初中数学二次函数最全知识点总结
二次函数知识点全总结初中
二次函数知识点全总结初中二次函数是代数学中的重要内容，也是中学数学中的重要内容之一。
在学习二次函数时，不仅要掌握它的基本概念和性质，还要掌握它的图像、方程和应用等方面的知识。
下面对二次函数的知识点进行全面总结。
一、二次函数的基本概念和性质1. 二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c (a≠0)的函数，其中a、b、c为常数。
二次函数的自变量x的最高次数是2，因此称为二次函数。
2. 二次函数的图像二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的开口方向由二次项的系数a决定。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点的横坐标为-x轴上的对称轴，纵坐标为抛物线的最低值或最高值。
4. 二次函数的对称轴对称轴是过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴的方程为x = -b/2a。
5. 二次函数的零点二次函数与x轴相交的点称为零点，其坐标为(x, 0)。
二次函数的零点可以由解二次方程ax² + bx + c = 0得到。
6. 二次函数的凹凸性凹凸性是指二次函数的图像的形状，当a>0时，抛物线开口向上，图像是凹的；当a<0时，抛物线开口向下，图像是凸的。
二、二次函数的图像与性质1. 二次函数图像的平移二次函数y = ax² + bx + c的图像平移，一般可以通过改变常数c来实现。
当c>0时，图像上移；当c<0时，图像下移。
常数b则可以控制图像的水平平移。
2. 二次函数图像的伸缩二次函数图像的伸缩可以通过改变系数a来实现。
当|a|>1时，图像纵向伸缩；当0<|a|<1时，图像纵向压缩。
系数b则可以控制图像的水平伸缩。
3. 二次函数的最值对于二次函数y = ax² + bx + c，当a>0时，最小值为f(-b/2a)，最大值为正无穷；当a<0时，最大值为f(-b/2a)，最小值为负无穷。
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是一种常见的数学函数，其关键特点是含有二次项（x²）的多项式函数。
以下是关于二次函数的最全知识点总结。
一、基本定义与性质：1. 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
2.二次函数的图像是一个平滑的开口向上或向下的抛物线。
3.抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
4.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。
5. 若D=b²-4ac>0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；若D=0，则抛物线与x轴有一个不同的交点；若D<0，则抛物线与x轴没有交点。
6.轴对称线的方程为x=-b/2a。
7.当a>0时，二次函数的值域为[f(-b/2a),+∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞,f(-b/2a)]。
二、顶点相关问题：1. 顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0得到。
即f'(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，带入二次函数得到顶点坐标。
2.顶点为函数的最值点，当开口向上时，顶点为最小值点；当开口向下时，顶点为最大值点。
3.当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
4.顶点在数轴上的位置对应了函数的增减性质。
三、对称性与坐标轴交点：1.二次函数是轴对称的，其轴对称线为x=-b/2a。
2.函数与轴对称线的交点为（0，c）。
3.函数与y轴的交点为（0，c），其中c为常数项。
4.函数与x轴的交点取决于D的值，若D>0，则存在两个不同的交点；若D=0，则存在一个交点；若D<0，则不存在交点。
四、图像的变换与性质：1.若在二次函数的一般形式中，a改变为-k（k为常数，k≠0），则图像沿x轴翻转，开口方向不变。
2.若在二次函数的一般形式中，c改变为+k（k为常数），则图像上下平移，平移量为+k。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。
3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。
具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。
另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。
具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。
4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。
5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。
事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。
二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。
而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。
6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。
另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。
以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结二次函数是初中阶段数学中重要的一个章节，掌握好二次函数的知识点对学习整个数学学科都非常重要。
下面是二次函数的完整版知识点总结。
一、二次函数的定义与图像特征1. 二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。
2.二次函数的图像特征：a)抛物线开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
b)对称轴：对称轴的方程为x=-b/(2a)。
c)最值点：a>0时，最小值点是对称轴上的点；a<0时，最大值点是对称轴上的点。
d) 零点：抛物线与x轴相交的点称为零点，解二次方程ax²+bx+c=0可以求出。
e)单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
二、二次函数的基本公式1. 平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3.差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)三、一元二次方程1.一元二次方程的定义：只含一个未知数的二次方程称为一元二次方程。
2.一元二次方程的解法：a)完全平方公式法：对一元二次方程进行配方，化成完全平方的形式，从而求出解。
b)因式分解法：将一元二次方程化简为(a-b)(a+b)=0的形式，然后利用乘法原理。
c)直接求解法：对一元二次方程直接利用二次根公式求解。
四、二次函数的变形及其性质1.平移变形：把二次函数图像上的每一个点(x,y)移动到(x-h,y-k)的位置，得到二次函数y=a(x-h)²+k。
2.压缩与伸缩：y=a(x-h)²+k中，a的变化会导致图像纵向的压缩和伸缩。
a)a>1时，图像纵向压缩；b)0<a<1时，图像纵向伸缩；c)a<0时，图像纵向伸缩并翻转。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义和性质：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数，且a 的值决定了抛物线的开口方向。
1. 二次函数的图像是一条抛物线，可以分为三种情况：a）当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为c；b）当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为c；c）当a = 0时，函数为线性函数，图像为一条直线。
2. 抛物线的对称轴方程为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点坐标为对称轴上的点，可以通过对称轴方程求得。
4. 当抛物线开口向上时，函数的值随着x的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着x的增大而减小。
5. 当二次函数与x轴交点时，即f(x) = 0，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得x的值。
二、二次函数的图像及其性质的应用：1. 求解二次不等式：可以通过函数图像的性质进行解题，即判断图像与x轴的交点的情况。
2. 求解实际问题：如抛物线模型、最值问题等，将实际问题转化为二次函数的问题，再通过函数图像的性质求解。
三、二次函数的基本变形：1. y = a(x - h)² + k：顶点坐标为(h, k)，对称轴方程为x = h，图像开口方向与a 的正负有关。
2. y = ax² + bx + c + d：在基本函数的基础上进行平移，平移量为(d, d)。
3. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移和伸缩，平移量为(d, d)，伸缩量为a。
4. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移、伸缩和翻转，平移量为(d, d)，伸缩量为a，翻转轴为直线x = h。
四、二次函数的相关概念：1. 零点：即函数与x轴交点的横坐标，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得。
2. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为c；开口向下时，函数的最大值为c。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。
3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。
二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。
2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。
3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。
4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。
5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。
6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。
三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。
2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。
3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。
四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。
2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。
初三数学二次函数知识点归纳
初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。
学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。
下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。
一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。
2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。
当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。
3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。
4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。
5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。
二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。
2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。
当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
下面我们就来详细总结一下初中二次函数的相关知识点。
一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a≠0$）的函数，叫做二次函数。
其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，如果$a ＝0$，那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
抛物线的顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
三、二次函数的解析式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a≠0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a≠0$），其中顶点坐标为$（h, k)＄3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a≠0$），其中$x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
函数有最小值，当$x ＝＼frac{b}｛2a}＄时，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
2、当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
函数有最大值，当$x ＝＼frac{b}｛2a}＄时，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点情况，可以由对应的一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根的判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$来判定：1、当$＼Delta ＞ 0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；2、当$＼Delta ＝ 0$时，抛物线与$x$轴有一个交点；3、当$＼Delta ＜ 0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
初中数学二次函数知识点整理
对于可以因式分解的一元二次方程，先将其 化为两个一次方程的乘积等于0的形式，再 分别求解这两个一次方程。
二次函数与一元二次方程对应关系
要点一
二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 与 一元二次方程 …
二次函数的图像与x轴的交点即为一元二次方程的根。
要点二
二次函数的判别式 $Delta=b^24ac$ 与…
面积最大化问题建模与求解
面积函数建立
根据几何形状的面积公式 ，建立与面积相关的二次 函数模型。
顶点求解
通过配方或公式法求出二 次函数的顶点，即最大面 积点。
约束条件分析
考虑实际问题的约束条件 ，如边长范围、形状限制 等，对解进行合理性检验 。
其他实际问题中二次函数应用举例
01
02
03
04
运动学问题
XXX
PART 03
二次函数在实际问题中应 用
REPORTING
利润最大化问题建模与求解
01
02
03
利润函数建立
根据售价、成本、销量等 因素，建立与利润相关的 二次函数模型。
顶点求解
通过配方或公式法求出二 次函数的顶点，即最大利 润点。
约束条件分析
考虑实际问题的约束条件 ，如售价范围、成本限制 等，对解进行合理性检验 。
当 $Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根，对应二次函 数图像与x轴有两个交点；当 $Delta=0$ 时，方程有两个 相等的实根，对应二次函数图像与x轴有一个交点；当 $Delta<0$ 时，方程无实根，对应二次函数图像与x轴无 交点。
利用二次函数解一元二次方程实例分析
实例1
求解一元二次方程 $x^2-2x3=0$。可以将其看作二次函数 $y=x^2-2x-3$ 与x轴的交点问题 ，通过配方或公式法求解得到
初中数学知识点总结二次函数
初中数学知识点总结二次函数
一、二次函数的定义
二次函数是最基本的二次多项式函数，它属于多项式函数的一种，它
的定义为：
二次函数：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。
二、二次函数的一般式
二次函数的一般式为：ax2+bx+c（a≠0），从而可以知道，它由三个
系数a，b，c组成，它由于保持不变的性质，所以对于它的参数，a，b，
c都是可以任意取值的，即a，b，c都可以取任意实数。
三、二次函数的图像
根据上述一般式，二次函数一般都会把它的图像想象成一个平滑的抛
物线图形，又称双曲线，这样的抛物线有三个特殊点：拐点，根点，中点。
1.拐点
对于图形来说，拐点就是一个折点，而二次函数中的拐点则是指函数
图像在特定点的一次导数变种符号，这就是二次函数很重要的特征，即函
数图像的拐点。
2.根点
根点是一种更特殊的拐点，即二次函数的一般式中当x=κ时，函数
值y=0，这时，它成为了一个函数的根点，即出现了函数的等式，它的特
殊性体现在它刚好相等。
3.中点
在二次函数中，中点指的是拐点和根点的中点，这一点其实十分重要，在不同的情况下，中点的位置会发生变化，有时候也会出现二次函数的准
确位置，这就需要我们根据情况来判断了。
初中数学二次函数的知识点
初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在初中数学中经常会出现，掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。
下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。
一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是指自变量的二次函数关系，可以表示成f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的形式，其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的图像特征：a)平移到抛物线的顶点和开口方向：当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时，顶点为(h,k)。
b)对称性：二次函数关于直线x=h对称。
c)开口情况：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
d)零点：即方程f(x)=0的解，可以通过因式分解、配方法等求得。
e) 判别式：Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程f(x)=0有两个实数解；当Δ=0时，方程f(x)=0有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程f(x)=0无实数解。
二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响：a决定了二次函数开口的方向，即a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
当a的绝对值越大时，开口越窄。
2.h的大小对图像的影响：h决定了二次函数图像的平移。
当h>0时，图像在x轴正方向平移；当h<0时，图像在x轴负方向平移。
当，h，越大时，平移的距离越大。
3.k的大小对图像的影响：k决定了二次函数图像的平移。
当k>0时，图像在y轴正方向平移；当k<0时，图像在y轴负方向平移。
当，k，越大时，平移的距离越大。
三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解：二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。
可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。
2.二次方程与二次函数图像的交点：二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点，即二次函数的零点。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，抛物线的对称轴与x轴的交点称为顶点。
顶点的横坐标为：-b/2a; 纵坐标为：f(-b/2a)。
3. 二次函数的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 二次函数的轴线二次函数y=ax^2+bx+c的图象的对称轴，称为轴线，其方程为：x=-b/2a。
5. 二次函数的零点二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点，称为零点。
二次函数的零点可以用求根公式或配方法求得。
6. 二次函数的图象二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，其形状由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标由b，c的值决定。
二、二次函数的性质1. 判断二次函数图象开口方向的方法当二次函数为y=ax^2+bx+c时，通过判断a的正负来判断开口方向。
如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的最值二次函数的最大值或最小值为y的极值，可以通过求导数或直接利用顶点的纵坐标得出。
最值的性质有：当a>0时，最值为最小值；当a<0时，最值为最大值。
3. 二次函数的零点二次函数的零点即二次方程ax^2+bx+c=0的实根。
根据求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。
4. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴即为x=-b/2a，顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
5. 二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线，通过对称轴和顶点坐标可以直接绘制出抛物线的图象。
三、二次函数的应用1. 求二次函数的最值通过求导数或者用顶点坐标的纵坐标来求得二次函数的最值。
2. 判断二次函数的零点和对称轴通过求根公式可以求得二次方程的零点，通过a、b的值求得对称轴。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数知识点—、基本概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ,而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2, 二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c的性质：（上加下减）2 ,3. y a x h 的性质：（左加右减）24. y a x h k 的性质:三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1:⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ,确定其顶点坐标 h, k ; ⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h, k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减, 上加下减”.平移|k|个单位A y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|个单位方法2:⑴yax 2 bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，yax 2 bx c 变成y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm)⑵yax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，yax 2 bx c 变成y a(x m)2 b(xm) c (或y a(xm)2b(x m) c)四、一次函数y a x h 2 k 与y ax 2 bx c 的比较2y a x h k 与y ax bx c 是两种不同的表达形式，后者；®过配方可以得到2, i_2 2b 4ac b b , 4ac b刖者，即y a x —---------- ，其中h —, k ---------------------2a 4a 2a 4a五、—次函数y ax 2 bx c 图象的圆法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式y a(x h)2 k ,确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0, c 、以及0, c 关于对称轴对称的点 2h , c 、与x 轴的交点x 1 , 0 , x2, 0 (若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)^画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.K 、—次函数y ax 2 bx c 的性质七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c ( a, b , c 为常数，a 0);2. 顶点式：y a(x h)2k ( a, h, k 为常数，a 0);3. 两根式：ya(xx i )(x x 2) (a 0 , x i , x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标)从解析式上看, 1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为 xQ,顶点坐标为2ab 4ac b—, -------2a 4a当x 土时，y 随x 的增大而减小;土时，y 随x 的增大而增大；当x 《时，y 有最小值4ac b 24a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x—,顶点坐标为2ab 4ac b—, -------2a 4a随x 的增大而增大；当x—时，y 随x 的增大而减小；当x 2a 号时，y 有最大值箜朱虹注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax 2 bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 .⑴当a 0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵当a 0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下，当b 0时， — 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a 当b 0时， — 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当b 0时， 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a ⑵ 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， — 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b 0时， — 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a当b 0时， — 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.b .ab 的符号的判定：对称轴x ：■在y 轴左边则ab 0,在y 轴的右侧则ab 是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑵ 当c 0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当c 0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要a, b, c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；0,概括的说就⑴当c 0时，抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称y ax 2 bx c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c;2h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是2. 关于y 轴对称根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上 是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐 标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一兀二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ①当 b 2 4ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax , 0 , B x?, 0 （x 〔 x ?）,其中的x 〔，x ?是一元次方程ax 2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB x x | bj ^4^ .② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；y ax bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2h k ;2y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y a x 关于原点对称y ax bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y 2ax bx c ； 2. .、一 .........y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是ya2x h k ;关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180° ）y ax bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y2 ax 2. bbx c —2. ..、 、一 .........y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是ya2a .2.x h k . 关于点m , n 对称2―、 、 一 . ......... y a x h k 关于点m, n 对称后，得到的解析式是y a x h 3. 4. 5. 22m 2n k a 永远不③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0；2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .2. 抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 , c）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a , b , c的符号，或由二次函数中 a , b , c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标^⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母x的二次函二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 已知以x 为自变量的二次函数 y (m 2)x 2 m 2 m 2的图像经过原点，则m 的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5 已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x 一,求这条抛物线的解析式。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。
2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。
4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。
a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。
b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。
4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。
5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。
6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。
三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。
2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。
3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。
4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。
(完整word版)初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结（含典型例题）
二次函数概念:
1・：次曲效的慨念：•心地•形如严.宀2心・h.常数・"()》的慚珈.叫做•:次函取
叽需妥强调:和元：次方程类似.二次烦系数a*0.而氛c可以为冷.二次函救的定义坡;.
2
2.・次说放y三亦斗加y的九哪J待征匕
⑴弄号左边是函熬，冇边足淡HT变肛•的二决式，x的J5髙次数足2・
⑵X h.c臨加a&Z次换系数.b艮•次顶系妆.cl^；M.
二、二次函数的基本形式
I.：坎廁以AE公形儿卜一川的血几
3桅对值越大.拢物线的开口越小。
2. y = ax"十c的性庚:
上加卜•賊.
3.厂0(・丫-/”•的Ft质:
左加右
4.」i心-")•事*的加讯；。