2021-2022年高三期末考试(数学文)
2021-2022学年山东省聊城市博文高级中学高三数学文下学期期末试题含解析
2021-2022学年山东省聊城市博文高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数是定义在R上周期为3的奇函数，若，则有A .且 B．或 C． D.参考答案：B2. 已知函数，则的解集为( )A．(-∞,-1)∪(1,+∞) B. [-1,-)∪(0,1]参考答案：B3. 已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点F，点A是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（）A．B． C. D．参考答案：D两曲线有相同的焦点F，则.又AF⊥x轴.不妨设点A在第一象限.可得A(c，2c). 代入可得，整理化简可得：，双曲线经过一三象限的渐近线方程为，令，则：，解得：，即.故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为.本题选择D选项.4. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B.C. D.参考答案：D略5. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2参考答案：B由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，所以选项B错误；（a）⊙b=，(a⊙b)= ( mq－np)=所以对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b），选项C正确；（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2=，|a|2|b|2=，所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。
6. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则= （）A. B. C.D.参考答案：B略7. 的展开式中，常数项是（）A． B． C．D．参考答案：D，令，解得．∴常数项为．8. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.参考答案：A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.9. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A． B．C． D．参考答案： C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。
2021-2022学年江苏省泰州市高三(上)期末数学试卷【含答案】
2021-2022学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ）A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则tan2α＝（ ）A ．724 B ．−724 C ．247 D ．−2474．在（x 2+2）（1x +1）8的展开式中，常数项为（ ） A ．27B ．28C ．29D ．305．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，l 与x 轴交于点A ，过点A 作抛物线的一条切线，切点为B ，则△OAB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ） （参考数据：P （|X ﹣μ|＜σ）＝0.683，P （|X ﹣μ|＜2σ）＝0.954，P （|X ﹣μ|＜3σ）＝0.997）A ．16B ．18C ．20D ．257．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2021）+ f （2022）＝（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．48．已知2a =√3，5b =2√2，c =45，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于函数f （x ）＝sin x +cos x ，下列说法正确的有（ ）A ．2π是一个周期B ．关于（π2，0）对称C ．在[0，π2]的值域为[1，√2]D ．在[π4，π]上递增10．在平行四边形ABCD 中，若AE →=12AB →，AF →=12AD →，则（ ）A ．EF →=12BD →B ．AD →+CD →+BE →=0→C ．AC →+2DF →+2BE →=0→D ．若AC ⊥BF ，AB →•AD →=BC 2→−2CD 2→11．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ）A ．q ＝1，∁n 为圆B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，S 1﹣ABCD 组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD ，△S 1BC 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD ，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L ，则下列结论正确的有（ ）A ．SB ⊥BCB ．SC ⊥ABC ．多面体Γ有外接球D ．L 为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．13．写出一个公差不为零，且满足a 1+a 2﹣a 3＝1的等差数列{a n }的通项公式a n ＝ ．14．若直线x ﹣ay +2a ＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则实数a 的值为 ．15．若函数f （x ）＝cos2x +a cos x 在（0，π3）上是减函数，则实数a 的取值范围为 ．16．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，若该三角形绕着三条边a ，b ，c 旋转一周所得几何体的体积分别为V a ，V b ，V c ．若V a =14，V b =13，V c =12，则cos A 的值为 ；若∠BAC =π6，V b V c ＝1，则V b 2+V c 2−1V a 2的值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin2B −√3bsinA =0．（1）求角B 的大小；（2）给出三个条件：①b =√3；②a +c =3+√3；③c sin C ＝sin A ，试从中选出两个条件，求△ABC 的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，2√S n=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•2a n}的前n项的和．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3．（1）平面P AC ⊥平面ABC ；（2）点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，且二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等，求实数λ的值．20．（12分）一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯Ⅰ和Ⅱ．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯Ⅰ先运行．设电梯在每一层运行时间为a．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X．（1）求P（X＝0）；（2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点坐标为B （﹣2，0），C （2，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为14． （1）求顶点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （1，0）的直线与曲线Γ交于点M ，N ，直线BM ，CN 相交于点Q ，求证：OP →•OQ →为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣sin x，e为自然对数的底数．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≥1﹣x﹣sin x，求实数a的最大值；（3）证明：当a＜12时，f（x）在x＝0处取极小值．2021-2022学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]解：由已知可得集合A ＝{x |﹣1＜x ＜﹣3}，集合B ＝{x |x ＞0}，则∁R B ＝{x |x ≤0}，所以A ∩（∁R B ）＝{x |﹣1＜x ≤0}，故选：C ．2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ）A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），所以a +bi +√a 2+b 2=8+4i ，故{a +√a 2+b 2=8b =4，解得：{a =3b =4，故z ＝a +bi ，故选：A ．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边上有一点P （﹣3，4），则tan2α＝（）A ．724B ．−724C ．247D ．−247解：因为在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边上有一点P （﹣3，4），所以tan α=−43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−43)1−(−43)2=247．故选：C ．4．在（x 2+2）（1x +1）8的展开式中，常数项为（ ）A ．27B ．28C ．29D ．30解：（1x +1）8的展开式的通项公式为T r +1＝C 8r （1x ）8﹣r 1r，含1x 2的系数是C 86=28；常数项的系数是2C 88=2；∴（x 2+2）（1x +1）8的展开式中常数项为2+28＝30． 故选：D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，l 与x 轴交于点A ，过点A 作抛物线的一条切线，切点为B ，则△OAB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8解：由抛物线的方程可得准线方程为x ＝﹣1，所以A （﹣1，0），设过A 点的切线方程为x ＝my ﹣1，m ＞0，与抛物线的方程联立，可得y 2﹣4my +4＝0，由Δ＝16m 2﹣16＝0，得m ＝1，即y 2﹣4y +4＝0，解得y ＝2，即B 的纵坐标为2，所以S △AOB =12|OA |•y B =12×1×2＝1， 故选：A ．6．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：P （|X ﹣μ|＜σ）＝0.683，P （|X ﹣μ|＜2σ）＝0.954，P （|X ﹣μ|＜3σ）＝0.997）A ．16B ．18C ．20D ．25解：∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （600，10000），∴P （X ＞800）=1−P(400＜X ＜800)2=1−0.9542=0.023， ∵该小区有800名居民，∴网购金额超过800元的人数大约为0.023×800＝18.4．故选：B ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2021）+f （2022）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）， 所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （4+x ）＝﹣f （x +2）＝f （x ）， 因为当0≤x ≤1时，（x ）＝3x +a ， 由奇函数性质，得f （0）＝1+a ＝0， 所以a ＝﹣1，所以，当0≤x ≤1时，（x ）＝3x ﹣1， 所以f （1）＝2，f （2）＝﹣f （0）＝0， 则f （2021）+f （2022）＝f （1）+f （2）＝2． 故选：C ．8．已知2a =√3，5b =2√2，c =45，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解：∵2a =√3，5b =2√2，∴a ＝log 2√3=lg √3lg2，b ＝log 52√2=lg2√2lg5， ∵ab =√3⋅lg5lg2⋅lg2√2=lg3⋅lg53lg 22=lg3⋅lg532lg2⋅2lg2=√9⋅lg5lg √8⋅lg41，∴a ＞b ，∵35＜28，∴3＜285，∴log 23＜85，∴12log 23＜45，∴log 2√3＜45，即c ＞a ， ∴c ＞a ＞b ， 故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于函数f （x ）＝sin x +cos x ，下列说法正确的有（ ） A ．2π是一个周期B ．关于（π2，0）对称C ．在[0，π2]的值域为[1，√2]D ．在[π4，π]上递增解：∵函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π），故它的周期为2π，故A 正确；令x =π2，求得f （x ）＝1，故f （x ）的图象不关于（π2，0）对称，故B 错误；在[0，π2]上，x +π4∈[π4，3π4]，f （x ）的值域为[1，√2]，故C 正确；在[π4，π]，x +π4∈[π2，5π4]，f （x ）单调递减，故D 错误，故选：AC ．10．在平行四边形ABCD 中，若AE →=12AB →，AF →=12AD →，则（ ）A ．EF →=12BD →B ．AD →+CD →+BE →=0→C ．AC →+2DF →+2BE →=0→D ．若AC ⊥BF ，AB →•AD →=BC 2→−2CD 2→解：EF →=AF →−AE →=12AD →−12AB →=12BD →，故A 正确；在平行四边形ABCD 中，BA →=CD →，所以AD →+CD →+BE →=AD →+BA →+BE →=AD →−AB →+BE →=BD →+BE →=0→，故B 错误； 因为2BE →=BA →，2DF →=DA →=CB →，所以AC →+2DF →+2BE →=AC →+CB →+BA →=AB →+BA →=0→，故C 正确； 因为AC ⊥BF ，所以(AB →+AD →)⋅(AB →−12AD →)=0， 所以12AB →⋅AD →=12AD →2−AB →2，即AB →⋅AD →=BC →2−2CD →2，故D 正确； 故选：ACD ．11．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ） A ．q ＝1，∁n 为圆 B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2 C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线解：对于选项A ，当q ＝1时，a n ＝a 1＞0，所以曲线∁n ：a 1x 2+a 1y 2＝1，即x 2+y 2=1a 1表示圆，故A 正确；对于选项B ，当q ＝﹣1时，a n ＝a 1•（﹣1）n ﹣1，a n +1＝a 1•（﹣1）n ，当n 为奇数时，a n ＝a 1，a n +1＝﹣a 1，所以曲线∁n：a1x2﹣a1y2＝1，所以a2=b2=1a1，所以c2＝a2+b2=2a1，所以∁n离心率为e=c a=√2，故选项B错误；对于选项C，当q＞1时，a n＝a1•q n﹣1，a n+1＝a1•q n，所以曲线∁n：a1•q n﹣1x2+a1•q n y2＝1，所以a2=1a1q n−1，b2=1a1q n，所以c2＝a2﹣b2=1a1q n−1−1a1q n=q−1a1q n，所以曲线∁n的离心率为e=c a=√q−1q，故C正确；对于选项D，当q＜0时，a n＝a1•q n﹣1，a n+1＝a1•q n，当n为奇数时，a n＝a1•q n﹣1＞0，a n+1＝a1•q n＜0，所以曲线∁n：a1•q n﹣1x2﹣（﹣a1•q n）y2＝1，其渐近线的方程为x±qy＝0；当n为偶数时，a n＝a1•q n﹣1＜0，a n+1＝a1•q n＞0，所以曲线∁n：a1•q n y2﹣（﹣a1•q n﹣1）x2＝1，所以其渐近线的方程为√−q y±x＝0，故D正确，故选：ACD．12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S﹣ABCD，S1﹣ABCD组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD，△S1BC 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L，则下列结论正确的有（）A．SB⊥BC B．SC⊥ABC．多面体Γ有外接球D．L为定值解：对于A选项，因为△SAB≌△SDC，且SA＝SD，AB＝DC，则SB＝SC，因为△SBC为等腰直角三角形，则SB⊥SC，A错；对于B选项，若SA⊥AB，因为△SAB为等腰直角三角形，则SA＝AB，设SA＝AB＝a，从而SB=√SA2+AB2=√2a，从而SC=√2a，因为BC＝AD＝a，则SB2+SC2＞BC2，故△SBC不为等腰直角三角形，矛盾，故SA≠AB，若SA＝SB，则SC＝SB＝AD＝BC，则△SBC为等边三角形，矛盾，故SB＝AB，因为△SAB为等腰直角三角形，则AB⊥SB，∵AB⊥BC，SB∩BC＝B，则AB⊥平面SBC，∵SC⊂平面SBC，∴SC⊥AB，B对；对于C选项，连接AC、BD交于点O，连接OS、OS1，因为SC⊥SB，SC⊥AB，SB∩AB＝B，则SC⊥平面SAB，∵SA⊂平面SAB，则SA⊥SC，故OS＝OA＝OB＝OC＝OD=12AC，同理OS1=12AC，因此，多面体Γ有外接球，C对；对于D选项，设截面α与多面体Γ各棱的交点如下图所示：因为平面α∥平面SAD，平面SAB∩平面α＝GF，平面SAD∩平面SAB＝SA，故GF∥SA，同理可证ET∥SD，EF∥BC，RH∥AD，GH∥S1B，RT∥S1C，将侧面SAD、SBC、SCD、S1AB、S1AD、S1CD延展成一个平面，如下图所示：由上图可知，四边形ABB′A′为平行四边形，且AA′＝3SA，且点G、F、E、T、G、H、G′共线，则L＝GG′，因为GF∥SA，从而GG′∥AA′，又因为AG∥AG′，故四边形AA′G′G为平行四边形，故L＝GG′＝AA′＝3SA，D对，故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 13．写出一个公差不为零，且满足a 1+a 2﹣a 3＝1的等差数列{a n }的通项公式a n ＝ n +1 ． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 1+a 2﹣a 3＝a 1+a 1+d ﹣（a 1+2d ）＝1， 即a 1﹣d ＝1，不妨记d ＝1，则a 1＝2，故此时等差数列{a n }的通项公式a n ＝n +1， 故答案为：n +1．14．若直线x ﹣ay +2a ＝0被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2，则实数a 的值为 ±√3 ． 解：设圆心到直线的距离为d ，则2√4−d 2=2，即d 2＝3， 从而：(√1+a 2)2=3，整理可得：a 2＝3，∴a ＝±√3．故答案为：±√3．15．若函数f （x ）＝cos2x +a cos x 在（0，π3）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：∵函数f （x ）＝cos2x +a cos x ＝2cos 2x +a cos x ﹣1在（0，π3）上是减函数，令t ＝cos x ，则t ∈（12，1），故函数f （x ）＝g （t ）＝2t 2+at ﹣1在（12，1）上单调递增，∴−a 4≤12，∴a ≥﹣2，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）， 故答案为：[﹣2，+∞）．16．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，若该三角形绕着三条边a ，b ，c 旋转一周所得几何体的体积分别为V a ，V b ，V c ．若V a =14，V b =13，V c =12，则cos A 的值为 −14 ；若∠BAC =π6，V b V c ＝1，则V b 2+V c 2−1V a 2的值为 √3 ．解：设a ，b ，c 边上的高分别为h a ，h b ，h c ，该三角形的面积为S ，则V a =13⋅πℎa 2⋅a =4π3a S 2=14，即a =16π3S 2，同理可知，b =12π3S 2，c =8π3S 2，所以a ：b ：c ＝4：3：2，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =−14；由上述过程可知，aV a ＝bV b ＝cV c ，因为cosA=√32=b2+c2−a22bc，所以1V b2+1V c2−1V a2=√3V b V c，因为V b V c＝1，所以V b2+V c2−1V a2=√3．故答案为：−14；√3．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin2B−√3bsinA=0．（1）求角B的大小；（2）给出三个条件：①b=√3；②a+c=3+√3；③c sin C＝sin A，试从中选出两个条件，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足a sin2B−√3b sin A＝0．利用正弦定理和倍角公式得：2sin A sin B cos B=√3sin B sin A，∵sin B sin A≠0，∴cos B=√32，由于B∈（0，π），所以B=π6；（2）选①b=√3，②a+c＝3+√3时，由（1）得：B=π6，由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得，3＝（3+√3）2﹣（2+√3）ac，解得，ac＝3√3，所以S△ABC=12ac sin B=3√34．选：①b=√3；③c sin C＝sin A时，③由正弦定理得，c2＝a，利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，整理得：3＝a2+a﹣2a 32×√32，∴a2−√3 a 32=3﹣a，a 32（a12−√3）＝﹣（√3+a12）（a12−√3）故a 12=√3，∴a ＝3，c =√3， 所以S △ABC =12ac sin B =3√34． 选：②a +c ＝3+√3，③c sin C ＝sin A 时， ③由正弦定理得，c 2＝a ， 代入②得，c 2+c ＝3+√3， 故c =√3，a ＝3， 所以S △ABC =12ac sin B =3√34． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，2√S n =a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n •2a n}的前n 项的和．解：（1）∵2√S n =a n +1， ∴4S n =(a n +1)2，那么n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2， 两式相减得：4a n =a n2+2a n −a n−12−2a n−1，即2（a n +a n ﹣1）＝（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）， 因为各项为正的数列{a n }， 所以a n ﹣a n ﹣1＝2，又2√S 1=2√a 1=a 1+1，得a 1＝1， ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n =1+(n −1)×2=2n −1(n ∈N ∗)， 综上所述，a n =2n −1(n ∈N ∗)． （2）a n •2a n =（2n ﹣1）×22n ﹣1，设数列{a n •2a n }的前n 项的和为T n ，所以T n ＝1×21+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，①4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+（2n ﹣1）×22n +1，② ①﹣②得，﹣3T n ＝2﹣（2n ﹣1）×22n +1+2（23+25+27+……+22n ﹣1）＝2﹣（2n ﹣1）×22n +1+2×8−22n+11−4=（53−2n ）×22n +1−103，所以T n ＝（23n −59）×22n +1+109．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3．（1）平面P AC ⊥平面ABC ；（2）点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，且二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等，求实数λ的值．解：（1）证明：∵在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2，PB ＝BC ＝4，P A ＝PC ＝AC ＝2√3， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，AB 2+P A 2＝PB 2， ∴AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，∵AC ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ．（2）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2√3，0），P （0，√3，3），设D （a ，b ，c ），∵点D 是棱BC 上一点，BD →=λBC →，∴（a ﹣2，b ，c ）＝（﹣2λ，2√3λ，0），∴D （2﹣2λ，2√3λ，0），PA →=（0，−√3，﹣3），PB →=（2，−√3，−3），PC →=（0，√3，﹣3），PD →=（2﹣2λ，2√3λ−√3，﹣3），设平面P AB 的法向量n 1→=（x 1，y 1，z 1），则{n 1→⋅PA →=−√3y 1−3z 1=0n 1→⋅PB →=2x 1−√3y 1−3z 1=0，取y 1=√3，得n 1→=（0，√3，﹣1）， 设平面P AD 的法向量n 2→=（x 2，y 2，z 2），则{n 2→⋅PA →=−√3y 2−3z 2=0n 2→⋅PD →=(2−2λ)x 2+(2√3λ−√3)y 2−3z 2=0，取y 2=√3，得n 2→=（3λλ−1，√3，﹣1）， 平面P AC 的法向量n 3→=（1，0，0），∵二面角B ﹣P A ﹣D 与二面角C ﹣P A ﹣D 的大小相等， ∴|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=|n 3→⋅n 2→||n 3→|⋅|n 2→|，∴2√4+(3λλ−1)2=3λ1−λ√4+(3λλ−1)2，解得λ=25．20．（12分）一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯Ⅰ和Ⅱ．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯Ⅰ先运行．设电梯在每一层运行时间为a ．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X ． （1）求P （X ＝0）；（2）为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．解：（1）由题意可得，X ＝0的基本事件为：I 在4层II 在其它层，II 在4层I 在其它层，I ，II 都在4层，故P （X ＝0）=110×910+910×110+110×110=19100．（2）设X 为运行一部电梯时的等待时间，Y 为运行两部电梯时的等待时间， 当运行一部电梯时，X 所有可能取值为0，a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，故E （X ）=0×110+a ×15+2a ×15+3a ×15+4a ×110+5a ×110+6a ×110=2710a ， 当运行两部电梯时，Y 所有可能取值为0，a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ， P （Y ＝0）=19100，P （Y ＝a ）=2×110×910+2×110×710=825， P （Y ＝2a ）=2×110×710+2×110×12=625， P （Y ＝3a ）=2×110×12+2×110×310=425， P （Y ＝4a ）=110×310+110×15=120， P （Y ＝5a ）=110×15+110×110=3100， P （Y ＝6a ）=110×110=1100， E （Y ）=0×19100+a ×825+2a ×625+3a ×425+4a ×120+5a ×3100+6a ×1100=169100a ， 故运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间为2710a −169100a =101100a ．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点坐标为B （﹣2，0），C （2，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为14．（1）求顶点A 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （1，0）的直线与曲线Γ交于点M ，N ，直线BM ，CN 相交于点Q ，求证：OP →•OQ →为定值． （1）解：设A （x ，y ），则yx+2⋅yx−2=14，即x 24−y 2=1(x ≠±2)，所以顶点A 的轨迹Γ的方程为x 24−y 2=1(x ≠±2)．（2）证明：设直线MN 方程为x ＝my +1， 与x 24−y 2=1联立得（m 2﹣4）y 2+2my ﹣3＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−2m m 2−4，y 1y 2=−3m 2−4， 所以2my 1y 2＝3（y 1+y 2）， 联立y =y 1x 1+2(x +2)，y =y 2x 2−2(x −2)得x Q =2(x 1y 2+x 2y 1)+2(y 2−y 1)x 1y 2−x 2y 1+2(y 2+y 1)， 因为（x 1y 2+x 2y 1）+2（y 2﹣y 1）＝（my 1+1）y 2+（my 2+1）y 1+2（y 2﹣y 1）＝2my 1y 2+3y 2﹣y 1， x 1y 2﹣x 2y 1+2（y 2+y 1）＝（my 1+1）y 2﹣（my 2+1）y 1+2（y 2+y 1）＝3y 2+y 1， 所以x Q =2×2my 1y 2+3y 2−y 13y 2+y 1=2×3(y 1+y 2)+3y 2−y 13y 2+y 1=4，所以OP →⋅OQ →=(1，0)⋅(4，y Q )=4为定值．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣sin x ，e 为自然对数的底数． （1）求f （x ）在x ＝0处的切线方程；第21页（共21页） （2）当x ≥0时，f （x ）≥1﹣x ﹣sin x ，求实数a 的最大值；（3）证明：当a ＜12时，f （x ）在x ＝0处取极小值．解：（1）∵f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣sin x ，∴f （0）＝1，且f ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣cos x ，则f ′（0）＝0，所以f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝1．（2）当x ≥0时，f （x ）≥1﹣x ﹣sin x ，即e x ﹣ax 2+x ﹣1≥0，当x ＝0时，e x ﹣ax 2+x ﹣l ＝0，当x ＞0时，e x ﹣ax 2+x ﹣l ≥0，即a ≤e x +x−1x 2， 因为x ＞0，所以e x ﹣1＞e 0﹣1＝0，当x ＞2时，g '（x ）＞0，g （x ）在（2，+∞）上单调递增；当0＜x ＜2时，g '（x ）＜0，g （x ）在 （0，2）上单调递减，所以g （x ）min ＝g （2）=e 2+14所以a ≤e 2+14，所以实数a 的最大值为e 2+14． （3）若a ＜12，当x ∈（−π2，π2），y ＝e x 和y ＝sin x 都单调递增， 所以h ′（x ）＝e x ﹣2a +sin x 单调递增，①当h '（−π2）＝e −π2−2a ﹣1≥0，即a ≤e −x 2−12时，则h ′（x ）＝e x ﹣2a +sin x ≥0（x ∈（−π2，π2），则h （x ）在x ∈（−π2，π2）上单调递增， 而h （0）＝0，所以当x ∈（−π2，0）时，h （x ）＜0，所以f （x ）在（−π2，0）上单调递减；当x ∈（0，π2）时，h （x ）＞0，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增；所以f （x ）在x ＝0处取极小值； ②当h '（−π2）＝e −π2−2a ﹣1＜0，即e −x 2−12＜a ＜12时，h ′（0）＝1﹣2a ＞0，且x ∈（−π2，π2）， h '（x ）＝e x ﹣2a +sin x 单调递增，所以存在x 0∈（−π2，0），使得h ′（x 0）＝0，且x ∈（x 0，π2）时，h ′（x ）＞0， 则h （x ）在（x 0，π2）上单调递增，而h （0）＝0， 所以当x ∈（x 0，0）时，h （x ）＜0，所以f （x ）在（x 0，0）上单调递减；当x ∈（0，π2）时，h （x ）＞0，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增； 所以f （x ）在x ＝0处取极小值．综上，当a ＜12时，f （x ） 在x ＝0处取极小值．。
2021-2022学年高等数学期末考试试卷
2021～2022 学年《高等数学》期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共30分）1. 下列微分方程是线性的是（ ）A.22y x y '=+B.2x y y e '+=C.2y x y '+=D.2y y xy '-=.2.若()f x 为可导、可积函数，则（ ）A. ()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B. d ()()f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ C. ()d ()f x x f x '=⎰ D. d ()()f x f x =⎰3.ln d xx x =⎰（ ）A. 21ln 2x x C +B. 21ln 2x C +C. ln x C x +D. 221ln x C x x-+ 4. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A. 222(1)x C ++ B. 222(1)x C --+ C.221(1)2x C ++ D. 221(1)2x C --+ 5. 设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=badx x f 0)(，则（ ）。
A.在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ；B. 在],[b a 上，0)(≡x f ；C. 在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；D. 在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
6．下列所给级数，发散的是（ ）A ．()∑∞=11.0n n nB ．∑∞=12321n n C ．()∑∞=+-18100101n nn D ．∑∞=11sin n n n7.设(,)f x y是连续函数，则二次积分011(,)x dx f x y dy -+⎰改变积分顺序为( )A．1120111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰ B ．111(,)y dy f x y dx --⎰⎰C．11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰D．21(,)dy f x y dx -⎰⎰8. 设∑∞=1n na收敛，则∑∞=1n na（ ）A ．必收敛，且收敛于∑∞=1n na的和 B ．不一定收敛C ．必收敛，但不一定收敛于∑∞=1n na的和 D ．一定发散9. 设)(x f 是区间[]02，上的连续函数，且20()xf t dt x =-⎰(1)f =（ ）A ． 2B ． -2C ． 0D ．110.设12()()y x y x ，是二阶线性齐次微分方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，12c c ，是任意常数，则1122()()y c y x c y x =+ ( )A ．是此方程的通解B ．是此方程的特解C ．不一定是该方程的解D ．是该方程的解二、填空题（每小题2分，共10分）11. 微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为 ；12. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰ ；13. 幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域为 ；14. 设:00D y x a ≤≤≤≤，由二重积分的几何意义知2Ddxdy =⎰⎰___________；15.设()f x 是连续函数，且0()sin ()d f x x xf x x π=+⎰，则()f x = ；二、 计算题（每小题6分，共48分）16.⎰ 17. 2arctan 1xdx x +⎰18. ⎰--112d x x x19. 计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =+所围成的区域；20.利用极坐标计算二重积分arctan d d Dy x y x ⎰⎰，其中22:14,0,D x y y y x ≤+≤≥≤；21.判断级数的收敛性：1!n n n n ∞=∑；22. 求解微分方程232x y y y e -'''++=的通解；23.求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数.四、证明应用题（每小题6分，共12分 ）24.证明：设)(x f 在区间)0(],[>-a a a 上连续，证明：[]0()()()a a af x dx f x f x dx -=-+⎰⎰25.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线的斜率等于2x y +.。
山东省济南市2021-2022学年高三上学期期末数学试题
【解析】
【分析】先分别求甲乙两箱摸到红球的概率，进一步求摸到红球的概率.
【详解】甲箱摸到红球的概率 ，乙箱摸到红球的概率 ；
硬币正面向上时的概率 ，硬币正面向下时的概率 ，
故摸到红球的概率为 .
故答案为: .
16.某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列 ；第三行得到数列 ，则第5行从左数起第6个数的值为________.用 表示第 行所有项的乘积，若数列 满足 ，则数列 的通项公式为________.
C.丙地：均值为7，方差为2D.丁地：极差为 ， 分位数为8
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项AC：首先假设不达标，通过均值、中位数和方差的公式运算，检验假设是否成立；对于选项BD：根据众数、中位数、极差和百分位数定义即可判断.
【详解】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为 ， ， ， ，
且 ，其中 ，
【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A；
根据向量数量积的坐标表示即可判断B；
根据 即可判断C；
根据投影向量的定义即可判断D.
【详解】解： ，则 ，故A错误；
，故B正确；
，又 ，所以向量 与 的夹角为60°，故C错误；
向量 在 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：BD.
10.已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正确的是（）
选项A：若不达标，则 ，因为中位数为5，所以 ，
又因为均值为4，故 ，从而 ，且 ，则 ， ， ， 满足题意，从而甲地有可能不达标；故A错误；
选项B：由众数和中位数定义易知，当 ， ， ， 时，乙地不达标，故B错误；
2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期末考试数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期末考试数学试卷1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x(x−2)<0}，则A∩B=( )A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}2.抛物线x2=2y的准线方程为( )A. x=−1B. y=−1C. x=−12D. y=−123.复数52+i的虚部为( )A. −2B. 2C. −1D. 14.在(x−1x2)4的展开式中，x的系数为( )A. −4B. 4C. −6D. 65.已知角α的终边在第三象限，且tanα=2，则sinα−cosα=( )A. −1B. 1C. −√55D. √556.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，则“a4>a3”是“对于任意n∈N∗且n≠3，S n> S3”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若函数y=sin(πx−π6)在[0,m]上单调递增，则m的最大值为( )A. 13B. 12C. 23D. 18.已知圆C过点A(−1,2)，B(1,0)，则圆心C到原点距离的最小值为( )A. 12B. √22C. 1D. √29.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的34，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是( )A. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 3：410.已知函数f(x)=2x，g(x)=log a x，若对于f(x)图象上的任意一点P，在g(x)的图象上总存在一点Q，满足OP⊥OQ，且|OP|=|OQ|，则实数a=( )A. 14B. 12C. 2D. 411.双曲线x2−y 24=1的渐近线方程是__________.12. 已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．现从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是__________.13. 已知函数f(x)的值域为[−3,3]，f(x)的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与f(x)的图象重合，写出符合上述条件的一个函数f(x)的解析式：__________.14. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，且|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=__________，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为__________.15. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱B 1C 1的中点．动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列三个结论： ①存在点P ，使得PA 1=PE ； ②△PA 1E 的面积越来越小； ③四面体A 1PB 1E 的体积不变． 所有正确的结论的序号是__________.16. 在△ABC 中，b 2+c 2−a 2+bc =0. (Ⅰ)求∠A 的大小：(Ⅰ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在，求△ABC 的面积．条件①：cosB =13； 条件②：sinC =√22；条件③：a =√3.17. 如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=1.E 为A 1D 1的中点，平面CB 1E 交棱DD 1于点F. (Ⅰ)求证：B 1C//EF ；(Ⅰ)求二面角C −B 1E −C 的余弦值，并求点A 到平面CB 1E 的距离．18. 某班组织冬奥知识竞赛活动．规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是23且每道题正确完成与否互不影响．乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成． (Ⅰ)求甲至少正确完成其中2道题的概率；(Ⅰ)设随机变量X 表示乙正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望EX ；(Ⅰ)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由．19. 已知点A(0,−1)在椭圆C ：x 23+y 2b2=1上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程和离心率；(Ⅰ)设直线l ：y =k(x −1)(其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ，F ，直线AE ，AF 分别交直线x =3于点M ，N.当△AMN 的面积为3√3时，求k 的值． 20. 函数f(x)=ae x −sinx +2x.(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅰ)当a ≥0时，求函数f(x)在[0,1]上的最小值； (Ⅰ)直接写出a 的一个值，使f(x)≤a 恒成立，并证明． 21. 已知n 行n 列(n ≥2)的数表A =(a 1a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn)中，对任意的i ∈[1,2,…，n}，j ∈[1,2,…，n}，都有a ij ∈{0,1}.若当a ij =0时，总有∑a ij n i=1+∑a ij n j=1≥n ，则称数表A 为典型表，此时记S n =∑∑a ij nj=1n i=1.(Ⅰ)若数表B =(001100110)，C =(110011000111011)，请直接写出B ，C 是否是典型表； (Ⅰ)当n =6时，是否存在典型表A 使得S 6=17，若存在，请写出一个A ；若不存在，请说明理由；(Ⅰ)求S n 的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．【解答】解：集合A={−1,0,1,2}，B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，则A∩B={1}.故选：C.2.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线方程求解p，然后推出准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线方程的求法，是基础题．【解答】解：抛物线x2=2y，可得p=1，所以抛物线的准线方程为：y=−12.故选：D.3.【答案】C【解析】【分析】先化简复数，然后根据虚部的定义即可求解．本题考查了复数的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．【解答】解：因为复数52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，则复数的虚部为−1，故选：C.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x的系数．【解答】解：(x−1x2)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r⋅x4−r⋅(−1x2)r=C4r⋅(−1)r⋅x4−3r，令4−3r=1，求得r=1，可得展开式中x的系数为−C41=−4，故选：A.5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为角α的终边在第三象限，且tanα=2，所以cosα=−√11+tan2α=−√11+22=−√55，可得sinα=−√1−cos2α=−2√55，所以sinα−cosα=−2√55−(−√55)=−√55.故选：C.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件的判断，涉及等差数列的性质，属于中档题．根据充分必要条件的定义进行判断．【解答】解：因为{a n}是等差数列，设公差为d，若a4>a3，即a4−a3>0，也即d>0，如果{a n}是正项等差数列，当n=1时，S1>S3显然不成立，故由“a4>a3”不能推出“对于任意n∈N∗且n≠3，S n>S3”；反之，“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”可以推出“a 4>a 3”，即“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”⇒d >0，理由如下：用反证法说明：如果d <0，则数列{a n }为递减数列，n →+∞时，S n 越来越小，故不能满足对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”；如果d =0，则数列{a n }为常数数列，假设a n =1,显然S n >S 3在n ≤3且n ∈N ∗时不成立； 故假设不成立，如果d >0，“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”可以推出“a 4>a 3”， 所以“a 4>a 3”是“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”的必要不充分条件， 故选：B.7.【答案】C【解析】 【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围． 本题主要考查正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题． 【解答】解：由y =sin(πx −π6)，可得当−π2+2kπ≤πx −π6≤π2+2kπ，k ∈Z 时函数单调递增， 即x ∈[−13+2k,23+2k]，k ∈Z ， 当k =0时，x ∈[−13,23]， 又函数在[0,m]上单调递增， 所以0<m ≤23，即m 的最大值为23. 故选：C.8.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，设圆心C 的坐标为(x,y)，求出圆心C 的轨迹为直线x −y +1=0，由点到直线的距离公式分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离，属于基础题． 【解答】解：根据题意，设圆心C 的坐标为(x,y)，圆C 过点A(−1,2)，B(1,0)，则有(x +1)2+(y −2)2=(x −1)2+(y −0)2，变形可得：x −y +1=0，即圆心C 在直线x −y +1=0上， 圆心C 的轨迹为直线x −y +1=0，则圆心C 到原点距离的最小值即原点到直线x −y +1=0的距离，则其最小值d =√1+1=√22，故选：B.9.【答案】B【解析】 【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方即可求解． 本题主要考查体积的计算，立体几何的实际应用等知识，属于基础题． 【解答】解：因为A ，B 是两个形状相同的杯子，且B 杯高度是A 杯高度的34， 将两个杯子看成是圆柱体， 所以底面半径比也是34，所以两个杯子的底面积之比为S B :S A =(34)2，所以B 杯容积与A 杯容积之比S B ℎB S A ℎA =(34)2×34=2764≈0.4=2:5，故选：B.10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了指数函数和对数函数的图象及性质和分类讨论思想，难点在于找出x ，y 之间的关系，属于难题．设点P(x,2x )，点Q(b,y)，分类讨论x =0和x ≠0两种情况，结合已知条件可以得到x ，y 的关系式，分析化简知y =−x ，代入化简即可得解． 【解答】解：设点P(x,2x )，点Q(b,y)，当x =0时，点P(0,1)，根据指数函数与对数函数的性质知，此时Q(1,0)，显然满足条件； 当x ≠0，y ≠0，由OP ⊥OQ ， 知k OP ⋅k OQ =−1，即2x x ⋅yb=−1，即b =−yx ⋅2x (∗)，又|OP|=|OQ|，知√(2x )2+x 2=√b 2+y 2，即x 2+22x =y 2+b 2，将(∗)式代入，得x 2+22x =y 2+(−y x⋅2x )2=y 2+y 2x 2⋅22x =y 2x 2(x 2+22x )，由于x 2≥0，22x >0，有x 2+22x >0， 因此有y 2x 2=1，即y 2=x 2，即y =±x ，由于b >0，2x >0，所以(∗)式可知y =x 不满足条件，则有y =−x ，代入(∗)式得2xx=−b y =−a −x −x=a −x x=(1a )xx ，所以1a =2，故a =12. 故选：B.11.【答案】y =±2x【解析】 【分析】渐近线方程是x 2−y 24=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题． 【解答】解：∵双曲线标准方程为x 2−y 24=1， 其渐近线方程是x 2−y 24=0，整理得y =±2x. 故答案为y =±2x.12.【答案】1234【解析】 【分析】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．空1，总事件数为8，摸出白球事件数为4，可求解；空2总事件数为8，选出的球是白球，则该球选自甲盒的事件数为3，可求解. 【解答】解：从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是：48=12， 若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是P =3812=34.13.【答案】f(x)=3sin(2πx)(x ∈R)(答案不唯一)【解析】 【分析】本题考查函数的值域，以及函数的周期性，考查函数思想和推理能力，属于基础题． 考虑三角函数的值域和周期，可得满足条件的一个函数． 【解答】解：考虑f(x)=3sin(2πx)(x ∈R)，可得f(x)的值域为[−3,3]，且f(x)的最小正周期为1，f(x)的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与f(x)的图象重合． 故答案为：f(x)=3sin(2πx)(x ∈R)(答案不唯一).14.【答案】2−2【解析】 【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．根据向量数量积定义及其运算性质计算，再根据余弦函数最值性求解． 【解答】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，因为CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4 =1⋅2⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4 =2cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4≤−2，当<AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=0时，等号成立，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是−2， 故答案为：2；−2.15.【答案】①②③【解析】 【分析】本题主要考查立体几何中的探索性问题，锥体体积的计算等知识，属于中等题．建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出P(0,m,0)(0≤m ≤2)，选项①，列出方程，求出m 的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P 到直线A 1E 距离，表达出△PA 1E 的面积，进而得到答案；③把△A 1B 1E 作为底，高为点P 到上底面的距离h ，可以判断四面体A 1PB 1E 的体积不变． 【解答】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A 1(2,0,2)，E(1,2,2)，设P(0,m,0)(0≤m ≤2)， 则PA 1=√4+m 2+4=√m 2+8，PE =√1+(m −2)2+4=√m 2−4m +9， 令m 2+8=m 2−4m +9，解得：m =14， 存在点P ，使得PA 1=PE ，①正确；PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2−m,2)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0)，|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4=√5，cos⟨PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√5⋅√m 2−4m+9=√5⋅√m 2−4m+9，设点P 到直线A 1E 距离为d ，则d =|PE ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin⟨PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√m 2−4m +9⋅√1−(3−2m√5⋅√m 2−4m+9)2=√m 2−8m+36√5，所以S △PA 1E =12|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅d =12√m 2−8m +36=12√(m −4)2+20，因为0≤m ≤2，动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，即m 从0逐渐变到2，随着m 的变大，(m −4)2+20变小，△PA 1E 的面积越来越小，②正确； 以△A 1B 1E 为底，高为点P 到上底面的距离h ，因为DC//底面A 1B 1C 1D 1，所以h 不变，所以四面体A 1PB 1E 的体积不变，③正确． 故答案为：①②③．16.【答案】解：(Ⅰ)因为b 2+c 2−a 2+bc =0，所以b 2+c 2−a 2=−bc ，由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12，因为A ∈(0,π)，所以A =2π3. (Ⅰ)选择条件①②：cosB =13，sinC =√22，因为A =2π3，所以C ∈(0,π2)，所以cosC =√22，所以cosB =−cos(A +C)=−cosAcosC +sinAsinC =−(−12)×√22+√32×√22=√2+√64≠13，故△ABC 不存在．选择条件①③：cosB =13，a =√3，因为A =2π3，所以B ∈(0,π2)，所以sinB =2√23， 由正弦定理知，a sinA =b sinB ，即√3√32=2√23，所以b =4√23>a ，故△ABC 不存在． 选择条件②③：sinC =√22，a =√3，由正弦定理知，asinA =csinC ，即√3√32=√22，所以c =√2，所以sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =√32×√22+(−12)×√22=√6−√24，所以△ABC 的面积为S =12acsinB =12×√3×√2×√6−√24=3−√34. 【解析】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和差公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)利用余弦定理，即可得解； (Ⅰ)选择条件①②：易知cosC =√22，再由cosB =−cos(A +C)，计算可得cosB =√2+√64≠13，故△ABC不存在；选择条件①③：利用正弦定理可得b =4√23>a ，与“大边对大角”不符合，故△ABC 不存在； 选择条件②③：先利用正弦定理求得c =√2，再由sinB =sin(A +C)，计算sinB 的值，最后根据S =12acsinB ，得解．17.【答案】(I)证明：由长方体的性质知：面BCC 1B 1//面ADD 1A 1，又B 1C ⊂面BCC 1B 1，∴B 1C//面ADD 1A 1，又面CB 1E ∩面ADD 1A 1=EF ，且B 1C ⊂面CB 1E ，∴B 1C//EF.(II)解：由题设，构建如下空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B 1(2,0,1)， E(0,1,1)，C(2,2,0)，C 1(2,2,1)，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,−1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)， 若面CB 1E 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ 1=2x −y =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 1=−2y +z =0，令y =2，则m ⃗⃗⃗ =(1,2,4)，而面C 1B 1E 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴cos⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=4√1+4+16=4√2121，即为所求二面角余弦值．∴A 到平面CB 1E 的距离为|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <m ⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√2×√4214=2√217. 【解析】本题考查利用向量解决空间角，及距离的问题，考查学生的运算能力，属于中档题． (I)由面面平行的性质可得B 1C//面ADD 1A 1，再由线面平行的性质即可证结论．(II)构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，再求面CB 1E 、面C 1B 1E 的法向量及直线AC 的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角余弦值及线线角余弦值，进而求A 到平面CB 1E 的距离．18.【答案】解：(I)设随机变量Y 表示甲正确完成题目的个数，P(Y =2)=C 32(23)2(13)=49，P(Y =3)=C 33(23)3=827，故甲至少正确完成其中2道题的概率P =P(Y =2)+P(Y =3)=49+827=2027. (II)由题意可知，X 所有可能取值为1，2，3， P(X =1)=C 41C 22C 63=15，P(X =2)=C 42C 21C 63=35，P(X =3)=C 43C 2C 63=15，故X 的分布列为： X 1 2 3P153515E(X)=1×15+2×35+3×15=2. (III)由(I)(II)可知，P(Y ≥2)=2027，P(X ≥2)=45， ∵45>2027，∴乙进入下一轮比赛的可能性较大．【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属中档题题． (I)设随机变量Y 表示甲正确完成题目的个数，分别求出P(Y =2)，P(Y =3)，并求和，即可求解． (II)由题意可知，X 所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解． (III)由(I)(II)可知，P(Y ≥2)=2027，P(X ≥2)=45，通过比较大小，即可求解．19.【答案】解：(Ⅰ)将点A(0,−1)代入方程x 23+y 2b2=1，解得b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，又c 2=a 2−b 2=3−1=2， 所以离心率e =√c 2a 2=√23=√63；(Ⅰ)联立{y =k(x −1)x 23+y 2=1，整理得(1+3k 2)x 2−6k 2x +3k 2−3=0， Δ>0恒成立，设点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 由韦达定理得x 1+x 2=6k21+3k2,x 1x 2=3k 2−31+3k2，直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ， 令x =3，得y =3y 1+3x 1−1，即M(3,3y 1+3x 1−1)， 直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ， 令x =3，得y =3y 2+3x 2−1，即N(3,3y 2+3x 2−1)， |MN|=|3y 2+3x2−1−(3y 1+3x1−1)|=3×|x 1y 2−x 2y 1+x 1−x 2x 1x 2|=3×|k −1||x 1−x2x 1x 2|=3×|k −1|√(x 1+x 2)2−4x 1x 2(x 1x 2)2=3×|k−1|×√3×√2k 2+1|k 2−1|=2√3×√2k 2+1|k+1|， 所以△AMN 的面积S =12×|MN|×3=32×|MN|=3√3×√2k 2+1|k+1|=3√3，即√2k 2+1|k+1|=1⇒√2k 2+1=|k +1|， 解得k =0或k =2， 所以k 的值为0或2.【解析】(Ⅰ)将点A(0,−1)代入即可求解椭圆的方程，再利用离心率公式即可求解；(Ⅰ)联立{y=k(x−1)x23+y2=1，整理得(1+3k2)x2−6k2x+3k2−3=0，结合韦达定理，求出点M，N的坐标，可知S=12×|MN|×3=32×|MN|代入即可求解．本题考查了椭圆的方程及离心率，直线与椭圆的综合，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=ae x−sinx+2x，所以f(0)=a且f′(x)=ae x−cosx+2，所以f′(0)=a−1+2=a+1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y−a=(a+1)(x−0)，即y=(a+1)x+a.(Ⅰ)当a≥0，x∈[0,1]时，因为f′(x)=ae x−cosx+2≥0+2−cosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=a.(Ⅰ)取a=−1，以下证明f(x)=−e x−sinx+2x≤−1恒成立，令g(x)=e x+sinx−2x−1，即证g(x)≥0恒成立，(1)当x∈(−∞,0]时，有e x≤1，cosx∈[−1,1]，所以g′(x)=e x+cosx−2≤0，所以g(x)在(−∞,0]上单调递减，所以g(x)≥g(0)=0在(−∞,0]上恒成立；(2)当x∈(0,+∞)时，令G(x)=g′(x)=e x+cosx−2，因为e x>1，sinx∈[−1,1]，所以G′(x)=e x−sinx>0，所以G(x)=g′(x)=e x+cosx−2在(0,+∞)上单调递增，所以g′(x)>g′(0)=0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0在(0,+∞)上恒成立．综上，g(x)≥0恒成立，所以f(x)≤a恒成立．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题(Ⅰ)求出f(0)及f(x)的导函数，从而可得f′(0)，利用点斜式方程求解即可；(Ⅰ)利用导数求出f(x)的单调性，即可求解最小值；(Ⅰ)取a=−1，证明f(x)=−e x−sinx+2x≤−1恒成立，令g(x)=e x+sinx−2x−1，利用导数分别证得当x ∈(0,+∞)和x ∈(0,+∞)时，g(x)≥0即可．21.【答案】解：(I)对于数表B 有a 12=0，而∑a i2n i=1+∑a 1j nj=1=2≥3不成立，故数表B 不是典型表；对于数表C ，当a st =0时总有∑a it n i=1+∑a sj n j=1≥4成立，故数表 C 是典型表．(II)由题设知：当n =6要存在典型表A 使得S 6=17，则需(S 6)min ≤17.∵要使S 6最小，即典型表A 中的“1“最少，又a st =0时总有∑a it n i=1+∑a sj n j=1≥n ，∴让尽量多的横列和∑a it n i=1+∑a sj n j=1=6，故将表分成4个3×3数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证S 6最小． ∴如典型表A =(1110001110001110000001110001110111)，有(S 6)min =18. ∴不存在典型表 A 使得S 6=17.(Ⅰ)要使S n 最小，需让尽量多的横列和∑a it n i=1+∑a sj nj=1=n 或典型表中“1“尽量少，当n 为偶数时，由(2)知：(S n )min =2×(n2)2=n 22； 当n 为奇数时，在偶数n −1的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加n 个“1，即可满足典型数列，此时(S n )min =2×(n−12)2+n =(n−1)22+n =n 2+12； 【解析】(I)由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可．(II)根据题设分析知：数值分配时有(S 6)min ≤17即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定S 6最小时(0,1)在数表上的分布情况，即可判断是否存在． (III)结合(II)的分析，讨论n 为偶数、奇数情况下S n 的最小值． 本题考查归纳推理，考查学生的运算能力，属于中档题．。
专题4-2 三角函数图像与性质归类-(原卷版)
专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1：正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2：识图平移 (3)【题型三】平移3：恒等变形平移 (4)【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质 (5)【题型五】平移5：最小平移 (6)【题型六】平移6：求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质：x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1：正弦←→余弦【典例分析】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则（ ）A ．6π=ϕB ．π4ϕ= C ．π3ϕ= D ．2π5ϕ=1（2023·全国·高三专题练习）已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移24π个单位长度B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移712π个单位长度B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度D ．向右平移724π个单位长度3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位D ．向左平移7π24个单位【题型二】平移2：识图平移【典例分析】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（ ）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度D ．向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ，的步骤和方法：确定函数的最大值M 和最小值2M mA ，2M mb； ：确定函数的周期T ，则可2T得＝； ：常用的方法有代入法和五点法． 把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．五点法”中的某一个点为突破口．【变式演练】1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．－1D ．2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12-C D ．【题型三】平移3：恒等变形平移【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（ ） A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（ ）A ．65B ．115C ．15 D ．852.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设()cos 22f x x x =，把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象，则ϕ的值可以为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．0D ．12)+)00((Asin x A ，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2021-2022学年高等数学期末考试卷(含答案)
2021-2022学年高等数学期末考试一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限(,)lim y x y →= 。
2．已知函数22ln(1)z x y =-+，则(1,2)|dz = 。
3．设:L 22(1)4x y -+=，则ds y x x L )2(22+-⎰= 。
4．判断级数21(1)1nn n +∞=-+∑ 。
（填绝对收敛，条件收敛，发散）5．点)3,1,2(-M 到平面 0332=+--z y x 的距离为 。
二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数(,)z f x y =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（ ）（A ）必要而非充分条件； （B ）充分而非必要条件；（C ）充分必要条件； （D ）非充分又非必要条件。
7．曲面2223z x y =+在点(1,2,14)处的切平面方程为（ ） （A ）41242x y z ++=； （B ）12144121x y z ---==-； （C ）41214x y z +-=； （D ）12144121x y z ---==。
8．幂级数11(21)n n x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）(1,1)-； （B ）[1,0)-； （C ）(1,0]-； （D ）[1,0]-。
9．直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角是（ ）。
（A ）2π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）6π。
10．将函数()1f x x =+，[0,]x π∈展开为正弦级数1()sin n n f x b nx ∞==∑，则级数的系数4b =（ ）（A ） 12-； （B ）13； （C ）13-； （D ）12。
三、计算题(本题8分)11. 直线l 过点M(1,2,3)且与两平面02=-+z y x 和6432=+-z y x 都平行，求直线l 的方程。
北京市朝阳区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
北京市朝阳区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷数 学2022.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.2(1i)+= A.2-B.2C.2i -D.2i2.双曲线221169x y -=的渐近线方程为 A.34y x =±B. 43y x =±C. 35y x =±D. 916y x =±3. 在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为A ．16B.310 C.12 D.344.已知抛物线24y x =上一点M 与焦点F 的距离为4，则点M 到x 轴的距离是 A．B.C.4D.125.设函数21,()l ,11()g ,2o .x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩≤ 若()2f x ≤，则实数x 的取值范围是A ．[)1,-+∞B ．(0,4]C ．[1,4]-D ．(,4]-∞6. 在直角坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点A 1(,2-, 将向量OA 绕原点按逆时针方向旋转2π得到OA ',则OA '的坐标为A. 1()2B. 1)2-C. 1(,2D. 1(2-7. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤 （参考数据：lg20.3010≈） A.2次B.3次C.4次D.5次8.若函数x b x a x f cos sin )(+=的最大值为2，则下列结论不一定成立．．．．．的是（ ）A.422=+b aB.2ab ≤C.2()8a b +≤D.()24a b -≤9.已知平面向量,a b 满足2,a a =与a b -的夹角为 120，记(1),()m a b t t t =+-∈R ,则m 的取值范围为_______ A.),3[+∞B.),2[+∞C.),1[+∞D.),21[+∞10.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为A.76π+1 B.7566π+ C.78π+1 D.1π+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11．在51()x x+的展开式中，x 的系数为__________.12.已知圆222:C x y r +=()0r >，直线:2l y x =+，则使“圆C 上至少有3个点到直线l 距离都 是1”成立的一个充分条件是“r =_______”.13.如图，正方形ABCD 的边长为2，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ， 然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ,作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则第4个正方形的面积是_______；从正方形ABCD 开始，连续8个正方形面积之和是_______.14.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，==2PA AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC_______ (填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_______．15. 已知函数)2π0,)(sin()(<>+=ϕωϕωx x f 的部分图象如图所示，设()(),g x f x =给出以下四个结论：① 函数()g x 的最小正周期是π3；② 函数()g x 在区间7π5π(,)189上单调递增； ③ 函数()g x 的图象过点3(0,)； ④ 直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴. 其中所有正确结论的序号是_______．_______．_______E DB PF三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分13分）记ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知14,4,12+==-=t c t b t a （1t >）. （Ⅰ）当3=t 时，求cos B ；（Ⅱ）是否存在正整数t ，使得角C 为钝角？如果存在，求出t 的值，并求此时ABC △的面积；如果不存在，说明理由.17.（本小题满分13分）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X 表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有(014)n n <≤人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X 表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y 表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差()D X ,()D Y 的大小关系(结论不要求证明).18.（本小题满分14分）刍甍（chú méng ）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面BAE 和平面CDE 交于EF . （Ⅰ）求证：CD 平面BAE ；（Ⅱ）若4AB =，=2EF ，ED FC =，AF =ABCDEF 存在，并求平面ADE 和平面BAE 夹角的余弦值．条件①：BF FC ⊥，AF FC ⊥； 条件②：平面CDE ⊥平面ABCD ； 条件③：平面CBF ⊥平面ABCD .19.（本小题满分15分）已知曲线W ：221(,3x y m m m+=∈-R 0,m ≠且3m ≠).（Ⅰ）若曲线W 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1m =时，过点(1,0)E 作斜率为k ()0k ≠的直线l 交曲线W 于点,A B （,A B 异于顶点），交直线2x =于P .过点P 作y 轴的垂线,垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求线段CD 中点M 的坐标.20.（本小题满分15分）已知函数()2ln ln f x x x a =--，0a >.（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处切线的斜率； （Ⅱ）求函数()f x 的极大值；（Ⅲ）设2()=e x g x a x -，当(1,e)a ∈时，求函数()g x 的零点个数,并说明理由.A（21）（本小题满分15分）对任意正整数n ，记集合1212{(,,,)|,,,n n n A a a a a a a =均为非负整数，且12}n a a a n +++=，集合1212{(,,,)|,,,n n n B b b b b b b =均为非负整数，且122}n b b b n +++=．设12(,,,)n n a a a A α=∈，12(,,,)n n b b b B β=∈，若对任意{1,2,,}i n ∈都有i i a b ≤，则记αβ．（Ⅰ）写出集合2A 和2B ；（Ⅱ）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ；（Ⅲ）设集合{(,)|,,}n n n S A B αβαβαβ=∈∈，求证：n S 中的元素个数是完全平方数．北京市朝阳区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：（本题满分40分）16.(本小题满分13分) 解：（Ⅰ） 3=t 时，5,12,13,a b c ===此时ABC △为直角三角形， 所以5cos 13a B c ==.............6分 （Ⅱ）由题意可得，2221,(21)(4)(41)cos 0.2(21)4t t t t C t t >⎧⎪-+-+⎨=<⎪-⋅⎩即24120,1.t t t ⎧-<⎨>⎩所以13,t <<t *∈N .则 2.t = 此时三边为3,8,9.a b c ===所以2223891cos .2386C +-==-⨯⨯所以sin C 所以11sin 3822ABC S ab C ==⨯⨯△............13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有25人，仅参加体育锻炼的学生有18人，仅参加实践能力创新培养的学生有16人，未参加任何课后服务的学生有14人.故样本中至少参加了两类课后服务的学生有1002518161427----=人. 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为270.27100=.............4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为0,1,2,3.从样本中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为251=1004， 由此估计从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为14.0331127(0)()(1)4464P X C ==⨯⨯-=， 1231127(1)(1)4464P X C ==⨯⨯-=， 2213119(2)()(1)4464P X C ==⨯⨯-=， 33311(3)()464P X C ==⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望为()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.............10分 （Ⅲ）()()D X D Y <.............13分 18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，CD AB ，CD ⊄平面BAE ，AB ⊂平面BAE ，所以CD ∥平面BAE ．............5分 （Ⅱ）条件②符合题意．过点F 作FO DC ⊥于点O ，过点O 作OH DC ⊥且交AB 于点H ，连接AO ． 因为平面CDE ⊥平面ABCD ，且平面CDE 平面ABCD CD =，FO DC ⊥，所以FO ⊥平面ABCD ．所以FO OH ⊥．以O 为坐标原点，分别以,,OD OH OF 所在直线为,,x yz 轴建立空间直角坐标系O xyz -． 因为CD平面BAE ,CD ⊂平面CDE ，平面BAE 平面CDE EF =， 所以CDEF ．在四边形CDEF 中，ED FC =，=2EF ，4CD =，所以=1OC ，=3OD . 在正方形ABCD 中，4AB =，所以5AO =． 因为AO FO ⊥，且AF =FO ．所以(0,4,0)H ，(3,0,0)D ，(3,4,0)A ,E ,F ． 所以(0,4,0)DA =，(DE =-，(1,AE =--，(2,0,0)FE =．设平面ADE 的一个法向量为111(,,)x y z =n ．由0,0,DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得11140,0.y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =，所以n =．设平面BAE 的一个法向量为222(,,)x y z =m ．AC由0,0,AE FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得222240,20.x y x ⎧--=⎪⎨=⎪⎩令21y =，所以m =．设平面ADE 与平面BAE 夹角为θ，则cos =cos <=||||n m n m n m ,θ⋅>=所以平面ADE 和平面BAE．............14分 19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意可知30,0,3.m m m m ->⎧⎪>⎨⎪->⎩解得302m <<，所以m 的取值范围为3(0,)2.............4分（Ⅱ）当1m =时，曲线W 为椭圆221,2x y +=由题意，设直线l 的方程为(1)y k x =-()0k ≠.2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(12)4220.k x k x k +-+-= 设直线l 交椭圆W 于点1122(,),(,)A x y B x y ，则 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 由直线l 的方程(1)y k x =-，令2,x =解得y k =， 所以(2,)P k ，(0,)Q k . 所以直线AQ 的方程为11y ky x k x -=+，10x ≠. 令0,y =解得11kx x k y =-， 所以11(,0)kx C k y -. 直线BQ 的方程为22y ky x k x -=+，20x ≠. 令0,y =解得22kx x k y =-， 所以22(,0)kx D k y -. 11kx k y +-22kx k y -122112[()()]()()k x y k x y k y k y k --+-=--. 由于11(2)y k k x -=-，22(2)y k k x -=-.则11kx k y +-22kx k y - =]1221212[(2)(2)(2)(2)k x k x x k x k x x --+---1212122()2(2)(2)x x x x x x +-=--()121212122()224x x x x x x x x +-=-++=22222224222()1222841212k k k k k k k -++--+++ =2.所以线段CD 的中点M 的坐标为(1,0).............15分 20.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞2()xf x x-'=， (1)1f '=，所以曲线()y f x =在()1,(1)f 处切线的斜率为1.............4分 （Ⅱ）()2ln ln f x x x a =--，则2()xf x x-'=. 令()0f x '=得2x =.当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的极大值为(2)f =24lnea .............10分 （Ⅲ）()e 2(1e)x g x a x a '=-<<，当(],0x ∈-∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在(],0x ∈-∞时单调递增.而(0)0g a =>，(1)10eag -=-<. 所以方程()0g x =在()1,0x ∈-时有且只有一个根，即方程()0g x =在(],0x ∈-∞时有且只有一个根. 当0x >时，讨论函数()g x 的零点个数即讨论方程2e x a x =根的个数，即研究方程ln 2ln a x x +=(1e >0)a x <<,的根的个数，即研究函数()f x =2ln ln x x a --(1e >0)a x <<,的零点个数. 当1e a <<时，22e e a >，2244(2)lnln 0e ef a =<<，则函数()f x 在(0,)+∞上无零点. 综上,当(1,e)a ∈时，函数()g x 有且仅有一个零点.............15分 21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）2{(0,2),(1,1),(2,0)}A =，2{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}B =．.....4分 （Ⅱ）对任意12(,,,)n n a a a A α=∈，设1(1,2,3,,)i i b a i n =+=，则12,,,n b b b 均为非负整数，且(1,2,3,,)i i a b i n =≤．令12(,,,)n b b b β=，则121212(1)(1)(1)()2,nn n b b b a a a a a a nn +++=++++++=++++=所以n B β∈，且αβ．............9分（Ⅲ）对任意12(,,,)n n a a a A α=∈，12(,,,)n n a a a A α''''=∈，记1122(,,,)n n a a a a a a αα'+=+'+'+'，则1122,,,n n a a a a a a '''+++均为非负整数，且11221212(,)))(()(2()n n n n a a a a a a a a a a a n a n n +++++'''++'''=++=+++++=所以n B αα'+∈，且,αααααα'''++．设集合n A 中的元素个数为t ，设12{,,,}n t A ααα=．设集合{(,)|1,2,,,1,2,,}n i i j T i t j t ααα=+==．对任意i n A α∈（1,2,,i t =），都有12,,,i i i t n B αααααα+++∈，且,1,2,,ii j j t ααα+=．所以n n T S ⊆．若(,)n S αβ∈，其中12(,,,)n n a a a A α=∈，12(,,,)n n b b b B β=∈，设i i i c b a =-（1,2,,i n =），因为i i a b ≤，所以0i i i c b a =-≥，记12(,,,)n c c c α'=，则1211221212()()()()()2,nn n n n c c c b a b a b a b b b a a a n n n +++=-+-+-=+++-+++=-=所以n A α'∈，并且有βαα'=+，所以(,)n T αβ∈，所以n n S T ⊆． 所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．............15分。
2021-2022年高中数学 常用逻辑用语上学期期末复习 文 新人教B版
【本讲教育信息】一. 教学内容：期末复习：常用逻辑用语［学习目标］命题与量词，含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式，初步掌握四种命题的关系；准确理解充分条件，必要条件，充要条件的含义。
并会判断与证明它们的关系。
［考点分析］逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，意义为：或：两个简单命题中至少有一个成立。
且：两个简单命题都成立非：对一个命题的否定复合命题有三类：p或qp且q非p34、互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念：（1）如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；（2）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题；（3）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做逆否命题。
换一种表述：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
5、四种命题之间的相互关系如下：6、四种命题的真假有如下三条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题为真，它的否命题不一定为真；（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
7、反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
即：否定结论→推出矛盾→肯定结论8、充要条件（1）且p，p是的充分不必要条件（2）p且，p是的必要不充分条件（3）且，p是的充要条件（4）p且p，p是的既不充分也不必要条件9、要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假。
2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题 含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分 注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨九中高三上学期期末数学试卷(文科)(含答案解析)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨九中高三上学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|<4}，B={x|x2−5x−6>0}，则A∩B=()A. (4,6)B. (−4,2)C. (−4,−1)D. (−1,4)2.已知直线l1：(a−1)x+2y+1=0，l2：x−ay+1=0，a∈R，若l1⊥l2，则a的值为()A. 0B. −1C. 1D. 0或−13.设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 是不共线的非零向量，若k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ 共线且方向相反，则k的值是()A. −1B. 1C. ±1D. 任意不为零的实数4.函数y=√3sin2x−cos2x的单调递增区间是()A. [−π6+2kπ,π3+2kπ](k∈Z) B. [−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)C. [−π12+2kπ,5π12+2kπ](k∈Z) D. [−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 4πB. 5π+6C. 3π+6D. 4π+66.已知一组数据为−1，1，2，4，4，8，通过该组数据得到如下结论：①中位数是4；②平均数是3；③极差是9；④方差是48．其中正确的序号为()A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④7.下列命题是真命题的是()A. 若a>b，则a2>b2B. 若a>b，则1a <1bC. 若a<b<0，则a2<ab<b2D. 若a<b<0，则1a2<1b28. 在等比数列{a n }中，8a 1a 3a 5+a 2a 4=0，a 6=1，则a 2+a 5a 1+a 4的值为( ) A. −12B. 12C. −2D. 2 9. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PD 与B 1C 所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π6 10. 如图，已知直线l 1//l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为ℎ1，ℎ2，B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C.设∠ABD =α.△ABC 面积S 关于角α的函数解析式为S(α)，则( )A. S(α)=2ℎ1ℎ2sin2α(0<α<π2)B. S(α)=ℎ1ℎ2sin2α(0<α<π2) C. S(α)=12ℎ1ℎ2tanα(0<α<π2) D. S(α)=ℎ1ℎ22tanα(0<α<π2) 11. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x −1)2+y 2=16，若直线l ：x +y +m =0(m >0)上有且仅有一点A 满足：过点A 作圆C 的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且使得四边形APCQ 为正方形，则m 的值为( )A. 1B. 2√2C. 3D. 712. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x +2)=f(−x)，当x ∈[0,1]时f(x)=2sinπx ，则函数y =f(x)−|x|的零点个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知正方形ABCD 的边长为√2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ |=______．14. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −y ≥−1x +y ≥13x −y ≤3，则4x +y 的最小值是______．15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术⋅商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术⋅商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=2，BC=2√2，则四面体PABC的外接球的表面积为______．16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n为数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是______．①S7=33；②S2022=a2024−1；③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；2=a2021a2022．④a12+a22+a32+⋯+a2021三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=|x+1|+|x−m|(m∈R)．(1)当m=3时，求不等式f(x)≥4的解集；2(2)若不等式f(x)≥4对任意实数x恒成立，求m的取值范围．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，acosB+bcosA=2c⋅cosB．(1)求角B的大小；(2)△ABC的面积为4√3，△ABC的外接圆半径长为4√3，求a，b，c．319.已知数列{a n}是递增的等差数列，a3=7，且a4是a1与a13的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)从下面两个条件中任选一个作答，多答按第一个给分．①若b n=1，设数列{b n}的前n项和为S n，求S n的取值范围；a n a n+1②若c n=a n⋅2n，设数列{c n}的前n项和为T n，求证：T n>2．20.自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如表：(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；(2)现采用分层抽样的方法从60岁以下的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人使用现金支付的概率是多少？，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=4√2，M，N分别是BC，PD的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．(1)证明：MN//平面PAB；(2)证明：DC⊥平面PDM；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．22.设函数f(x)=ae x，x∈R．(1)当a=1时，过原点做y=f(x)的切线，求切线方程；(2)不等式xf(x)−x+2>lnx对于x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：集合A={x||x|<4}=(−4,4)，B={x|x2−5x−6>0}=(−∞,−1)∪(6,+∞)，则A∩B=(−4,−1)．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：根据题意，直线l1：(a−1)x+2y+1=0，l2：x−ay+1=0，a∈R，若l1⊥l2，则有(a−1)−2a=0，解可得a=−1，故选：B．根据题意，由直线垂直的判断方法，可得(a−1)−2a=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线的一般式方程与直线垂直的判断方法，注意直线一般式方程的形式，属于基础题．3.答案：A解析：∵k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ 共线，∴存在λ使k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =λ(e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ )，即(k−λ)e1⃗⃗⃗ +(1−λk)e2⃗⃗⃗ =0．∵e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 为非零不共线向量，∴k−λ=0且1−λk=0．∴k=±1，又k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ 方向相反，∴k=λ=−1．故选：A．由k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ 共线，可得存在λ使k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =λ(e1⃗⃗⃗ +k e2⃗⃗⃗ )，整理后利用系数为0求解k值．本题考查平面向量基本定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：y=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，可得−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，故选：B．利用正弦函数的单调增区间，求出相应的区间，即可得到结论．本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键，属于中档题．5.答案：D解析：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为1，高为3的半个圆柱，∴该几何体的表面积：S=2×12πr2+12×2πrℎ+2×3=4π+6．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是底面半径为1，高为3的半个圆柱，由此能求出该几何体的表面积．本题考查向何体的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．6.答案：B解析：一组数据为−1，1，2，4，4，8，对于①，中位数是2+42=3，故①错误；对于②，平均数是为：16(−1+1+2+4+4+8)=3，故②正确；对于③，极差是：8−(−1)=9，故③正确；对于④，方差是：16[(−1−3)2+(1−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(4−3)2+(8−3)2]=8，故④错误．故选：B．分别求出这组数据的中位数，平均数、极差，方差，能求出结果．本题考查中位数，平均数、极差，方差的求法，考查中位数，平均数、极差，方差等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．7.答案：D解析：对于A：当a>b>0时，a2>b2成立，当0>a>b时，不成立，故A错误；对于B：当a=1，b=0时，1b无意义，故B错误；对于C：若a<b<0，则a2>ab>b2，故C错误；对于D：若a<b<0，则1a2<1b2，故D正确．故选：D．直接利用不等式的性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.答案：C解析：等比数列{a n }中，8a 1a 3a 5+a 2a 4=8a 33+a 32=0，因为a 3≠0，所以a 3=−18，又a 6=1，所以q 3=a6a 3=−8， 所以q =−2，则a 2+a 5a1+a 4=q =−2．故选：C ． 由已知结合等比数列的性质进行化简即可求解．本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．9.答案：D解析：如图，连接A 1P ，A 1D ，由正方体的结构特征可知，A 1D//B 1C ，∴∠A 1DP 为直线PD 与B 1C 所成的角，∵DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴D 1D ⊥A 1P ，又P 为B 1D 1的中点，∴A 1P ⊥B 1D 1，又B 1D 1∩D 1D =D 1∴A 1P ⊥面BDD 1B 1，所以在Rt △PDA 1 中，AD 1=2A 1P ，则∠A 1DP =π6，即直线PB 与AD 1所成的角为π6．故选：D ．根据题意画出图形，找出直线PD 与B 1C 所的成角，求解三角形得答案．。
黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学(文)试题(清北班)
德强高中2021-2022学年度上学期期末验收考试高三学年(清北)文科数学试题答题时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，22iz i+=-，则在复平面内z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是()A ．1y x =+B ．y ＝x3C ．21y x =-D ．2xy -=3．已知集合02x A xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y ==，则()R A C B ⋂=()A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]0,14．已知()tan()f x x ϕ=+，则“函数()f x 的图象关于y 轴对称”是“()k k Z ϕπ=∈”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n }的前n 项和为21n n S a b =⋅+-，则44a b +的最小值为()A ．2B．C ．4D ．56．已知向量(2,1),(1,),a b t =-=则下列说法不正确的是()A ．若//a b，则t 的值为12-B ．若a b a b +=-，则t 的值为2C ．a b +的最小值为1D ．若a与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是t ＜27．已知正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，数列{}2n n a a ++的前n 项和为S n ，则62S S =()A ．32B ．21C ．16D ．88．直线(1)20mx m y ++-=与圆22(1)(1)1()x y m R -+-=∈相切，则m ＝()A ．1B ．3C ．0或1D ．0或39．把函数()3sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若[]1212()()6,,,g x g x x x ππ=-∈-，则12x x -的最大值为()A ．34πB ．πC ．74πD ．2π10．已知()()3sin 2()f x x R ϕϕ=+∈既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为()A ．πB ．2πC ．4πD ．8π11．已知椭圆C ：22143x y +=，左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为C 上一动点，记12122,2F PF A PA αβ∠=∠=，则tan tan 2αβ⋅=()A ．2B ．4C．D ．3212．已知()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，()f x '是()f x 的导函数，若()()2xxf x x f x e '+=，()1f e =，则()f x 在()0,∞+上()A ．单调递增B ．单调递减C ．有极大值D ．有极小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122,5S S ==，则3S =___________．14．已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20(,0)ax a b y b a b +++=不同时为的垂线，垂足为H ，则|PH |的最小值为___________．15．已知函数()1f x -是奇函数，若函数11y x=+与y ＝f （x ）图象的交点分别（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 6，y 6），则交点的所有横坐标和纵坐标之和为___________．16．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，已知2121114()0,3AF F F AF AF F B +⋅==，则椭圆C 的离心率为___________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)1cos (sin x t t y t ααα=-+⎧⎨=⎩为参数,为直线的倾斜角，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点(1,0)P -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于M 点，若|PA |，|PM |，|PB |成等比数列，求直线l 的普通方程．18．(12分)在①(2)cos cos b c A a C -=，②()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-，③tan tan tan tan A B C B C ++=⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若__________．(1)求A ；(2)若点M 在线段AC上，1,7ABM CBM BM B ∠=∠==，求c ．19．(12分)如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AD ＝3DC ＝3BC ＝3．(1)在线段AD 上是否存在点P ，使平面EBP ⊥平面EBC ，请说明理由；(2)求多面体ABCDEF的体积．20．(12分)为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，如表是该运动品牌公司140名员工2021年1月5月获得“运动达人”称号的统计数据：月份12345“运动达人”员工数1201051009580(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归直线方程 y bxa =+ ，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；(2)为了进一步了解员工的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男员工60m 80女员工n 2060合计10040140请补充如表中的数据（直接写出m ，n 得值），并根据如表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？参考公式： 221221(),,()()()()()ni ii ni i x ynx yn ad bc bay bx K n a b c d a b a c b d c d x nx==-⋅-==-==+++++++-∑∑ P （K 2≥k 0）0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.63521．(12分)城市决定在夹角为30°的两条道路EB 、EF 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB ＝2千米，O 为AB 的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN ，其中M，N 在椭圆上，且MN 的倾斜角为45°，交OD于G ．(1)若OE ＝3千米，为了不破坏道路EF ，求椭圆长半轴长的最大值；(2)OG 长为何值时，游乐区域△OMN 的面积最大？22．(12分)设函数21()ln .2f x x ax bx =--(1)当0,1a b ==-时，方程()f x px =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数p 的取值范围；(2)已知a e <-，若()f x 有极大值M ，极小值m ，求证：3M m +<-．德强高中2021-2022学年度上学期期末验收考试高三学年(清北)文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．AACBC DBDCC BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．914．115．616．57三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17.（10分）【解答】解：（I ）∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝，∴ρ2＝①，∵②，∴联立①②可得，．（II ）把直线l 的参数方程代入可得，（1+3sin 2α）t 2﹣2cos αt ﹣3＝0，由韦达定理可得，，点M 对应的参数为x M ＝﹣1+t 3cos α＝0，所以，∵|PA |，|PM |，|PB |成等比数列，∴|PA |•|PB |＝|PM |2，即，化简整理可得，2sin 2α＝cos 2α，∴，即直线l的斜率为，故直线l 的方程为x﹣或x +．18．（12分）【解答】解：（1）若选①：因为（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，由正弦定理得（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，即2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ，所以2sin B cos A ＝sin B ，因为0＜B ＜π，所以sin B ≠0，可得cos A ＝，因为0＜A ＜π，故A＝．若选②：∵（sin A +sin B ）（a ﹣b ）＝c （sin C ﹣sin B ），∴由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ），即：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理得cos A＝，∵A ∈（0，π），∴A＝．选择条件③，tan A +tan B +tan C ＝tan B tan C ，因为tan A ＝﹣tan （B +C）＝﹣，所以﹣tan A +tan A tan B tan C ＝tan B +tan C ，即tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan B tan C ，因为tan B tan C ≠0，所以tan A ＝，因为A ∈（0，π），所以A＝．（2）因为，可得1﹣2sin2＝，可得sin＝，cos＝，在△ABM 中，sin ∠AMB ＝sin （+∠ABM ）＝+＝，由正弦定理可得＝，可得c ＝5．19．（12分）【解答】解：（I ）存在这样的点P ，线段AD 上取DP ＝1．由3BC ＝3．得BC ＝1，所以DP ＝BC ，AD ∥BC ，所以四边形PDCB 是平行四边形，AD ⊥DC ，所以四边形PDCB 是矩形，所以BP ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为正方形，所以BE ⊥平面ABCD ，又EB ⊂平面CBE ，所以平面ABCD ⊥平面CBE ，又BP ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面CBE ＝BC ，所以BP ⊥平面CBE ，又BP ⊂平面BPE ，所以平面EBP ⊥平面EBC ；（II ）在Rt △ABP 可求得AB ＝＝，BD ＝，在△ABP 中，sin ∠BAD＝＝＝，所以可得AB 边上的高h ＝3×＝，所以V D ﹣ABEF＝×××＝，V E ﹣BCD＝×S △BCD ×BE ＝，所以多面体ABCDEF的体积为．20．（12分）【解答】解：（1）由题意，，又，，则，故，故 9127y x =-+所以预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数为﹣9×6+127＝73人；（2）由题意，m ＝20，n ＝40，所以，故没有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．21．（12分）【解答】解：（1）以O 为坐标原点，以OD 所在的坐标为x 轴，以OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意A （0，1），E （3，0），由∠OEF ＝30°，所以|OF |＝|OE |•tan30°＝，所以F （，0），k EF＝﹣，所以直线EF 的方程为：y ＝﹣x +，设OD ＝a ，则D （a ，0），所以椭圆+y 2＝1，当a 最大时直线EF 与椭圆相切，整理可得：（1+3a 2）x 2﹣62x +8a 2＝0，Δ＝（6a ）2﹣4（1+3a 2）•8a 2＝0，解得a＝（﹣舍）所以椭圆的长半轴长为；（2）因为e ＝＝，b ＝1，a 2＝b 2+c 2，所以a 2＝4，所以椭圆的方程为：+y 2＝1；设OG ＝t ＞0，则G （t ，0），直线MN 的方程为：y ＝x ﹣t ，联立，整理可得：5x 2﹣8tx +4t 2﹣4＝0，设M （x 1，y 2），N （x 2，y 2）则x 1+x 2＝，x 1x 2＝，|y 1﹣y 2|＝|x 1﹣x 2|＝＝＝•，S△OMN＝|OG|•|y1﹣y2|＝•t••＝，要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时t＝1，所以1＜t＜2，当t2＝﹣＝，即t＝，S△OMN有最大值为1，综上所述，当OG＝时，三角形OMN的面积最大．22.（12分）【解答】解：（1）当a＝0，b＝−1时，f（x）＝lnx+x，所以lnx+x＝px，又x＞0，所以，所以，要使方程f（x）＝px在区间[1，e2]内有唯一实数解，只需p＝1+在区间[1，e2]内有唯一实数解．令g（x）＝1+（x＞0），则g（x）＝1+（x＞o），由g′（x）＞0，解得0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得x＞e，所以g（x）在[1，e2]上是增函数，在[e，e2]上是减函数，，所以．证明：（2）若f（x）有极大值M，极小值m，则h（x）＝ax2+bx−1在（0，+∞）上有两个不等实数根，所以，又a＜﹣c，所以，①设f（x）有极大值点为x1，极小值点为x2，则，所以＝＝由①得，所以，所以M+m＜−3．。
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2021年高三期末考试（数学文）本试卷分试题卷部分和答案卷部分两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．设集合M = {x | 0< x ≤3}，N = {x | 0< x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是 （ ）A ．B ．α∥β，m ⊥α，n ∥βC ．，n ∥βD ．3．在等差数列{a n }中，若a 4 + a 6 = 12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的值为 （ ）A ．48B ．54C ．60D ．664．对下列命题的否定，其中说法正确的是 （ ）A ．P ：能被3整除的整数是奇数；﹁P ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B ．P ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；﹁P ：每一个四边形的四个顶点共圆C ．P ：有的三角形为正三角形；﹁P ：所有的三角形不都是正三角形D ．P ：022,:;022,22>++∈∀⌝≤++∈∃x x R x P x x R x 5．右图是一几何体的三视图，正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，则此几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数y = f (x )与y = g (x )的图象分别如下图，则f (x )·g (x )的图像可能是（ ）7．要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位8．在△ABC中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．设a、b∈R+，且a + b = 4，则有（）A．B．C．D．10．如果直线l将圆x2 + y2－2x－4y = 0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[0，1] B．[] C．D．[0，2]11．已知函数，则方程的实根个数是（）A．1 B．3 C．2 D．012．如图，过抛物线x2 = 2py (p> 0)焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交准线于点C，若|AC| = 2 |AF|，且|BF| = 8，则此抛物线的方程为（）A．x2 = 4y B．x2 = 8 yC．x2 = 2y D．x2 = 16y第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答案卷中的横线上. 13．在条件的最大值为.14．右图是求函数f (x)=－3x + 5，当x∈{0，3，6，…60}时的函数值的一个程序框图，则在①处应填.15．若函数则.16．在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|:|EB| = |AC|:|CB|，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图），平面CDE平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，可类比得到结论.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题12分）若，其中，记函数（1）若f (x)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求ω的取值范围.（2）若f (x)的最小正周期为π,且当时，f (x)的最大值是,求f (x)的解析式.18．（本题12分）已知函数在x = 2时有极值，其图像在点（1，f(1)）处的切线与直线3x + y = 0平行.（1）求a、b的值；（2）求函数f (x)的单调区间.19．（本题12分）如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=60°，SA =AB = a，SB =SD = ，点P在SD上，且SD=3PD.（1）证明SA⊥平面ABCD；（2）设E是SC的中点，求证BE∥平面APC.20．（本题12分）某学校为了解决教师住房问题，计划征用一块土地，盖一幢总建筑面积为a m2的宿舍楼，已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求其最少总费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）.21．（本题12分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足（O是坐标原点），若椭圆的离心率等于（1）求直线AB的方程；（2）若三角形ABF2的面积等于，求椭圆的方程；22．（本题14分）已知等差数列{a n}中，公差d > 0，且前n项和为S n，又（1）求{a n}的通项公式；（2）通过构造一个新的数列{b n}，若{b n}也是等差数列，求非零常数c；（3）求的最大值.山东省菏泽市xx 学年度第一学期高三年级期末考试数学试题（文）参考答案xx.2一、选择题1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．D 11．C 12．B二、填空题13．2 14．y = x +3 15．2 16．AE :EB = S △ACD :S △BCD三、解答题17．解：)sin ,sin cos 3(),0,(sin ),sin ,cos 3(x x x x x x ωωωωωω+=+== 故k x x k x x x k x f +-+=++=+⋅+=22cos 12sin 23sin cos sin 3)()(2ωωωωω 21)62sin(212cos 212sin 23++-=++-=k x k x x πωωω………………4分 （1）由题意可知又 ……………………………………………………………6分（2）……………………………………………………8分………………………………………10分从而当，即时21,211216sin )6()(max -∴==+=++==k k f x f ππ 故 …………………………………………………………12分 18．解：（1）bx ax x f bx ax b ax x x f 23)(,)()(2232+='∴+=+= …………… 2分由已知可得 ………………………………………4分…………………………………………………………………………6分（2）由（1）得由，可得，当时，，当时，，当时， ………………………………………………………8分∴f (x )的单调增区间为：；单调减区间为；[0，2]…………… 12分19．（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，所以AB = AC = AD = a在△SAB 中，由SA 2 + AB 2 = 2a 2 = SB 2，知SA ⊥AB ，同理SA ⊥AD .所以SA ⊥平面ABCD . …………………………6分（2）连BD ，设BD 与AC 交于O ，连OP ，O 显然平分BD ，取SP 的中点M ，∵SD = 3PD ，∴SM = MP = PD . ………………8分因此，BM ∥OP ，又E 是SC 的中点，故EM ∥CP .从而平面BME ∥平面P AC .又BE 平面BME ，故BE ∥平面P AC . ………………………………………………12分20．解：设楼高为n 层，总费用为y 元，根据题意得征地面积为∴征地费用为元 ………………………………………………2分楼层建筑费用为[445+445+(445+3)+(445+30×2)+…+[445+30(n-2)]]元. ……………………………………………4分从而 ………………………………………………6分.1000}4006000152{)400600015(a a nn a n n =+⋅≥++= ……………10分 等号当且仅当，即n = 20时成立.从而可知楼高20层时总费用的最小值为1000a 元. …………………………………12分21．解：（1）由知，由直AB 经过原点，又由，因为椭圆的离心率等于，所以，故椭圆方程 ………………………………2分设A (x ，y )，由，知x = c ，∴A (c ，y )，代入椭圆方程得， …………………………4分故直线AB 的斜率因此直线AB 的方程为 ………………………………………………………6分（2）连结AF 1、BF 1、AF 2、BF 2，由椭圆的对称性可知，………………………………………………………………8分所以，又由，解得，故椭圆的方程为22．解：（1）由题意得解得或（与d > 0矛盾，舍去）…2分.344)2(5)2(,4223-=⨯-=⨯-+=∴=-=∴n n z d n a a a a d n………………………………………………………………………… 4分（2）因为{b n }是等差数列，所以应是n 的一次函数，且c ≠0， ……………………………………………………………………8分（3）2526)1)(25()22)(25(2)25()(21++=++=++=+=+n n n n n n n n n b n b n f n n ……10分， …………………………………… 12分当且仅当即n = 5时取等号. …………………………………………14分。