类比推理

4、归纳推理的思维过程如下：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到 一般的推理。
5、归纳推理的一般模式:
S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
6、归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
3.类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有 发现的功能.
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
数学应用：
例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质.
解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
形B
pbPppac
C
P
B
D
C
结 论
pa pb pc 1 pa pb pc pd 1
ha hb hc
ha hb hc hd
证
法
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等 方面都具有相似的属性. 据此，圆与球的相 关元素之间可建立如下的对应关系：
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质
如下表：
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点 球心与截面圆(不是大圆)的
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理 是「自然奧妙的参与者」和自己「最好的老师」
数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人, 求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理．
b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
方程.
例5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上 的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离 分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
pa pb pc 1 ha hb hc
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
平面上
பைடு நூலகம்
空间中
图
A
A
2.1.1 合情推理（2）
复习回顾：
1.推理：从一个或几个已知命题得出另一
个新命题的思维过程。
推理
前提 －－－推理所依据的命题. 结论 －－－根据前提所得到的命题.
归纳推理 2.合情推理 类比推理
3、归纳推理的定义:
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实推演出一般性的结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
等式
(1) a=b a+c=b+c (2) a=b ac=bc (3) a=b a2=b2等等
猜想 猜想 猜想
不等式
a>b a+c>b+c a>b ac>bc a>b a2>b2
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
构建数学：
通过例1，你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’,
例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为-设--圆---的---方--程---为--①------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或
的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直
线必经过圆心
线必经过球心
例3：类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
再 见
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。
的连线垂直于弦
圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与球心距离相等的两截面圆
与圆心距离不等的两弦不等，相等；与球心距离不等的两
距圆心较近的弦较长
截面圆不等，距球心较近的
截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半
径；经过圆心且垂直于切线 径；经过球心且垂直于切面
的直线必经过切点
3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
情景创设1：
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d’.
归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现 象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般 得命题的猜测，是否正确是需要证明的。
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行 对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式， 类比推理是否正确是需要证明的。
茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设2：
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
情景创设：
3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
构建数学：
类比推理的定义:
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在
某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称：类比)