数值计算基础期末试题及解答

数值计算基础期末试题

及解答

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

《数值计算基础》考试样卷

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、数值x 的近似值x *=0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字.

(A) 2

1×10－3 (B) 2

1×10－4 (C) 2

1×10－5 (D) 2

1×10－6

2、若k A 为矩阵A 的k 阶主子矩阵，则矩阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 (A) 0≠A (B) 某个0

≠k A (C))1,1(0-=≠n k A k (D) ),,1(0n k A k =≠

3、通过四个互异节点的插值多项式P (x )，只要满足( ), 则P (x )是不超过一次多项式。

(A) 初始值y 0=0 (B) 所有一阶均差为0 (C) 所有二阶均差为0 (D) 所有三阶均差为0

4、牛顿切线法求解方程f (x )=0的近似根，若初始值x 0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。

(A))()(00x f x f ''<0

(B) )()(00''x f x f >0

(C))()(00''x f x f ≤0 (D))()(00''x f x f ≥0 5、改进欧拉法的平均形式公式是( )

(A)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+)(21),(),(1c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (B)⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+1+)

(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y

(C)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+2=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y h y y x hf y y y x hf y y (D)⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)

(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y 二、填空题（每小题3分，共15分）

1、sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 .

2、设f(x)可导，求方程x=f(x) 根的牛顿迭代格式是 .

3、设42)(2+=x x f ，则=]2,1[f .

4、在区间[],a b 上的插值型求积公式系数01,,A A ┅,n A 满足01A A ++┅＋n A ＝ .

5、二阶龙格－库塔法的局部截断误差是 . 三、解答题（每小题10分，共50分）

1、用列主元消去法解线性方程组

123240531192203x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2、用牛顿法求6的近似值，取初始值20=x ，进行二次迭代。

3、已知有y=f(x)的函数表如下

求其代数插值多项式并给出其余项。 4、给出数值积分公式：

)3

1

()()(h Bf h Af dx x f h

h

+-≈⎰

-

确定A 、B 使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为

多少？

5、用欧拉法解初值问题，要求保留4位有效数字。

⎩⎨

⎧==≤≤+=1

)0()

5.0,10('y h x y x y 四、综合题（每小题10分，共20分）

1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为

)],(),([2

111+++++=n n n n n n y x f y x f h

y y ，并证明该方法是二阶方法。

2、设l 0(x )是以n +1个互异点x 0,x 1,x 2,…,x n 为节点的拉格朗日插值基函数

)

)...()(()

)...()(()(n n x x x x x x x x x x x x x l ------=

02010210

试利用牛顿插值法证明：

)

)...()(()

)...()((...))(())(()()(1)(02010110201010100n n 0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ------++----+--+

=-

《数值计算基础》考试样卷

参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、

00625.01016

1

10821112=⨯=⨯⨯-+- 2、)

(1)

(1k k k k k x f x f x x x '---=+

3、6

4、b-a

5、O(h 3)

三、解答题（每小题10分，共50分） 1、解：

21

2131

32

2

()3

2

3

47

24053119311924052203220331193119142142010133338225909003377r r r r r r r r +-↔++-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

--⎢⎥⎢⎥

--⎢⎥⎢⎥-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦

8分 回代得3215911

,4,22x x x ===- 2分

2、解：

)6

(21)6(2

1)()()(,2)(6)(1''2n n

n x x x x x f x f x x x x f x x f +=+=-

==-=+，，ϕ 7分 450

.22049)51225(21500

.225)262(212

210==+===+=

=x x x 3分