数理金融学_张永林编著_练习题参考答案

第一章练习参考答案

1. 解：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是

011

a a

b b

w e e e

φφ

=++。他的最优化问题是011

011

,,

011

011

1

max log(log log)

2

s.t.()0

,,0

a b

a b

c c c

a a

b b

a b

c c c

w c c c

c c c

φφ

++

-++=

≥

其一阶条件为：

00

1

1

011

1/

1

(1/)

2

1

(1/)

2

0,0,,

a a a

b b b

a a

b b

i i

c

c

c

c c c w

c i a b

λμ

λφμ

λφμ

φφ

μ

=+

=+

=+

++=

==

给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些

约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，0(0,,)

i i

c i a b

μ==。对于c我们立即得到如下解：

1

c

λ

=,

1

1

11

2

a

a

c

λφ

=,

2

1

11

2

b

b

c

λφ

=

把c的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：

2

λ

ω

=

最后，我们有

1

2

c w

=,

1

1

4

a

a

w

c

φ

=,

1

1

4

b

a

w

c

φ

=

可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。

2.解：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。经济中有参与者1和2，他们具有的禀

赋分别为：

1

:100

e

-

-

-2

200

:0

50

e

-

-

-

两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

1

()l o g(l o g l o g)

2a b

U c c c c

=++

在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。

现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记[;]

a a

φφφ

=为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为

T

w e

φ

=，这里[1;]

φφ

=；

而e是他的禀赋。这时，最优化问题变成了：

1

m a x l o g(l o g l o g)

2

s.t.

a b

c

a a

b b

c c c

c c c w

φφ

++

++=

该问题的解为

,0

1

2

k k

c w

=,

,

1

4

k

k a

a

w

c

φ

=,

,

1

4

k

k b

a

w

c

φ

=

这里

1

100

w=而

2

20050

a b

wφφ

=+。

均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：

1,2,

1,2,

20050

11001

200

44

20050

11001

50

44

a b

a a

a a

a b

b b

b b

c c

c c

φφ

φφ

φφ

φφ

+

+=+=

+

+=+=

均衡价格的解为1/4

a

φ=和1

b

φ=。参与者2的财富为

2

200(1/4)(50)(1)100

w=+=。因此，参与者2

和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是

12

[50;[100;25]]

c c

==。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。

现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为

,

,0

0,0,

1

(1/)1/4,

()/2

2

1,

()(1/)22/(4)

k w

k

w k k k

w

k k k k w k w

c a

c

U c w

b

U c c c w

ω

φ

ω

φ

=

⎧

∂

=====⎨

=

∂⎩

这对于两个参与者来说是一样的。

3．解：设投入金额是ax，01

a

≤≤，投资者的投资结果记为X，它等于x ax

+或x ax

-，出现这两种结果的概率分别是p，1p

-，它们的期望效用为：

l o g((1))(1)l o g((1

p a x p a x

++--

log(1)log()(1)log(1)(1)log()

p a p x p a p x

=+++--+-

log()log(1)(1)log(1)

x p a p a

=+++--。

为求出a的最优值，对上式关于a求导

log(1)(1)log(1)

p a p a

++--

得：

1

(log(1)(1)log(1))

11

d p p

p a p a

da a a

-

++--=-

+-

。

令上式等于0，得：1

p ap p a ap

-=-+-或21

a p

=-。