第十章 曲线积分与曲面积分 练习题

第十章 曲线积分与曲面积分

§10.1 对弧长曲线的积分

一、判断题

1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则

⎰

b

a

dx x f )(也是对弧长的曲线积分。 （ ）

2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则

⎰

⎰'+=L

dy

y y y f ds y x f β

α

ϕϕ2)]([1)),((),(

（ ）

二、填空题

1.将

⎰+L

ds y x

)(22

，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分

的结果是 。 2.

⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。

三、选择题

1．

⎰+L

ds y x )(2

2

=（ ）

，其中L 为圆周12

2

=+y x （A ）⎰0

2

π

θd （B ）⎰π

θ2

d （C ）⎰πθ2

2

d r （D ）⎰πθ2

2d

2．⎰L

xds =（ ），L 为抛物线2

x y =上10≤≤x 的弧段。 （A ）

)155(12

1- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81

-

四、计算⎰+C

ds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。

五、计算⎰++L ds z y x )2(2

2

，其中L 为⎩

⎨⎧=++=++02222z y x R z y x

六、计算⎰+L

n ds y x

)(22

，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+

七、计算⎰

+L

y x ds e

2

2，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。

八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。

§10.2 对坐标的曲线积分

一、判断题

1．定积分也是对坐标的曲线积分。 （ ） 2．

022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周12

2=+y x 按逆时针方向转一周。 （ ）

二、填空题

1．ydz x dy y dx x 2

233++⎰

Γ

= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线

段AB 。 2．化

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(为对弧长的曲线积分结果是 其中L 为沿x y =

从点（0，

0）到（1，1）的一段。 三、选择题

1． 设曲线L 是由A （a,0） 到O （0，0）的上半圆周ax y x =+2

2

，则

⎰=-+-L

x x

dy m y e dx my y e

)cos ()sin (（ ） （A ）0 （B ）22a m π （C ）82a m π （D ）4

2

a m π

2． 设L 为20,sin ,cos π≤≤==t t y t x ，方向按t 增大的方向，则⎰-L dx xy ydy x 2

2=（ ）

（A ）

⎰

-20

)cos sin sin (cos πdt t t t t （B ）⎰-

20

]cos 2sin sin sin 2sin cos [

π

dt t t

t t t

t

（C ）⎰20

21π

dt （D ）⎰-2022)sin (cos πdt t t

四、计算I=⎰+-A

O xydy dx y x )(2

2，其中O 为坐标原点，A 的坐标为（1，1）

1．OA 为直线段y=x 2.OA 为抛物线段2

x y = 3．OA 为y=0,x=1构成的折线段。 4.OA 为x=0,y=1的折线段。

五、计算ydx x dy xy

L

22

-⎰，L 是从A （1，0）沿21x y -=到B （-1，0）的圆弧。

六、计算⎰

L

xydx ，L 为圆周ax y x 222=+（a>0）取逆时针方向。

七、设方向依oy 轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量 为m 的质点沿抛物线2

1y x =-，从点A （1，0）移到B （0，1）时力场所做的功。

九、把xdy ydx x L

-⎰

2

（L 为3

x y =上从A （-1，-1）到B （1，1）的弧段）化为对弧长的曲线积分。

§10.3 格林公式及其应用

一、判断题

1．闭区域D 的边界按逆时针即为正向。 （ ）

2．设P 、Q 在闭区域D 上满足格林公式的条件，L 是D 的外正向边界曲线，则

⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D

Qdy Pdx dxdy y

P

x Q )(

（ ）

3．对单一积分⎰L Pdx 或

⎰L

Qdy 不能用格林公式。 （ ）

4.设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,P(x,y),Q(x,y)上有一阶连续偏导数，则 （a ）dxdy y

Q

x P Qdy Pdx L

D

)(

∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰+ ( ) (b) dxdy y

Q x P dx y x P Qdy L

D

)(

),(∂∂+∂∂=-⎰⎰⎰+ ( ) (c)

dxdy x

u

dy y x Q L

D

⎰⎰⎰

+∂∂=),( ( ) 二、 填空题

1． 设C 是圆周92

2

=+y x 的正向，则

=+-++⎰C

y

x dx

y x dy y x 224)()4( 2． 设f(u)在+∞-∞,(）上连续可导，沿连接点A （3，

3

2

）和B （1，2）的直线段AB 的曲线积分 dy y

y x f y x dx y y x f y AB

222)

1),((),(1-+-⎰= 3． 设有二元函数u(x,y),已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-y λsinx)dx+(2ycosx-x λsiny)dy,则

λ= 且u(x,y)=

4 设Γ是由点（1，1，1）到点（2，3，3）的直线段，则⎰

Γ

+++++++z

y x z y x zdz ydy xdx 42

2

2

=

三、 选择题