山东省青岛市2020年中考数学试题(解析版)
2020年青岛市中考数学试卷(含答案)
数学试题
（考试时间：120分钟;满分：120分）
说明：
1 .本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题.第1卷为选择题，共8小题，24分； 第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分.
2・所有题ห้องสมุดไป่ตู้均在答题卡上作答，在试题上作答无效・
•・■
第
选择题（本大题共8小题,每小题3分■共24分）
B. 2.2χl(Γ"
C. 0.22x10"
4.如图所示的几何体，氏俯视图是
5. 如图.^^ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°•得到∆A,B,C,贝IJ点A的对应点A,的坐标是
6.
&已知在同-也角坐标系中，二次函数y = ax2^bx和反比例函数尸£的图象如图所示,
第
二■填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16.（本题每小题4分.共8分）
19.(本小题满分6分)
20. 某校为调杏学牛对海洋科普知识的了解情况.从全校学牛屮随机抽取"名学牛进行测试. 测试成绩进行整理后分成五组・并绘制成如下的频数宜方图和⅛l形统计图.
的艮巨离为
14.如图，在△川?C屮，O为〃C边上的一点.以O为圆心的半圆分別与AB .MC相切于
点M,N.已知ZB4C = 1200,ABA-AC≈∖6, 莎的长为兀，则图中阴影部分的面积 为.
三.作图题（本大题满分4分）
请用直尺■圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹・
Li知：LABC.
求作：OO,使它经过点〃和点C,并且恻心O在ZM的平分线上.
1.-4的绝対值是
2020年山东青岛中考数学试卷(解析版)
2020年山东青岛中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.的绝对值是（ ）．A. B. C. D.2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ）．A. B. C. D.3.年月日，中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．纳米米，将用科学记数法表示为（ ）．A.B.C.D.4.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）．A.B.C.D.5.如图，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）．A.B.C.D.6.如图，是⊙的直径，点，在⊙上，，交于点．若，则的度数为（ ）．A.B.C.D.7.如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点．若，，则的长为（ ）．A.B.C.D.8.已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）．xyOA.xyOB.xyOC.xyOD.xyO二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.计算：．10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么 将被录用 （填甲或乙）．应聘者项目甲乙学历经验工作态度11.如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为，的面积为，若点也在此函数的图象上，则 ．xyO12.抛物线（为常数）与轴交点的个数是 ．13.如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，，则点到的距离为 ．14.如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．三、作图题（本大题共1小题，共4分）15.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：．求作：⊙，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上．四、解答题（本大题共9小题，共74分）（1）（2）16.请解答下列问题．计算：．解不等式组：．17.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．红蓝盘蓝蓝红盘18.如图，在东西方向的海岸上有两个相距海里的码头，，某海岛上的观测塔距离海岸海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向．求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到海里）．（参考数据：，，，，，）．（1）（2）19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．人数频数成绩分测试成绩频数直方图测试成绩扇形统计图含表示大于等于分同时小于分，以此类推请根据图中信息解答下列问题：补全频数直方图．在扇形统计图中，“”这组的百分比．（3）（4）已知“”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，．抽取的名学生测试成绩的中位数是 分．若成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．（1）（2）20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度．现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？（1）（2）21.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且．连接，．求证：≌．连接，．当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．（1）22.某公司生产型活动板房成本是每个元，图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（2）（3）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式．现将型活动板房改造为型活动板房，如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为元/．已知，求每个型活动板房的成本是多少？(每个型活动板房的成本每个型活动板房的成本一扇窗户的成本)．根据市场调查，以单价元销售()中的型活动板房，每月能售出个，而单价每降低元，每月能多售出个．公司每月最多能生产个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？23.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从张面值分别为元、元、元、、元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取张、张、张、等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额?问题建模：从，，，，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？12（1）12（2）（3）（4）（5）（6）模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（）从，，这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？所取的个整数，，，个整数之和如表①，所取的个整数之和可以为，，，也就是从到的连续整数，其中最小是，最大是，所以共有种不同的结果．（）从，，，这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？所取的个整数，，，，，，个整数之和如表②，所取的个整数之和可以为，，，，，也就是从到的连续整数，其中最小是，最大是，所以共有种不同的结果．从，，，，这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．从，，，，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．探究二：从，，，这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．从，，，，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．探究三：从，，，，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．归纳结论：从，，，，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．问题解决：从张面值分别为元、元、元、、元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取张奖券，共有 种不同的优惠金额．拓展延伸：【答案】解析:12从，，，，这个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有种不同的结果？（写出解答过程）从，，，，为整数，且这个整数中任取个整数，这个整数之和共有 种不同的结果．（1）（2）（3）（4）24.已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作于点．交于点．设运动时间为．解答下列问题：当为何值时，点在线段的垂直平分线上？连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值.连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式．点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．A 1.∵复数的绝对值为其相反数，，∴的绝对值是．故选．解析:考察科学记数法．解析:看得到的部分用实线，看不到的部分用虚线．故选．解析:故选．解析:∵为直径，∴，∵，∴，D2.B3.A4.D5.B6.∵，∴，∴．故选．解析:由折叠可知，，，则，，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∵，∴≌，∴，，在中，，在中，，∴．故选．解析:根据图象分析：双曲线位于第一、三象限，∴，抛物线开口向下，∴，抛物线对称轴位于轴右侧，左同右异，∴，∴，结合上述条件，中，，，∴一次函数图象为下降并经过轴负半轴的直线．解析:C7.B8.9.．解析:将学历、经验和工作态度按照确定得分，所以甲的得分为，乙的得分为，乙的得分高于甲，所以选乙．解析:∵垂直于轴，垂足为，∴的面积，即，而，∴，∴反比例函数为，∵点也在此函数的图象上，∴，解得．故答案为．解析:，，．，∴有个交点．乙10.11.个12.13.解析:过作交延长线于，∵四边形是正方形，∴，，，∴是中点，∵是中点，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，是中点，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，即到距离为．解析:方法一：如图，连接、，∵半圆分别与，相切于点，．∴，，∵，∴，∴，∵的长为，∴，∴，∴，连接，在中，，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．方法二：，14.阴影扇形扇形（1）（2）∴．∵，∴是的角平分线．∴，∴．解析:∴⊙即为所求．解析:．．由①得，．阴扇扇画图见解析．15.（1）．（2）．16.①②由②得，．综上．解析:根据题意得蓝红蓝蓝红（蓝、蓝）（蓝、蓝）（蓝、红）（红、蓝）（红、蓝）（红、红）配成紫色即（红、蓝）共次，，∴，，，∴游戏公平．解析:过点作，过点作，在中，，海里，∵海里，∴海里，∵四边形是矩形，公平．证明见解析．17.紫小颖胜小亮胜海里．18.（1）（2）（3）（4）（1）∴海里，在中，，海里．答：此时观测塔与渔船之间的距离是海里．解析:如图．人数频数成绩分测试成绩频数直方图（人）．解析:设游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，将点、代入得，解得，所以函数关系式为，则同时打开甲、乙两个进水口的注水速度为．故答案为：；．（1）画图见解析．（2）（3）（4）人．19.（1），同时打开甲乙进水口的速度为．（2）单独打开甲口需小时．20.（2）（1）（2）设单独打开乙进水口注满游泳池所用时间为，则单独打开甲进水口注满游泳池所用时间为，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解．所以单独打开甲进水口注满游泳池所用时间为．故答案为：．解析:∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，，∴，∵在和中，∴≌．∵平分，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形，∴，，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，（1）证明见解析．（2）菱形．证明见解析．21.（1）（2）（3）∴平行四边形是 菱形．解析:当时，，即，，∴元，∴成本为元．答：每个型活动板的成本为元．由题意得：，，，∵，对称轴，∴当时，随的增加而减小，∵，∴当时有最大值元．解析:（1）．（2）元．（3）当时有最大值元．22.矩形12（1）12（2）（3）（4）（5）12（6）或．23.12（1）12（2）（3）（4）（5）12（6）根据下表可查出种．所取的个整数，，，，，，，，，，个整数之和出现结果为，，，，，，，共种结果．由以上取两个整数最小值为，最大值为，在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为．所出现情况的和的最小值为，最大值为，则共可以出现情况为种．所出现情况的和的最小值为，最大值为，则共可以出现情况为种．所出现情况的和的最小值为，最大值为，则共可以出现情况为种．所出现情况的和的最小值为，最大值为，则共有情况为．所出现情况的和的最小值为，最大值为，则共可以出现情况为．设任取个整数的和为，则所有取值的和的最小值为，最大值为，则，则，．所有取值中的和的最小值为，最大值为，则共可以出现情况共有种．（1）（2）（3）（4）解析:，．，，，，．连接，作于，，，．，（1）．（2）．（3）．（4）存在，．24.，，，，．。
2020年山东省青岛市中考数学试卷和答案
2020年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．2．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9 4．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）6．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．48．（3分）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：（﹣）×＝．10．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）．甲乙应聘者项目学历98经验76工作态度5711．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．12．（3分）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF 交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．14．（3分）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC ＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD 上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？23．（10分）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a （1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S 与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【解答】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣4的绝对值是4．故选：A．2．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．故选：B．4．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．5．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．6．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．故选：B．7．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，∴AE＝AF＝3，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．8．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴＜0，﹣b＜0，∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【解答】解：原式＝（2﹣）×＝×＝4，故答案为：4．10．【解答】解：∵＝＝，＝＝，∴＜，∴乙将被录用，故答案为：乙．11．【解答】解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，∴△OAB的面积＝|k|，即|k|＝6，而k＞0，∴k＝12，∴反比例函数为y＝，∵点P（a，7）也在此函数的图象上，∴7a＝12，解得a＝．故答案为．12．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．13．【解答】解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝2，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，∴△ADH∽△AED，∴＝，∴AE＝＝＝2，∴＝，∴AH＝，即点A到DF的距离为，故答案为：．14．【解答】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB+∠NOC＝120°，∵的长为π，∴＝π，∴r＝3，∴OM＝ON＝r＝3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，∴AN＝，∴AM＝AN＝，∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）＝3×（BM+CN）﹣（）＝（16﹣2）﹣3π＝24﹣3﹣3π．故答案为：24﹣3﹣3π．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．【解答】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝；（2）解不等式2x﹣3≥﹣5，得：x≥﹣1，解不等式x+2＜x，得：x＞3，则不等式组的解集为x＞3．17．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，∴P（小颖）＝＝，P（小亮）＝＝，因此游戏是公平．18．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF ⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根据题意可知：AE＝5，∠BAE＝22°，∴BE＝AE•tan22°＝5×＝2，∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4，∴CF＝4，在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC＝＝4×≈4.3（海里）．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．19．【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：（2）m＝10÷50＝20%，故答案为：20%；（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，因此中位数是84.5，故答案为：84.5；（4）1200×＝672（人），答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．20．【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，，解得，，即y与t的函数关系式是y＝140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），480÷60＝8（h），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．22．【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，∴E（0，1），D（2，0），∴该抛物线的函数表达式y＝kx2+1，把点D（2，0）代入，得k＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；（2）∵GM＝2，∴OM＝OG＝1，∴当x＝1时，y＝，∴N（1，），∴MN＝，∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，∴每个B型活动板房的成本是：425+×50＝500（元）．答：每个B型活动板房的成本是500元；（3）根据题意，得w＝（n﹣500）[100+]＝﹣2（n﹣600）2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+≤160，解得n≥620，∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．23．【解答】解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况；故答案为：7；（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n﹣1＝2n﹣1，这2个整数之和共有2n﹣1﹣3+1＝2n﹣3种不同情况；故答案为：2n﹣3；探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9﹣6+1＝4种不同情况；故答案为：4；（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+（n ﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3，这3个整数之和共有3n﹣3﹣6+1＝3n ﹣8种不同结果，故答案为：3n﹣8；探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+（n ﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）＝4n﹣6，因此这4个整数之和共有4n ﹣6﹣10+1＝4n﹣15种不同结果，归纳总结：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a＝，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+（n﹣a+1）＝na﹣，因此这a个整数之和共有na﹣﹣+1＝a（n﹣a）+1种不同结果，故答案为：a（n﹣a）+1；问题解决：将n＝100，a＝5，代入a（n﹣a）+1得；5×（100﹣5）+1＝476，故答案为：476；拓展延伸：（1）设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，a（36﹣a）+1＝204，解得，a＝7或a＝29；答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；（2）根据上述规律，从（n+1）个连续整数中任取a个整数，这a 个整数之和共有a（n+1﹣a）+1，故答案为：a（n+1﹣a）+1．24．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴，∴，∴CM＝，∵点M在线段CQ的垂直平分线上，∴CM＝MQ，∴1×t＝，∴t＝；（2）如图1，过点Q作QN⊥AF于点N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，∴AC＝＝＝10cm，EF＝＝＝10cm，∵CE＝2cm，CM＝cm，∴EM＝＝＝，∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴，∴，∴PH＝t，同理可求QN＝6﹣t，∵四边形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6﹣t＝t，∴t＝3；∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形；（3）如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，由（2）可知QN＝6﹣t，∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴，∴，∴AH＝t，∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S＝×6×（8﹣t+6+8﹣t+）﹣××[6﹣（6﹣t）]﹣×（6﹣t）（8﹣t+6）＝﹣t2+t+；（4）存在，理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM＝×EC×CM＝×EM×CK，∴CK＝＝，∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK，∴t＝10﹣2t+，∴t＝，∴当t＝时，使点P在∠AFE的平分线上．观沧海两汉：曹操东临碣石，以观沧海。
2020年山东省青岛市中考数学试卷(有详细解析)
2020年山东省青岛市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−4的绝对值是()A. 4B. −4C. 14D. −142.下列四个图形中，中心对称图形是()A. B. C. D.3.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为()A. 2.2×108B. 2.2×10−8C. 0.22×10−7D. 22×10−94.如图所示的几何体，其俯视图是()A.B.C.D.5.如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是()A. (0,4)B. (2,−2)C. (3,−2)D. (−1,4)6.如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB⏜=AD⏜，AC交BD于点G.若∠COD=126°，则∠AGB的度数为()A. 99°B. 108°C. 110°D. 117°7.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为()A. √5B. 3√5 C. 2√5 D. 4√528.已知在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=c的图象如图所示，xx−b的图象可能是()则一次函数y=caA. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：(√12−√4)×√3=______．310. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么______将被录用应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度5711. 如图，点A 是反比例函数y =kx (x >0)图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，△OAB 的面积为6.若点P(a,7)也在此函数的图象上，则a =______．12. 抛物线y =2x 2+2(k −1)x −k(k 为常数)与x 轴交点的个数是______． 13. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G.若DE =2，OF =3，则点A 到DF 的距离为______．14. 如图，在△ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N.已知∠BAC =120°，AB +AC =16，MN⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）15. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B ，D ，某海岛上的观测塔A 距离海岸5海里，在A 处测得B 位于南偏西22°方向．一艘渔船从D 出发，沿正北方向航行至C 处，此时在A 处测得C 位于南偏东67°方向．求此时观测塔A 与渔船C 之间的距离(结果精确到0.1海里)．(参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈35，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125)16.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）17.已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．18.(1)计算：(1a +1b)÷(ab−ba)；(2)解不等式组：{2x−3≥−5, 13x+2<x.19.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．20.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：(1)补全频数直方图；(2)在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m=______；(3)已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89.抽取的n名学生测试成绩的中位数是______分；(4)若成绩达到80分以上(含80分)为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．21.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(ℎ)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(ℎ)之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；(2)现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？间的4322.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．23.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的个整数之和可以为，，，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．24.已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB//CD，CD>AB，点C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长DC交EF于点M.点P从点A 出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t(s)(0<t<5)．解答下列问题：(1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？(2)连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；(3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(4)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.A解：∵|−4|=4，∴−4的绝对值是4．2.D解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．3.B解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10−8．4.A解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．5.D解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是(−1,4)．6.B解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∵AB⏜=AD ⏜， ∴∠B =∠D =45°，∵∠DAC =12∠COD =12×126°=63°，∴∠AGB =∠DAC +∠D =63°+45°=108°．7. C解：∵矩形ABCD ，∴AD//BC ，AD =BC ，AB =CD ，∴∠EFC =∠AEF ，∴AE =AF =3，由折叠得，FC =AF ，OA =OC ，∴BC =3+5=8，在Rt △ABF 中，AB =√52−32=4，在Rt △ABC 中，AC =√42+82=4√5，∴OA =OC =2√5，8. B解：观察函数图象可知：a <0，b >0，c >0，∴c a <0，−b <0，∴一次函数y =c a x −b 的图象经过二三四象限．9. 4解：原式=(2√3−2√33)×√3 =4√33×√3=4，10. 乙解：∵x 甲−=9×2+7×1+5×32+1+3=203，x 乙−=8×2+6+7×32+1+3=436， ∴x 甲−<x 乙−，∴乙将被录用，11.127解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，|k|，∴△OAB的面积=12|k|=6，即12而k>0，∴k=12，∴反比例函数为y=12，x∵点P(a,7)也在此函数的图象上，∴7a=12，解得a=12．712.2解：∵抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)，∴当y=0时，0=2x2+2(k−1)x−k，∴△=[2(k−1)]2−4×2×(−k)=4k2+4>0，∴0=2x2+2(k−1)x−k有两个不相等的实数根，∴抛物线y=2x2+2(k−1)x−k(k为常数)与x轴有两个交点，13.4√55解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO=DO，∠ADC=90°，∴∠ADE=90°，∵点F是AE的中点，AE，∴DF=AF=EF=12∴OF垂直平分AD，∴AG=DG，∴FG=1DE=1，2∵OF=2，∴OG=2，∵AO=CO，∴CD=2OG=4，∴AD=CD=4，过A作AH⊥DF于H，∴∠H=∠ADE=90°，∵AF=DF，∴∠ADF=∠DAE，∴△ADH∽△AED，∴AHDE =ADAE，∴AE=√AD2+DE2=√42+22=2√5，∴AH2=2√5，∴AH=4√55，即点A到DF的距离为4√55，14.3(8−√3−π)解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)=32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．15.解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF=DE，根据题意可知：AE=5，∠BAE=22°，∴BE=AE⋅tan22°=5×25=2，∴DE=BD−BE=6−2=4，∴CF=4，在Rt△AFC中，∠CAF=67°，∴AC=FCsin67∘=4×1312≈4.3(海里)．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．16.解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH−OH=4−3=1，∴E(0,1)，D(2,0)，∴该抛物线的函数表达式y=kx2+1，把点D(2,0)代入，得k=−14，∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；(2)∵GM=2，∴OM=OG=1，∴当x=1时，y=34，∴N(1,34)，∴MN=34，∴S矩形MNFG =MN⋅GM=34×2=32，∴每个B型活动板房的成本是：425+32×50=500(元)．答：每个B型活动板房的成本是500元；(3)根据题意，得w=(n−500)[100+20(650−n)10]=−2(n−600)2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵−2<0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n=620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元．17.解：如图所示：⊙O即为所求．18.解：(1)原式=(bab +aab)÷(a2ab−b2ab)=a+bab ÷a2−b2ab=a+bab ⋅ab(a+b)(a−b)=1a−b；(2)解不等式2x−3≥−5，得：x≥−1，解不等式13x+2<x，得：x>3，则不等式组的解集为x>3．19.解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，∴P (小颖)=36=12，P (小亮)=36=12， 因此游戏是公平．20. 20% 84.5解：(1)8÷16%=50(人)，50−4−8−10−12=16(人)，补全频数直方图如图所示：(2)m =10÷50=20%，故答案为：20%；(3)将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为84+852=84.5， 因此中位数是84.5，故答案为：84.5；(4)1200×12+1650=672(人)，答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．21. 解：(1)设y 与t 的函数解析式为y =kt +b ，{b =1002k +b =380， 解得，{k =140b =100， 即y 与t 的函数关系式是y =140t +100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：(380−100)÷2=140(m 3/ℎ)；(2)∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的34，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/ℎ，∴甲进水口的进水速度为：140÷(34+1)×34=60(m3/ℎ)，480÷60=8(ℎ)，即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．22.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠ADC=∠CBA，∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，{AD=CB∠ADE=∠CBF DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)；(2)当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE=BF，∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．23.7 2n−3 4 3n−84n−15a(n−a)+1476 a(n−a+1)+1解：探究一：(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2=3，最大值为4+5=9，这2个整数之和共有9−3+1=7种不同情况；故答案为：7；(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2=3，最大值为n+n−1=2n−1，这2个整数之和共有2n−1−3+1=2n−3种不同情况；故答案为：2n−3；探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3=6，最大值为2+3+4=9，这3个整数之和共有9−6+1=4种不同情况；故答案为：4；(2)从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥4)这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3=6，最大值为n +(n −1)+(n −2)=3n −3，这3个整数之和共有3n −3−6+1=3n −8种不同结果，故答案为：3n −8；探究三：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥5)这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4=10，最大值为n +(n −1)+(n −2)+(n −3)=4n −6，因此这4个整数之和共有4n −6−10+1=4n −15种不同结果，归纳总结：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥5)这n 个整数中任取a 个整数，这a 个整数之和的最小值为1+2+⋯+a =a(a+1)2，最大值为n +(n −1)+(n −2)+(n −3)+⋯+(n −a +1)=na −a(a−1)2，因此这a 个整数之和共有na −a(a−1)2−a(a+1)2+1=a(n −a)+1种不同结果，故答案为：a(n −a)+1；问题解决：将n =100，a =5，代入a(n −a)+1得；5×(100−5)+1=476，故答案为：476；拓展延伸：(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a 个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，a(36−a)+1=204，解得，a =7或a =29；答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；(2)根据上述规律，从(n +1)个连续整数中任取a 个整数，这a 个整数之和共有a(n +1−a)+1，故答案为：a(n +1−a)+1．24. 解：(1)∵AB//CD ，∴CM BF =CE BE ， ∴8−68=CM 6， ∴CM =32，∵点M 在线段CQ 的垂直平分线上，∴CM =MQ ，∴1×t =32，∴t =32；(2)如图1，过点Q作QN⊥AF于点N，∵∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，∴AC=√AB2+BC2=√64+36=10cm，EF=√BF2+BE2=√64+36=10cm，∵CE=2cm，CM=32cm，∴EM=√EC2+CM2=√4+94=52，∵sin∠PAH=sin∠CAB，∴BCAC =PHAP，∴610=PH2t，∴PH=65t，同理可求QN=6−45t，∵四边形PQNH是矩形，∴PH=NQ，∴6−45t=65t，∴t=3；∴当t=3时，四边形PQNH为矩形；(3)如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，由(2)可知QN=6−45t，∵cos∠PAH=cos∠CAB，∴AHAP =ABAC，∴AH2t =810，∴AH=85t，∵四边形QCGH的面积为S=S梯形GMFH−S△CMQ−S△HFQ，∴S=12×6×(8−85t+6+8−85t+32)−12×32×[6−(6−45t)]−12×(6−45t)(8−85t+6)=−1625t2+15t+572；(4)存在，理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，∵AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，AC=EF=10cm，∴△ABC≌△EBF(SSS)，∴∠E=∠CAB，又∵∠ACB=∠ECK，∴∠ABC=∠EKC=90°，∵S△CEM=12×EC×CM=12×EM×CK，∴CK=2×3 25 2=65，∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH=PK，∴65t=10−2t+65，∴t=72，∴当t=72时，使点P在∠AFE的平分线上．。
山东省青岛市2020年中考数学试题及详解(WORD版)
第一部分山东省青岛市2020年中考数学试题（1-12） 第二部分山东省青岛市2020年中考数学试题详解（13-27）说明：1．本试题分第I 卷和第II 卷两部分，共24题，第I 卷为选择题，共8小题，24分； 第II 卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第I 卷（共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.－4的绝对值是（ ） A. 4B.14C. －4D. 14-2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.3.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. 22×108B. 2.2×10-8C. 0.22×10-7D. 22×10-94.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A. B. C. D.5.如图，将ABC 先向上平移1个单位，再绕点P 按逆时针方向旋转90︒，得到'A B C ''，则点A 的对应点'A 的坐标是（ ）A. （0，4）B. （2，-2）C. （3，-2）D. （-1，4）6.如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒．则AGB ∠的度数为（ ）A. 99︒B. 108︒C. 110︒D. 117︒7.如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）A.5B.352C. 25D. 458.已知在同一直角坐标系中二次函数2y ax bx =+和反比例函数cy x=的图象如图所示，则一次函数cy x b a=-的图象可能是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.计算41233⎛⎫-⨯⎪⎪⎭的结果是___．10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么__________将被录用（填甲或乙）应聘者项目甲乙学历9 8经验7 6工作态度 5 711.如图，点A是反比例函数(0)ky xx=>图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为B．OAB的面积为6．若点(),7P a也在此函数的图象上，则a=__________．12.抛物线()2221y x k x k=+--（k为常数）与x轴交点的个数是__________．13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE 的中点，连接OF交AD于点G．若2DE=，3OF=，则点A到DF的距离为__________．14.如图，在ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ．已知120BAC ∠=︒，16AB AC +=，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为__________．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15.已知：ABC ．． 求作：O ，使它经过点B 和点C ，并且圆心O 在A ∠的平分线上，四、解答题（本大题共9小题，共74分）16.（1）计算:11a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）解不等式组:235123x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩17.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22︒方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67︒方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据:3sin228o≈，15cos2216︒≈，2tan225︒≈，12sin6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan675︒≈）19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比m __________；（3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是__________分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21.如图，在ABC中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE BF=，连接AE，CF．（1）求证：ADE≌CBF；∠时，四边形AFCE是什么特殊四边（2）连接AF，CE，当BD平分ABC形？请说明理由．22.某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？23.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． （4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．24.已知：如图，在四边形ABCD 和Rt EBF △中，//AB CD ，CD AB >，点C 在EB 上，90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE cm ==，6BC BF cm ==，延长DC 交EF 于点M ，点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cms ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm s ，过点P 作GH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为()()05t s t <<．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上？（2）连接PQ ，作QN AF ⊥于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值；（3）连接QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为()2S cm，求S 与t 的函数关系式；（4）点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点P 在AFE ∠的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．山东省青岛市2020年中考数学试题详解（考试时间：120分钟；满分：120分）说明：1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题，第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第I卷（共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、根据绝对值的概念可得-4的绝对值为4.2、解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．3、解：0.00000002282.210.-=⨯故选.B4、由图形可知，这个几何体的俯视图为故选A．5、解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应'A点的坐标为（-1，4）．故选：D．6、解：∵BD 是O 的直径∴∠BAD 90=︒∵AB AD =∴AB AD =∴∠ABD 45=︒∵126COD ∠=︒ ∴∠1CAD 632COD =∠=︒∴∠BAG 906327=︒-︒=︒∴∠AGB 1802745108=︒-︒-︒=︒故选：B ．7、解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠= 矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒,CFO AEO ∴∠=∠,AFO AEO ∴∠=∠5,AE AF CF ∴===3,BF =224,AB AF BF ∴=-=BC=822166445,AC AB BC ∴=+=+=由对折得：12OA OC AC === 故选C ． 8、由二次函数图象可知：a ﹤0，对称轴2b x a =-﹥0， ∴a ﹤0，b ﹥0，由反比例函数图象知：c ﹥0， ∴c a﹤0，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴， 对照四个选项，只有B 选项符合一次函数c y x b a =-的图象特征． 故选：B·第Ⅱ卷（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9、解：2=4-. 故答案为4.10、解：甲得分：111209753623⨯+⨯+⨯= 乙得分：111438673626⨯+⨯+⨯= ∵436>203 故答案为：乙．11、解： OAB 的面积为6．2612,k ∴=⨯= k ＞0，12,k ∴=12,y x∴= 把(),7P a 代入12,y x =127,a∴= 12.7a ∴= 经检验：127a =符合题意．故答案为：12.712、解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k 2+4>0，∴抛物线与x 轴有2个交点．故答案为：2．13、如图，过点A 作AH ⊥DF 的延长线于点H ，∵在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∴O 为AC 中点∵F 点是AE 中点，∴OF 是△ACE 的中位线，∴CE=2OF=6∴G 点是AD 的中点，∴FG 是△ADE 的中位线，∴GF=12DE =1∴CD=CE-DE=4,∴AD=CD=4在Rt △ADE 中，AD=4,DE=2∴=∴DF=12∴S △AFD =12AD·GF=12FD·AH即12×4×1=12×AH∴AH=5∴点A 到DF 的距离为5，．14、如图，连接OM 、ON 、OA ，设半圆分别交BC 于点E ，F ，则OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∴∠AMO=∠ANO=90º，∵∠BAC=120º，∴∠MON=60º，∵MN 的长为π， ∴60180OM ππ=， ∴OM=3，∵在Rt △AMO 和Rt △ANO 中，OM ON OA OA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AMO ≌Rt △ANO(HL)，∴∠AOM=∠AON=12∠MON=30º， ∴AM=OM·tan30º=333= ∴122332AMO AMON S SAM OM ==⨯=四边形， ∵∠MON=60º， ∴∠MOE+∠NOF=120º，∴211=3=333MOE NOF S S S ππ+=圆扇形扇形， ∴图中阴影面积为()AOB AOC AMON MOE NOF S S S S S +--+四边形扇形扇形 =13()3332AB AC π⨯+-=24333π--，故答案为：24333π--．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15、解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：四、解答题（本大题共9小题，共74分）16、解：（1）原式=22a b a bab ab+-÷=()()a b abab a b a b+⨯+-=1a b-；（2）235123xx x-≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解①得，x≥-1，解②得，x>3，∴不等式组的解集是x>3．17、解：这个游戏对双方公平，理由如下：如图，∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种， ∴P （紫色）=31=62， ∴这个游戏对双方公平．18、过点A 作AE ⊥BD ，过点C 作CF ⊥AE ，则四边形CDEF 是矩形， ∵∠BAE=22°，AE=5（海里），∴BE=AE∙tan22°=5×25=2（海里）， ∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），∵四边形CDEF 是矩形，∴CF=DE=4（海里），∴AC=CF÷sin67°=4÷1213≈4.3（海里）．19、解：（1）8÷16％=50人， 50-4-8-10-12=16人，补全频数直方图如下：（2）m=001010050⨯=20％； （3）∵“50~80”分的人数已有22人，∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，∴中位数是8485=84.52+分； （4）12161200=67250+⨯人． ∴优秀人数是672人．20、解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，2k+100=380，解得k=140，∴y=140t+100，当y=480时，则480=140t+100，解得t=197， (480-100)÷197=140m 3/h ； ∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m 3/h ；（2）设甲的注水速度是x m 3/h ，则乙的注水速度是(140-x) m 3/h ，由题意得 48044803140x x=⨯-， 解得x=60，经检验x=60符合题意，480=860(h)，∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h ．21、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,∠ADB=∠CBD ，又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠ADE=∠CBF在△ADE 和△CBF 中AD BCADE CBF DE BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF ；（2）四边形AFCE 是菱形理由如下：如图，连接AF ，CE ，由（1）得△ADE ≌△CBF∴CF=AE, ∠E=∠F∴AE ∥CF∴AECF∴四边形AFCE 是平行四边形当BD 平分∠ABC 时，∠ABD=∠CBD又∵AD ∥CB ，∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠ABD∴AD=AB=BC∴△ABC 为等腰三角形由等腰三角形性质三线合一可得AC ⊥EF∴平行四边形AFCE 是菱形22、（1）由题可知D （2,0），E （0,1）代入到()20y kx m k =+≠ 得041k m m=+⎧⎨=⎩ 解得141k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的函数表达式为2114y x =-+； （2）由题意可知N 点与M 点的横坐标相同，把x=1代入2114y x =-+，得y=34∴N （1，34） ∴MN=34m ， ∴S 四边形FGMN =GM×MN=2×34=32， 则一扇窗户的价格为32×50=75元 因此每个B 型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×65010n -）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月最多生产160个，∴100+20×65010n -≤160 解得n≥620∵-2＜0∴n≥620时，w 随n 的增大而减小∴当n=620时，w 最大=19200元．23、解：探究一：（3）如下表：所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n -所以一共有()336138n n --+=-种，探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14，所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,，所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -，所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果．归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n -种不同的结果．从而可得：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，共有490151476-+=种不同的优惠金额．拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果． ∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=236203,a a ∴-=-()218121,a ∴-= 1811a ∴-=或1811,a -=-29a ∴=或7.a =从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果． 24、（1）当t =32时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CM ∥BF ， ∴CM CE BF BE =即：268CM =， 解得：CM=32， 要使点M 在线段CQ 的垂直平分线上，只需QM=CM=32， ∴t=32； （2）如图，∵90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE ==，6BC BF ==， ∴AC=10，EF=10，sin ∠PAH=35BC AC =，cos ∠PAH=45AB AC =，sin ∠EFB=45BE EF =， 在Rt △APH 中，AP=2t ，∴PH=AP·sin ∠PAH=65t ， 在Rt △ECM 中，CE=2,CM=32,由勾股定理得：EM=52， 在Rt △QNF 中，QF=10-t-52=152t -， ∴QN=QF·sin ∠EFB=(152t -)×45=465t -， 四边形PQNH 为矩形，∴PH=QN ， ∴65t =465t -， 解得：t=3；（3）如图，过Q 作QN ⊥AF 于N ，由（2）中知QN=465t -，AH=AP·cos ∠PAH=85t ， ∴BH=GC=8-85t ， ∴GM=GC+CM=8319885225t t -+=-，HF=HB+BF=8145t -， ∴QHF CMQ GHFM S S S S =--梯形=111()6(6)222GM HF HF QN CM QN +⨯--- =11988184134(14)6(14)(6)(66)2255255225t t t t t -+-⨯-----+ =2161572552t t -++， ∴S 与t 的函数关系式为：2161572552S t t =-++；（4）存在，t=72． 证明：如图，延长AC 交EF 于T ，∵AB=BF ,BC=BF, 90ABC EBF ∠=∠=︒，∴△ABC ≌△EBF ，∴∠BAC=∠BEF ，∵∠EFB+∠BEF=90º，∴∠BAC+∠EFB=90º，∴∠A TE=90º即PT ⊥EF ，要使点P在AFE∠的平分线上，只需PH=PT，在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=35 CT BFCE EF==，CT=CE·sin∠BEF =65，PT=10+65-2t=5625t-，又PH=65t，6 5t=5625t-，解得：t=72．。
2020年山东省青岛市中考数学试卷(含解析)印刷版
2020年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣4的绝对值是（）A．4B．﹣4C．D．2．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣94．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）6．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．48．（3分）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：（﹣）×＝．10．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）．应聘者项目甲乙学历98经验76工作态度5711．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB 的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．12．（3分）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．14．（3分）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？23．（10分）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省青岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣4的绝对值是（）A．4B．﹣4C．D．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣4的绝对值是4．故选：A．2．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．故选：B．4．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．5．（3分）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．6．（3分）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由＝得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．故选：B．7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．4【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，由折叠得，∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝3，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．8．（3分）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴＜0，﹣b＜0，∴一次函数y ＝x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：（﹣）×＝4．【分析】先化简括号内的二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后计算乘法即可得．【解答】解：原式＝（2﹣）×＝×＝4，故答案为：4．10．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么乙将被录用（填甲或乙）．应聘者项目甲乙学历98经验76工作态度57【分析】根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取．【解答】解：∵＝＝，＝＝，∴＜，∴乙将被录用，故答案为：乙．11．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB 的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值，即可求得反比例函数的解析式，代入点P，即可求得a．【解答】解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，∴△OAB的面积＝|k|，即|k|＝6，而k＞0，∴k＝12，∴反比例函数为y＝，∵点P（a，7）也在此函数的图象上，∴7a＝12，解得a＝．故答案为．12．（3分）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是2．【分析】先令y＝0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．【分析】解法一：根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝AE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．解法二：同理得FG的长，利用勾股定理计算DF的长，最后根据△ADF的面积列等式可得AH的长．【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝3，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，∴AE＝＝＝2．过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，∴△ADH∽△EAD，∴＝，∴＝，∴AH＝，即点A到DF的距离为，解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝3，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，∴DG＝2，∴DF＝＝＝，过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∴S△ADF＝DF•AH＝AD•FG，∴AH＝，故答案为：．14．（3分）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为24﹣3﹣3π．【分析】连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N．可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC ＝120°，可得∠MON＝60°，得∠MOB+∠NOC＝120°，再根据的长为π，可得OM＝ON＝r＝3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，可得AM＝AN＝，进而可求图中阴影部分的面积．【解答】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB+∠NOC＝120°，∵的长为π，∴＝π，∴r＝3，∴OM＝ON＝r＝3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，∴AN＝，∴AM＝AN＝，∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）＝3×（BM+CN）﹣（）＝（16﹣2）﹣3π＝24﹣3﹣3π．故答案为：24﹣3﹣3π．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．【分析】作出∠A的平分线和线段BC的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心O，再以OB为半径画出⊙O，得出答案．【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：【分析】（1）先计算括号内分式的加减运算，再将除法转化为乘法，最后约分即可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝；（2）解不等式2x﹣3≥﹣5，得：x≥﹣1，解不等式x+2＜x，得：x＞3，则不等式组的解集为x＞3．17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．【解答】解：这个游戏公平，理由如下：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，∴P（小颖）＝＝，P（小亮）＝＝，因此游戏是公平．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，再根据锐角三角函数即可求出观测塔A与渔船C之间的距离．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根据题意可知：AE＝5，∠BAE＝22°，∴BE＝AE•tan22°＝5×＝2，∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4，∴CF＝4，在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC＝＝4×≈4.3（海里）．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝20%；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是84.5分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．【分析】（1）求出调查人数，和“90﹣100”的人数即可补全频数直方图；（2）用“70﹣80”的频数10除以调查人数50 即可得出m的值；（3）利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数；（4）样本估计总体，样本中优秀所占的百分比为，因此估计总体1200人的是优秀的人数．【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：（2）m＝10÷50＝20%，故答案为：20%；（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，因此中位数是84.5，故答案为：84.5；（4）1200×＝672（人），答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时．【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，，解得，，即y与t的函数关系式是y＝140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），480÷60＝8（h），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，AD∥BC，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，∴E（0，1），D（2，0），∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，把点D（2，0）代入，得k＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；（2）∵GM＝2，∴OM＝OG＝1，∴当x＝1时，y＝，∴N（1，），∴MN＝，∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，∴每个B型活动板房的成本是：425+×50＝500（元）．答：每个B型活动板房的成本是500元；（3）根据题意，得w＝（n﹣500）[100+]＝﹣2（n﹣600）2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+≤160，解得n≥620，∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有最大值为19200元．答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．23．（10分）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n ﹣3）种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n ﹣8）种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n﹣15）种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有[a（n﹣a）+1]种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有476种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有[a（n﹣a+1）+1]种不同的结果．【分析】根据整数的总个数n，与任取的a个整数，分别计算这a个整数之和的最大值、最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．【解答】解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5。
2020年山东省青岛市中考数学试卷-含答案
2020年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.－4的绝对值是（ ）A. 4B. 14C. －4D. 14- 2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.3.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）A. 22×108B. 2.2×10-8C. 0.22×10-7D. 22×10-94.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A. B. C. D.5.如图，将ABC 先向上平移1个单位，再绕点P 按逆时针方向旋转90︒，得到'A B C ''，则点A 的对应点'A 的坐标是（ ）A. （0，4）B. （2，-2）C. （3，-2）D. （-1，4）6.如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒．则AGB ∠的度数为（ ）A. 99︒B. 108︒C. 110︒D. 117︒7.如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ） A. 5 B. 352 C. 25 D. 458.已知在同一直角坐标系中二次函数2y ax bx =+和反比例函数c y x =的图象如图所示，则一次函数c y x b a =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.计算41233的结果是___． 10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么__________将被录用（填甲或乙） 应聘者项目甲 乙 学历9 8 经验7 6 工作态度 5 711.如图，点A 是反比例函数(0)ky x x =>图象上一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ．OAB 的面积为6．若点(),7P a 也在此函数的图象上，则a =__________．12.抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与x 轴交点的个数是__________．13.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若2DE =，3OF =，则点A 到DF 的距离为__________．14.如图，在ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ．已知120BAC ∠=︒，16AB AC +=，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为__________．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15.已知：ABC ．．求作：O ，使它经过点B 和点C ，并且圆心O 在A ∠的平分线上，四、解答题（本大题共9小题，共74分）16.（1）计算:11a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）解不等式组:235123x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩17.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22︒方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67︒方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据:3sin228o≈，15cos2216︒≈，2tan225︒≈，12sin6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan675︒≈）19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比m =__________；（3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n 名学生测试成绩的中位数是__________分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？ 21.如图，在ABC 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．（1）求证：ADE ≌CBF ；（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．22.某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？23.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．24.已知：如图，在四边形ABCD 和Rt EBF △中，//AB CD ，CD AB >，点C 在EB 上，90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE cm ==，6BC BF cm ==，延长DC 交EF 于点M ，点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cms ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm s ，过点P 作GH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为()()05t s t <<．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上？（2）连接PQ ，作QN AF ⊥于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值；（3）连接QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为()2S cm ，求S 与t 的函数关系式；（4）点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点P 在AFE ∠的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省青岛市中考数学试卷答案1.A.2.D．3..B4.A．5.D．6.B．7.C．8.B·9.4.10.乙．11.12.712.2．13.455．14.24333π--．15.解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：16.解：（1）原式=22a b a bab ab+-÷=()()a b abab a b a b+⨯+-=1a b-；（2）235123xx x-≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解①得，x≥-1，解②得，x>3，∴不等式组的解集是x>3．17.解：这个游戏对双方公平，理由如下：如图，∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种，∴P （紫色）=31=62， ∴这个游戏对双方公平．18.过点A 作AE ⊥BD ，过点C 作CF ⊥AE ，则四边形CDEF 是矩形，∵∠BAE=22°，AE=5（海里），∴BE=AE ∙tan22°=5×25=2（海里）， ∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），∵四边形CDEF 是矩形，∴CF=DE=4（海里），∴AC=CF ÷sin67°=4÷1213≈4.3（海里）．19.解：（1）8÷16％=50人，50-4-8-10-12=16人，补全频数直方图如下：（2）m=001010050=20％； （3）∵“50~80”分的人数已有22人，∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，∴中位数是8485=84.52+分； （4）12161200=67250+⨯人． ∴优秀人数是672人．20.解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，2k+100=380，解得k=140，∴y=140t+100，当y=480时，则480=140t+100，解得t=197， (480-100)÷197=140m 3/h ； ∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m 3/h ；（2）设甲的注水速度是x m 3/h ，则乙的注水速度是(140-x) m 3/h ，由题意得48044803140x x=⨯-， 解得x=60，经检验x=60符合题意，480=860(h)， ∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h ．21.（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,∠ADB=∠CBD ，又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠ADE=∠CBF在△ADE 和△CBF 中AD BC ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF ；（2）四边形AFCE 是菱形理由如下：如图，连接AF ，CE ，由（1）得△ADE ≌△CBF∴CF=AE, ∠E=∠F∴AE ∥CF∴AE CF∴四边形AFCE 是平行四边形当BD 平分∠ABC 时，∠ABD=∠CBD又∵AD ∥CB ，∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠ABD∴AD=AB=BC∴△ABC 为等腰三角形由等腰三角形性质三线合一可得AC ⊥EF∴平行四边形AFCE 是菱形22.（1）由题可知D （2,0），E （0,1）代入到()20y kx m k =+≠得041k m m =+⎧⎨=⎩解得141k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的函数表达式为2114y x =-+； （2）由题意可知N 点与M 点的横坐标相同，把x=1代入2114y x =-+，得y=34∴N （1，34） ∴MN=34m ， ∴S 四边形FGMN =GM ×MN=2×34=32， 则一扇窗户的价格为32×50=75元 因此每个B 型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×65010n -）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月最多生产160个， ∴100+20×65010n -≤160 解得n ≥620∵-2＜0∴n ≥620时，w 随n 的增大而减小∴当n=620时，w 最大=19200元．23.解：探究一：（3）如下表：所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种．（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n -所以一共有()336138n n --+=-种，探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,， 所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -，所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果．归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果．从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，共有490151476-+=种不同的优惠金额．拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=236203,a a ∴-=-()218121,a ∴-= 1811a ∴-=或1811,a -=-29a ∴=或7.a =从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果．24.（1）当t =32时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CM ∥BF ， ∴CM CE BF BE =即：268CM =，解得：CM=32， 要使点M 在线段CQ 的垂直平分线上， 只需QM=CM=32， ∴t=32； （2）如图，∵90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE ==，6BC BF ==，∴AC=10，EF=10，sin ∠PAH=35BC AC =，cos ∠PAH=45AB AC =，sin ∠EFB=45BE EF =， 在Rt △APH 中，AP=2t ，∴PH=AP ·sin ∠PAH=65t ， 在Rt △ECM 中，CE=2,CM=32,由勾股定理得：EM=52， 在Rt △QNF 中，QF=10-t-52=152t -， ∴QN=QF ·sin ∠EFB=(152t -)×45=465t -， 四边形PQNH 为矩形，∴PH=QN ，∴65t =465t -， 解得：t=3；（3）如图，过Q 作QN ⊥AF 于N ，由（2）中知QN=465t -，AH=AP ·cos ∠PAH=85t ， ∴BH=GC=8-85t ， ∴GM=GC+CM=8319885225t t -+=-，HF=HB+BF=8145t -， ∴QHF CMQ GHFM S S S S =--梯形=111()6(6)222GM HF HF QN CM QN +⨯--- =11988184134(14)6(14)(6)(66)2255255225t t t t t -+-⨯-----+ =2161572552t t -++， ∴S 与t 的函数关系式为：2161572552S t t =-++； （4）存在，t=72． 证明：如图，延长AC 交EF 于T ，∵AB=BF ,BC=BF, 90ABC EBF ∠=∠=︒，∴△ABC ≌△EBF ，∴∠BAC=∠BEF ，∵∠EFB+∠BEF=90º，∴∠BAC+∠EFB=90º，∴∠ATE=90º即PT ⊥EF ，要使点P 在AFE ∠的平分线上，只需PH=PT ，在Rt △ECM 中，CE=2,sin ∠BEF=35CT BF CE EF ==， CT=CE ·sin ∠BEF =65， PT=10+65-2t=5625t -，又PH=65t ， 65t =5625t -， 解得：t=72．。
2020年山东省青岛市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年青岛市初中学业水平考试数学试题（考试时间120分钟，满分120分）第Ⅰ卷（选择题，共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．2．下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．3．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣94．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．5．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）6．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°7．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．48．已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：（﹣）×＝．10．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）．应聘者/项目甲乙学历9 8经验7 6工作态度 5 711．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．12．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．14．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM ＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？23．（10分）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a （1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，2 1，3 2，32个整数之和 3 4 5如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，42个整数之和 3 4 5 5 6 7 如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案与解析第Ⅰ卷（选择题，共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣4的绝对值是（）A．4 B．﹣4 C．D．【知识考点】绝对值．【思路分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解题过程】解：∵|﹣4|＝4，∴﹣4的绝对值是4．故选：A．【总结归纳】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．下列四个图形中，中心对称图形是（）A．B．C．D．【知识考点】中心对称图形．【思路分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解题过程】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．【总结归纳】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9【知识考点】科学记数法—表示较小的数．【思路分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解题过程】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．故选：B．【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解题过程】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．【总结归纳】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）【知识考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转．【思路分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．【解题过程】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．【总结归纳】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°【知识考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【思路分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由＝得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．【解题过程】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．故选：B．【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．4【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．【解题过程】解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，∴AE＝AF＝3，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．【总结归纳】本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．8．已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象．【思路分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解题过程】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴＜0，﹣b＜0，∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．【总结归纳】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．第Ⅱ卷非选择题（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：（﹣）×＝．【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】先化简括号内的二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后计算乘法即可得．【解题过程】解：原式＝（2﹣）×＝×＝4，故答案为：4．【总结归纳】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．10．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么将被录用（填甲或乙）．应聘者/项目甲乙学历9 8经验7 6工作态度 5 7【知识考点】加权平均数．【思路分析】根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取．【解题过程】解：∵＝＝，＝＝，∴＜，∴乙将被录用，故答案为：乙．【总结归纳】本题主要考查加权平均数，若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则（x1w1+x2w2+…+x n w n）÷（w1+w2+…+w n）叫做这n个数的加权平均数．11．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB 的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值，即可求得反比例函数的解析式，代入点P，即可求得a．【解题过程】解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，∴△OAB的面积＝|k|，即|k|＝6，而k＞0，∴k＝12，∴反比例函数为y＝，∵点P（a，7）也在此函数的图象上，∴7a＝12，解得a＝．故答案为．【总结归纳】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．12．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．【知识考点】抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质可以求得抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数）与x轴交点的个数，本题得以解决．【解题过程】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．【总结归纳】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；正方形的性质．【思路分析】根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝AE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝2，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，∴△ADH∽△AED，∴＝，∴AE＝＝＝2，∴＝，∴AH＝，即点A到DF的距离为，故答案为：．【总结归纳】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．【知识考点】切线的性质；弧长的计算；扇形面积的计算．【思路分析】连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N．可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC＝120°，可得∠MON＝60°，得∠MOB+∠NOC＝120°，再根据的长为π，可得OM＝ON＝r＝3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，可得AM＝AN＝，进而可求图中阴影部分的面积．【解题过程】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB+∠NOC＝120°，∵的长为π，∴＝π，∴r＝3，∴OM＝ON＝r＝3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，∴AN＝，∴AM＝AN＝，∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）＝3×（BM+CN）﹣（）＝（16﹣2）﹣3π＝24﹣3﹣3π．故答案为：24﹣3﹣3π．【总结归纳】本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．【知识考点】作图—复杂作图．【思路分析】作出∠A的平分线和线段BC的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心O，再以OB为半径画出⊙O，得出答案．【解题过程】解：如图所示：⊙O即为所求．【总结归纳】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线和垂直平分线的作法是解题关键．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）计算：（+）÷（﹣）；（2）解不等式组：【知识考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）先计算括号内分式的加减运算，再将除法转化为乘法，最后约分即可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝；（2）解不等式2x﹣3≥﹣5，得：x≥﹣1，解不等式x+2＜x，得：x＞3，则不等式组的解集为x＞3．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组和分式的混合运算，正确求出每一个不等式解集并掌握分式的混合运算顺序和运算法则是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【知识考点】列表法与树状图法；游戏公平性．【思路分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．【解题过程】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，∴P（小颖）＝＝，P（小亮）＝＝，因此游戏是公平．【总结归纳】本题考查列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．18．（6分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，再根据锐角三角函数即可求出观测塔A与渔船C之间的距离．【解题过程】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根据题意可知：AE＝5，∠BAE＝22°，∴BE＝AE•tan22°＝5×＝2，∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4，∴CF＝4，在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC＝＝4×＝4.33（海里）．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.33海里．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．19．（6分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．【思路分析】（1）求出调查人数，和“90﹣100”的人数即可补全频数直方图；（2）用“70﹣80”的频数10除以调查人数50 即可得出m的值；（3）利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数；（4）样本估计总体，样本中优秀所占的百分比为，因此估计总体1200人的是优秀的人数．【解题过程】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：（2）m＝10÷50＝20%，故答案为：20%；（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，因此中位数是84.5，故答案为：84.5；（4）1200×＝672（人），答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．【总结归纳】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解和掌握统计图中的数量关系是正确计算的关键．20．（8分）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时．【解题过程】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，，解得，，即y与t的函数关系式是y＝140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，∴甲进水口的进水速度为：140÷（+1）×＝60（m3/h），480÷60＝8（h），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．【总结归纳】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．。
2020青岛中考数学答案解析
青岛市⼆O ⼆O 年初中学业⽔平考试数学试题及答案解析一、选择题（满分24分）1、的绝对值是（ ）。
A. B. C. D. 【答案】 A2、下列四个图形中，中心对称图形是（ ）。
A. B. C. D.【答案】 D3、年月日，中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网。
其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用。
纳米米，将用科学记数法表示为（ ）。
A. B. C. D. 【答案】 B4、如图所示几何题，其俯视图是（ ）4-44-1414-2020623552222=0.000000022 0.000000022 82.210´82.210-´70.2210-´92210-´【答案】 A5、如图，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）。
A. B.C. D.【答案】 D6、如图，是的直径，点，在上，弧=弧，交于点。
若，则的度数为（ ）。
A. B. C.D. 【答案】 BABC !1P 90!A B C ¢¢¢!A A ¢()04 ，()22 -，()32 -，()14- ，BD O !A C O !AB AD AC BD G 126COD Ð=!AGB Ð99!108!110!117!7、如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为（ ）A.B.C. D. 【答案】C8、已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）【答案】B ABCD C A EF EF AC O 5AE =3BF =AO 254522y ax bx =+c y x=c y x b a=-二、填空题（满分18分）9、________________。
【答案】 10、某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示。
2020年山东省青岛市中考数学试卷及答案
2020年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）（2020•青岛）﹣4的绝对值是（ ） A ．4B ．﹣4C ．14D ．−142．（3分）（2020•青岛）下列四个图形中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•青岛）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A ．2.2×108B ．2.2×10﹣8C ．0.22×10﹣7D ．22×10﹣94．（3分）（2020•青岛）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2020•青岛）如图，将△ABC 先向上平移1个单位，再绕点P 按逆时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（0，4）B ．（2，﹣2）C ．（3，﹣2）D ．（﹣1，4）6．（3分）（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ̂=AD ̂，AC 交BD 于点G ．若∠COD ＝126°，则∠AGB 的度数为（ ）A ．99°B ．108°C ．110°D ．117°7．（3分）（2020•青岛）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O ．若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为（ ）A ．√5B ．32√5C ．2√5D ．4√58．（3分）（2020•青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx 和反比例函数y =cx 的图象如图所示，则一次函数y =ca x ﹣b 的图象可能是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2020•青岛）计算：（√12−√43）×√3=．10．（3分）（2020•青岛）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么 将被录用（填甲或乙）．应聘者 项目 甲 乙学历 9 8 经验 7 6 工作态度5711．（3分）（2020•青岛）如图，点A 是反比例函数y =kx（x ＞0）图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，△OAB 的面积为6．若点P （a ，7）也在此函数的图象上，则a ＝ ．12．（3分）（2020•青岛）抛物线y ＝2x 2+2（k ﹣1）x ﹣k （k 为常数）与x 轴交点的个数是 ． 13．（3分）（2020•青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若DE ＝2，OF ＝3，则点A 到DF 的距离为 ．14．（3分）（2020•青岛）如图，在△ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ．已知∠BAC ＝120°，AB +AC ＝16，MN ̂的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）（2020•青岛）已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（2020•青岛）（1）计算：（1a +1b）÷（ab−ba）；（2）解不等式组：{2x−3≥−5，13x+2＜x．17．（6分）（2020•青岛）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．（6分）（2020•青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D 出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）19．（6分）（2020•青岛）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．20．（8分）（2020•青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？21．（8分）（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．22．（10分）（2020•青岛）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD ＝4m ，宽AB ＝3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝kx 2+m （k ≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元/m 2．已知GM ＝2m ，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？23．（10分）（2020•青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a 个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．24．（12分）（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC 交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020年山东省青岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）（2020•青岛）﹣4的绝对值是（ ） A ．4B ．﹣4C ．14D ．−14【解答】解：∵|﹣4|＝4， ∴﹣4的绝对值是4． 故选：A ．2．（3分）（2020•青岛）下列四个图形中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意； B 、不是中心对称图形，不符合题意； C 、不是中心对称图形，不符合题意； D 、是中心对称图形，符合题意． 故选：D ．3．（3分）（2020•青岛）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A ．2.2×108B ．2.2×10﹣8C ．0.22×10﹣7D ．22×10﹣9【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8． 故选：B ．4．（3分）（2020•青岛）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A．B．C．D．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．5．（3分）（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A 的对应点A ′的坐标是（﹣1，4）． 故选：D ．6．（3分）（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ̂=AD ̂，AC 交BD 于点G ．若∠COD ＝126°，则∠AGB 的度数为（ ）A ．99°B ．108°C ．110°D ．117°【解答】解：∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， ∵AB̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠D ＝45°， ∵∠DAC =12∠COD =12×126°＝63°， ∴∠AGB ＝∠DAC +∠D ＝63°+45°＝108°． 故选：B ．7．（3分）（2020•青岛）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O ．若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为（ ）A ．√5B ．32√5C ．2√5D ．4√5【解答】解：∵矩形ABCD ， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ＝CD ， ∴∠EFC ＝∠AEF ， ∴AE ＝AF ＝3，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA＝OC＝2√5，故选：C．8．（3分）（2020•青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y=c x的图象如图所示，则一次函数y=ca x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴ca＜0，﹣b＜0，∴一次函数y=ca x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2020•青岛）计算：（√12−√43）×√3=4．【解答】解：原式＝（2√3−2√33）×√3=4√33×√3＝4，故答案为：4．10．（3分）（2020•青岛）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么乙将被录用（填甲或乙）．应聘者项目甲乙学历98经验76工作态度 5 7【解答】解：∵x 甲=9×2+7×1+5×32+1+3=203，x 乙=8×2+6+7×32+1+3=436， ∴x 甲＜x 乙， ∴乙将被录用， 故答案为：乙．11．（3分）（2020•青岛）如图，点A 是反比例函数y =kx （x ＞0）图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，△OAB 的面积为6．若点P （a ，7）也在此函数的图象上，则a ＝127．【解答】解：∵AB 垂直于x 轴，垂足为B ， ∴△OAB 的面积=12|k |， 即12|k |＝6，而k ＞0， ∴k ＝12， ∴反比例函数为y =12x， ∵点P （a ，7）也在此函数的图象上， ∴7a ＝12，解得a =127． 故答案为127．12．（3分）（2020•青岛）抛物线y ＝2x 2+2（k ﹣1）x ﹣k （k 为常数）与x 轴交点的个数是 2 ． 【解答】解：∵抛物线y ＝2x 2+2（k ﹣1）x ﹣k （k 为常数）， ∴当y ＝0时，0＝2x 2+2（k ﹣1）x ﹣k ，∴△＝[2（k ﹣1）]2﹣4×2×（﹣k ）＝4k 2+4＞0， ∴0＝2x 2+2（k ﹣1）x ﹣k 有两个不相等的实数根，∴抛物线y ＝2x 2+2（k ﹣1）x ﹣k （k 为常数）与x 轴有两个交点，故答案为：2．13．（3分）（2020•青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若DE ＝2，OF ＝3，则点A 到DF 的距离为4√55．【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AO ＝DO ，∠ADC ＝90°， ∴∠ADE ＝90°， ∵点F 是AE 的中点， ∴DF ＝AF ＝EF =12AE ， ∴OF 垂直平分AD ， ∴AG ＝DG ， ∴FG =12DE ＝1， ∵OF ＝2， ∴OG ＝2， ∵AO ＝CO ， ∴CD ＝2OG ＝4， ∴AD ＝CD ＝4， 过A 作AH ⊥DF 于H ， ∴∠H ＝∠ADE ＝90°， ∵AF ＝DF ， ∴∠ADF ＝∠DAE ， ∴△ADH ∽△AED ， ∴AH DE=AD AE，∴AE =√AD 2+DE 2=√42+22=2√5， ∴AH 2=2√5，∴AH =4√55， 即点A 到DF 的距离为4√55， 解法二：在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AO ＝DO ，∠ADC ＝90°， ∴∠ADE ＝90°， ∵点F 是AE 的中点， ∴DF ＝AF ＝EF =12AE ， ∴OF 垂直平分AD ， ∴AG ＝DG ， ∴FG =12DE ＝1， ∵OF ＝3， ∴OG ＝2， ∵AO ＝CO ， ∴CD ＝2OG ＝4， ∴AD ＝CD ＝4， ∴DG ＝2，∴DF =√DG 2+FG 2=√4+1=√5， 过A 作AH ⊥DF 于H ， ∴∠H ＝∠ADE ＝90°， ∴S △ADF =12DF •AH =12AD •FG ， ∴AH =4√55， 故答案为：4√55．14．（3分）（2020•青岛）如图，在△ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ．已知∠BAC ＝120°，AB +AC ＝16，MN ̂的长为π，则图中阴影部分的面积为 24﹣3√3−3π ．【解答】解：如图，连接OM 、ON ，∵半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ． ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ， ∵∠BAC ＝120°， ∴∠MON ＝60°，∴∠MOB +∠NOC ＝120°， ∵MN ̂的长为π， ∴60πr 180=π，∴r ＝3，∴OM ＝ON ＝r ＝3， 连接OA ，在Rt △AON 中，∠AON ＝30°，ON ＝3， ∴AN =√3， ∴AM ＝AN =√3，∴BM +CN ＝AB +AC ﹣（AM +AN ）＝16﹣2√3， ∴S 阴影＝S △OBM +S △OCN ﹣（S 扇形MOE +S 扇形NOF ）=12×3×（BM +CN ）﹣（120π×32360） =32（16﹣2√3）﹣3π ＝24﹣3√3−3π． 故答案为：24﹣3√3−3π．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．（4分）（2020•青岛）已知：△ABC ．求作：⊙O ，使它经过点B 和点C ，并且圆心O 在∠A 的平分线上．【解答】解：如图所示：⊙O 即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（2020•青岛）（1）计算：（1a+1b）÷（ab−ba）；（2）解不等式组：{2x −3≥−5，13x +2＜x ．【解答】解：（1）原式＝（b ab+a ab）÷（a 2ab−b 2ab）=a+b ab ÷a 2−b 2ab=a+bab •ab(a+b)(a−b)=1a−b ；（2）解不等式2x ﹣3≥﹣5，得：x ≥﹣1， 解不等式13x +2＜x ，得：x ＞3，则不等式组的解集为x ＞3．17．（6分）（2020•青岛）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A ，B 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， ∴P （小颖）=36=12， P （小亮）=36=12， 因此游戏是公平．18．（6分）（2020•青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B ，D ，某海岛上的观测塔A 距离海岸5海里，在A 处测得B 位于南偏西22°方向．一艘渔船从D 出发，沿正北方向航行至C 处，此时在A 处测得C 位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根据题意可知：AE＝5，∠BAE＝22°，∴BE＝AE•tan22°＝5×25=2，∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4，∴CF＝4，在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，∴AC=FCsin67°=4×1312=4.33（海里）．答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.33海里．19．（6分）（2020•青岛）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m ＝ 20% ；（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n 名学生测试成绩的中位数是 84.5 分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：（2）m ＝10÷50＝20%， 故答案为：20%；（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为84+852=84.5，因此中位数是84.5， 故答案为：84.5； （4）1200×12+1650=672（人）， 答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．20．（8分）（2020•青岛）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m 3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y （m 3）与注水时间t （h ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y （m 3）与注水时间t （h ）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？【解答】解：（1）设y 与t 的函数解析式为y ＝kt +b ， {b =1002k +b =380， 解得，{k =140b =100，即y 与t 的函数关系式是y ＝140t +100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m 3/h ）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的34，∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m 3/h ，∴甲进水口的进水速度为：140÷（34+1）×34=60（m 3/h ）， 480÷60＝8（h ），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h ．21．（8分）（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ， ∴∠ADE ＝∠CBF ， 在△ADE 和△CBF 中， {AD =CB∠ADE =∠CBF DE =BF， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形， 理由：∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD ， ∴∠ABD ＝∠ADB ， ∴AB ＝AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．22．（10分）（2020•青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）∵长方形的长AD ＝4m ，宽AB ＝3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ． ∴OH ＝AB ＝3，∴EO ＝EH ﹣OH ＝4﹣3＝1， ∴E （0，1），D （2，0），∴该抛物线的函数表达式y ＝kx 2+1， 把点D （2，0）代入，得k =−14， ∴该抛物线的函数表达式为：y =−14x 2+1； （2）∵GM ＝2， ∴OM ＝OG ＝1， ∴当x ＝1时，y =34， ∴N （1，34），∴MN =34，∴S 矩形MNFG ＝MN •GM =34×2=32， ∴每个B 型活动板房的成本是： 425+32×50＝500（元）．答：每个B 型活动板房的成本是500元； （3）根据题意，得 w ＝（n ﹣500）[100+20(650−n)10] ＝﹣2（n ﹣600）2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有最大值为19200元．答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．23．（10分）（2020•青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有2n﹣3种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有3n﹣8种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有4n﹣15种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a 个整数之和共有a（n﹣a）+1种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有476种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这（n+1）个整数中任取a（1＜a＜n+1）个整数，这a个整数之和共有a（n﹣a+1）+1种不同的结果．【解答】解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为4+5＝9，这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况；故答案为：7；（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n﹣1＝2n﹣1，这2个整数之和共有2n﹣1﹣3+1＝2n ﹣3种不同情况；故答案为：2n﹣3；探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9﹣6+1＝4种不同情况；故答案为：4；（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3，这3个整数之和共有3n﹣3﹣6+1＝3n﹣8种不同结果，故答案为：3n﹣8；探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）＝4n﹣6，因此这4个整数之和共有4n﹣6﹣10+1＝4n﹣15种不同结果，归纳总结：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取a个整数，这a个整数之和的最小值为1+2+…+a=a(a+1)2，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+（n﹣a+1）＝na−a(a−1)2，因此这a个整数之和共有na−a(a−1)2−a(a+1)2+1＝a（n﹣a）+1种不同结果，故答案为：a（n﹣a）+1；问题解决：将n＝100，a＝5，代入a（n﹣a）+1得；5×（100﹣5）+1＝476，故答案为：476；拓展延伸：（1）设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，由上述结论得，a （36﹣a ）+1＝204，解得，a ＝7或a ＝29；答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个整数或取29个整数，能使取出的这些整数之和共有204种不同的结果；（2）根据上述规律，从（n +1）个连续整数中任取a 个整数，这a 个整数之和共有a （n +1﹣a ）+1，故答案为：a （n +1﹣a ）+1．24．（12分）（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD 和Rt △EBF 中，AB ∥CD ，CD ＞AB ，点C 在EB 上，∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，延长DC 交EF 于点M ．点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm /s ．过点P 作GH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上？（2）连接PQ ，作QN ⊥AF 于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值；（3）连接QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（4）点P 在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点P 在∠AFE 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，∴CM BF =CE BE ， ∴8−68=CM 6， ∴CM =32，∵点M 在线段CQ 的垂直平分线上，∴CM ＝MQ ，∴1×t =32，∴t =32；（2）如图1，过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，∵∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，∴AC =√AB 2+BC 2=√64+36=10cm ，EF =√BF 2+BE 2=√64+36=10cm ， ∵CE ＝2cm ，CM =32cm ，∴EM =√EC 2+CM 2=√4+94=52， ∵sin ∠P AH ＝sin ∠CAB ，∴BC AC =PH AP ， ∴610=PH 2t ，∴PH =65t ，同理可求QN ＝6−45t ，∵四边形PQNH 是矩形，∴PH ＝NQ ，∴6−45t =65t ，∴t ＝3；∴当t ＝3时，四边形PQNH 为矩形；（3）如图2，过点Q 作QN ⊥AF 于点N ，由（2）可知QN ＝6−45t ，∵cos ∠P AH ＝cos ∠CAB ，∴AH AP =AB AC ， ∴AH 2t =810，∴AH =85t ，∵四边形QCGH 的面积为S ＝S 梯形GMFH ﹣S △CMQ ﹣S △HFQ ，∴S =12×6×（8−85t +6+8−85t +32）−12×32×[6﹣（6−45t ）]−12×（6−45t ）（8−85t +6）=−1625t 2+15t +572； （4）存在，理由如下：如图3，连接PF ，延长AC 交EF 于K ，∵AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，AC ＝EF ＝10cm ，∴△ABC ≌△EBF （SSS ），∴∠E ＝∠CAB ，又∵∠ACB ＝∠ECK ，∴∠ABC ＝∠EKC ＝90°，∵S △CEM =12×EC ×CM =12×EM ×CK ， ∴CK =2×3252=65， ∵PF 平分∠AFE ，PH ⊥AF ，PK ⊥EF ， ∴PH ＝PK ，∴65t ＝10﹣2t +65， ∴t =72，∴当t =72时，使点P 在∠AFE 的平分线上．。
山东省青岛市2020年中考数学试题(解析版)
山东省青岛市2020年中考数学真题（考试时间：120分钟；满分：120分）说明：1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题，第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第I卷（共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.－4的绝对值是（）A. 4B. 14C. －4D.14【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.）【详解】根据绝对值概念可得-4的绝对值为4.【点睛】错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.2.下列四个图形中，中心对称图形是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. 22×108 B. 2.2×10-8 C. 0.22×10-7 D. 22×10-9 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯ ，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.2a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数。
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山东省青岛市2020年中考数学试题(解析版)一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣B．﹣C．±D．【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：根据相反数、绝对值的性质可知：﹣的相反数是．故选：D．【点评】本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（）A．38.4×104km B．3.84×105kmC．0.384×10 6km D．3.84×106km【分析】利用科学记数法的表示形式即可【解答】解：科学记数法表示：384 000＝3.84×105km故选：B．【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．4．（3分）计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m5【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可．【解答】解：原式＝4m2•2m3＝8m5，故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关键．5．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC ＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．6．（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y ＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣（）0＝2+1．【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，故答案为：2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键．10．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．11．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是8.5环．【分析】由加权平均数公式即可得出结果．【解答】解：该队员的平均成绩为（1×6+1×7+2×8+4×9+2×10）＝8.5（环）；故答案为：8.5．【点评】本题考查了加权平均数和条形统计图；熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键．12．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC ＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为6﹣cm．【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．14．（3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走4个小立方块．【分析】根据新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同解答即可．【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．故答案为：4【点评】本题主要考查了几何体的表面积，理解三视图是解答本题的关键．用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【解答】解：如图，△ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）化简：÷（﹣2n）；（2）解不等式组，并写出它的正整数解．【分析】（1）按分式的运算顺序和运算法则计算求值；（2）先确定不等式组的解集，再求出满足条件的正整数解．【解答】解：（1）原式＝÷＝×＝；（2）由①，得x≥﹣1，由②，得x＜3．所以该不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．所以满足条件的正整数解为：1、2．【点评】本题考查了分式的混合运算、不等式组的正整数解等知识点．解决（1）的关键是掌握分式的运算法则，解决（2）的关键是确定不等式组的解集．17．（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由：列表如下：1 2 3 41 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，故小明获胜的概率为：＝，则小刚获胜的概率为：＝，∵≠，∴这个游戏对两人不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．18．（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别睡眠时间分组人数（频数）1 7≤t＜8 m2 8≤t＜9 113 9≤t＜10 n4 10≤t＜11 4请根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝7，n＝1，a＝17.5%，b＝45%；（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在3组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．【分析】（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；（2）由中位数的定义即可得出结论；（3）由学校总人数×该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果．【解答】解：（1）7≤t＜8时，频数为m＝7；9≤t＜10时，频数为n＝18；∴a＝×100%＝17.5%；b＝×100%＝45%；故答案为：7，18，17.5%，45%；（2）由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，∴落在第3组；故答案为：3；（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×＝440（人）；答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．【点评】本题考查了统计图的有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息．19．（6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，于是得到CE∥DF，推出四边形CDFE是矩形，得到EF＝CD＝120，DF＝CE，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×≈68，BF＝sin32°•BD＝80×≈，∴BE＝EF﹣BF＝，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×＝，∴AB＝AE+BE＝+≈139m，答：木栈道AB的长度约为139m．【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x解得x＝40∴1.5x＝60经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得由①得y＝75﹣1.5x③将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800解得x≥40，当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．【点评】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．23．（10分）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（4a﹣4）种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（8a﹣8）种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体．【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【解答】解：探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；故答案为a﹣1，4a﹣4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为2a﹣2，8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．24．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC ＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6（cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO，∵∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），∵PB＝t，PE⊥AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴t＝8﹣t，∴t＝4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴∠EOC+∠QOC＝90°，∵∠QOC+∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴＝，∴＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）∴当t＝秒时，OE⊥OQ．【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。