdx=e^x+C、∫a^xdx=1/lna*a^x+C、∫1/xdx=ln|x|+C、其中C为任意常数。
三、注意事项在进行凑微分法的时候，需要注意以下几点事项：1、构造式子时需要准确，不能出错，否则很难得出正确的结果；2、对于被积函数的不同形式，采用不同的凑微分方式，需要灵活掌握；3、如果凑微分法不可行，需要考虑其他的积分求解方法。
四、结语凑微分法是不定积分中的一种常用方法，它可以有效地减轻积分难度，简化计算过程。
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
不定积分的凑微分
不定积分的凑微分法一、不定积分的凑微分法例1 cos x x e e dx ⎰（x x e dx de =） cos x x e de =⎰ （cos d O O ⎰）sin x e C =+ （sin C O + ）通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“O ”），得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想.二、不定积分的凑微分举例例1. 求下列积分：（1）3x e dx ⎰；（2）112dx x -⎰； (3) .解（1）3x e dx ⎰ 3133x e d x =⎰ 313x e C =+； （2）112dx x-⎰ ()1112212d x x=---⎰ 1ln 122x C =--+；（3）2=22csc =⎰C =-.例2. 求下列积分： (1)1ln dx x x ⎰；（2） 1xxe dx e +⎰；（3）tan xdx ⎰； 解 (1)1ln dx x x ⎰1ln ln d x x=⎰ ln ln x C =+（注：此类积分一般都含“ln x ”，所以“1ln dx d x x=”中“x ”不用加绝对值.）； （2）1xxe dx e +⎰ 11x x de e=+⎰ 1(1)1x x d e e=++⎰ ln(1)x e C =++；（3）tan xdx ⎰ sin cos x dx x=⎰ 1cos cos d x x=-⎰ ln cos x C =-+即tan xdx ⎰ln cos x C =-+------------------------------------可做不定积分公式； 类似可得cot xdx ⎰ln sin x C =+-------------------------------可做不定积分公式综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.思考题1. 思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.练习题1.用凑微分法计算下列积分：（1）cos 2xdx ⎰；（2）1x dx e ⎰； （3）（4）5sin cos x xdx ⎰；（5）； .练习题1.答案（1）cos 2xdx ⎰1cos 222xd x =⎰1sin 22x C =+；（2）1x dx e ⎰x e dx -=⎰()x e d x -=--⎰x e C -=-+；（3）()1223x dx -=-⎰()()12123233x d x -=---⎰C =；（4）5sin cos x xdx ⎰ 5sin sin xd x =⎰ 61sin 6x C =+；（5）= ()arcsin ln x C =+；。
不定积分凑微分法的变式教学探讨
不定积分凑微分法的变式教学探讨在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方法主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法四种.其中，凑微分法应用极其广泛，在换元积分法和分部积分法中，凑微分均是核心，是学生学习的重点和难点[1]，下面我们将对凑微分的教学方法进行进一步的探索.凑微分法的基本原理为：设f（u）具有原函数F（u），即F′（u）=f （u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中间变量，u=φ（x）且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.从而根据不定积分的定义得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.在实际教学中，学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能准确且更快地掌握凑微分，我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式掌握得相对牢固，因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行详细的阐述.由于凑微分方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生足够的启示，因此在讲解过程中我们将方法归结为三种，更便于学生掌握.一、被积函数可化成若干个因子的乘积，研究其中的复合函数，进行凑微分例1求不定积分∫2xex2dx.分析被积函数直接是几个因子乘积的形式，且其中有一个是常数.常数因子可以不用考虑，因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数x，一个复合函数ex2.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数，即令x2=u，则ex2=eu，那么原题当中的积分变量就由x变成了u，为了保证变量的统一，剩下的2xdx需要凑成du.而我们发现du恰好等于2xdx，故解题过程如下.解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.例2求不定积分∫cosxsin2xdx.分析被积函数是乘积的形式，且其中一个是基本初等函数cosx，另一个是复合函数sin2x.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数.即令sinx=u，则sin2x=u2，那么原题当中的积分变量就由x变为u了，为了保证变量的统一，剩下的cosxdx要凑成du.而我们发现du恰好等于cosxdx.解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.例3求不定积分∫sinxxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为sinx乘1x，其中只有sinx为复合函数，故令x=u，则sinx=sinu，剩下的1xdx需要凑成du.解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.对于凑微分解题，刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法，也就是把被积函数写成几个因子乘積的形式，接下来研究是复合函数的那个因子，剩下的因子和dx凑成du.等学生熟练了之后再引入公式，他们接受起来就会容易很多，从而避免了对凑微分公式的死记硬背.对于简单的被积函数可以这么做，但是对于复杂的被积函数，也就是被积函数当中不止一个复合函数的，应该怎么做呢？先来看如下两个例题.例4求不定积分∫（arctanx）3x（1+x）dx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.（arctanx）3乘1x乘11+x.写成乘法之后，被积函数虽然是三个因子乘积的形式，但是只有（arctanx）3是复合函数.而1x是基本初等函数，11+x是简单函数.故研究（arctanx）3，但是这个函数是由三层函数复合而成的，故我们要引入两个中间变量把它逐步变成基本初等函数.但是这里需要注意的是要从内到外依次改变积分变量.解∫（arctanx）3x（1+x）dx=∫（arctanx）3·1x·11+xdx=2∫（arctanx）3·11+xdx=2∫（arctanx）3darctanx=12（arctanx）4+C.例5求不定积分∫ln2t anxcosxsinxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为ln2tanx乘1cosx乘1sinx.这三个函数均为复合函数，那么我们应该选取哪个复合函数进行研究呢？这里我们归纳总结，遵循一个原则：选取复合层数最多的，也就是最复杂的那个复合函数进行研究.这里选取ln2tanx进行研究.这个复合函数是由三层函数复合而成的，和例4一样，根据从内到外的原则，分别用凑微分将其解出.具体过程如下：∫ln2tanxcosxsinxdx=∫ln2tanx·1cosx·1sinxdx=∫ln2tanx·1tanxdtanx=∫ln2tanxdlnt anx=13ln3tanx+C.由此可见，在用凑微分解不定积分的时候，将被积函数转化成乘积的形式再来求解，学生更容易掌握，且避免了传统的对公式的死记硬背的方法.针对被积函数的形式和特点，我们归纳出以下几种选择方法和技巧.1.被积函数只有一个复合函数时，引入中间变量，将复合函数变成我们熟悉的基本初等函数，再来求解.如：∫（4x+3）2dx=14∫（4x+3）2d（4x+3）=112（4x+3）3+C.2.被积函数是几个函数相乘时，只需研究其中的复合函数.如例1，例2.3.被积函数是几个函数相乘除时，将被积函数统一写成相乘的形式，再来研究它们之中的那个复合函数.如例3，例4.4.被积函数为多个复合函数相乘的时候，选择复合层数最多的也就是最复杂的那个复合函数进行研究.需注意的是由内而外分别进行凑微分.如例5.二、变量代换法中的凑微分变量代换法主要用于被积函数中含有根式的情况，我们解题时一个重要的思路就是将未知向已知转化，故解决此类问题的首要任务是用变量代换将根式化成整式，化成我们熟悉的形式，再来求解.在化成整式后的求解过程中，凑微分又是一个主要的解题思路.例6求不定积分∫1x+3xdx.分析令3x=t，则x=t3，dx=3t2dt，于是原积分可化为∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt.到这一步为止，又变成了我们熟悉的形式，故将除法写成乘法的形式，研究被积函数当中的复合函数，再来求解.解∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=3∫1t2+1·tdt=32∫1t2+1d（t2+1）=32ln （t2+1）+C，最后将变量t换成3x即可.三、分部积分法中的凑微分分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分部积分法关键是凑微分，将f（x）拆分成uv′.如求∫xcosxdx.设u=x，dv=cosxdx=d （sinx），∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C，则容易求解.在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若求导后函数类型发生变化则选此函数为u，若类型没有发生变化则选此函数为v′，两个函数类型均未发生变化则任选一个作为u即可，从而總结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以作为v′，反三角函数、对数函数不能作为v′.例7求不定积分∫excosxdx.分析被积函数为excosx，而（ex）′=ex，（cosx）′=-sinx，求导后函数的类型均没有发生改变，仍为指数函数和三角函数.故根据上文总结，可任选一个函数作为v′.这里不妨取ex为v′.解∫excosxdx=∫cosxdex=excosx-∫exd（cosx）=excosx+∫exsinxdx=excosx+exsinx-∫exdsinx=excosx+exsinx-∫excosxd x，再将式子中的∫excosxdx移项、合并，即可得∫excosxdx=12ex（sinx+cosx）+C.此种方法实用性较强，但在各方面亦具有一定的局限性.如求解不定积分∫x2exdx，被积函数为x2和ex，（x2）′=2x，（ex）′=ex.求导后的函数类型没有发生变化，故可任意选取一个函数为u，但通过求解发现并非如此.解法1∫x2exdx=13∫exd（x3）=13x3ex-13∫x3exdx=13x3ex-112∫exd（x4）（陷入无限循环）.解法2∫x2exdx=∫x2d（ex）=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd（ex）=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C（简单明了）.为了解决此类缺陷，我们再给出一个选取u及v′的简单方法：将被积函数化成两个函数相乘的形式，按照“反对幂指三”或者“反对幂三指”的顺序，优先选取u.如求解不定积分∫x2lnxdx，被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故应选取对数函数lnx为u，即可解出.分析分部积分法中选取u的两种方法，各有利弊.第一种方法利用凑微分，使学生的发散思维得以拓展，但对于某些题目不能应用.第二种方法简洁且应用广泛，但在一定程度上限制了同学们发散思维的培养.因此在实际教学过程中，教师应当将上述两种方法相互结合、补充，使教学效果最大化.综上，在不定积分的求解中，凑微分方法非常重要，学生应该领略凑微分的精髓，从而体会微积分的系统性，感受微积分的魅力.。
不定积分的求解技巧凑微分法
不定积分的求解技巧凑微分法不定积分的求解技巧之一是凑微分法。
凑微分法是一种通过巧妙地凑微分项的方式，将被积函数转化为可直接求积的形式。
下面将详细介绍凑微分法的原理和应用。
一、凑微分法的原理凑微分法的基本思想是通过变换被积函数，使得被积函数的微分形式出现在被积函数之外，在求积的过程中可以直接被积。
相当于将被积函数分解为两个部分，一个部分是可直接求积的微分形式，另一个部分则是凑出的微分项。
通过凑出的微分项，将原函数的微分项和凑出的微分项相加，得到一个新的函数，即可进行直接求积。
二、常用的凑微分法技巧1. 一元一次方程凑微分法对于一元一次方程形式的被积函数，可以通过凑微分法直接求积。
例如，对于被积函数f(x)=(ax+b)^n (n为整数)，可以利用代换u=ax+b，然后求u的微分，再在原函数中用u替换为x，即可得到新的被积函数。
在求积的过程中，可以发现新的被积函数的微分形式是常见的可直接求积的形式。
2. 分式凑微分法对于被积函数是分式形式的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。
例如，对于被积函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是两个多项式，Q(x)的次数大于P(x)的次数。
可以通过凑微分法，将被积函数分解为部分分式的形式。
然后将分解后的每一项进行分解，得到新的被积函数，即可进行直接求积。
3. 完全微分凑微分法对于被积函数是完全微分的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。
例如，对于被积函数f(x,y) = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy，其中u(x,y)为某个函数。
可以根据求导的规则，将被积函数进行求导并整理，得到被积函数的微分形式。
然后将微分形式中的各项进行凑微分，得到新的被积函数，即可进行直接求积。
三、凑微分法的应用凑微分法在求解不定积分中有广泛的应用。
通过凑微分法，可以将被积函数转化为可直接求积的形式，从而简化求积的过程。
凑微分法常用于多项式函数、分式函数和特殊函数等形式的不定积分的求解中。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是求不定积分的一种常用方法。
该方法的核心思想是运用代数技巧，将被积函数化简为可直接求解的形式，从而便于求取不定积分。
在实际应用中，不定积分凑微分可以解决一些特定形式的不定积分问题，如有理函数、有理函数的积、和、复合函数、分部积分等。
下面将详细介绍不定积分凑微分法的原理、思路和具体步骤。
一、不定积分凑微分法的原理和思路不定积分凑微分法是利用代数变换，通过凑微分将原函数化简为易于求积的形式。
其原理基于微分的性质，即如果存在一个函数u(x)，满足du(x)=f(x)dx，则能够得到f(x)dx=du(x)，从而将被积函数化简。
该方法的思路可以概括为以下几个步骤：1.首先观察被积函数，尝试找到一个可以直接求积的函数作为凑微分的基本形式。
2. 推测一个可以凑微分的函数u(x)，并计算出它的微分du(x)。
3. 将原函数中的部分项乘以1，即du(x)/du(x)，并将这个1用u(x)表示。
4. 将原函数中凑出的du(x)用u(x)表示，并将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
二、不定积分凑微分法具体步骤具体求解不定积分的凑微分法步骤如下：1.观察原函数，尝试找到可以求积的基本形式。
常见的基本形式包括一元多项式、指数函数、三角函数等。
2. 根据被积函数的形式，选择一个适合的凑微分函数u(x)。
通常情况下，选择凑微分函数时要考虑它的微分du(x)，以及被积函数的部分项是否能够通过凑微分函数u(x)来表示。
3. 计算凑微分函数u(x)的微分du(x)，并将被积函数中的dx用du(x)表示。
4.将原函数中对应凑微分函数u(x)的部分用u(x)表示，将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
三、不定积分凑微分法的应用举例1.凑微分简化幂函数的积分考虑不定积分∫x^2/(x+1)dx。
这是一个幂函数的积分，我们可以选择凑微分函数u(x)=x+1，计算它的微分du(x)。
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7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
பைடு நூலகம்
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
3 5x
5 35x
35 x u
1
1 du
5 u
基本的积分公式
1
ln u C
5
u 35 x
1
ln 3 5x C
5
例3 求
1 x2
1
e x dx
.
解：
1
x2
1 凑微分
e x dx
1 u
1
ex
d
1
x
x
eu du
基本的积分公式
eu C
u1 x
1
ex C
方法熟练之后，可以不用写出换元过程，使计算简便。
xdx=
sin cos
x x
dx
=
1 cos
x
d
cos
x
sin xdx d cos x
凑微分等式
ln cos x C
练习6
求
1
e
x
e
x
dx
.
解：
1
e
x
e
x
dx
1
1 e
x
de
x
1 1 e
x
d
(e
x
1)
凑微分等式
exdx d (ex 1)
ln ex 1 C
2.小结、作业
小结
本节主要讲了不定积分的第一类换元积分法，也称 凑微分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
1 dx d ln x x
xdx 1 dx2 2
1 dx 2d x x
sin xdx d cos x
exdx d (ex 1)
cos xdx d sin x
xa1dx 1 dxa (a 0) a
第一类换元积分法主要用于复合函数的不定积 分，实质上是复合函数求导法则的逆运算。
1 2
cos 2xd (2x)
2x u
1
cos
基本的积分公式1 udu
sin
u
C
2
2
u 2x
1 sin 2x C 2
这样不定积分的基本积分公式的适用范围就更加广泛。
1.第一类换元法（凑微分法）
定理 若 f (u)du F(u)C ，且u ( x) 有连续函数，则
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x)) F ( (x)) C
练习1 求 sin 2xdx .
解：
sin 2xdx
1 2
sin
2
xd
(2
x)
1 cos 2x C 2
凑微分等式 dx 1 d ( 2 x ) 2
练习2
求
3
1 2
x
dx
.
解：
3
1 2
x
dx
1 2
3
1 2
x
d
(3
2
x)
1 ln | 3 2 x | C 2
凑微分等式 dx 1 d (3 2 x ) 2
f [ (x)] (x)dx 凑成 f ( (x))d ( (x))
例1 求 cos 2xdx .
解：
cos
2
xdx
凑微分
1
cos 2xd 2x
2
2 x u
1
cos udu
2
基本积分公式
1
sin
u
C
2
u2x
1
sin
2x
C
2
例2 求 3 15xdx .
解：
1
凑微分
dx
1
1 d (3 5x)
这种积分方法成为第一类换元积分法，也叫凑微分法， 可以用形象的式子表示如下：
凑微分
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x))
变量替换
变量替换
f (u )d (u ) F (u ) C F ( ( x)) C
(x)u
u ( x)
说明 使用此公式的关键在于将所求积分
第一类换元积分法的步骤：先凑微分，然后换元 （可省略换元过程），根据基本的积分公式计算结果。
熟练掌握常用的凑微分形式。
作业
求下列不定积分：
（1） 2x 18dx （2） x cos x2dx
（3）sin 2 x cos xdx （4） 1 23xdx
（5）
2
ex e
x
dx
（6） x x2 1dx
换元积分法简称换元法。
换元法的基本思路是：利用变量替换，使得被积表 达式变形为基本公式表中的积分形式，进而计算不定积 分。
换元法有两类：第一类换元法； 第二类换元法。
根据基本的积分公式，我们可以求出 cos xdx 。 如何求出 cos 2xdx ？
dx 1 d (2x)
2 改写成
cos 2xdx