利用平均值定理求函数最值
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
均值定理求最值
均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。
它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。
本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。
一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。
在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。
二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。
2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。
首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。
接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。
高中数学均值不等式
（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
均值不等式应用与例题解析(教案)
解：y x4 2 x2
1 x2 x2 4 2x2
2
1 x2 x2 4 2x2 3 32
2
3
27
当且仅当x2 4 2x2 ,即x 2 3 3
32 ymax 27
（C ）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
解析：y
3x
12 x2
3x 2
3x 2
12 x2
33
3x 3x 22
5.若 0 x 5 ,当x = 5/4 时,
2
y = x(5 – 2x)有最大值 25/8 .
6.若x>0,则
y
x x2
2
最大值为
.
➢六、一题多解
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
最大值 2 (a=1 b=2) 变形2：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
最大值8 (a=2 b=4)
练习 :1.函数 f ( x) x 2 3x 1 ( x 1)
x 1
求函数f(x)的最小值.
换元法凑积定：从高次到低次逐步 用x+1代入分子的x中，边代入边配 项，目的使得有二项相乘为定值， 不管常数。
x
5 log2
x
(0
x
1)
解：（取值需要判别ab正负，x＞0是对对数函数的，
不是对a和b的）
例9. 函数y= x 1 (x ≥ 0)的最小值 x 1
为___1___,此时x=___0___.
二 不 定 ,需 变 形
∴x=0
例10.a,b是正数且a b 4，求ab的最值
均值定理变形公式
均值定理变形公式均值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一个函数在一个闭区间上的平均值与在这个区间内某一点的函数值之间的关系。
在实际应用中，均值定理经常被用来研究函数的性质和解决实际问题。
均值定理的基本形式如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
这个定理表明，对于任意连续可导函数f(x)，在一个闭区间上的函数值之差等于该函数在开区间内某一点的导数与区间长度的乘积。
除了基本形式的均值定理之外，还有一些变形公式，它们是基于均值定理推导出来的。
这些变形公式在解决问题时往往更加方便和灵活。
首先是拉格朗日中值定理，它是均值定理的一种特殊情况。
当闭区间[a, b]上的函数f(x)满足连续和可导条件时，存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理将均值定理的等式形式转化为了函数的导数与函数值之差的比值形式，更加方便计算和应用。
其次是柯西中值定理，它是拉格朗日中值定理的推广。
如果闭区间[a, b]和闭区间[c, d]上的函数f(x)和g(x)满足连续和可导条件，并且g'(x)≠0，那么存在一个点c∈(a, b)和一个点d∈(c, d)，使得(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(d)。
柯西中值定理的应用范围更广，可以处理更加复杂的函数之间的关系。
最后是罗尔中值定理，它是均值定理的另一种特殊情况。
如果闭区间[a, b]上的函数f(x)满足连续和可导条件，并且f(a) = f(b)，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。
罗尔中值定理强调了函数在两个端点处取相等值时，必然存在一个导数为零的点。
这一点在解决某些问题时非常有用，例如证明函数的零点或极值点的存在性。
用平均值定理求某些问题的最值·教案
用平均值定理求某些问题的最值·教案石景山区教师进修学校贾光辉教学目标1．掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．2．通过利用平均值定理解决一些有关问题，进一步培养学生的观察能力、分析问题解决问题的能力．3．培养学生转化的数学思想．4．通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育．教学重点与难点重点：用平均值定理求某些函数的最值及解决有关的应用问题．难点：注意定理的使用条件，正确地应用平均值定理．教学过程设计（一）引入新课师：对于某个给出的函数，要问这个函数在指定的区间上有无最值及如何求出是我们经常遇到的数学问题．解决这类问题在初等数学的范围内并没有通用的方法，只能解决一些特殊函数的最值问题．因此，同学们要随着知识的增加，不断地总结一些常用方法．前面，我们学习了不等式的性质、证明．不等式与函数的最值有无联系呢？举个例子．生甲：有联系．如（x＋1）2≥0这个不等式就给出了函数y=（x＋1）2在定义域R上的最小值0．构造Δ≥0这个不等式达到了求函数最值的目的．师：这两个同学所举的例子说明不等式既是描述函数最值问题的数学语言，又是求解函数最值的有力工具．其实，不等式刻画的是数量之间的大小关系和变量的变化范围，而函数的最值则是通过数量大小的比较所反映的变量在一定范围内变动时所能达到的界值．因此，它们之间有密切联系．让我们来看一个实际问题．（出示投影）（投影片1）引例用篱笆围一块面积为50m2的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少米时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？师：这是一个实际问题，问题的实质是什么？可抽象成怎样的数学问题？生：问题的实质是求篱笆墙三边分别长多少米时，其和的最小值．（x＞0）的最小值并求取得最值时相应的x值．师：很好！这个函数的最值用我们以前学过的判别式法可以求出吗？生：点头示意．师：它是最佳解法吗？除了构造不等式Δ≥0求出此函数的最值以外，同学们能否利用不等式的有关知识构造出其它不等式呢？仔细观察这个函数．最小值．此函数的最小值为20．师：使用平均值不等式变形式有条件限制吗？师：此函数何时取得最小值？师：此时，问题解决了吗？生：应该把个数学问题还原成实际问题．篱笆墙三边分别长5m，10m，5m 时，所用篱笆最省．此时，篱笆墙长20m．师：回顾解题过程，求得这个函数最值的关键是什么？师：问题的关键抓得很准．怎样求得函数取得最小值时相应的x值呢？且求得的x在函数的定义域内，函数取得最小值．师：概括得很好，这正是这节课我们要研究的用平均值定理求某些函数的最值．（板书课题）（二）推证定理师：（板书）平均值定理：师：我们把平均值定理改写成求某些函数（如引例中的函数）最值的命题．（板书）已知两个正变数的积是一个常数．那么当且仅当这两个数相等时，它们的和取最小值．师：类似地，你能否说出求某些函数最大值的命题呢？生：已知两个正变数的和是一个常数，那么当且仅当这两个数相等时，它们的积取最大值．（教师板书）师：下面请同学们证明这个命题．生：设这两个正变数为x和y．如果xy=P（常数），那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得如果x＋y=S（常数），那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得师：既然已经证明了上述命题为真命题，那么我们把它叫做定理1．类似地，由三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，谁能说出求某些函数最值的定理2呢？生：定理2 已知三个正变数的积（和）是一个常数，那么当且仅当这三个数相等时，它们的和（积）取得小（大）值．（投影片2）师：利用这两个定理，可以解决许多定积或定和条件下，若干个正变量的和或积的极值问题．但是，必须注意使用定理的条件，要注意哪几个条件？生：注意三个条件．（1）这两个或三个变数必须是正变数；（2）当它们的和是定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取最小值；（3）当且仅当这两个或三个数相等时，取“=”号．师：很好．看来从定理中也反映出现实世界中的量不等是普遍的，绝对的，而相等是局部的，相对的，必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得此类函数的最值．（三）应用定理师：求两项和的最小值，可以考虑试用定理1．但是，此函数具备使用定理1的条件吗？是常数．师：能否创造条件？（学生讨论）师：使用定理1的条件都具备了吗？最得最小值吗？生丙：还要注意解出的x=0是否属于函数的定义域．师：这一点也很重要，不容忽视．（教师板演，学生练习，共同完成解题过程）师：也可以书写成如下格式．（投影片3）最小值是1．师：回顾解题过程，同学们根据此函数的特点，通过恰当的恒等变把问题转化为定积条件下的两个正变量的和的最小值问题，使问题得以解决．下面请大家再解决一个问题．最大值是多少？（投影片4）师：这是一个什么问题？生：求三个正变量积的最大值．师：这三个正变量的和为定值吗？若不为定值，怎样转化？（学生讨论）生：虽然x+（5-2x）＋（5-2x）≠常数，但是要保证5-2x=5-2x，因此5-2x不宜再变，要使这三个正变量和为定值．只需考虑4x＋（5-2x）+（5-2x）=常数．师：这个想法很好！是必不可少的思维过程．这样，原函数的变形方向就非常明确了．师：具备使用定理2的条件了吗？生：具备了．4x＞0，5-2x＞0且4x＋（5-2x）+（5-2x）=10，还有当4x=5-2x 时，求得的x值在函数的定义域内．师：回答得很全面．我们要学会善于全方位地把握问题，培养自己良好的思维品质．（学生完成解答，教师巡视并用实物投影展示学生甲的解题过程、讲评）师：由例1、例2可以看出，用平均值定理可以解决哪类函数的最值问题？生：解决定积或定和条件下的两个或三个正变量的和或积的最值问题．师：多数情况下，题设中具备使用定理的条件并未直接给出，怎样促成使用定理的三个条件，选配好正变量？生：通过恒等变形，如例1中使用的拆分变量的方法，例2中使用的匹配系数的方法等，促成使用定理的三个条件．师：当然，这些方法都是服务于使用定理的，正确使用定理解决问题是关键．下面请同学们观察两个题目的解法是否正确？（四）易错解法讨论为什么？（学生讨论）使用定理1求函数的最值．生乙：可以对x以0为标准分类讨论．师：这是一个解决问题的好办法．请你说说怎样解？师：很好．既然同学们的眼光很敏锐，那么自己解题时可不能只见树木，不见森林，仅套用“积为定值，和有最小值”的结论，造成如此错误．是否正确？为什么？（学生讨论）足定理1的使用条件．师：为什么利用不等式求函数最值时，必须注意不等式中一端是变量，另一端必须是常量呢？请同学们看投影片．（投影片7）师：如果不等式两端都是变量f（x）≥g（x），如图5-4，可知f（x）≥g（x）恒成立，且“=”在x=a时能取到，这时能说f（a）是函数f（x）的最小值吗？师：求解定和、定积条件下的最值问题，最值的取得必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件．如果仅把注意力集中在选取或设置符合定值条件下的正变量，而对相等条件忽略，那么就会造成这种错误．这道题大家怎么解？（教师用投影展示解法3）师：同学们可以回顾与反思一下，当我们求几项和的最值时，如果生：如果分拆整式或分式的分母中次数较高的正变量，那么各项积的次数不会为0；看来可以尝试分拆整式或分式的分母中次数较低的正变量才能保证各项为常数．师：很好．同学们在用不等式的知识求某些函数的最值时，不仅需要从理论上理解，而且还要在具体运用时善于总结一些规律，这也是养成良好学习习惯的一个方面．下面请同学们运用所学知识解决一个实际问题．（五）解决实际问题（投影片9）例5 在一个直径是50mm的球形器材中，嵌入一根圆轴（如图5-5），为了使圆轴不易脱出，应该使它与球有最大的接触面积，问圆轴的直径应是多少？师：解应用题首先要认真审题，认清问题的已知条件，需求解的对象，各种量之间的相互联系．紧紧抓住变量之间的关系，分析各种制约条件，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化成数学问题，如函数、方程、不等式等数学问题，再用已学过的数学知识解决这个数学问题，最后回到实际问题．本题实质上是一个什么问题？生：圆轴与球的接触面积应是所需圆柱的侧面积．本题实质上求当所需圆柱的直径为多少毫米时，此圆柱的侧面积最大．师：怎样用题中的量表示此圆柱的侧面积？生：设圆轴的半径为xmm，与球接触的圆轴的高为h mm，圆轴与球的接触面积是ymm2．因为圆轴与球的接触面积是一个圆柱的侧面积，所以y=2πxh①．师：我们的目标是求使侧面积y为最大的条件，常把函数y=2πxh称为“目标函数”，这里的目标函数是二元函数，能否消去一元？师：②式给出了两个“元”之间的关系，通常把②这样的关系式称为“约束条件”，这位同学把约束条件代入目标函数，使其化为一元函数．其中，x 的取值有限制吗？生：0＜x＜25．的最大值．怎样求？生：对于几个正变量的积的最值问题，可以考虑利用平均值定理来求．但是，本题中正变量的和却不是常数．师：联系前面几个例题，我们采用分拆变量或匹配系数的方法，恰当地选配满足定值条件的正变量，促使问题解决．此函数呢？（学生讨论）生甲：前几个例题中函数的解析式没有带根号的，我想把解析式转师：这两种变形是否都同时满足“正数”“定值”“相等”三个条件？生：点头示意．师：同学们把要解决的问题与旧知识建立联系，抓住要保证两个正变量的和为常数这一关键实现转化．我们的学习就是在这种不断联系、转化中取得进步的．下面请同学们完成解答过程．（教师巡视，用实物投影展示某学生的解法）（投影片10）解：设圆轴的半径为x mm，与球接触的圆轴的高为h mm，圆轴与球的接触面积是y mm2．则圆轴与球的接触面积是一个圆柱的侧面积且有y=2πxh ①，其中0＜x＜25．答：圆柱的直径应约为35.4 mm．（六）巩固练习（学生练习，教师巡视，纠正错误）A组（A组题检查教学目标是否达到）B组设x＞0，y＞0且3x＋4y=12，求lg x＋lg y的最大值．（lg 3）（B组题供学有余力的学生使用）（七）小结师：这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值的问题．现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本章的重点内容，同学们要牢固掌握．应用定理时，同学们要注意些什么呢？生：应注意同时满足三个条件，（1）两个（或三个）变数都是正数；（2）这两个（或三个）正变数的积（或和）是一个常数；（3）这两个（或三个）正变数能够相等．三个条件缺一不可．师：不能直接利用定理时，要善于转化．这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的．（八）布置作业A组（A组题为基本题目，独立完成）B组（3）要制造一个容积为12m3的圆柱形无盖容器．已知用来作底部与侧壁的材料每平方米的价格比为3∶2，则此容器所需材料价格最低时，圆柱的底面半径是多少？（1.37m）（B组题为思考性较强题目，可讨论完成）课堂教学设计说明1．关于新课引入设计的想法导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始提出问题“求函数最值是数学中常遇到的问题，然而在初等数学的范围内又没有一般通用的方法……”，激励学生探求一些具体方法．接着，引导学生联想到刚刚学过的不等式的有关知识，它与函数最值有无联系呢？从知识之间的联系入手让学生进行联想是探求问题的重要方法．当学生认识到它们之间的联系后，给出一个引例，通过探究解决此问题的最佳解法，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．2．关于易错解法讨论设计的想法正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，只是教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解．设计易错解法讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．3．培养应用意识教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用于客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，题目不是很难，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．。
均值定理公式总结及应用
均值定理公式总结及应用1. 均值定理概述均值定理是微积分中的重要定理之一，它通过使用积分的均值来描述函数与其在某个区间上的平均值之间的关系。
均值定理有多种形式，其中最为常见的两种是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的形式如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的c，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均斜率，即：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于多元函数。
柯西中值定理的形式如下：设函数f(x, y)和g(x, y)在闭区域D上连续，并在开区域D上可微，则存在一个介于D内部的点c，使得：[f(x1, y1) - f(x2, y2)] / [g(x1, y1) - g(x2, y2)] = [∂f/∂x(c)] /[∂g/∂x(c)] = [∂f/∂y(c)] / [∂g/∂y(c)]4. 均值定理的应用均值定理在微积分中有许多应用。
以下是一些常见的应用例子：确定函数在某个区间的存在性和唯一性通过使用柯西中值定理，可以确定一个连续函数在某个区间内的存在性和唯一性。
求函数在某个区间上的最值通过使用拉格朗日中值定理，可以在一个区间上求一个函数的最大或最小值，从而简化计算过程。
证明不等式通过使用柯西中值定理，可以证明一些常见的不等式，例如柯西-施瓦茨不等式和拉格朗日中值定理。
求定积分通过使用拉格朗日中值定理，可以将定积分转化为函数平均值的形式，从而简化计算过程。
5. 总结均值定理是微积分中的重要工具，它通过使用函数的平均值来描述函数在某个区间上的性质。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理是常见的均值定理形式，它们在函数存在性、最值求解、不等式证明和定积分计算等方面都有重要应用。
关于初等数学中平均值定理的教学与实践
由命 题 ｌ 结 论 我 们 可 知 ： 的
＋ ＋ ． ．＋ ． ≥ ｎ
Ｐ
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解 决 此 问 题 的 最 佳 解 法 ， 解 决 实 际 问 题 的 过 程 中 必 须 突 在
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＋ 十 的最 小 值 为 ３ 如 ４ ｃ 例 ２ 已知 三角 形 三边 长 分 别 为 ３ ４ ５ Ｐ 是 三角 形 内 ，，，
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推广 ． 学 数 学 ，０ ８ ４ ． 大 ２０ （ ） ［ ］ 勤． 均 值 定 理 的推 广． 南 大学 学报 ，９ ８ ２ ． ２周 平 济 １９ （ ）
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数 学 学 习与 研 究
２ １ ００
命 ３证 不 式 ！ （ １ （ ２ 题 明 等 ｎ＜ ） ｎ ） ＿ ，≥ ｎ ＋
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大 加 深 学 生对 定 理 的 正 确 理 解 ． 计 易 错 解 法 进 行 讨 论 能 设 够 使 学 生 尝试 失 败 ， 从 失 败 中找 到错 误 原 因 ， 深 了对 正 并 加 确解 法 的 理解 ， 正 把 新 知 识 纳 入 到 原 有认 识 结 构 中． 学 真 教 中 应 不 失 时机 地使 学生 认 识 到数 学 源 于 客 观 世 界 并 反 作 用
《平均值不等式》 作业设计方案
《平均值不等式》作业设计方案一、作业目标1、帮助学生深入理解平均值不等式的概念、定理及其证明过程。
2、培养学生运用平均值不等式解决各种数学问题的能力，包括最值问题、不等式证明等。
3、提高学生的逻辑推理能力和数学思维能力，让学生能够灵活运用数学知识进行分析和解决问题。
4、通过作业，让学生感受数学在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
二、作业内容（一）基础知识巩固1、证明平均值不等式：对于任意正实数 a 和 b，有（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) ，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。
要求：写出详细的证明过程，包括使用的数学方法和推理步骤。
2、计算：已知 a ＞ 0，b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 1，求 1 ／ a ＋ 1 ／ b 的最小值。
（二）应用拓展1、某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为 4800m³，深为3m。
如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？要求：通过设未知数，运用平均值不等式求出最低造价，并说明等号成立的条件。
2、已知 x ＞ 0，y ＞ 0，且 x ＋ 2y ＝ 5，求 xy 的最大值。
（三）综合提升1、证明：对于任意正实数 a、b、c，有（a ＋ b ＋ c) ／3 ≥ ³√（abc) ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立。
要求：运用数学归纳法或其他合适的方法进行证明。
2、已知函数 f(x) ＝ x ＋ 1 ／ x （x ＞ 0），利用平均值不等式求函数的最小值，并求出取得最小值时 x 的值。
三、作业形式1、书面作业：要求学生在作业本上完成上述计算题和证明题，书写工整，步骤清晰。
2、在线作业：利用在线学习平台发布一些选择题和填空题，让学生在规定时间内完成，及时反馈学生的掌握情况。
四、作业时间安排1、基础知识巩固部分：建议在课堂讲解后的当天完成，预计用时30 分钟。
巧用均值定理求函数最值
巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。
首先，我们先来了解一下均值定理。
均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。
因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。
比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。
实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。
当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。
但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,,,,"212121nn nn a a a na a a R a a a ≥+++∈+则若仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1） 注意“正数”。
例1、求函数xx y 4+=的值域 。
误解：4424=⨯≥+xx xx （仅当2=x 时取等号），所以值域为[)+∞,4。
这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当==⨯≥+>x xx xx x a ；44)2(4)4)((2)4()(0,0)(-≤+∴-==--≥-+->-<xx x xx xx x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是{}44≥-≤y y y 或。
（2） 注意“取等”例2、设+∈R x ，求函数213xx y +=的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有 3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x xx x y R x 。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要212xx x ==，这样的不存在x ，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x xx x y ==⋅⋅≥++=。
所以2183,3183min 3==y x 。
例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222误解：)1(29)(212,222222222 =+++≤+∴+≤+≤y x b a by ax y x bx b a ax所以by ax +的最大值为29。
分式函数最值求解方略
分式函数最值求解方略
分式函数是一种数学中普遍存在的函数，它把一般函数分解为几部分的组合。
对分式函数的最值求解一直是数学学习者的重要内容。
求解分式函数最值的方法有各种各样，用哪种方法要看分式表达式的特点，根据题目的要求按照不同的情况来进行求解。
首先，要求解分式函数最值，需要了解分式函数的特点。
分式函数就是把一般函数分解为若干不同部分，从因数分解到偏导数、极值点，都属于分式函数的求解范畴。
其次，要求解分式函数最值，还要依赖数学分析方法。
比如，我们要求解分式函数的极值点，先根据分式函数的特点、性质求出其偏导数形式，然后再构造相应的偏导数函数，为求极值点求解。
接下来，要求解分式函数最值，需要利用平均值定理和牛顿迭代法。
比如，如果我们要求解分式函数极值点，我们可以使用平均值定理计算其偏导数，并利用牛顿迭代法求出其极值点。
最后，要求解分式函数最值，也可以借助于数值计算的方法。
比如，如果要求分式函数的极值点，我们可以建立一组网格，运用插值法、三点一次拟合精确求出目标的函数值，最后可以求出该函数的极值点。
总而言之，求解分式函数最值的方法很多，根据具体的分式函数特点及问题要求，采用不同的数学分析方法和数值计算方法，都可以求出分式函数的最值，从而解决复杂问题。
职高高一数学均值定理知识点总结
职高高一数学均值定理知识点总结数学是一门重要的学科，也是我们日常生活中无处不在的。
而高中数学是数学知识的重要阶段，在学习数学的过程中，均值定理是重要且常见的概念。
下面，我将总结职高高一数学均值定理的知识点。
一、均值定理的概念均值定理是关于函数在一个有限闭区间上的平均值与函数在该区间上某一点的函数值之间的关系定理。
简单来说，均值定理是用函数在一个区间上的平均值来预测函数在该区间上某一点的函数值。
二、费尔马定理费尔马定理是均值定理的基础。
它指出，如果函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的一个内点处具有极值，那么这个极值点就是函数在该区间上的一个局部最值点。
三、罗尔定理罗尔定理也是均值定理的重要内容。
它指出，如果函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的两个端点处的函数值相等，那么在该区间上一定存在至少一个内点，使得该点处的导数为零。
四、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理中的一个重要定理。
它指出，如果函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的内点处可导，那么在该区间上至少存在一个内点，使得该点处的导数等于函数在该区间上的平均速度。
五、柯西中值定理柯西中值定理也是均值定理的一部分。
它是通过对拉格朗日中值定理的推广得到的。
柯西中值定理指出，如果函数f(x)和g(x)在一个闭区间上连续，并且在该区间的内点处可导，那么在该区间上至少存在一个内点，使得两个函数在该点处的导数之比等于两个函数在该区间上的平均值之比。
六、应用举例均值定理在实际问题中有广泛的应用。
举例来说，我们可以利用均值定理来解决一些路径规划问题，比如汽车行驶的平均速度问题，根据路程和所需时间来计算平均速度。
此外，均值定理还可以用于证明一些数学问题，如极值问题、微积分中的不等式等。
综上所述，职高高一数学的均值定理涵盖了费尔马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等多个方面。
均值定理是数学中一个重要且广泛应用的概念，通过运用不同的定理，我们可以解决实际问题，也可以证明一些数学定理。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧(精)
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
用平均值定理求某些问题最值
[文件] sxgdja0020.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节][关键词] 平均值/最值/函数[标题] 用平均值定理求某些问题的最值 [内容]石景山区教师进修学校 贾光辉 教学目标1.掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．2.通过利用平均值定理解决一些有关问题，进一步培养学生的观察能力、分析问题解决问题的能力．3.培养学生转化的数学思想．4.通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育． 教学重点与难点重点：用平均值定理求某些函数的最值及解决有关的应用问题． 难点：注意定理的使用条件，正确地应用平均值定理． 教学过程设计 (一)引入新课师：对于某个给出的函数，要问这个函数在指定的区间上有无最值及如何求出是我们经常遇到的数学问题．解决这类问题在初等数学的范围内并没有通用的方法，只能解决一些特殊函数的最值问题．因此，同学们要随着知识的增加，不断地总结一些常用方法．前面，我们学习了不等式的性质、证明．不等式与函数的最值有无联系呢?举个例子．生甲：有联系．如(x+1)2≥0这个不等式就给出了函数y ＝(x+1)2在定义域R 上的最小值0．生乙：有联系．如求函数y ＝63222+++x x x 的最值，可以用判别式法．构造Δ≥0这个不等式达到了求函数最值的目的．师：这两个同学所举的例子说明不等式既是描述函数最值问题的数学语言，又是求解函数最 值的有力工具．其实，不等式刻画的是数量之间的大小关系和变量的变化范围，而函数的最值则是通过数量大小的比较所反映的变量在一定范围内变动时所能达到的界值．因此，它们之间有密切联系．让我们来看一个实际问题．(出示投影)(投影片1)引例 用篱笆围一块面积为50m 2的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少米时，所用篱笆最省?此时，篱笆墙长为多少米?师：这是一个实际问题，问题的实质是什么?可抽象成怎样的数学问题? 生：问题的实质是求篱笆墙三边分别长多少米时，其和的最小值．如果设矩形宽为xm ，那么由已知可得矩形的长为x50m ．再设篱笆墙长为ym ，把这个实际问题抽象成数学问题是：求函数y ＝2x+x50(x ＞0)的最小值并求取得最值时相应的x 值．师：很好!这个函数的最值用我们以前学过的判别式方法可以求出吗? 生：点头示意．师：它是最佳解法吗?除了构造不等式Δ≥0求出此函数的最值以外，同学们能否利用不等式的有关知识构造出其它不等式呢?仔细观察这个函数．生：用平均值不等式的变形式a+b ≥ab 2就可以求出这个函数的最小值．y ＝2x+x50≥2010025022==•x x 此函数的最小值为20．师：使用平均值不等式变形式有条件限制吗?生：有．要求a ，b ∈R+，本题中x ＞0，x50＞0，满足条件．师：此函数何时取得最小值?生：当2x ＝x50，即x ＝5时，这个函数取得最小值．师：此时，问题解决了吗?生：应该把这个数学问题还原成实际问题，篱笆墙三边分别长5m ，10m ，5m 时，所用篱笆最省．此时，篱笆墙长20m ．师：回顾解题过程，求得这个函数最值的关键是什么?生：2x ＞0，x 50＞0且2x ·x50是一个常数．师：问题的关键抓得很准．怎样求得函数取得最小值时相应的x 值呢?生：当2x ＝x50时，函数取得最小值．师：假如满足2x ＝x 50的x 值不在函数的定义域内，如函数y ＝2x+x50(x ≥6)，当2x ＝x50时，函数能取得最小值吗? 生：只有在2x ＞0，x 50＞0且2x ·50x 为常数的前提下，当2x ＝x50且求得的x 在函数的定义域内，函数取得最小值．师：概括得很好，这正是这节课我们要研究的用平均值定理求某些函数的最值．(板书课题) (二)推证定理师：(板书)平均值定理：若a ，b ∈R+则2ba +≥ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”号；若a ，b ，c ∈R+，则3c b a ++≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，取“＝”号．师：我们把平均值定理改写成求某些函数(如引例中的函数)最值的命题． (板书) 已知两个正变数的积是一个常数．那么当且仅当这两个数相等时，它们的和取最小值．师：类似地，你能否说出求某些函数最大值的命题呢?生：已知两个正变数的和是一个常数，那么当且仅当这两个数相等时，它们的积取最大值． (教师板书)师：下面请同学们证明这个命题． 生：设这两个正变数为x 和y ．如果xy ＝P(常数)，那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得x+y ≥p xy 22=．当且仅当x ＝y 时，有x+y ＝p 2．这就是说，当x ＝y 时，x+y 有最小值p 2．如果x+y ＝S(常数)，那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得,22sy x xy =+≤，即xy ≤42s当且仅当x ＝y 时，有xy ＝42s ．这就是说，当x ＝y 时，xy 有最大值42s师：既然已经证明了上述命题为真命题，那么我们把它叫做定理1．类似地，由三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，谁能说出求某些函数最值的定理2呢? 生：定理2 已知三个正变数和积(和)是一个常数，那么当且仅当这三个数相等时，它们的和(积)取得小(大)值．(投影片2)师：利用这两个定理，可以解决许多定积或定和条件下，若干个正变量的和或积的极值问题．但是，必须注意使用定理的条件，要注意哪几个条件?生：注意三个条件．(1)这两个或三个变数必须是正变数；(2)当它们的和是定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取最小值；(3)当且仅当这两个或三个数相等时， 取“＝”号．师：很好．看来从定理中也反映出现实世界中的量不等是普遍的，绝对的，而相等是局部的，相对的，必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得此类函数的最值． (三)应用定理例1(板书) 求函数y ＝x+11+x (x ≥0)的最小值，并求相应的x 值．师：求两项和的最小值，可以考虑试用定理1．但是，此函数具备使用定理1的条件吗?生：不具备．因为这个函数中的两项不都是正数且x 与11+x 的积也不是常数．师：能否创造条件? (学生讨论)生甲：把函数变形为y ＝(x+1)+ 11+x -1，这时，正数x+1，11+x 的积是常数1，可以用定理1求得这个函数的最小值． 师：使用定理1的条件都具备了吗?生乙：当且仅当x+1＝11+x 时，这个函数能够取得最小值．师：是只要求出方程x+1＝11+x 的解x ＝0就能保证此函数能够最得最小值吗?生丙：还要注意解出的x ＝0是否属于函数的定义域． 师：这一点也很重要，不容忽视．(教师板演，学生练习，共同完成解题过程)解：y ＝x+11+x ＝(x+1)+ 11+x -1．由x ≥0，知x+1＞0，11+x ＞0，且(x+1)·11+x ＝1(常数)因此由定理1得：当且仅当x+1＝11+x ，即x ＝0时，y ＝x+11+x (x ≥0)有最小值，最小值是y ＝12-1＝1．师：也可以书写成如下格式．(投影片3)解：y ＝x+11+x ＝(x+1)+ 11+x -1．由x ≥0，知x+1＞0，11+x ＞0．所以y ＝(x+1)+ 11+x -1≥1111)1(2=-++x x当且仅当x+1＝11+x ，即x ＝0时，y ＝x+11+x (x ≥0)取得最小值，最小值是1．师：回顾解题过程，同学们根据此函数的特点，通过恰当的恒等变形——分拆变量，确定了符合定理1条件的正变量(x+1)与11+x ，把问题转化为定积条件下的两个正变量的和的最小值问题，使问题得以解决．下面请大家再解决一个问题．例2 设0＜x ＜25，求x 为何值时，函数y ＝x(5-2x)2有最大值?最大值是多少?(投影片4)师：这是一个什么问题?生：求三个正变量积的最大值．师：这三个正变量的和为定值吗?若不为定值，怎样转化? (学生讨论)生：虽然x+(5-2x)+(5-2x)≠常数，但是要保证5-2x ＝5-2x ，因此5-2x 不宜再变，要使这三个正变量和为定值．只需考虑4x+(5-2x)+(5-2x)＝常数． 师：这个想法很好!是必不可少的思维过程．这样，原函数的变形方向就非常明确了．生：原函数变形为y ＝41［4x(5-2x)2］．师：具备使用定理2的条件了吗?生：具备了．4x ＞0，5-2x ＞0且4x+(5-2x)+(5-2x)＝10，还有当4x ＝5-2x 时，求得的x 值在函数的定义域内．师：回答得很全面．我们要学会善于全方位地把握问题，培养自己良好的思维品质．(学生完成解答，教师巡视并用实物投影展示学生甲的解题过程、讲评) 师：由例1、例2可以看出，用平均值定理可以解决哪类函数的最值问题? 生：解决定积或定和条件下的两个或三个正变量的和或积的最值问题． 师：多数情况下，题设中具备使用定理的条件并未直接给出，怎样促成使用定理的三个条件，选配好正变量?生：通过恒等变形，如例1中使用的拆分变量的方法，例2中使用的匹配系数的方法等，促成使用定理的三个条件．师：当然，这些方法都是服务于使用定理的，正确使用定理 解决问题是关键．下面请同学们观察两个题目的解法是否正确? (四)易错解法讨论(投影片5) 例3 求函数y ＝1-2x-x3的最值，下面解法是否正确?为什么?解：y ＝1-2x-x 3＝1-(2x+x3)．因2x+x3≥62322=•x x ，则y ≤621-，所以y min ＝621-(学生讨论)生甲：解法错误．因为在不能断定2x 与x3为正数的前提下，不能使用定理1求函数的最值．师：不能断定2x 与x3的正负应该怎么办? 生乙：可以对x 和0为标准分类讨论．师：这是一个解决问题的好办法．请你说说怎样解?生乙：当x ＞0时，2x ＞0，x 3＞0且2x ·x3＝6．定理1，得当且仅当2x ＝x 3，即x ＝26时，y ＝1-2x-x 3＝1-(2x+x3)有最大值，最大值是y ＝621-当x ＜0时，-2x ＞0，-x 3＞0且(-2x)(- x3)＝6．由定理1，得当且仅当-2x＝-x 3，即x ＝-62时，y ＝1-2x-x3有最小值，最小值是y ＝621+．师：很好．既然同学们的眼光很敏锐，那么自己解题时可不能只见树木，不见森林，仅套用“积为定值，和有最小值”的结论，造成如此错误．(投影片6) 例4 求函数y ＝2x2+x3(x ＞0)的最小值，下面解法是否正确?为什么?解法1：由x ＞0，知2x 2＞0，x3＞0，则y ＝2x 2+x3≥x x x 623222=•当且仅当2x 2＝x 3，即x ＝323时，y min ＝331822362=•解法2：由x ＞0，知2x 2＞0，x 1＞0，x2＞0，则y ＝3322243212321232=••≥++=+xx x x x x x x则y min ＝343 (学生讨论)生甲：解法1是错误的．因为正变数2x 2与x3的积不是常数，不满足定理1的使用条件．师：为什么利用不等式求函数最值时，必须注意不等式中一端是变量，另一端必须是常量呢?请同学们看投影片．(投影片7)师：如果不等式两端都是变量f(x)≥g(x)，如图5-4，可知f(x)≥g(x)恒成立，且“＝”在x ＝a 时，能取到，这时能说f(a)是函数f(x)的最小值吗?生乙：解法2也是错误的．因为“＝”成立的条件是2x 2＝x x 21=，而由xx 21=得知方程无解．也就是说不存在的x 0＞0使y 0＝2x 20+30433=x 成立，y 取不到343，因此343不是此函数的最小值．师：求解定和、定积条件下的最值问题，最值的取得必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件．如果仅把注意力集中在选取或设置符合定值条件下的正变量，而对相等条件忽略，那么就会造成这种错误．这道题大家怎么解?生：把x 3拆成相等的两项x 23和x 23，同时也保证了2x 2＞0，x 23＞0且2x 2，x 23与x23的积是常数，这时，可以应用定理2求出此函数的最小值． (教师用投影展示解法3)(投影片8) 解法3：y ＝2x 2+x 3＝2x 2+x 23+x23．由x ＜0，知2x 2＞0，x 23＞0．故2x 2+x 23+x 23≥332293232323=••x x x 当且仅当2x 2＝x23，即x ＝343时，y min ＝333623293=师：同学们可以回顾与反思一下，当我们求几项和的最值时，如果这几项中的整式，也有分式，且其乘积的分子或分母中至少有一仍带变量，如例4中函数y ＝2x 2+x3(x ＞0)，再比如函数y ＝x+232x(x ＞0)，那么你会尝试分析哪个正变量以保证各项积为常数呢?生：如果分拆整式或分式的分母中次数较高的正变量，那么各项积的次数不会为0；看来可以尝试分拆整式或分式的分母中次数较低的正变量才能保证各项为常数． 缺图5-5师：很好．同学们在用不等式的知识求某些函数的最值时，不仅需要从理论上理解，而且还要在具体运用时善于总结一些规律，这也是养成良好学习习惯的一个方面． 下面请同学们运用所学知识解决一个实际问题． (五)解决实际问题(投影片9) 例5 在一个直径是50mm 的球形器材中，嵌入一根圆轴(如图5-5)，为了使圆轴不易脱出，应该使它与球有最大的接触面积，问圆轴的直径应是多少?师：解应用题首先要认真审题，认清问题的已知条件，需求解的对象，各种量之间的相互联系．紧紧抓住变量之间的关系，分析各种制约条件，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化成数学问题，如函数、方程、不等式等数学问题，再用已学过的数学知识解决这个数学问题，最后回到实际问题． 本题实质上是一个什么问题?生：圆轴与球的接触面积应是所需圆柱的侧面积．本题实质上求当所需圆柱的直径为多少毫米时，此圆柱的侧面积最大．师：怎样用题中的量表示此圆柱的侧面积?生：设圆轴的半径为xmm ，与球接触的圆轴的高为hmmm ，圆柱与球的接触面积是ymm2．因为圆轴与球的接触面积是一个圆柱的侧面积，所以y ＝2πxh师：我们的目标是求使侧面积y 为最大的条件，常把函数y=2πxh 。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(二)导学案 新人教B版选修4
1.2 基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a 、b 、c ∈R ＋时，a ＋b ＋c3≥3abc 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a 、b 、c 的几何平均值.2.如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立.基础自测1.设a 、b 、c ∈R ，下列各不等式中成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2|ab | B.a ＋b ≥2ab C.a 3＋b 3＋c 3≥3abcD.a ＋b ＋c3≥3abc解析 由a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2－2|ab |＋|b |2＝(|a |－|b |)2≥0，故选A. 答案 A2.函数y ＝x 2·(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值为( )A.4675 B. 2657 C.4645D.2675解析 由y ＝x 2·(1－5x )＝425·52x ·52x (1－5x ) ≤425⎝⎛⎭⎪⎪⎫52x ＋52x ＋1－5x 33＝4675.答案 A3.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析 利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63知识点1 利用平均值不等式证明不等式 【例1】 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 证明 a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝2， [(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）·313（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）＝9⇒1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. ●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92(a ，b ，c ∈R ＋).证明 ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a ) ≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ），1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.知识点2 利用平均值不等式求最值【例2】 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围. 解 方法一：∵a 、b ∈R ＋，且ab ＝a ＋b ＋3≥333ab ， ∴a 3b 3≥81ab .又ab >0，∴a 2b 2≥81. ∴ab ≥9(当且仅当a ＝b 时，取等号). ∴ab 的取值范围是[9，＋∞). 方法二：∵ab －3＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab －2ab －3≥0且ab >0，∴ab ≥3，即ab ≥9(当且仅当a ＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞).●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求y ＝sin x cos 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最大值.解 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin x >0，y >0.y 2＝sin 2x cos 4x ＝2sin 2x cos 2x cos 2x2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x 33＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝854＝427.故y ≤427＝239，此时，2sin 2x ＝cos 2x ，tan 2x ＝12， y 有最大值239. 知识点3 平均值不等式的实际应用【例3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n ＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1.给出如下数据： ①27，②25，③13，④12，⑤23， 则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( ) A.①② B.①③ C.②③④D.②⑤解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x (x >0)，则a 4＝a 1(1＋x )3＝a 1(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋P 1＋1＋P 2＋1＋P 333＝⎝ ⎛⎭⎪⎫433. ∴1＋x ≤43，即x ≤13，对比所给数据，只有①③满足条件，故选B. 答案 B3.设长方体的体积为1 000 cm 3，则它的表面积的最小值为__________ cm 2. 解析 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则abc ＝1 000，且a >0，b >0，c >0.∴它的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ca )≥2×33（abc ）2＝600. 当且仅当a ＝b ＝c ＝10 (cm)时取“＝”号. 所以它的表面积S 的最小值为600 cm 2. 答案 600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2<ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析 f (x )＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1（x －2），又∵x ≥52，x －2≥12，则f (x )≥12·2（x －2）1（x －2）＝1.答案 D3.函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的最大值是________.解析 由y ＝x 2·(1－3x ) ＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝3243.答案32434.用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 解析 设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x ) cm ， 面积S ＝x (8－x ).由于x >0，8－x >0，可得S ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x 即x ＝4时，S max ＝16. 所以矩形的最大面积是16 cm 2. 答案 16基础达标1.若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( )A.9B.3336C.13D.不存在解析 ∵x >0，∴4x ＋9x 2＝2x ·2x ·9x2≥332x ·2x ·9x2＝3336.答案 B2.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝⎛⎭⎪⎫1b －1⎝⎛⎭⎪⎫1c－1，则x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C.[1，8)D.[8，＋∞)解析 ∵x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝1－a a ·1－b b ·1－cc＝（b ＋c ）（c ＋a ）（a ＋b ）abc ≥2bc ·2ca ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案 D3.已知x ，y 都为正数，且1x ＋4y＝1，则xy 有( )A.最小值16B.最大值16C.最小值116D.最大值116解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋4y＝1，∴1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，∴xy ≥4，∴xy ≥16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝4y ，1x ＋4y ＝1，x ，y ∈（0，＋∞），即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，时取等号，此时(xy )min ＝16. 答案 A4.已知a ，b ，∈R *，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝1＋1＋1＋ac b 2＋a 2bc ＋b 2ac ＋ab c 2＋bc a 2＋c 2ab ≥3＋2ac b 2·b 2ac＋2a 2bc ·bc a 2＋2abc 2＋c 2ab＝9. 答案 95.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元). 解析 利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x(x >0).因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元).答案 1606.已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( ) A.V ≥π B.V ≤π C.V ≥18πD.V ≤18π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3，于是有V ＝πr 2h ≤π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝π，当且仅当r ＝h 时取等号.答案 B8.如果圆柱的轴截面周长l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析 l ＝4r ＋2h ，即2r ＋h ＝l2，V ＝πr 2h ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.答案 A9.定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立. 答案210.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值. (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v ＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.答案 (1)1 900 (2)10011.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 设AN 的长为x 米(x >2)，矩形AMPN 的面积为y . ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝3x x －2， ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2x －2(x >2)(1)由S 矩形AMPN >32得3x2x －2>32，∵x >2，∴3x 2－32x ＋64>0，即(3x －8)(x －8)>0，∴2<x <83或x >8，即AN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞). (2)令y ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋12（x －2）＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥23（x －2）·12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2， 即x ＝4时，y ＝3x2x －2取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值24平方米.(3)令g (x )＝3x ＋12x(x ≥4)，设x 1>x 2≥4，则g (x 1)－g (x 2)＝3(x 1－x 2)＋12（x 2－x 1）x 1x 2＝3（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2，∵x 1>x 2≥4，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>16，∴g (x 1)－g (x 2)>0，∴g (x )在[4，＋∞)上递增. ∴y ＝3(x －2)＋12x －2＋12在[6，＋∞)上递增. ∴当x ＝6时，y 取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值27平方米.12.甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例常数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？ 解 (1)因为汽车每小时的运输成本为bv 2＋a (元)， 全程时间为s v (小时)，故y ＝s v(bv 2＋a )，即y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由于a v＋bv ≥2ab ，当且仅当v ＝ ab时取等号，故 ①若 ab ≤c ，则当v ＝ ab时，y 取最小值. ②若a b >c ，则先证y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数，事实上，当v 1、v 2∈(0，c ]，且v 1<v 2，则y 1－y 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1＋bv 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 2＋bv 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1－a v 2＋（bv 1－bv 2）＝s (v 1－v 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 1v 2＝sb (v 1－v 2)·v 1v 2－a bv 1v 2，∵v 1、v 2∈(0，c ]，v 1<v 2， ∴v 1－v 2<0，v 1v 2>0，v 1<ab ，v 2< a b. 进而v 1v 2<a b，从而y 1－y 2>0.故y ＝s ⎝⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数， 由此知当v ＝c 时，y 取得最小值.综上可知，若ab≤c，则当v＝ab时，y取得最小值；若ab>c，则当v＝c时，y取得最小值.。
离散函数平均值定理
离散函数平均值定理离散函数平均值定理（也称为离散积分第一中值定理或离散介值定理）是数学中的一项基本定理，它描述了在某个区间内任意的一组离散函数的平均值与函数极值之间的关系。
本文将对离散函数平均值定理进行详细介绍。
1. 定义假设 $f(x)$ 是一个在区间 $[a,b]$ 上离散的函数，也就是说 $f(x)$ 只在有限个点处有定义。
假设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是区间 $[a,b]$ 内的 $n$ 个不同的点，每个点$x_i$ 有相应的函数值 $y_i=f(x_i)$。
轮廓图是由这些点绘制出的离散函数图像。
离散函数平均值定理描述了在该轮廓图中，函数值的平均值与函数的极值之间的关系。
设$M$ 和 $m$ 分别表示 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则离散函数平均值定理表述如下：$$m\leq \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n}\leq M$$$\sum_{i=1}^{n}y_i$ 是 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的和。
2. 证明为了证明离散函数平均值定理，我们定义一个辅助函数 $g(x)$，该函数的定义域为$[a,b]$，且$$\sum_{i=1}^{n}g(x_i)=\sum_{i=1}^{n}\left(f(x_i)-\frac{\sum_{j=1}^{n}y_j}{n}\ right)$$由于 $M$ 和 $m$ 分别表示 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，因此在区间 $[a,b]$ 上有：逐项减去 $y_i$，得到$$M-y_i\geq (f(x_i)-y_i)\geq m-y_i,\quad i=1,2,\cdots,n$$即，证毕。
3. 应用离散函数平均值定理在计算机科学、信号处理、概率论等领域有广泛的应用。
它可用于计算信号处理中的平均功率、计算某些概率分布的期望值等。
在实际应用中，由于离散数据的采样点较少，有时会出现 $M$ 和 $m$ 的值不准确的情况。
二次函数的平均值
二次函数的平均值
二次函数是数学中常见的一种函数类型，它的一般形式为y=ax^2+bx+c。
在图像上，二次函数通常呈现出抛物线的形状，这种曲线在数学和物理问题中都有广泛的应用。
平均值是一个数列或函数中各项之和除以项数或自变量区间长度所得的结果。
对于二次函数来说，平均值可以用来帮助我们理解和分析函数的性质。
在二次函数中，平均值可以分为三种：平均值定理、平均值不等式和平均值最值定理。
首先是平均值定理，它可以帮助我们找到二次函数图像上的一点，使得这个点的横坐标等于函数自变量的平均值，纵坐标等于函数在这个区间上的平均值。
这个点通常被称为平均点，它的横坐标可以帮助我们理解函数的凹凸性，而纵坐标可以帮助我们理解函数图像的整体位置。
其次是平均值不等式，它可以帮助我们理解二次函数在某个区间上的取值范围。
通过平均值不等式，我们可以得出一个结论：二次函
数在某个区间上的取值范围不会超过函数在这个区间上的平均值。
这个结论在分析二次函数的最值时特别有用，可以帮助我们简化计算。
最后是平均值最值定理，它可以帮助我们找到二次函数在某个区间上的最大值或最小值。
平均值最值定理的核心思想是：如果二次函数在某个区间的两个端点上取得了相同的函数值，那么在这个区间上一定存在一个点，使得函数在这个点上取得了最大值或最小值。
通过这个定理，我们可以有效地求解二次函数在特定区间上的最值问题。
总之，二次函数的平均值在分析函数性质、求解最值问题时都具有重要的作用。
通过对平均值定理、平均值不等式和平均值最值定理的理解，我们可以更加深入地理解和应用二次函数，为解决实际问题提供更有力的工具。
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