2018年山东省烟台市中考数学试卷(含答案与解析)

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绝密★启用前
山东省烟台市2018年初中学业水平考试
数 学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.1
3
-的倒数是
（ ）
A.3
B.3-
C.1
3
D.13
-
2.在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
（ ）
A
B
C
D
3.2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二，82.7万亿用科学记数法表示为
（ ）
A.140.82710⨯
B.1282.710⨯
C.138.2710⨯
D.148.2710⨯
4.由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙.如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为
（ ）
A.9
B.11
C.14
D.18
5.
哪支仪仗队的身高更为整齐？ （ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
6.下列说法正确的是
（ ） A.367人中至少有2人生日相同
B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是13
C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖 7.利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示
结果记为a ，的显示结果记为b .则a ，b 的大小关系为
（ ）
A.a b ＜
B.a b ＞
C.a b =
D.不能比较
8.如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n 个图形中有120朵玫瑰花，则n 的值为（ ）
A.28
B.29
C.30
D.31
9.对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B '两点重合，MN 是折痕.若'1B M =，则CN 的长为 （ ）
A.7
B.6
C.5
D.4
10.如图，四边形ABCD 内接于O ，点I 是ABC △的内心，124AIC ∠=︒，点E 在AD
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------效
----------------
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的延长线上，则CDE ∠的度数为
（ ）
A.56°
B.62°
C.68°
D.78°
11.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点1,0A （-），3,0B （）.有下列结论：
①20a b -=；②
2
2a c b +（）＜；③当13x -＜＜时，0y ＜；④当1a =时，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到抛物线2
22y x =
-（）-.其中正确的是 （ ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
12.如图，矩形ABCD 中，8cm AB =，6cm BC =，点P 从点A 出发，以cm/s l 的速度沿A→D→C 方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A→B→C 方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止.设运动时间为
s t （），APQ △的面积为2cm S （），下列能大致反映S 与t 之
间函数关系的图象是
（ ）
A
B
C
D
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)
13.
3.14tan60π-+︒=（） .
与最简二次根式a = .
15.如图，反比例函数k
y x
=
的图象经过ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD DC ⊥，ABCD 的面积为6，则k = .
16.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为
.
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17.已知关于x 的一元二次方程2410x x m +-=-的实数根1x ，2x ，满足121232x x x x --＞，则m 的取值范围是 .
18.如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，点M 为AF 中点，以点O 为圆心，以OM
的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ，把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为1r ；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为2r ，则
12:r r = .
三、解答题(本大题共9小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.先化简，再求值：2221
(1)244
x x x x x +++÷--+，其中x 满足2250x x -=-.
20.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“ ”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支
付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
21.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事
故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速.在l 外取一点P ，作P C l ⊥，垂足为点C .测得30
PC =米，71APC ∠=︒，35BPC ∠=︒.上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你
用所学的数学知识说明该车是否超速.（参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈，sin710.95︒≈，cos710.33︒≈，tan71 2.90︒≈）
22.为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A ，B 两种不同款型，其中A 型车单价400元，B 型车单价320元.
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动投放A ，B 两种款型的单车共100辆，总价值36 800元.试问本次试点投放的A 型车与B 型车各多少辆？ （2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A ，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184
万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A 型车与B 型车各多少辆？
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
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23.如图，已知D ，E 分别为ABC △的边AB ，BC 上两点，点A ，C ，E 在⊙D 上，点B ，D 在⊙E 上.F 为
上一点，连接FE 并延长交AC 的延长线于点N ，交AB 于点M .
（1）若EBD ∠为α，请将CAD ∠用含α 的代数式表示；
（2）若EM M B =，请说明当CAD ∠为多少度时，直线EF 为⊙D 的切线；
（3）在（2
）的条件下，若AD ，求MN
MF
的值.
24.【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA =，
2PB =，3PC =.你能求出APB ∠的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得到BP A '△，连接PP '，求出APB ∠的度数；
思路二：将APB △绕点B 顺时针旋转90°，得到'CP B △，连接PP '，求出APB ∠的度数.
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】
如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA =，1PB =
，PC =，求APB ∠的度数.
25.如图1，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于4,0A （-），10B （,）两点，过点B 的直线
2
+3
y kx =分别与y 轴及抛物线交于点C ，D .
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PDC △为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；
（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使D
M M N +的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由.
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山东省烟台市2018年初中学业水平考试
数学答案解析
一、选择题 1．【答案】B
【解析】解：1
3
-的倒数是3-，故选：B ．
【考点】倒数 2．【答案】C
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，
也是中心对称图形，故此选项错误；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C ． 【考点】中心对称图形、轴对称图形 3．【答案】C
【解析】解：82.7万亿138.2710=⨯，故选：C ． 【考点】科学记数法 4．【答案】B
【解析】解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面
积为44311++=，故选：B ． 【考点】几何体的表面积 5．【答案】D
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小， ∴丁仪仗队的身高更为整齐，故选：D ． 【考点】方差 6．【答案】A
【解析】解：A.367人中至少有2人生日相同，正确；B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出
的点数是偶数的概率是1
2
，错误；C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不
一定会下雨，错误；D.某种彩票中奖的概率是1%，则买
100张彩票不一定有1张中奖，错误；故选：A ．
【考点】概率 7．【答案】B
【解析】解：由计算器知4
(sin30)16a =︒=﹣、2
6=123
b =，∴a b ＞，故选：B ．
【考点】计算器的使用 8．【答案】C
【解析】解：由图可得，第n 个图形有玫瑰花：4n ， 令4120n =，得30n =，故选：C ． 【考点】探索规律 9．【答案】D
【解析】解：连接AC 、BD ，如图， ∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点， ∴132OC AC =
=，1
42
OD BD ==，90COD =︒∠， 在Rt COD △中，CD ， ∵AB CD ∥， ∴MBO NDO ∠=∠， 在OBM △和ODN △中
MBO NDO
OB OD
OBM DON =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠， ∴OBM ODN △≌△， ∴DN BM =，
∵过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕， ∴'1BM B M ==， ∴1DN =，
∴514CN CD DN ===--． 故选：D ．
【考点】菱形的性质、折叠的性质、勾用定理、全等三角形的性质与判定
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10．【答案】C
【解析】解：∵点I 是ABC △的内心， ∴2BAC IAC ∠=∠、2ACB ICA ∠=∠， ∵124AIC ∠=︒，
∴180B BAC ACB ∠=︒-∠+∠()
1802IAC ICA =︒∠+∠-() 1802180AIC =︒-︒∠(-)
68=︒，
又四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴68CDE B ∠=∠=︒， 故选：C ．
【考点】三角形内心的性质、圆内接四边形的性质 11．【答案】D
【解析】解：①图象与x 轴交于点(10)A -,
，30B (,)， ∴二次函数的图象的对称轴为13
12
x -+== ∴12b
a
-
= ∴20a b +=，故①错误； ②令1x =-， ∴0y a b c =+=-， ∴a c b +=，
∴22
a c
b +=()，故②错误；
③由图可知：当13x -＜＜时，0y ＜，故③正确；
④当1a =时，
∴21314y x x x =+=--()(-)()
将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位， 得到抛物线22114222y x x =--+=()-(-)-，故④正确；
故选：D ．
【考点】二次函数图象的性质及图象的平移 12．【答案】A
【解析】解：由题意得：AP t =，2AQ t =，
①当04t ≤≤时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，
21=21
•22
APQ S AP AQ t t t ==V g g ，
故选项C 、D 不正确；
②当46t ＜≤时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，
118422
APQ S AP AB t t =
==V g g ， 故选项B 不正确； 故选：A ．
【考点】利用几何图形的等量关系确定函数的图象 二、填空题 13．
【答案】
【解析】解：原式
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故答案为：
【考点】实数的运算、特殊角的三角函数值 14．【答案】2
与最简二次根式
， ∴13a +=，解得：2a =． 故答案为2．
【考点】二次根式的化简、同类二次根式的定义 15．【答案】3-
【解析】解：过点P 做PE y ⊥轴于点E
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB CD = 又∵BD x ⊥轴 ∴ABDO 为矩形 ∴AB DO =
∴6ABCD ABDO S S ==Y 矩形 ∵P 为对角线交点，PE y ⊥轴 ∴四边形PDOE 为矩形面积为3 即3DO EO =g ∴设P 点坐标为,x y ()
3k xy ==-
故答案为：3-.
【考点】平行四边形的性质、矩形的性质与判定以、反比例函数与几何图形的关系 16．【答案】1,2-(-)
【解析】解：连接CB ，作CB 的垂直平分线，如图所示：
在CB 的垂直平分线上找到一点D ，
=CD DB DA =，
所以D 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心，
即D 的坐标为1,2(--)， 故答案为：1,2(--).
【考点】过三个点的圆的圆心就是三角形的外心、三角形外心的性质、勾股定理 17．【答案】35m ＜≤
【解析】解：依题意得：2(4)4(m 1)0
3(m 1)42⎧---⎨⨯--⎩
≥＞，
解得35m ＜≤． 故答案是：35m ＜≤．
【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系 18．
2 【解析】解：连OA
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由已知，M 为AF 中点，则OM AF ⊥ ∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴30AOM ∠=︒ 设AM a =
∴2AB AO a ==
，OM ∵正六边形中心角为60° ∴120MON ∠=︒ ∴扇形MON
a =
则1r =
同理：扇形DEF 的弧长为：12024
1803
a a =g g ππ
则22
3
r a =
122r r :
2.
【考点】正多边形的性质、扇形的弧长公式、扇形和圆锥展开图之间的关系 三、解析题
19．【答案】解： 22
2222(2)21(1)(2)21(2)
2x x x x x x x x x x x x x x
-++-=-++-=-+=-=-原式g
g ， 由2250x x -=-，得到225x x =-，
则原式5=
20．【答案】（1）200 81° （2）微信
（3）13
【解析】解：（1）本次活动调查的总人数为455015115%30%200++÷-=()(-)人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为45
360=81200
︒⨯︒， 故答案为：200、81°；
（2）微信人数为20030%60⨯=人，银行卡人数为20015%30⨯=人， 补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为：微信；
（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ， 画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为31
=93
．
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21．【答案】解：在Rt APC △中，tan 30tan 7130 2.9087AC PC APC =∠=︒≈⨯=， 在Rt APC △中，tan 30tan 35300.7021BC PC BPC =∠=︒≈⨯=， 则872166AB AC BC =-==-， ∴该汽车的实际速度为
16
6
s 61m/=， 又∵40km/h 11.1m/s ≈， ∴该车没有超速．
22．【答案】解：（1）设本次试点投放的A 型车x 辆、B 型车y 辆， 根据题意，得：100
40032036800x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
解得：60
40x y =⎧⎨=⎩
，
答：本次试点投放的A 型车60辆、B 型车40辆； （2）由（1）知A 、B 型车辆的数量比为3：2，
设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆、B 型车2a 辆， 根据题意，得：340023201840000a a ⨯+⨯≥， 解得：1000a ≥，
即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3000辆、B 型车至少2000辆， 则城区10万人口平均每100人至少享有A 型车100
3000=3100000
⨯
辆、至少享有B 型车
100
2000=2100000
⨯
辆．
23．【答案】解：（1）连接CD 、DE ，⊙E 中，∵ED EB =， ∴EDB EBD α∠=∠=，
∴2CED EDB EBD α∠=∠+∠=， ⊙D 中，∵DC DE AD ==，
∴2CAD ACD DCE DEC α∠=∠∠=∠=，，
ACB △中，180CAD ACD DCE EBD ∠+∠+∠+∠=︒，
∴180339022
CAD αα
︒-∠=
=︒-
； （2）设MBE x ∠=，
∵EM M B =，
∴EMB MBE x ∠=∠=，
当EF 为⊙D 的切线时，90DEF ∠=︒， ∴90CED MEB ∠+∠=︒， ∴90CED DCE x ∠=∠=︒-，
ACB △中，同理得，180CAD ACD DCE EBD ∠+∠+∠+∠=︒，
∴218090CAD ∠=︒︒-， ∴45CAD ∠=︒；
（3）由（2）得：45CAD ∠=︒； 由（1）得：18032
MBE
CAD ︒-∠∠=；
∴30MBE ∠=︒，
∴260CED MBE ∠=∠=︒， ∵CD DE =，
∴CDE △是等边三角形，
∴CD CE DE EF AD ==== Rt DEM △中，30EDM ∠=︒
，DE
∴1EM =
，1MF EF EM ==-， ACB △中，453075NCB ∠=︒+︒=︒， CNE △中，30CEN BEF ∠=∠=︒，
∴75CNE ∠=︒， ∴75CNE NCB ∠=∠=︒，
∴EN CE =
∴
2MN NE EM MF MF +===+．
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24．【答案】解：（1）思路一、如图1，
将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得到BP A '△，连接PP '， ∴'ABP CBP △≌△，
∴'90PBP ∠=︒，'2BP BP ==，'3AP CP ==， 在Rt 'PBP △中，'2BP BP ==，
∴'45BPP ∠=︒
，根据勾股定理得，'PP =， ∵1AP =，
∴22'189AP PP +=+=， ∵22'39AP ==， ∴222''AP PP AP +=，
∴'APP △是直角三角形，且'90APP ∠=︒， ∴''9045135APB APP BPP ∠=∠+∠=︒+︒=︒； 思路二、同思路一的方法； （2）如图2，
将BPC △绕点B 逆时针旋转90︒，得到BP A 'V ，连接PP '， ∴'ABP CBP △≌△，
∴'90PBP ∠=︒，'1BP BP ==
，'AP CP == 在Rt 'PBP V 中，'1BP BP ==，
∴'45BPP ∠=︒
，根据勾股定理得，'PP = ∵3AP =，
∴22'9211AP PP +=+=，
∵22'11AP ==， ∴2
2
2
''AP PP AP +=，
∴'APP △是直角三角形，且'90APP ∠=︒， ∴''904545APB APP BPP ∠=∠-∠=︒︒=︒-．
25．【答案】解：（1）把4,0A
(-)，(1,0)B 代入22y ax x c =++，得 168=0
20a c a c -+⎧⎨
++=⎩
， 解得：23
83a c ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
∴抛物线解析式为：228
233y x x =+-， ∵过点B 的直线23
y kx =+
， ∴代入1,0()，得：2
3k =-，
∴BD 解析式为22
33
y x =-+；
（2）由228233
2233y x x y x ⎧
=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
得交点坐标为5,4D (-)，
如图1，过D 作DE x ⊥轴于点E ，作DF y ⊥轴于点F ，
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当11PD PC ⊥时，1PDC V 为直角三角形， 则11DEP POC △∽△， ∴
DE PE
PO OC
=
，即4523
t t -=，
解得t =
当2P D DC ⊥于点D 时，2P DC V 为直角三角形 由2P DB DEB △∽△得2P B
DB EB DB
=
，
=， 解得：233
t =
； 当3PC DC ⊥时，3DFC COP △∽△， ∴3DF CF
OC P O
=
，即10
53=23
t ， 解得：49
t =
， ∴t 的值为49
、23
3
．
（3）由已知直线EF 解析式为：210
33
y x =--，
在抛物线上取点D 的对称点D′，过点D′作D N EF '⊥于点N ，交抛物线对称轴于点M
过点N 作NH DD ⊥'于点H ，此时，DM MN D N +='最小． 则EOF NHD '△∽△
设点N 坐标为210
,a 3()3
a --，
∴'OE OF
NH HD =
，即10
5321024(a )33
a =----， 解得：2a =-，
则N 点坐标为2,2--()， 求得直线ND′的解析式为3
12
y x =
+， 当3
2x =-时，54y =-，
∴M 点坐标为35
(,)24
--，
此时，DM MN +。