类比推理

3.类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有 发现的功能.
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
数学应用：
例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质.
解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
情景创设：
3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
构建数学：
类比推理的定义:
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在
某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称：类比)
的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直
线必经过圆心
线必经过球心
例3：类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
形B
pbPppac
C
P
B
D
C
结 论
pa pb pc 1 pa pb pc pd 1
ha hb hc
ha hb hc hd
证
法
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
4、归纳推理的思维过程如下：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到 一般的推理。
5、归纳推理的一般模式:
S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
6、归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d’.
归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现 象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般 得命题的猜测，是否正确是需要证明的。
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行 对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式， 类比推理是否正确是需要证明的。
等式
(1) a=b a+c=b+c (2) a=b ac=bc (3) a=b a2=b2等等
猜想 猜想 猜想
不等式
a>b a+c>b+c a>b ac>bc a>b a2>b2
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
构建数学：
通过例1，你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’,
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
再 见
b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
方程.
例5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上 的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离 分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
pa pb pc 1 ha hb hc
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
平面上
空间中
图
A
A
的连线垂直于弦
圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与球心距离相等的两截面圆
与圆心距离不等的两弦不等，相等；与球心距离不等的两
距圆心较近的弦较长
截面圆不等，距球心较近的
截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半
径；经过圆心且垂直于切线 径；经过球心且垂直于切面
的直线必经过切点
茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设2：
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。
例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为-设--圆---的---方--程---为--①------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或
2.1.1 合情推理（2）
复习回顾：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.推理：从一个或几个已知命题得出另一
个新命题的思维过程。
推理
前提 －－－推理所依据的命题. 结论 －－－根据前提所得到的命题.
归纳推理 2.合情推理 类比推理
3、归纳推理的定义:
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实推演出一般性的结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理 是「自然奧妙的参与者」和自己「最好的老师」
数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人, 求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理．
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等 方面都具有相似的属性. 据此，圆与球的相 关元素之间可建立如下的对应关系：
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质
如下表：
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点 球心与截面圆(不是大圆)的
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。
3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
情景创设1：
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：