直角三角形全等的判定定理(HL)
直角三角形全等的判定(HL)课件2021-2022学年北师大版八年级数学下册
双基巩固
练习2：如图，点B、E、C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
A
D
B
CE
F
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
分析：要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，
只要证△ABC≌△DEF， 由AC⊥BF，DF⊥AF， BE=CF ， B E 可得∠ACB=∠DFE=90°BC=EF ， 又AB=DE，根据“HL”可证ABC≌△DEF. 请你将证明过程规范化写出来。
AD CF
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上，
求证：AC=DC。
E
证明：∵△BCE为等腰直角三角形，
A
∴∠BCA=∠ECD=90°，BC=EC，
∵在Rt△BCA与Rt△ECD中
BA ED
BC EC
∴Rt△BCA≌Rt△ECD
(HL)．B
C
D
∴AC=CD.
问1：△ACD是什么特殊三角形？ △ACD是等腰直角三角形.
问2：若将“BA=ED”与“AC=DC”互换，结论成立吗？
SSS
B. AB=DE， AC=DF，∠A=∠D SAS
C. AB=DE， AC=DF，∠B=∠E SSA D. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E ASA
A
D(D)
E
F
B
C
(E)
探究新知
当AC、DF分别变为与BC、EF分别垂直（即两边 分别相等及其中一组等边所对的角为直角时）
A
D
B
CCE
hl定理是证明两个直角三角形全等的定理,
hl定理是证明两个直角三角形全等的定理, 是的，HL定理是证明两个直角三角形全等的定理。
HL定理的内容是：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
HL定理的简写是“Hypotenuse-Leg”，其中H是斜边（Hypotenuse），L是直角边（Leg）。
这个定理是证明两个直角三角形全等的一种特殊判定方法，可以通过证明两个三角形的斜边和一条直角边对应相等来证明两个三角形全等。
它可以通过SSS （Side-Side-Side）或者SAS（Side-Angle-Side）等其他全等判定定理进行转换。
在证明两个直角三角形全等时，HL定理可以提供一种简单而有效的方法。
前提是一定要确保所比较的两个三角形都是直角三角形，否则这个定理不适用。
12.2 直角三角形全等的判定(HL)
12.2 直角三角形全等的判定（HL）一、内容和内容解析（一）内容直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”．（二）内容解析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．基于以上分析，本节课的重点是：“斜边、直角边”判定方法的运用．二、目标及目标解析（一）目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．（二）目标解析1．学生经历探索两个直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．学生能从具体的问题中找出符合“斜边、直角边”条件的两个直角三角形，并能证明这两个直角三角形全等．三、教学问题诊断分析由于直角三角形是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质．例如，对一般三角形来说，已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等，而对于直角三角形来说，已知斜边和一直角边分别相等，能够得到两个直角三角形全等．直角三角形的斜边和一直角边确定了，根据勾股定理，得到第三边也是确定的，从而可以利用“边边边”或“边角边”证明满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．但是勾股定理是后面学习的内容，在这里不能运用勾股定理来证明这个结论，只能通过实验操作、观察得出定理．基于以上分析本节课的难点是：“斜边、直角边”判定方法的理解．四、教学过程设计引言前面我们学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），本节课我们继续研究两个直角三角形全等的判定方法．问题1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪几个条件，这两个直角三角形就全等了？两个直角三角形满足的条件：两条直角边分别相等(SAS）；一个锐角和一条直角边分别相等“ASA”或（AAS）；一个锐角和斜边分别相等（AAS）追问：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？师生活动：师生共同得出上面的三个判定方法，学生思考猜想：满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等．设计意图：直接进入本节课学习的内容，培养学生分类讨论的思想．让学生大胆提出猜想．1.探索新知问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？问题2 画一个与已知直角三角形纸板全等的Rt △ABC ，有∠C =90°，再画一个Rt △DEF ，使∠F=90°，EF=BC ，DE=AB ，然后把已知直角三角形纸板放在画好的Rt △DEF 上，你发现了什么？2.归纳概括“HL ”判定方法和 分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL ”）．注意：前提条件是 。
直角三角形全等的判定(HL)
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→? 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。
E P D C
Q
F
作业设计
Ｐ１０９ 练习１﹑２ 同步（六）
同步训练 Ｐ８２
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
B
5cm
A
4cm
C
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
∴△ABC和△ ABC为直角三角形 A
∵
AB= AB BC= BC
（已知）
沪科版数学八年级上册《直角三角形全等的判定定理(HL)》教学设计1
沪科版数学八年级上册《直角三角形全等的判定定理（HL）》教学设计1一. 教材分析《直角三角形全等的判定定理（HL）》是沪科版数学八年级上册的一章，主要介绍了直角三角形全等的判定方法。
本节内容是在学生已经掌握了三角形全等的性质和判定方法的基础上进行讲解的，通过本节课的学习，使学生能够理解和掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形全等的性质和判定方法，但是对直角三角形全等的判定方法可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解直角三角形全等的判定方法（HL）。
2.学会运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直角三角形全等的判定方法（HL）。
2.如何运用直角三角形全等的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解直角三角形全等的判定方法（HL）及其应用。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用直角三角形全等的判定方法解决问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教案：准备详细的教学教案，明确教学目标、教学重难点、教学方法等。
2.课件：制作课件，辅助讲解直角三角形全等的判定方法（HL）。
3.案例题库：准备一定数量的直角三角形全等案例，用于课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件引入直角三角形全等的判定方法（HL），引导学生回顾三角形全等的性质和判定方法。
2.呈现（10分钟）讲解直角三角形全等的判定方法（HL），并结合实例进行解释，让学生明确判定方法的应用。
3.操练（10分钟）出示一组直角三角形全等的案例，让学生运用所学判定方法进行判断，并及时给予反馈和讲解。
4.巩固（10分钟）出示一组难度较高的直角三角形全等案例，让学生独立判断，并在小组内进行讨论，引导学生总结判定方法的应用。
直角三角形全等的判定(HL)
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
直角三角 形全等的 S.A.S. 判定
A.S.A.
A.A.S.
H.L.
思考
1. 任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 2. 任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 或 HL 3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？ 不一定全等
B B`
A
C
A`
C`
动动手 画一画
画一个Rt△ABC, 使∠C=90°, 一直角边
CA=4cm, 斜边AB=5cm.
1:画线段CA=4cm; 2:画∠ACN=90°;
把你画的三角形与 邻座同学对照一下 你有什么发现？
N B B
3:以A为圆心，5cm为半径画弧， 交射线CN于B;
4:连结AB;
AA
4cm 4cm
任意两个三角形取3组对应的元素，如果有 边角边 或 角边角 或 角角边 或 边边边 分 别对应相等，那么这两个三角形一定全等。
Ａ Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｂ'
Ｃ'
如果是 角角角 或 边边角 也对应相等，但不能
判断这两个三角形全等。
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角 边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等 的条件，此时这两个直角三角形能否全等？
课本练习
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC, 点E、F为垂足， DE=DF, A 求证：△BED≌△CFD.
E F D
B
C
课本练习
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D＝90º ，
求证：BC=BD.
A
C
直角三角形全等的判定方法hl证明
直角三角形全等的判定方法hl证明嘿，咱今天就来好好唠唠直角三角形全等的判定方法 HL 证明。
你说这直角三角形啊，就像是一个特别的小团队，它们有着自己独特的规则和特点呢。
HL 证明呢，就好像是一把神奇的钥匙，能打开直角三角形全等的大门。
咱先想想，两个直角三角形，它们有一条直角边相等，斜边也相等，那这俩三角形不就全等了嘛！这就好比是两个人，都有一条一样长的腿，然后身子的长度也一样，那这俩人不就是一模一样的嘛。
你可能会问啦，为啥有了这两条边相等就能说它们全等呢？嘿嘿，这就得好好琢磨琢磨啦。
你看啊，直角三角形本身就有个直角在那摆着呢，这可是个重要的标志呀。
有了这个直角，再加上那相等的直角边和斜边，就像是给这个三角形定了型一样，其他的边和角也就都确定啦。
咱可以想象一下，有两个直角三角形，它们就像是两个形状特别的积木，当它们的那条直角边和斜边能完美重合的时候，那不就说明它们是一样的嘛。
这 HL 证明啊，就是让我们能准确地判断出这两个积木是不是同一个。
你说这数学世界多奇妙呀，就这么几条边几个角的事儿，就能有这么多有趣的发现和证明。
这 HL 证明就像是在直角三角形的世界里点亮了一盏明灯，让我们能更清楚地看清它们的模样。
而且啊，这HL 证明在实际生活中也有用呢。
比如说盖房子的时候，工人们要保证一些结构是完全一样的，这时候不就可以用 HL 证明来判断嘛。
或者是做一些模型的时候，也得保证各个部分全等呀，这 HL 证明就能派上大用场啦。
你再想想，如果没有这个 HL 证明，那我们怎么能确定两个直角三角形是不是全等呢？那可就麻烦啦，得去一点点量其他的边和角，多费劲呀。
但是有了 HL 证明，一下子就简单明了啦。
总之呢，直角三角形全等的判定方法 HL 证明可真是个好东西呀，它让我们能更轻松地理解和掌握直角三角形的奥秘。
怎么样，是不是觉得挺有意思的呀？下次再看到直角三角形，可别忘了 HL 证明哦！。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
数学北师大版八年级下册直角三角形全等的“HL”的判定定理
第一章三角形的证明2．直角三角形全等的“HL”的判定定理希望学校吕淑霞一、学情分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。
二、教学任务分析本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。
在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
因此本节课的教学目标定位为：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。
1：复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。
那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．要求学生完成，一位学生的过程如下：已知：在△ABC 中， AB=AC ．求证：∠B=∠C ．证明：过A 作AD ⊥BC ，垂足为C ，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD ．∴∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。
质疑点在于“在证明△ABD ≌△ACD 时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD 和△ABC 中，AB=AB ，∠B=∠B ，AC=AD ，但△ABD 与△ABC 不全等)” ．也有学生认同上述的证明。
直角三角形(2)全等的判定hl
• 勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为 c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.. • 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那 么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题 称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 逆命题. 一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假 命题?
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
一个定理的逆命题是真命题还是假命题？,
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
练习:1判断
1每个命题都有逆命题.
2每个定理都有逆命题.
7两角对应相等,且有一条公共边两个直角三角形 全等.
回味无穷
• 直角三角形全等的判定定理:
定理:HL.
公理:SSS. SAS ASA
推论:AAS.
• 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应
B M P
E B'
C N D F
4 1 3 2
A
△AEF是等边三角形
勾股定理应用:
D 1 A' C
如图,折叠矩形纸片ABCD.先折 对角线BD,再使AD与DB重合得 折痕DG ,AB=2,BC=1,求AG的长.
1
A
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生树立正确的数学学习信念。
3.培养学生具有良好的数学学习习惯和态度，提高学生的数学素养。
在教学过程中，我将注重营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感中学习数学。同时，我将积极引导学生在学习过程中体验数学的乐趣，让学生感受数学的美妙。对于学生在学习过程中取得的成果，我将及时给予表扬和鼓励，增强学生学习数学的信心。对于学生在学习过程中遇到的困难，我将给予关心和支持，帮助学生克服困难，使学生体验到数学学习的成就感。
3.操作情境：让学生动手操作几何模型，如拼组直角三角形，让学生在操作过程中感受直角三角形全等的问题，提高学生的实践能力。
在教学过程中，我将注重创设丰富的情景，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂学习。通过生活情境的展示，让学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，我将设计具有挑战性的问题，激发学生的思考，引导学生深入探讨直角三角形全等的问题，提高学生的逻辑思维能力。此外，通过操作情境的创设，让学生动手实践，提高学生的动手操作能力和实践能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解HL定理的含义，掌握HL定理的判定方法，能够运用HL定理判断两个直角三角形是否全等。
2.能够运用HL定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.通过对HL定理的学习，使学生能够进一步理解三角形全等的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
在教学过程中，我将以生动的实例引入HL定理，通过引导学生观察、分析和归纳，使学生理解和掌握HL定理。同时，我将设计丰富的练习题，让学生在实践中运用HL定理，提高学生的应用能力。对于学生在运用HL定理过程中遇到的问题，我将进行及时的指导和解答，帮助学生克服困难，提高学生的学习效果。
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海纳百川，有容乃大
一、概念 能够_完__全__重__合__的两个三角形叫做全等三角形. 二、性质 全等三角形的对应边_相__等__,对应角_相__等__.
三、判定定理 1.三边分别_相__等__的两个三角形全等(简写成“边边 边”或“_S_S_S_”). 2.两边和它们的夹角分别_相__等__的两个三角形全等(简 写成“边角边”或“_S_A_S_”). 3.两角和它们的夹边分别_相__等__的两个三角形全等(简 写成“角边角”或“_A_S_A_”). 4.两角和其中一个角的对边分别_相__等__的两个三角形 全等(简写成“角角边”或“_A_A_S_”).
用SAS判定△ABC≌△DEC.
【自主解答】添加条件是:AB=DE.
在△ABC与△DEC中, AC DC， BC EC， AB DE，
∴△ABC≌△DEC.
答案:AB=DE或∠ACB=∠DCE(或∠ACD=∠BCE),答案不唯一
命题角度2:结论的开放与探索 【示范题3】(2017·武汉中考)如图,点C,F,E,B在一条直线 上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论. 【思路点拨】先根据已知条件判定△AEB≌△DFC,再利用全等三角形的性质得对 应角相等、对应边相等进行判断.
【自主解答】(1)∵AE和BD相交于点O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中, ∠A=∠B,∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中, A B， AE BE， AEC BED， ∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED, ∴EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中, ∵EC=ED,∠1=42°, ∴∠C=∠EDC=69°, ∴∠BDE=∠C=69°.
【答题关键指导】
判定两个三角形全等的思路
已知两边
已知一 边一角
边为角的 对边
边为角 的邻边
已知两角
找夹角(SAS) 找直角(HL) 找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
找夹边的另一角(ASA) 找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS) 找夹边(ASA)
找任意一对边(AAS)
【变式训练】 1.(2017·黄冈中考)已知:如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN, AD=AM. 求证:∠B=∠ANM. 【证明】∵∠BAC=∠DAM, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC.即∠BAD=∠NAM. 在△ABD和△ANM中,
AB AN, BAD NAM, AD AM, ∴△ABD≌△ANM(SAS), ∴∠B=∠ANM.
2.(2017·南充中考)如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是E,F,DE=CF,AE=BF. 求证:AC∥BD.
【证明】∵AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE. ∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠AFC=∠BED=90°. 在△AFC和△BED中,
5.斜边和一条直角边分别_相__等__的两个直角三角形全
等(简写成“斜边、直角边”或“_H_L_”).
四、角平分线的性质与判定 1.性质:角平分线上的点到角两边的_距__离__相等. 2.判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这 个角的_平__分__线__上.
考点一 全等三角形的性质和判定的综合应用 【示范题1】(2017·苏州中考)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边 上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O. (1)求证:△AEC≌△BED. (2)若∠1=42°,求∠BDE的度数. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED. (2)由(1)可知:EC=ED,∠C=∠BDE,根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数, 从而可求出∠BDE的度数.
AF BE, AFC BED, CF DE,
∴△AFC≌△BED(SAS). ∴∠A=∠B.∴AC∥BD.
考点二 全等三角形的开放性问题 【考情分析】全等三角形的开放性问题在各地中考中 都是热点,这类题常以基础知识为背景设计而成,考查 解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力.各 种题型均有涉及.
命题角度1:条件的开放与探索
【示范题2】(2017·怀化中考)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条
件:_______,使得△ABC≌△DEC. 【思路点拨】要判定△ABC≌△DEC,已知AC=DC,BC=EC,具备了两组边CE(或∠ACD=∠BCE),利
∵在△ABC和△DEF中,
A EDF， AB DE， ABC E，
∴△ABC≌△DEF, 同理,BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF. 答案:AB=DE或BC=EF或AC=DF均可,答案不唯一
A D， ACB DFE, BC EF，
∴△ABC≌△DEF(AAS). 答案:∠A=∠D(答案不唯一)
2.(2017·黑龙江中考)如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件________,使得 △ABC≌△DEF.
【解析】添加AB=DE.∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E, ∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF,
【变式训练】 1.(2017·黔东南州中考)如图,点B,F,C,E在一条直线上,已知FB=CE,AC∥DF,请你添 加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF. 【解析】添加∠A=∠D.理由如下: ∵FB=CE,∴BC=EF. 又∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.
∴在△ABC与△DEF中,
【自主解答】CD∥AB,CD=AB, 理由:∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,∴CF=BE, 在△AEB和△CFD中, CF=BE,∠CFD=∠BEA,DF=AE, ∴△AEB≌△DFC(SAS), ∴CD=AB,∠C=∠B,∴CD∥AB.
【答题关键指导】 巧用图形条件 判定全等三角形时,一定要注意利用图形中的条件: (1)公共角→两个三角形分别相等的角. (2)对顶角→两个三角形分别相等的角. (3)公共边或相等的线段→两个三角形分别相等的边.