数理金融学_张永林编著_练习题参考答案
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第一章练习参考答案
1. 解：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是
011
a a
b b
w e e e
φφ
=++。他的最优化问题是011
011
,,
011
011
1
max log(log log)
2
s.t.()0
,,0
a b
a b
c c c
a a
b b
a b
c c c
w c c c
c c c
φφ
++
-++=
≥
其一阶条件为：
00
1
1
011
1/
1
(1/)
2
1
(1/)
2
0,0,,
a a a
b b b
a a
b b
i i
c
c
c
c c c w
c i a b
λμ
λφμ
λφμ
φφ
μ
=+
=+
=+
++=
==
给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些
约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，0(0,,)
i i
c i a b
μ==。对于c我们立即得到如下解：
1
c
λ
=,
1
1
11
2
a
a
c
λφ
=,
2
1
11
2
b
b
c
λφ
=
把c的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：
2
λ
ω
=
最后，我们有
1
2
c w
=,
1
1
4
a
a
w
c
φ
=,
1
1
4
b
a
w
c
φ
=
可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2.解：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。经济中有参与者1和2，他们具有的禀
赋分别为：
1
:100
e
-
-
-2
200
:0
50
e
-
-
-
两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：
1
()l o g(l o g l o g)
2a b
U c c c c
=++
在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。
现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记[;]
a a
φφφ
=为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为
T
w e
φ
=，这里[1;]
φφ
=；
而e是他的禀赋。这时，最优化问题变成了：
1
m a x l o g(l o g l o g)
2
s.t.
a b
c
a a
b b
c c c
c c c w
φφ
++
++=
该问题的解为
,0
1
2
k k
c w
=,
,
1
4
k
k a
a
w
c
φ
=,
,
1
4
k
k b
a
w
c
φ
=
这里
1
100
w=而
2
20050
a b
wφφ
=+。
均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：
1,2,
1,2,
20050
11001
200
44
20050
11001
50
44
a b
a a
a a
a b
b b
b b
c c
c c
φφ
φφ
φφ
φφ
+
+=+=
+
+=+=
均衡价格的解为1/4
a
φ=和1
b
φ=。参与者2的财富为
2
200(1/4)(50)(1)100
w=+=。因此，参与者2
和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是
12
[50;[100;25]]
c c
==。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。
现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为
,
,0
0,0,
1
(1/)1/4,
()/2
2
1,
()(1/)22/(4)
k w
k
w k k k
w
k k k k w k w
c a
c
U c w
b
U c c c w
ω
φ
ω
φ
=
⎧
∂
=====⎨
=
∂⎩
这对于两个参与者来说是一样的。
3．解：设投入金额是ax，01
a
≤≤，投资者的投资结果记为X，它等于x ax
+或x ax
-，出现这两种结果的概率分别是p，1p
-，它们的期望效用为：
l o g((1))(1)l o g((1
p a x p a x
++--
log(1)log()(1)log(1)(1)log()
p a p x p a p x
=+++--+-
log()log(1)(1)log(1)
x p a p a
=+++--。
为求出a的最优值，对上式关于a求导
log(1)(1)log(1)
p a p a
++--
得：
1
(log(1)(1)log(1))
11
d p p
p a p a
da a a
-
++--=-
+-
。
令上式等于0，得：1
p ap p a ap
-=-+-或21
a p
=-。