大学物理A习题答案

班级 学号 姓名第1章 质点运动学1-1 已知质点的运动方程为36t te e -=++r i j k 。

(1)求：自t =0至t =1质点的位移。

(2)求质点的轨迹方程。

解：(1) ()k j i 0r ρρρρ63++= ()k j e i e 1r -1ρρρρ63++= 质点的位移为()j e i e r ρρρ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=331∆(2) 由运动方程有t x e =，t y -=e 3， 6=z 消t 得 轨迹方程为 3=xy 且6=z1-2运动质点在某瞬时位于矢径()y x,r 的端点处，其速度的大小为 [ D ] (A)dt dr (B)dt d r(C)dt d r (D)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dy dt dx1-3如图所示，堤岸距离湖面的竖直高度为h ，有人用绳绕过岸边的定滑轮拉湖中的小船向岸边运动。

设人以匀速率v 0收绳，绳不可伸长且湖水静止。

求：小船在离岸边的距离为s 时，小船的速率为多大？(忽略滑轮及船的大小)解：如图所示，在直角坐标系xOy 中，t 时刻船离岸边的距离为s x =，船的位置矢量可表示为()j i r ϖϖϖh x -+=船的速度为 i i r v ϖϖϖϖv dt dx dt d ===其中 22h r x -=所以 ()dt drhr r h r dt d dt dx v 2222-=-==因绳子的长度随时间变短，所以 0v dtdr-= 则 船的速度为i i v 022220ϖϖϖv s h s hr rv +-=--= 所以 船的速率为 022v sh s v +=1-4已知质点的运动方程为()()k j i r 5sin cos ++=ωt R ωt R (SI)。

求：(1)质点在任意时刻的速度和加速度。

(2)质点的轨迹方程。

解：(1)由速度的定义得()()j cos i sin ϖϖϖρωt ωR ωt ωR dtr d v +-==由加速度的定义得()()j sin cos 22ϖϖϖϖωt R ωi t R ωdtv d a --==ω(2) 由运动方程有 ωt R x cos =，ωt R y sin =，5=z 消t 得 质点的轨迹方程为 222R y x =+且5=z1-5 一质点在平面上运动，已知质点的运动方程为j i r 2235t t +=，则该质点所作运动为 [ B ](A) 匀速直线运动 (B) 匀变速直线运动 (C) 抛体运动 (D) 一般的曲线运动1-6 一质点沿Ox ?轴运动，坐标与时间之间的关系为t t x 233-=(SI)。

则质点在4s 末的瞬时速度为 142m·s -1 ，瞬时加速度为 72m·s -2 ；1s 末到4s 末的位移为 183m ，平均速度为 61m·s -1 ，平均加速度为 45m·s -2。

解题提示：瞬时速度计算dt dxv =，瞬时加速度计算22dtx d a =；位移为()()14x x x -=∆，平均速度为()()1414--=x x v ，平均加速度为 ()()1414--=v v a 1-7 已知质点沿Ox?轴作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t a x 3=2s m -⋅。

在t =0时，0=x v ，10=x m 。

求：(1)质点在时刻t 的速度。

(2)质点的运动方程。

解：(1) 由dtdv a xx =得 dt a dv x x =两边同时积分，并将初始条件t =0时，0=x v 带入积分方程，有⎰⎰⎰==t tx v x tdt dt a dv x3解得质点在时刻t 的速度为 223t v x =(2) 由dtdx v x =得 dt v dx x =两边同时积分，并将初始条件t =0时，10=x m 带入积分方程，有⎰⎰⎰==ttx xdt t dt v dx 021023 解得质点的运动方程为 32110t x +=1-8 一物体从空中由静止下落，已知物体下落的加速度与速率之间的关系为Bv A a -=(A ,B 为常数)。

求：物体的速度和运动方程。

解：（1）设物体静止时的位置为坐标原点，向下为y 轴正方向，则t =0时, v =0, y =0。

由dtv d a ϖϖ=得()dt Bv A adt dv -==整理得dt dv BvA =-1对方程两边同时积分，并将初始条件带入积分方程，有⎰⎰=-t vdt dv BvA 001解得物体的速率为 ()Bt BAv --=e 1 ，方向竖直向下 （2）由dtdy v =得 ()dt BAdy Bt --=e 1 对方程两边同时积分，并将初始条件带入积分方程，有()⎰⎰--=tBt ydt BAdy 0e 1 解得物体的运动方程为 ()1e 2-+=-Bt BAt B A y1-9一质点作半径r =5m 的圆周运动，其在自然坐标系中的运动方程为2212t t s +=(SI)，求：t 为何值时，质点的切向加速度和法向加速度大小相等。

解：由运动方程得t dtdsv +==2 质点的切向加速度为 1==dtdv a t 质点的法向加速度为 ()5222t r v a n +== 当两者相等时，有()1522=+t解得时间t 的值为 )25(-=t s1-10 质点做半径为1m 的圆周运动，其角位置满足关系式325t θ+=(SI)。

t =1s 时，质点的切向加速度 12m·s -2 ，法向加速度 36m·s -2 ，总加速度 ·s -2 。

解：由运动方程325t θ+=得 角速度为12s 6-==t dt d θω ， 角加速度为2s 12-==t dtd ωα t 时刻，质点的切向加速度的大小为t t R a t 12112=⨯==α2s m -⋅ 质点的法向加速度的大小为()42223616t t R ωa n =⨯==2s m -⋅ 质点的总加速度的大小为 ()()242223612t t a a a n t +=+=2s m -⋅将t =1s 代入上面方程，即可得到上面的答案。

班级 学号 姓名第2章 质点动力学2-1 质量为m 的质点沿Ox 轴方向运动，其运动方程为ωt A x sin =。

式中A 、ω均为正的常数，t 为时间变量，则该质点所受的合外力F 为 [ C ](A) x ωF 2= (B) m ωF -=x (C) x m ωF 2-= (D) x m ωF 2=解：因为 x t A dtx d a 2222sin ωωω-=-== 所以 x m ωma F 2-==2-2 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。

则物体加速度的大小为a = ，物体与水平面间的摩擦系数为μ= 。

解：设运动方向为正方向，由as v v 2202t =-得sv a 22-= (1)所以 加速度的大小为 sv a 22=因摩擦力是物体运动的合外力，所以ma mg N =-=-μμ将(1)式带入上式，得gsv 22=μ2-3如图所示，两个物体A 、B 的质量均为m =3kg ，物体A 向下运动的加速度1=a 2s m -⋅。

求物体B 与桌面间的摩擦力。

（绳的质量不计，且不可伸长）解：选地面为惯性参照系，采用隔离法对两物体进行受力分析，如图所示。

因绳质量不计，所以绳中各点张力处处相等。

根据牛顿第二定律，有B ma f T =- （1） A A ma T P =-2 （2）其中，mg P P B A ==。

两个物体A 、B 间坐标的关系为B A x y =2对上式求时间t 的二次导数，得B A a a =2 （3）将3个方程联立，可得7.2N =f2-4 一根长为l =的轻绳，一端固定在天花板上，另一端系一质量为m 的重物，如图所示。

重物经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，转速n =11s r -⋅。

这种装置叫作圆锥摆。

求这时绳和竖直方向所成的角度。

解：选地面为惯性参照系，对重物进行受力分析，重物受到绳子的拉力T 和重力()g P m =，如图所示。

重物作匀速圆周运动，加速度为向心加速度。

建立如图所示坐标系，根据牛顿第二定律，有 竖直方向： mg T =θcos （1） 水平方向： 2sin ωθmr T = （2） 由图可知，圆的半径θsin l r =，重物在圆周上运动的角速度大小为n πω2= （3）将上面三个方程联立，可得49704cos 22.ln g==πθ 查表得3160'︒=θ由此题可知，物体的转速n 越大，θ 越大，与重物的质量无关。

2-5 A 、B 两质点的质量关系为B A m m >，同时受到相等的冲量作用，则[ D ](A) A 比B 的动量增量少 (B) A 与B 的动能增量相等 (C) A 比B 的动量增量大 (D) A 与B 的动量增量相等提示：动量定理：合外力的冲量等于动量的增量。

2-6如图所示，一质量为、速率为101s m -⋅的小球，以与竖直墙面法线成︒45角的方向撞击在墙上，并以相同的速率和角度弹回。

已知球与墙面的碰撞时间为。

求在此碰撞时间内墙面受到的平均冲力。

解：按照图中所选坐标，1v 和2v 均在x 、y 平面内，由动量定理，小球在碰撞过程中所受的冲量为x x x mv mv t F 12-=∆y y y mv mv t F 12-=∆其中，θv v x cos 1-=，θv v x cos 2=，θv v y sin 1=，θv v y sin 2=。

即 θmv t F x cos 2=∆，0=y F 所以，小球受到的平均冲力为t mv F F x ∆θcos 2== 设F '为小球对墙面的平均冲力，根据牛顿第三定律，可知tmv F F ∆θcos 2-=-='= ? 即 墙面受到的平均冲力大小为，方向沿x 轴负向。

2-7 质量为2kg 的物体，在变力F (x )的作用下，从0=x 处由静止开始沿x 方向运动，已知变力F (x )与x 之间的关系为()⎪⎩⎪⎨⎧-=x xx F 230102 ()()()151010550≤≤≤≤≤≤x x x式中，x 的单位为m ，F (x )的单位为N 。

求：(1) 物体由0=x 处分别运动到5=x ，10，15m 的过程中，力F (x )所做的功各是多少？(2) 物体在5=x ，10，15m 处的速率各是多少？解：(1) 根据功的定义⎰•=21r F r r d W ϖϖ，得 x =5时，有 25255==⎰xdx W Jx =10时，有 7550251021055010=+=+=⎰⎰dx xdx W Jx =15时，有()1002575230151010515=+=-++=⎰dx x W W W J(2)根据动能定理k 21r E F W r r d ∆==⎰•ϖϖ，得021255-=mv W 所以，物体在x =5m 处的速率 -15s m 5⋅=v02121010-=mv W 所以，物体在x =10m 处的速率 -110s m 66.8⋅=v02121515-=mv W 所以，物体在x =15m 处的速率 -115s m 10⋅=vm2-8 如图所示，劲度系数1000=k 1m N -⋅的轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端悬挂一质量为m = 2 kg 的物体，并用手托着物体使弹簧无伸长。