四川省南充市高三数学第三次适应性考试试题 理

南充市高2013届第三次高考适应性考试
数学试卷(理科)
一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题栏内）
1.
( )
2.若集合
{}
21,A m =，集合
{}
2,4B =，则“”是“{}2A B =”的（ ）
A ． 充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ． 充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 如右图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的体积是 A ．2π B ．3π C ．6π
D ．9π
4.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
222()tan a c b B ac +-=，则角
B 的值为
A
D ．5.下列命题中正确的是 （ ）
A.命题“若2,0652
==+-x x x 则”的逆命题是“若22,560x x x ≠-+≠则” B. 对命题
22
:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++<使得则则 C.若实数[],0,1,x y ∈则满足：2211x y x y ⎧+<⎨+≥⎩的概率是
D.如果平面α⊥平面β，过α
内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
6
）
m,n
m是奇数,n
m是偶数,n
m是偶数,n
7. 已知A,B两组各有8名学生，现对学生的数学成绩进行分析，A组中有3人及格，B组中有4人及格，从每组的8名学生中各抽取一人，已知有人及格，则B组同学不及格的概率是（）
8. 已知抛物线
()0
2
2>
=p
px
y 与双曲线有相同的焦点F，点
A是两曲线的交点，且x
AF⊥轴，则双曲线的离心率为（）
9. ABC
∆的外接圆的圆心为O，半径为2，0
=
+
+AC
AB
OA且|
||
|AB
OA=，则向量AC 在CB上的投影为（）
B.3
C.
D.3
-
10.定义在R上的函数
()
y f x
=满足：①()
f x是偶函数；②(1)
f x-是奇函数，且当01
x
<≤时，3
()log
f x x
=
，则方程
()4(1)
f x f
+=
在区间
(2,10)
-内的所有实根之和为（） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，满分25分；请将答案填在第Ⅱ卷相应的答题栏处）
11. 的展开式中，x的系数等于．(用数字作答
)
12. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为_____________
13．已知正项等比数列
{}
n
a
满足765
2
a a a
=+
，若存在两项m n
a a
、
使得
14. P
,Q ，R 分别在两圆
22
(1)1x y ++=和 22(1)1x y -+=上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为
15. 设
n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,为两组实数，n c c c ,,21是n b b b ,,2
1的任一排列，我们称
n n c a c a c a c a S ++++= 332211为两组实数的乱序和，
1231211b a b a b a b a S n n n n ++++=-- 为反序和，n n b a b a b a b a S ++++= 3322112 为
顺序和。

根据排序原理有：
.21S S S ≤≤即：反序和≤乱序和≤顺序和。

给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若1132212
2221,x x x x x x x x B x x x A n n n n ++++=+++=- 其中n x x x ,,21都是正数，则A≤B； ③设正实数321,,a a a 的任一排列为,,,321c c c 则3；
④已知正实数
n x x x ，
,,21满足,2
1P x x x n =+++ P 为定值,则
其中所有正确命题的序号为 .
三．解答题（本大题共6个小题，满分75分；解答题应写出必要的解答过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知函数
，且ABC ∆内角
A 、
B 、
C 所对应边分别为,,a b c ， （Ⅰ）求
m 的值及()f x 的单调递增区间（Ⅱ）求ABC ∆的面积。

17.（本小题满分12分）
在三棱柱ABC —A1B1C1中，点A1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点．
（1）求证：A1A ⊥BC ；
（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC —B 的余弦值； 18（本小题满分12分）M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14
名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲
O D
C1
B1
A1
C
B
A
部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
（II ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望. 19（本小题满分12分）．在直角坐标平面上有点
,),,(,),,(),,(222111 n n n y x P y x P y x P 对
一切正整数n ，点
n P 在函数
的图象上，且n P 的横坐标构成以1
为公差的等差数列{}n x ．
（Ⅰ）求点
n P 的坐标；
（Ⅱ）对于二次函数列C1，C2，C3，…，Cn ，…，其中二次函数 Cn 的顶点为Pn ，且过
点Dn （0，12+n ）.记与二次函数Cn 图象相切于点Dn 的直线的斜率为kn ，令4n
n a k =-，
n 项和n T ．
20.（本小题满分13
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若P 在椭圆上，
12,F F 分别为椭圆的左右焦点，且满足t PF PF =⋅21，求实数t 的范
围；
（Ⅲ）过点Q(1,0 )作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于M,N 两点，与y 轴交于点R ，若
NQ RN MQ RM μλ==,，求证：μλ+为定值.
21. （本小题满分14（a 为实数）
（Ⅰ）当a =1时，求函数()()()x f x g x ϕ=-在x ∈[4，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若方程
2()()f x e g x =（其中e=2.71828上有解，求实数a 的取值范
围；
n ∈N*．（参考数据：
ln2≈0.6931）
南充市高2013届第三次高考适应性考试 理科数学答案 一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 14- 12.12 13.①③
三. 解答题：本大题共6个小题.共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
(0)cos(f =
∴ 1m = …………2分
…………4分
∴
()k z ∈
()k z ∈ …………6分
∴ ()f x 的单调递减增区间为
()k z ∈ …………7分
∴
o B π<<∴
…………10分
则∴ABC ∆的面积为…………12分
解：（Ⅰ）连结AO ， A1O ⊥面ABC ，AO 是
1A A 在面ABC 的射影
∵ AO ⊥BC
∴ A1A ⊥BC ． …………5分 （Ⅱ）解法一：
由（1）得∠A1AO=45° 由底面是边长为
AO=3 ∴A1O=3，
过O 作OE ⊥AC 于E ，连结A1E ，
则∠A1EO 为二面角A1—AC —B 的平面角 …………9分
∵
tan ∠
即二面角A1—AC —B
…………12分
解法二：
如图，以O 为坐标原点，以OA,OB,
1OA 所在直线分别
为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则O(0，0，0),A(3，0，0),
1A (0，0，3),C(0
0)
(3,3,0),(3,0,3),(0,0,3)AC AA OA =--=-=设平面
1ACA 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AC n AA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=
⎪⎩
(1,3,1)n =-是平面1ACA 的一个法向量 ………9分
1OA ABC =(0,0,3)是平面的一个法向量 …………10分 13,5n OA n OA n OA ⋅〈〉=
=
⨯由图可知所求二面角为锐角，所以二面角1A AC B
--的余弦值为分
解：
根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人。

. (3)
分
用事件A 表示“至少有一名”甲部门“人选被选中”
甲部门“人选被选中”
6 分
（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3.……7 分
因此，X
………………10 分
所以X 12 分
19. （本小题满分12分） 解:（Ⅰ），
…………4分
（Ⅱ）
n C 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为Pn ，
∴设
n C 的方程为
52n x =-
把
1,)1,0(2
=+a n D n 得代入上式， ………………7分 ∴n C 的方程为
.1)32(22++++=n x n x y ………………8分 ∵
,32|0+='==n y k x n
421n n a k n ∴=-=-
①
②………………9分
.① - .
………………12分
20.
解：，
1222=-=c a b ，
(4)
分
(22,),(22PF x y PF ∴=---=(2
PF PF
⋅=-P
2PF PF x ⋅=+209x ≤≤ 71t ∴-≤≤故所求实数t 的范围为[]7,1-………………8分
（Ⅲ）依题意，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)1(-=x k y ，
设11223(,),(,),(0,)M x y N x y R y ，则N M ,两点坐标满足方程组
消去y 整理得
09918)
91(2
222=-+-+k x k x k ， ………………10分
因为MQ RM λ=，所以()11
311(,)1,0(,)x y y x y λ-=-⎡⎤⎣⎦， 即11131(1)x x y y y λλ=-⎧⎨
-=-⎩，因为l 与x 轴不垂直，所以1
1x ≠，则
又NQ RN μ=，同理可得
………………13分
21. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，
∵在区间（0，1]上，'()0x ϕ≤，在区间[1，+∞）上，'
()0x ϕ≥
∴()x ϕ在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增 ……………2分
∴在x ∈[4，+∞）上，当x=4时，()x ϕ的最小值为
3分
（Ⅱ）∵方程
2()()f x e g x =在区间上有解
上有解
x
上，
'()0
h x≥，在区间上，'()0
h x≤
∴
()
h x 在区间
上单调递减，………………6分
………………8分（Ⅲ）设
2(21)()(1)
k
a f k f k f k
=+--+
由（1）知，
()x
ϕ的最小值为
x≥4）………………9分
………………11分
构造函数)4(2ln )(≥+-=x x x x F ，则
∴当4≥x 时，0)('<X F ． ∴)('
X F 在[)+∞,4上单调递减，即0)12(ln 224ln )4()(<-=-=≤F x F 。

∴当4>x 时，2ln -<x x ．
n ∈N*． …………14分。