高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案
【名师伴你行】2021届高考理科数学二轮复习专题-提能专训2-第2讲-数形结合思想Word版含解析
提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2022·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2022·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝()A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.3．(2022·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2022·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案]B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2022·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2022·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( ) A.613 B.365 C.65 D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“美丽 图象”．下列函数的图象为“美丽 图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，由于y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，由于x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排解C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，依据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2022·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.10．(2022·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B [解析]画出函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2022·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，明显在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，由于函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．由于C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2022·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x 2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观看得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2022·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．[答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA→＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，简洁得到∠ACB ＝120°.∵CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2022·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P.(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0， x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x－x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k ＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2022·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a ∈R . (1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0， ∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0， ∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32， x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增； x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减； ∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln xx 2有唯一正实数根， 令φ(x )＝－x －ln xx 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2xx 4＝x －1＋2ln xx 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增． 即φ(x )≥φ(1)＝－1， 又当x →0时，φ(x )→＋∞， 而当x →＋∞时，φ(x )→0且φ(x )<0，故满足条件的实数a 的取值范围为：{a |a ≥0或a ＝－1}．。
高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案
(1)当 a＝ 1， b＝－ 1 时，求使 f(x)≥ 2 2的 x 的取值范围； (2)若 f (x)≥ 312恒成立，求 a－ b 的取值范围．
答案及解析
1． 解析： 选 B.由题意得 A
＝
y
log
1 22
≤
y≤
log
24
＝ { y|－ 1≤ y≤ 2} ＝ [－ 1， 2]，又
B＝ { x|
x≤2} ＝ [0，4] ，
所以 cos α＝
2 22 ＋（
＝ 2 ＝ 6， 2） 2 6 3
所以 cos 2α＝ 2cos2 α－1
2
＝ 2×
6 3
－
1＝
1 3.
故选 D.
4． 解析： 选 A. 满足题意时，椭圆上的点 P(acos θ，bsin θ)到圆心 O(0， 0)的距离：
d2＝ (acos θ－0) 2＋ (bsin θ － 0)2＞ r 2＝ a2－ b2，
D.
13 π＋ 4
22
1
8．函数 f(x)＝ x＋ x ln |x|图象的大致形状为 (
)
9．已知一次函数 f(x)＝kx＋ b 的图象经过点 P(1，2)和 Q(－ 2，－ 4)，令 an＝ f(n)f(n＋ 1)，
n∈ N *，记数列
1 an 的前
n 项和为
Sn，当 Sn＝ 265时， n 的值等于 (
故 B 正确； C 显然错误；
对于
D ，周期
T＝2π＝ π，g
3π ＝－
2，
2
8
2
故图象不关于点 38π， 0 对称．
7．解析： 选 A. 由三视图可知， 该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体， 其中：
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题十三及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A ．﹣B．1 C ．D ．3．已知命题：p“∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1] C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲8 11141522乙6 7 12324A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1=s2D．s1，s2大小不能确定5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A．81B．C．D．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B． C．2 D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．48．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．①③B．②③C．②④D．③④9．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，] B．[﹣1，] C．[0，] D．[1，]11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A． B．C．D．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f （0）=﹣1，则不等式f（x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
2024年高考第二次模拟考试数学(新高考专用01)含答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析六.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|（）x≥2}，B={y|y=lg（x2+1）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x≤﹣1或x≥0} B．{（x，y）|x≤﹣1，y≥0} C．{x|x ≥0} D．{x|x＞﹣1}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：由全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，得到C U A={x|x＞﹣1}，再由B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，能求出（C U A）∩B．【解析】：解：∵全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，∴C U A={x|x＞﹣1}，∵B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，∴（C U A）∩B={x|x|x≥0}．故选C．【点评】：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虚部为．故选：A．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1【考点】：充要条件．【分析】：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．【解析】：解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选B【点评】：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．4．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？【考点】：循环结构．【专题】：阅读型．【分析】：n=1，满足条件，执行循环体，S=2，依此类推，当n=10，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件．【解析】：解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．【点评】：本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故选：C．【点评】：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m﹣），由m﹣=kπ+，k ∈Z，即可求m的最小值．【解析】：解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．7．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．【解析】：解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．B．C．D．7【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解析】：解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．【点评】：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10．（5分）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．48【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：综合题；不等式的解法及应用．【分析】：先由条件求得AB•AC=4，再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1．再由f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．【解析】：解：∵•=2，∠BAC=30°，∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=++的最小值为36，故选：C．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角【解析】：解：设向量和的夹角是α，则∵，且，∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0，π]∴α=故答案为：【点评】：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．12．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q= 2 ．【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q 的方程，由各项为正数求出q的值．【解析】：解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．13．（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8 ．【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，可知：按3+12k（k∈N*）抽取．可得：在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．【解析】：解：∵从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，则以后按3+12k（k∈N*）抽取．∵3×12×41=495，∴在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．故答案为：8．【点评】：本题考查了系统抽样的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是（8，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据绝对值不等式的性质求得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|，由|a﹣3|＞5，求得a的范围．【解析】：解：∵|x﹣3|+|x﹣a|≥|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|，∴|a﹣3|＞5，∴a﹣3＞5，或a﹣3＜﹣5，解得a＞8，或a＜﹣2，故答案为：（8，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x ∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f （x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．【考点】：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．【解析】：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f （x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．【考点】：两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．【解析】：解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．17．（12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．【考点】：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：综合题．【分析】：（I）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率．（II）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；（II）求出ξ可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列，利用数学期望公式求出随基本量的期望值．【解析】：解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得所以学生小张选修甲的概率为0.4（Ⅱ）若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24∴事件A的概率为0.24（Ⅲ）依题意知ξ=0，2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52【点评】：求随基本量的分布列，应该先判断出随基本量可取的值，再求出取每一个值的概率值．18．（12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D﹣ABCE，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH⊥平面ABCE，进一步证明AC⊥平面DHF，从而可得线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量，面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，可得二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE所以DH⊥平面ABCE，因为AC⊂平面ABCE所以AC⊥DH…（2分）因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE所以AC⊥HF…（4分）因为HF⊂平面DHF，DH⊂平面DHF，且HF∩DH=H所以AC⊥平面DHF，又DF⊂平面DHF所以DF⊥AC…（6分）（Ⅱ）解：连接BH，EB由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则所以，设面DCB的法向量为，则不妨设…（8分）设面DAB的法向量，又则，取…（10分）所以所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为…（12分）【点评】：本题看下线面垂直，考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．19．（12分）设S n是数列{a n}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，a n+1=S n+3n，设b n=S n﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=2log2b n﹣+2，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由a n+1=S n+3n可得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n ﹣3n），从而得到b n+1=2b n，于是有：数列{b n}是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n=2log2b n﹣+2=2n﹣，设M=1++++…++…①则M=++++…++…②，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和T n．【解析】：证明：（Ⅰ）∵a n+1=S n+3n，∴S n+1﹣S n=S n+3n即S n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）∴b n+1=2b n…（4分）又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，∴{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n=2log2b n﹣+2=2n﹣…（8分）设M=1++++…++…①则M=++++…++…②①﹣②得：M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，∴M=4﹣﹣=4﹣，∴T n=n（n+1）+﹣4…（12分）【点评】：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a ≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a ﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q 两点．（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C1的方程．抛物线C2中，由，能求出抛物线C2的方程．（II）（i）设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线AB过定点．（ii）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程．【解析】：解：（I）由于椭圆C1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ=1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），∴，故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=﹣2y．（II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1，从而MA的方程为y=﹣x1（x﹣x1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上．又点M在直线2x﹣4y+3=0上，则2x0﹣4y0+3=0，故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0，∴直线AB过定点．（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，，，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x0﹣4y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0．【点评】：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．。
2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及参考答案二(精品试题).docx
-学年第二学期第二次模拟高三数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1、集合{}B=，则图中阴影部分表3,4,5,6A=，{}1,2,3,4示的集合为A ．φB ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}5,6 2、在复平面内，点(2,1)A -，(,)B a b 分别表示复数1z 和2z ，若21z i z =，则a b += A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 3、α，β, γ为不同平面，a ，b 为不同直线，命题p ：若αγ⊥，βγ⊥，且a αβ=I ，则a γ⊥；命题q ：若a α⊥，b α⊥，则//a b ，下列命题正确的是A ．p ⌝B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝ 4、如图是一个样本的频率分布直方图，由图中数据可估计样本的中位数大约等于A ．12B ．12.5C ．13D ．13.55、如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 的中点，则经过点1B 、1D 和E 三点的截面的左视图的面积为A ．1B ．2C ．3D ．46、{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，若1166S =，则3612432a a a ++=A ．27B ．54C ．99D ．1087、ABC ∆中，3A π=，3a =，2b =，则cos C =A ．366+-B ．366+ C ．636- D ．366- 8、有一个长为10米的木棒斜插．．在地面上，点P 是地面内的一个动点，若点P 与木棒的两个端点构成的三角形面积为定值，则点P 的轨迹为A ．椭圆B ．圆C ．两条平等直线D ．双曲线9、执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[]1,9- B ．[]3,6-C ．[]3,1--D ．(]2,6- 10、如图，网格中的每个小格均为边长是1的正方形，已知向量a r ，b r，若c xa yb =+r r r ，则x 和y 的值分别为A ．4和0B ．4和 1C ．45-和85D ．85和45-11、在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，若一个椭圆经过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的离心率为 A ．2362- B ．21- C ．632- D ．63-12、22()ln f x x x =-，若(0,)απ∈，且(sin )(cos )f f αα>，则α的取值范围为A ．3(0,)(,)44πππU B ．3(,)(,)4224ππππUC ．3(0,)(,)424πππUD ．3(,)(,)424ππππU 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共20分）13、4(12)x x ⋅-展开式按升幂排列的第4项的系数为 。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析二.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C 上恰有不同四点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣105．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．16．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或07．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．48．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．29．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= ．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C 在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx 成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b ﹣a）ln2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数z，然后求出复数的模即可．解答：解：因为复数z==，所以|z|==．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：函数=﹣cos2x，利用导数的运算法则、函数的奇偶性周期性即可得出．解答：解：∵函数=﹣cos2x，则其导函数f′（x）=2sin2x，∴T==π，f′（﹣x）=﹣2sin2x=﹣f′（x），∴其导函数f′（x）是最小正周期为π的奇函数．故选：D．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性周期性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C 上恰有不同四点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，可得，即可判断出．解答：解：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，则，∴“”是“C上恰有不同四点到l的距离为”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充要条件的判定方法、直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和S n，可知，结合求得公差，然后再由求得答案．解答：解：由，得，由，得=2，∵a1=﹣11，解得d=2，∴=﹣11+5×2=﹣1，∴S11=﹣11，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的求和公式．属基础题．5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或0考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据框图给出的向量和向量的坐标及λ的值，运用向量的数乘及坐标的加法运算求出的坐标，再求数量积，数量积为0，则两向量垂直，算法结束，输出λ的值，否则，执行λ=λ+1，再判断执行，直至数量积为0结束．解答：解：由，当λ=﹣4时，，此时4×0+（﹣2）×10=﹣20≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣4+1=﹣3，，此时4×1+（﹣2）×7=﹣10≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣3+1=﹣2，，此时4×2+（﹣2）×4=0，与垂直，算法结束，输出λ的值为﹣2．故选B．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，考查了运用向量数量积判断两向量是否垂直，若非零向量，则⇔x1x2+y2y2=0，此题是中低档题．7．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．4考点：基本不等式．专题：不等式．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是4，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．8．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．9．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由二项式定理得到，两边求定积分得答案．解答：解：由，得：=，∴，即=+++…++，∴M=+++…++=，故选：A．点评：本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M （﹣x，﹣y），A（a，0），B（﹣a，0），Q（0，﹣），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出||范围．解答：解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，∴Q点在y轴上；设P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），Q（0，）；△PAB为Rt△；∴|PO|=|a|，又0≤；∴；∴；=；∴；∴；∴的取值范围为．故选：C．点评：考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= 0.16 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．解答：解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.34，观察图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.34=0.16．故答案为：0.16．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为（8+2）cm ．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：首先根据三视图把几何体的立体图复原出来进一步利用表面积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体为底面是直角边长为2cm和1cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱则：S表=S侧+2S底=8+2故答案为：（8+2）cm点评：本题考查的知识要点：三视图和几何体的关系，几何体的表面积公式的应用．主要考查学生的应用能力和空间想象能力．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是49 ．考点：计数原理的应用；棱柱的结构特征．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，结合正方体的结构特征，分3种情况讨论：①、三点都在正方体的棱上，②、以6个面的中心为中点，③、以正方体的中心为中点，分别求出每种情况下三点共线的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，在所给的正方体的27个点中，三点共线的情况有3种：①、三点都在正方体的棱上，正方体有12条棱，即有12种情况；②、以6个面的中心为中点，正方体有6个面，每个面有4种情况，共有4×6=24种情况，③、以正方体的中心为中点，共有26÷2=13种情况，则共有12+24+13=49种，即共线的三点组的个数是49；故答案为：49．点评：本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于掌握正方体的结构特点并判断三点共线的情况．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把参数方程转化为直角坐标方程，建立方程组求出交点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：曲线Γ：ρ=，θ∈R转化成：，转化成直角坐标方程为：，整理得：3x2+4y2﹣6x﹣9=0，曲线C：，t∈R转化为直角坐标方程为：y=，所以：，解得：或所以：|OA|=2，则：|OA||OB|=．故答案为：．点评：本题考查的知识要点：极坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为①②④（写出所有正确命题的序号）考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：①已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；②已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；③已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；④已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；⑤由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误．解答：解：①∵A＞B＞C，∴a＞b＞c，又===2R，∴sinA=，sinB=，sinC=，2R为定值，∴sinA＞sinB＞sinC，此选项正确；②∵==，由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得==，∴==，即tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形，本选项正确；③∵sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=，即C=，则△ABC为钝角三角形，本选项正确；⑤若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角，∵A+B=π﹣C，∴tan（A+B）=tan（π﹣C），即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，即⑤错误，故答案为：①②④点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间．（Ⅱ）进一步利用三角函数的定义域求出正弦型函数的值域．解答：解：（I）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x=，x∈R令解得：，所以：f（x）的单调增区间为：（k∈Z）（II）由，所以：从而有：，故：因此：函数f（x）的值域：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调递增区间，利用三角函数的定义域求正弦型函数的值域．主要考查学生的应用能力．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件．专题：计算题．分析：（I）本题是一个独立重复的实验，利用n次对立重复实验恰好发生k次的概率公式与互斥事件的概率求出他们的实验至少有3次成功的概率；（II）依题意判断出随机变量ξ可取的值及取每一个值的概率值，列出分布列，根据期望的公式求出这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：（4分）（Ⅱ）依题意有：ξ1 2 3 4 5P（4分）点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知想到取PA中点Q，连接NQ，DQ，然后利用三角形的中位线定理证明NC∥DQ，再由线面平行的判断得答案；（2）找出平面MNC与底面ABCD的交线，然后利用三垂线定理得到平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，再通过解直角三角形得答案；（3）利用等积法求出A到平面PMN的距离，得到C到平面PMN 的距离，再求出平面PMN的面积，得到三棱锥C﹣PMN的体积，即三菱锥P﹣MNC的体积V．解答：（1）证明：如图，取PA中点Q，连接NQ，DQ，∵N、Q分别为PB、PA的中点，∴NQ∥AB，NQ=，又DC∥AB，DC=，∴NQ∥DC，NQ=DC，则四边形DCNQ为平行四边形，∴NC∥DQ，DQ⊂面PAD，NC⊄面PAD，∴直线NC∥平面PAD；（2）解：连接BD，∵M、N分别为PD、PB中点，∴MN∥BD，过C作l∥BD，则MN∥l，∴平面MNC∩平面ABCD=l，取AD中点S，连接CS，∴CS⊥l，连接MC，则∠MCS为平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，∵PA=AD=AB=2，CD=1，∴MS=1，SC=，则MC=，∴cos；（3）解：设SC∩BD=R，由题意可得：SR=CR，∴C与S到平面PMN的距离相等，又S为AD的中点，∴S到平面PMN的距离等于A到平面PMN距离的一半，设A到平面PMN距离为h，由PA⊥AB⊥AD，PA=AD=AB=2，则由等积法得：h，解得h=，∴C到平面PMN的距离为，又三角形PMN为边长是的正三角形，∴，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由，S n=f（S n﹣1）知：，可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推式即可得出a n．（Ⅱ）b n==，利用“裂项求和”即可得出．解答：（Ⅰ）解：由，S n=f（S n﹣1）知：，又a n＞0，a1=2，S n＞0，∴，即：是以为首项，为公差的等差数列，∴，，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣2，当n=1时也成立，∴a n=4n﹣2．（Ⅱ）证明：=，T n=＜n+1．点评：本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C 在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（I）由题意设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0）利用的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是，得到a，b的方程，求解即可；（II）有的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．解答：解：（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，．从而．由于，即．又已知，所以从而椭圆的方程是．（Ⅱ）因为的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．由解得．不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为﹣k，因此PC和QC的方程分别为y=k（x﹣1）+1，y=﹣k（x﹣1），其中消去y并整理得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）．∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根．从而，同理，从而直线PQ的斜率为．又知A（2，0），B（﹣1，﹣1），所以，∴向量与共线．点评：（I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx 成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b ﹣a）ln2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对函数求导，然后令导数为零，再判断导数为零的点左右两侧的导数符号，确定极大值或极小值；（Ⅱ）这是一个不等式恒成立问题，所以可将问题转化为函数的最值问题求解；（Ⅲ）证明此类不等式问题，可以根据要证的式子特点构造函数，然后利用函数的单调性、最值解决问题．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=1+lnx，（x＞0）．令f'（x）=0，解得：，且当时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，因此：f（x）的极小值为；（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣mx，则h'（x）=ln（x+1）+1﹣m，注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必须要求h'（0）≥0，即1﹣m≥0，亦即m≤1；另一方面：当m≤1时，h'（x）=ln（x+1）+1﹣m≥0恒成立；故实数m的取值范围为：m≤1；（Ⅲ）构造函数，x＞a，又∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F'（x）＞0，F（x）在（a，+∞）上是单调递增的；故F（b）＞F（a）=0，即：．另一方面，构造函数，G（x）在（a，+∞）上是单调递减的，故G（b）＜G（a）=0即：，综上，．点评：本题考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用，要注意恒成立问题转化为函数最值问题来解的典范思路，注意体会和总结．。
2024年高考数学第二轮复习：高考数学模拟试题精编(七)
高考数学模拟试题精编(七) (考试用时：120分钟 分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪21-x ≥12，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，3]2．已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cos β＝－1010，则α＋β＝( ) A ．π4 B ．3π4 C ．5π6D ．5π43．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t (月)满足函数关系式v ＝ab t (其中a ，b 为非零常数)，若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过(参数数据：lg 2≈0.3)( )A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月4．函数f (x )＝x 36＋sin 2x 的图象的大致形状是( )5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝2，则以下结论错误的是( )甲 乙A ．2OB→＋OE →＋OG →＝0B ．OA →·OD →＝－2 2C ．|AH→＋EH →|＝4 D ．|AH→＋GH →|＝4＋2 2 6．已知正实数a ，b 满足ab ＋2a －2＝0，则4a ＋b 的最小值是( ) A ．2 B ．42－2 C ．43－2D ．67．从编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为( )A ．57B ．35C ．25D ．138．若函数f (x )＝e x ＋x 3－2x 2－ax ，则a ＞e 是f (x )在(0，＋∞)上有两个不同零点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z 是z 的共轭复数，则下列命题中的真命题是( )A ．z ＋z ∈RB ．z －z ∈RC ．z ·z ∈RD ．zz ∈R10．某市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛．比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组．已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M 1，“乙队分在第一小组”为事件M 2，“甲、乙两队分在同一小组”为事件M 3，则( )A ．P (M 1)＝12B ．P (M 3)＝37C ．P (M 1)＋P (M 2)＝P (M 3)D ．事件M 1与事件M 3相互独立11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在C 上，则下列说法正确的是( )A ．若点P (2，1)，则△P AF 的周长的最小值为3＋ 2B ．若点P (m ，2)是C 上的一点，且AF →＋BF →＝FP →，则|AF |，|FP |，|BF |成等差数列C ．若A ，F ，B 三点共线，则y 1y 2＝－2D ．若|AB |＝8，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为3 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，Q 为正方形BB 1C 1C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )A ．若D 1Q ∥平面A 1PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得D 1Q ⊥平面A 1PDC ．当且仅当Q 点落在棱CC 1上某处时，三棱锥Q -A 1PD 的体积最大 D ．若D 1Q ＝62，那么Q 点的轨迹长度为24π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 8的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a ＝________．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f (x )＝________． ①f (x )的最大值为2； ②∀x ∈R ，f (2－x )＝f (x )； ③f (x )是周期函数．15．在一次社团活动中，甲、乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6，若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响，设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则E (ξ)＝________．16．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (x 3＋1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝ax ＋b .若f (4)＝1，则∑100k ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a －c ＝2b cos C ．(1)求B ；(2)A 的角平分线与C 的角平分线相交于点D ，AD ＝3，CD ＝5，求AC 和BD . 18．(本小题满分12分)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：23≤T n ＜1. 19．(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN ∥BM ，AN ＝AB ＝BC ＝2，BM ＝4，CN ＝2 3.(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM (不含端点)上是否存在一点E ，使得二面角E -BN -M 的余弦值为33.若存在，求出CE EM 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表．该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y ^＝u ^x 2＋v^. (1)根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程(u^的值精确到0.1)；(2)已知该公司的月利润z (单位：万元)与x ，y 的关系为z ＝24x －5y ＋2x ，根据(1)的结果，该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(本小题满分12分)已知f (x )＝ln x ＋ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)若对任意x ＞0都有f (x )≤0，求a 的取值范围；(2)若0＜x 1＜x 2，证明：对任意常数a ，存在唯一的x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2成立．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点为F (3，0)，点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上但不在y 轴上，过点M 作圆的切线交椭圆于P ，Q 两点，当点M 在x 轴上时，|PQ |＝ 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点M 在圆上运动时，试探究△FPQ 周长的取值范围．。
高三第二次模拟考试数学试题(理)解析版
试卷类型：A高三第二轮复习质量检测数学试题（理科） .5第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 2.已知集合，则A. B. C. D.3.设是非零向量，已知命题若则；命题若则，则下列命题中真命题是A. B. C. D.的值为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为A. B. C. D.6.在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A. B. C. D.7.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是 A.B. 平面C.与平面所成的角等于与平面所成的角D.与所成的角等于与所成的角21iz i-=+{}{}2|y 2,|x 2x 0A x x B x ==-=-<AB =∅A B R =B A ⊆A B ⊆,,m n t :p //,//,m t n t //m n :q 0,0,m t n t ==0m n =p q ∨p q ∧()()p q ⌝∧⌝p q ⌝∨2sin 473sin17cos17-3-1-31i 45655213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭32-0321S ABCD -SD ⊥ABCD AC SB ⊥//AB SCD SA SBD SC SBD AB SC DC SA8.已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为A.B. C.D. 10.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若对于满足的有的最小值为，则的值为 A.B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题25分.11. 四边形为长方形，为的中点，在长方形内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为 .12已知直线被圆截得的弦长为的最大值为 .13.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 .14.已知函数，若存在，当时，，则的最大值是 .,x y 110,22,22x y x y x y ⎧-+≥⎪⎪+≤⎨⎪-≤⎪⎩z mx y =+m 112-12-1-2-2-12-22221(0,0)x y a b a b-=>>:210l y x =+l 221520x y -=221205x y -=2233125100x y -=2233110025x y -=()sin 2f x x =02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()g x ()()122f x g x -=12,x x 12x x -3πϕ12π6π4π3πABCD 2,1,AB BC O ==AB ABCD ()600,0ax by a b +-=>>22240x y x y +--=5ab ()()224,04log 4,412x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎩12,x x R ∈120412x x ≤<≤≤()()12f x f x =()12x f x15.给出下列命题：①已知服从正态分布，且，则;②函数是偶函数，且在上单调递增，则③已知直线，则的充要条件是，其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知分别为 （1）求的大小；（2）若，求的值.17.(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成六组，并作出频率分布直方图（如图）. 将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01 课外体育不达标课外体育达标合计 男 60 女 110 合计（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为，求得分布列和数学期望. 附参考公式与数据：3.84110.828ξ()20,N δ()220.4P ξ-≤≤=()20.3P ξ>=()1f x -()0,+∞2182112log 88f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦12:310,:10l ax y l x by +-=++=12l l ⊥3ab=-,,a b c ABC 33sin .a C C b+=B ∠7,7a c b +==AB BC [)[)[)[)[)[)0,10,10,20,20,30,30,40,40,50,50,6022⨯ξξ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.706 6.6357.87918.(本小题满分12分)已知正项等差数列的首项为，前项和为，若成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记证明.19.(本小题满分12分)如图，三棱柱个，分别为的中点，是边长为的正三角形， （1）证明：平面 （2）证明：平面 （3）求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分) 已知函数 （1）求的单调区间； （2）令，试问过点存在多少条直线与曲线相切？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下焦点，过点作直线与椭圆交于不同的两点，若的周长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）是轴上一点，以为邻边作平行四边形，若点的坐标为，求平行四边形对角线的长度的取值范围. {}n a 12a =n n S 1263,22,8a a a +++{}n a 1n 124123211111111,Q ,n n nP a a a a S S S S -=+++=++++n Q n P ≥111ABC A B C -,D M 11,CC A B 111,A D CC AA B ⊥212, 1.A D BC ==//MD ;ABC BC ⊥11;ABB A 1B AC A --()21ln 2f x x m x x =++()f x ()()212g x f x x =-()1,3P ()y g x =2222:1(0)x y C a b a b+=>>2212,F F 2F l C ,A B 1ABF 4 2.C P y ,PA PB PAQB P ()2210,2,12F AF B-≤≤PAQB PQ。
高考第二次模拟数学(理)试题含答案
高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i -2．已知集合A ={x |2()lg(6)f x x x =-+}，B ={x |()g x ，若AB ≠∅，则实数m的取值范围是( )A ．(−∞，3)B ．(−2，3)C ．(−∞，−2)D ．(3，+∞)3．已知双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32， 则该双曲线的方程为( )A ．22145y x -=B ．22154x y -=C ．22145x y -=D ．22154y x -= 4．已知在各项均为正数的等比数列{n a }中，13a a =16，3a +4a =24，则5a =( )A ．128B ．108C ．64D ．32 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=( )A ．13B ．13-C ．12D ．12-6．已知命题p ：存在n R ∈，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0,)+∞上单调递增；命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝7．函数()f x =2ln ||2x x +的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”， 执行该程序，若输入6n =，则输出C =( ) A ．5 B ．8 C ．13 D ．219．从,,,,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A ．51种B ．45种C ．42种D ．36种10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )A ．14πB ．34πC ．12πD11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（） A．1(0,)2B．1,1)2C．D． 12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()f x =212x −(0)f x +(1)f '1x e -， ()g x = ()f x −212x x +，若方程2()x g x a -−x =0在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数a的取 值范围是（）A ． (0，1]B ．(−∞，−1]C ． (−∞，0)∪{1}D ．[1，+∞)第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(iii)不能同时关闭3号阀门和4号阀门．现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是．14．若实数x ，y 满足约束条件42y xy x y k ≤⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，且22x y μ=++的最小值为4-，则k =．15．若9290129(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则7a 的值为．16．已知首项为13的数列{n a }的前n 项和为n S ，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数()f x ，对任意的x ，y ∈R ，都有()f x ·()f y =()f x y +．若点(n ，n a )(n ∈N *)在函数()f x 的图象上，且不 等式2m +23m<n S 对任意的n ∈N *恒成立，则实数m 的取值范围为______________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos c b A a B -=． （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且满足2,23BD DC AD ==，3,b =求a ．18．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为底,AB CD 上的点，且EF AB ⊥，112,22EF EB FC EA FD ====，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示． （1）求证：平面ABD ⊥平面BDF ；（2）若二面角B −AD −F 的大小为60°，求EA 的长度．图图1 图219．(本小题满分12分)小张经营一个抽奖游戏。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题十一及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．66．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tan θ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x 12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为______．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A，B，求出∁R A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x＜9}=（0，2），∴（∁R A）∩B=[1，2）．故选：B．2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式可得q．再利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．故选：A．4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据系统抽样的定义进行判断，②根据回归直线的性质进行判断，③根据正态分布的概率关系进行判断，④根据概率和不可能事件的关系进行判断．【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故故选：C5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法运算，及共线向量基本定理可得到：，所以便可得到，=3．【解答】解：==；∴，∴，∴．故选A．6．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=++…+，利用等比数列的前n 项和公式即可求得满足条件S的最小的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12．故选：C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于S6＞S7＞S5，可得：a7＜0，a6+a7＞0，判断S12，S13的符号即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12==6（a6+a7）＞0，S13==13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．利用正方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．∴该四面体的体积V=23﹣=．故选：C．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tan θ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为f（x）=﹣cos （x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=），根据当x=θ时，函数f（x）取最小值，可得tanθ的值．【解答】解：∵当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx=（cosx ﹣sinx）=﹣（﹣cosx+sinx）=﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=）取得最小值，则tanθ==﹣，故选：C．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x 【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，令t=f（x）﹣xe X，得出f（x）=xe X+t，再由f（t）=te t+t=0求出t的值，即可得出f （x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=x 的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，不妨令t=f（x）﹣xe X，则f（x）=xe X+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f （x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n= （n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90°…（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…故S△ABC=ab≤×…即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P （0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y1=﹣2y2③联立①②③消去y 1y2，得．∴直线AF1的方程为…（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…=∴四边形AA1B1B的面积为．…21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，单调区间，可得f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m 的范围；（Ⅲ）结论：＞2n+1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n=．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max=f（1）=0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）=，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min=t（1）=﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得：=，又，知，=，即有a n=．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x ＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）==ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n=a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]=ln（2n+1）﹣ln（20+1）=，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max=9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a ﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2016年10月4日。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题：数列
高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）解答题：数列1.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足：3576,24a a a =+=.(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1{}nS 的前n 项和n T .3.已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==,()12N n n a a n *+=∈,()12311111N 23n n b b b b b n n *+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .4.已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()33n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．5.已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3项和39S =,且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求证12n T <.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112,2*n n a a S n N +==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令112(1)(1)n n n n b a a -+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <.答案以及解析1.答案：(1)设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =，∴112.n n n a a q -==(2)由(1)得358,32a a ==，则358,32b b ==，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩∴1612112)2(8n b n n =+--=-，∴数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.2.答案：(1设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ,3576,24a a a =+= ,()()111264624a d a d a d +=⎧∴⎨+++=⎩,解得：122d a =⎧⎨=⎩,(2122)n a n n ∴=+-⨯=；(2由(1)得：()1(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+,所以1211111111 11223(1)(1)n n n T S S S S n n n n =++++=++++-⨯⨯-+ 11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++．3.答案：（1）由112,2n n a a a +==,知0n a ≠,故12n n a a +=,即{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,得()2N n n a n *=∈.由题意知,当1n =时,121b b =-,故22b =.当2n ≥时,11n n n b b b n +=-,整理得11n n b b n n +=+,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,1为公比的等比数列,即1n b n =,所以()N n b n n *=∈.（2）由（1）知2n n n a b n =⋅.因此231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①23412222322n n T n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,②①-②得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅.故()()1122N n n T n n +*=-+∈.4.答案：（1）由()177477492a a S a ⨯+===，得47a =，因为36a =，所以11.4d a ==，故3n a n =+.（2）()333n n n n b a n =-⋅=⋅，所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②由①-②得1231133233333313n n n n n T n n +++--=++++-⨯=-⨯- ，所以1(21)334n n n T +-⨯+=.5.答案：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（2）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭ ，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()13113232212431114122221n n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭+⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭.6.答案：(1)由3S 9=得13a d +=①;125,,,a a a 成等比数列得:()()21114a a d a d +=+②;联立①②得11,2a d ==;故21n a n =-.(2)111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭.7.答案：（1）由1142,a b a b ==，则()()421234122312S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =.所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3n n b =；（2）(21)3n n n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为()()1212n n a a a b b b +++++++ ()2(3521)333n n =++++++++ ()()313331(321)(2)2132n n n n n n --++=+=++-8.答案：（1）()12,*n n a S n N +=+∈，①当1n =时，212a S =+，即24a =，当2n ≥时，12n n a S -=+，②由①-②可得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=，∴2222,2n n n a a n -=⨯=≥当1n =时，1122a ==，满足上式，∴()2n n a n N *=∈（2）由（1）得1112111()(21)(21)22121n n n n n n b -++==-----∴1111111111(1)(1)23372121221n n n n T ++=-+-++-=---- ∴12n T <。
高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案
高考数学（理科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）模拟题一第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <4，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |－2<x <0}2．复数z ＝3＋i1＋i ＋3i(i 为虚数单位)的模为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．33．已知p ：双曲线C 为等轴双曲线；q ：双曲线C 的离心率为2，则p 是q 成立的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2－x ，x ≤0，－log 2x ，x ＞0，则f (f (8))等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－45．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )A ．30B ．31C ．32D ．336．执行如图所示的程序框图，若输出的y 值为4，则输入的实数x 的值为( )A ．2B ．1或－5C ．1或2D ．－5或27．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 为BC 边上一点，且D 为BC 边上靠近C 的三等分点，则AB →·AD →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．28．已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )9．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )A.33B.17C.41D.4210．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A.215 B.225 C.235D.24511．已知命题：①函数y ＝2x (－1≤x ≤1)的值域是⎣⎡⎦⎤12，2；②为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度；③当n ＝0或n ＝1时，幂函数y ＝x n 的图象都是一条直线；④已知函数f (x )＝|log 2x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则ab ＝1.其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④12．已知过抛物线C ：y 2＝4x 焦点的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆x 2＋y 2－2x ＝0于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则1|PM |＋4|QN |的值不可能为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________．14．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax －1x 6的展开式中的常数项是______． 15．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AA 1＝2，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为________．16．已知函数f (x )＝2(x ＋1)，g (x )＝x ＋ln x ，A ，B 两点分别为f (x )，g (x )的图象上的点，且始终满足A ，B 两点的纵坐标相等，则A ，B 两点间的最短距离为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝⎛⎭⎫1，cos ⎝⎛⎭⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长．18．(本小题满分12分)如图，已知△AOB 中，∠AOB ＝π2，∠BAO＝π6，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B -AO -C 的大小为θ.(1)当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；(2)当θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3时，求二面角C -OD -B 的余弦值的取值范围．19．(本小题满分12分)某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名．该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试．根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等(优秀)，在[60，80)的学生可取得B 等(良好)，在[40，60)的学生可取得C 等(合格)，不到40分的学生只能取得D 等(不合格)．为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数；(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整．并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2－ln x＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝ax2－e x＋3，求证：f(x)＞g(x)在(0，＋∞)上恒成立．21．(本小题满分12分)已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左，右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线AP 的倾斜角为3π4，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋3|－|x －1|. (1)解不等式f (x )≥0；(2)若f (x )＋2|x －1|≥m 对任意的实数x 均成立，求m 的取值范围．答案及解析1．解析：选B.因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <4＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．2．解析：选C.由题意知，z ＝3＋i 1＋i ＋3i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋3i ＝4－2i2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，所以|z |＝2 2.3．解析：选C.根据等轴双曲线的定义可知应为充要条件．4．解析：选D.依题意得，f (8)＝－log 28＝－3＜0，f (f (8))＝f (－3)＝4－2－(－3)＝－4.5．解析：选B.抽取容量为4的样本，则要将总体分为4组，每组有14人，由题意可知抽取的座号分别为3，17，31，45.6．解析：选D.法一：由程序框图，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，2x ，x ≥1，若y ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，|x ＋1|＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＝4，解得x ＝－5或x ＝2.法二：选项代入验证法，若x ＝2，则输出y 值为4，故排除B ；若x ＝－5，则输出y 值为4，排除A 、C ，选D.7．解析：选A.因为AD →＝CD →＋AC →＝13CB →＋AC →＝13AB →－13AC →＋AC →＝13AB →＋23AC →，所以AB →·AD →＝13AB →2＋23AB →·AC →＝163＋83＝8.8．解析：选A.函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数，故排除C 、D ，又f (e)＝1－e ＋1＜0，所以(e ，f (e))在第四象限，排除B.9．解析：选C.依题意，题中的几何体是四棱锥E ABB 1A 1，如图所示(其中ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为4的正方体，C 1E ＝1)，EA ＝32＋42＋42＝41，EA 1＝12＋42＋42＝33，EB ＝32＋42＝5，EB 1＝12＋42＝17，AB ＝BB 1＝B 1A 1＝A 1A ＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41.10．解析：选D.因为2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，所以数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，所以20a 20＝1＋5×19＝96，所以a 20＝245.11．解析：选B.①：由f (x )＝2x 在R 上单调递增可知①正确；②：应向右平移π6个单位长度，故②错误；③：当n ＝0时，y ＝x n 的图象应为直线y ＝1去掉点(0，1)，故③错误；④：因为a ≠b ，所以log 2a ＝－log 2b ，log 2a ＋log 2b ＝0，log 2(ab )＝0，ab ＝1，故④正确．所以正确的命题为①④，故选B.12．解析：选A.作图如下：由图可得，可设|PF |＝m ，|QF |＝n ， 则|PM |＝m －1，|QN |＝n －1，因为y 2＝4x ，所以p ＝2，根据抛物线的常用结论，有1m ＋1n ＝2p ＝1，所以m ＋n mn ＝1，则m ＋n ＝mn ，所以1|PM |＋4|QN |＝1m －1＋4n －1＝4m ＋n －5mn －（m ＋n ）＋1＝4m ＋n －5，又因为(4m ＋n )·1＝(4m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝4＋4m n ＋n m＋1≥5＋2 4m n ·n m， 得4m ＋n ≥9，所以4m ＋n －5≥4， 则1|PM |＋4|QN |的值不可能为3，答案选A. 13．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，a 5＝－12，a 6＝－2，…，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，所以S 2 017＝672×(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝672×⎝⎛⎭⎫－32＋1＝－1 007.答案：－1 00714．解析：由题意得，a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝2，所以二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 6·26－r ·(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，故二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中的常数项是－C 36×23＝－160.答案：－16015.解析：如图，在Rt △ABC 中，设AB ＝c ，BC ＝a ，则AC ＝a 2＋c 2.分别取A 1C 1，AC 的中点O 1，O 2，则O 1，O 2分别为Rt △A 1B 1C 1和Rt △ABC 外接圆的圆心，连接O 1O 2，取O 1O 2的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连接OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R .因为三棱锥O -ABC 的体积为1，即V O ABC ＝13×⎝⎛⎭⎫ac 2×1＝1，所以ac ＝6.在Rt △OO 2A 中，可得R 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫O 1O 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 222＋1＝a 2＋c 24＋1，所以S 球表＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫a 2＋c 24＋1≥4π⎝⎛⎭⎫2ac 4＋1＝16π， 当且仅当a ＝c 时等号成立， 所以球O 表面积的最小值为16π. 故答案为16π. 答案：16π16．解析：不妨设A (m ，a )，B (n ，a )(n >0)，则2(m ＋1)＝a ，得m ＝a2－1，又n ＋ln n ＝a ，则|AB |＝|m －n |＝⎪⎪⎪⎪n －n ＋ln n 2＋1＝⎪⎪⎪⎪n 2－ln n 2＋1.设F (n )＝n 2－ln n 2＋1(n >0)，则F ′(n )＝12－12n ＝n －12n ，令F ′(n )＝0，得n ＝1，故当n ∈(0，1)时，F ′(n )<0；当n ∈(1，＋∞)时，F ′(n )>0，所以F (n )min ＝F (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.答案：3217．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋A cos ⎝⎛⎭⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ， 化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3. (2)易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin5π12＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎫22×32＋12×22＝6＋2， 所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18．解：(1)如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，0，23)，B (0，2，0), D (0，1，3)，C (2sinθ，2cos θ，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面COD 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·OC →＝0，n 1·OD →＝0，得⎩⎨⎧x sin θ＋y cos θ＝0，y ＋ 3 z ＝0，取z ＝sin θ，则n 1＝(3cos θ，－3sin θ，sin θ)．因为平面AOB 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，由平面COD ⊥平面AOB 得n 1·n 2＝0， 所以cos θ＝0，即θ＝π2.(2)设二面角C -OD -B 的大小为α， 由(1)得当θ＝π2时， cos α＝0；当θ∈⎝⎛⎦⎤π2，2π3时，tan θ≤－3，cos α＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3cos θ3＋sin 2θ＝－34tan 2θ＋3，故－55≤cos α＜0.综上，二面角C -OD -B 的余弦值的取值范围为⎣⎡⎦⎤－55，0.19．解：(1)设抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x 人，根据题意得x ＝100×[1－10×(0.006＋0.012×2＋0.018＋0.024＋0.026)]＝2.据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数为2100×1 600＝32.(2)根据已知条件得2×2列联表如下：因为K 2＝100×（12×34－6×48）60×40×18×82≈0.407＜2.706，所以没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．20．解：(1)由于f (x )＝ax 2－ln x ＋1(a ∈R )， 故f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x ＞0)．①当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝12a. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上是单调递增函数． 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a ＞0时， f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ， 单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)证明：f (x )－g (x )＝ax 2－ln x ＋1－ax 2＋e x －3＝e x －ln x －2， 令F (x )＝e x －ln x －2(x ＞0)，要证f (x )＞g (x )，只需证F (x )＞0.F ′(x )＝e x －1x ，由指数函数及幂函数的性质知，F ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上是增函数．又F ′(1)＝e －1＞0，F ′⎝⎛⎭⎫13＝e 13－3＜0， 所以F ′(1)·F ′⎝⎛⎭⎫13＜0，F ′(x )在⎝⎛⎭⎫13，1内存在唯一的零点，也即F ′(x )在(0，＋∞)上有唯一的零点． 设F ′(x )的零点为t ， 则F ′(t )＝e t －1t ＝0，即e t ＝1t ⎝⎛⎭⎫13＜t ＜1， 由F ′(x )的单调性知，当x ∈(0，t )时，F ′(x )＜F ′(t )＝0，F (x )为减函数； 当x ∈(t ，＋∞)时，F ′(x )＞F ′(t )＝0，F (x )为增函数．所以当x ＞0时，F (x )≥F (t )＝e t －ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝1t ＋t －2≥2－2＝0，当且仅当t＝1时，等号成立．又13＜t ＜1.故等号不成立．所以F (x )＞0，即f (x )＞g (x )在(0，＋∞)上恒成立．21．解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (c ，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12·2a ·b ＝23a ＝2，解得b ＝ 3.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知，c ＝1，F (1，0)，直线AP 的方程为y ＝－x －2，则点D 的坐标为(2，－4)，BD 中点E 的坐标为(2，－2)，圆的半径r ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2x 24＋y 23＝1，得7x 2＋16x ＋4＝0. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝－27y 0＝－127.因为点F 的坐标为(1，0)，则直线PF 的斜率为43，直线PF 的方程为：4x －3y －4＝0，点E 到直线PF 的距离d ＝|8＋6－4|5＝2.所以d ＝r .故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．22．解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 因为圆心(－1，0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1， 所以直线与圆相交或相切， 当k ＝0时，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，直线l 与曲线C 1相交．(2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2， 故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1.23．解：(1)法一：f (x )≥0等价于|x ＋3|≥|x －1|，当x ＞1时，|x ＋3|≥|x －1|等价于x ＋3≥x －1，即3≥－1，不等式恒成立，故x ＞1；当－3≤x ≤1时，|x ＋3|≥|x －1|等价于x ＋3≥1－x ，解得x ≥－1，故－1≤x ≤1； 当x ＜－3时，|x ＋3|≥|x －1|等价于－x －3≥1－x ，即－3≥1，无解． 综上，原不等式的解集为{x |x ≥－1}．法二：f (x )≥0等价于|x ＋3|≥|x －1|，即(x ＋3)2≥(x －1)2， 化简得8x ≥－8，解得x ≥－1，即原不等式的解集为{x |x ≥－1}．(2)f (x )＋2|x －1|＝|x ＋3|－|x －1|＋2|x －1|＝|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－(x －1)|＝4，要使f (x )＋2|x －1|≥m 对任意的实数x 均成立，则[f (x )＋2|x －1|]min ≥m ， 所以m ≤4.模拟题二第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，B ＝{x |0＜log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(2，4) B ．(1，1) C ．(－1，4)D ．(1，4)2．i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C ．1D. 23．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．104．函数f (x )＝|x |ln|x |x4的图象大致为( )5．若sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan 2α＝( )A ．－247B.32 C ．－32D.2476．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )A.1415B.115C.29D.797．如图程序框图输出的结果是S ＝720，则判断框内应填的是( )A ．i ≤7B ．i ＞7C ．i ≤9D ．i ＞98．设a ＝log 2 018 2 019，b ＝log 2 019 2 018，c ＝2 01812 019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知数列a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2(－1)n ，n ∈Z *，则S 2 017的值为( ) A ．2 016×1 010－1 B ．1 009×2 017 C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 01610．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线的左焦点F (－1，0)，则双曲线的离心率是( )A.5＋12 B.5＋22C.3＋12D.3211．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的高为36a ，则cb ＋bc的最大值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2D ．412．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD 且满足AB ＝2AD ＝2DC ＝2，且∠DAB ＝π3，SC ＝2，则球O 的表面积是( )A ．5πB ．4πC ．3πD ．2π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，S 3＝S 11，则S n 的最大值为________． 14．若在(a ＋3x )(1－3x )8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是________． 15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，DE →＝12DO →，CE 的延长线与AD 交于点F ，若CF →＝λAC →＋ μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.16．对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(3π＋x )·cos(π－x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，a ＝2，b ＋c ＝4，求b ，c .18．(本小题满分12分)某次有1 000人参加的数学摸底考试，成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；取的40名学生中，随机选取2名学生参加座谈会，记选取的2名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，FB＝10，M，N分别为EF，AB的中点．(1)求证：MN∥平面FCB；(2)若直线AF 与平面FCB 所成的角为30°，求平面MAB 与平面FCB 所成角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点P 是椭圆C 上使直线PM ，PN 的斜率存在的任意一点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆C 的方程．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋kx(k ∈R )．(1)若f (x )存在极小值h (k )，且不等式h (k )≤ak 对f (x )存在极小值的任意k 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当k ＞0时，如果存在两个不相等的正数α，β使得f (α)＝f (β)，求证：α＋β＞2k .请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4y ＝sin 2α＋1(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ； (2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ， 证明：a ＋b ≥2ab .答案及解析1．解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，所以A ∩B ＝(2，4)．故选A. 2．解析：选B.由z (1＋i)＝i 得z ＝i1＋i ，所以|z |＝|i||i ＋1|＝12＝22，故答案为B. 3．解析：选B.因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.4．解析：选A.因为f (－x )＝|－x |ln|－x |x 4＝|x |ln|x |x4＝f (x )，所以f (x )是偶函数， 可得图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当x ＞0时，f (x )＝ln x x 3，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＜0，排除B.5．解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝45，所以tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝831－169＝－247，故选A.6．解析：选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ， 所以P (A )＝C 23C 210＝115，因此P (A )＝1－P (A )＝1－115＝1415，故本题选A.7．解析：选B.第一次运行，i ＝10，满足条件，S ＝1×10＝10，i ＝9； 第二次运行，i ＝9满足条件，S ＝10×9＝90，i ＝8； 第三次运行，i ＝8满足条件，S ＝90×8＝720，i ＝7； 此时不满足条件，输出的S ＝720.故条件应为8，9，10满足，i ＝7不满足，所以条件应为i ＞7.8．解析：选C.因为1＝log 2 0182 018＞a ＝log 2 018 2 019＞log 2 018 2 018＝12，b ＝log 2 019 2 018＜log 2 0192 019＝12，c ＝2 01812 019＞2 0180＝1，故本题选C.9．解析：选C.由递推公式可得：当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }是首项为2，公差为0的等差数列，S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016) ＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2＝2 017×1 010－1.本题选择C 选项．10．解析：选A.设P (x 0，x 0)，所以切线的斜率为12x 0，又因为在点P 处的切线过双曲线的左焦点F (－1，0)，所以12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，所以P (1，1)，因此2c ＝2，2a ＝5－1，故双曲线的离心率是5＋12，故选A. 11．解析：选D.b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc ，这个形式很容易联想到余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，①而条件中的“高”容易联想到面积，12a ×36a ＝12bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，所以b c ＋cb ＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，当A ＝π3时取得最大值4，故选D.12．解析：选A.依题意得，AB ＝2AD ＝2，∠DAB ＝π3，由余弦定理可得BD ＝3，则AD 2＋DB 2＝AB 2，则∠ADB ＝π2，又四边形ABCD 是等腰梯形，故四边形ABCD 的外接圆直径为AB ，设AB 的中点为O 1，球的半径为R ，因为SD ⊥平面ABCD ，所以R 2＝12＋⎝⎛⎭⎫SD 22＝54，则S ＝4πR 2＝5π，故选A.13．解析：因为S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2.故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时，S n 最大且最大值为49.答案：4914．解析：由题意得(1－3x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(－3x )r＝(－1)r C r 8x r3，r ＝0，1，2， (8)所以(a ＋3x )(1－3x )8展开式的常数项为(－1)0C 08·a ＝a ＝4，所以(4＋3x )(1－3x )8展开式中x 2项的系数为4·(－1)6C 68x 63＋3x ·(－1)3C 38x 33＝－56x 2，所以展开式中x 2的系数是－56.故答案为－56. 答案：－5615．解析：法一：因为DE →＝12DO →，DO →＝OB →＝12DB →，所以DE →＝12DO →＝14DB →，所以DE →＝13EB →，由DF ∥BC ，得DF →＝13CB →，所以CF →＝CD →＋DF →＝CD →＋13CB →＝CO →＋OD →＋13(CO →＋OB →)＝43CO →＋23OD →＝－23AC →＋13BD →，所以λ＝－23，μ＝13，λ＋μ＝－13.法二：不妨设ABCD 为矩形，建立平面直角坐标系如图，设AB ＝a ，BC ＝b ，则A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，O ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，设E (x ，y )，因为DE →＝12DO →，所以(x ，y －b )＝12⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，所以x ＝a 4，y ＝34b ，即E ⎝⎛⎭⎫a 4，34b ，设F (0，m )，因为CF →∥CE →，CF →＝(－a ，m －b )，CE →＝⎝⎛⎭⎫－34a ，－14b ，所以14ab ＋34a (m －b )＝0，解得m ＝23b ，即F ⎝⎛⎭⎫0，23b ，CF →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－13b .又AC →＝(a ，b )，BD →＝(－a ，b )，由CF →＝λAC →＋μBD →，得⎝⎛⎭⎫－a ，－13b ＝λ(a ，b )＋μ(－a ，b )＝((λ－μ)a ，(λ＋μ)b )，所以λ＋μ＝－13.答案：－1316．解析：由题意得ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln xx ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫1，1＋1e ，从而要使ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝⎛⎭⎫1，1＋1e . 答案：⎝⎛⎭⎫1，1＋1e 17．解：(1)因为f (x )＝3sin(3π＋x )·cos(π－x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋x ，所以f (x )＝3(－sin x )·(－cos x )＋(－sin x )2＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (A )＝32得，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋12＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1，因为0＜A ＜π，所以0＜2A ＜2π，－π6＜2A －π6＜11π6，所以2A －π6＝π2，所以A ＝π3，因为a ＝2，b ＋c ＝4，① 根据余弦定理得，4＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝16－3bc ， 所以bc ＝4，② 联立①②得，b ＝c ＝2.18．解：(1)依题意得，a ＝0.04×5×1 000＝200，b ＝0.02×5×1 000＝100.(2)设抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40＝350＋300＋1001 000，解得x＝30，即抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为30. 依题意，X 的可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 210C 240＝352，P (X ＝1)＝C 110C 130C 240＝513，P (X ＝2)＝C 230C 240＝2952，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×352＋1×513＋2×2952＝32.19．解：(1)证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，则NQ ＝12AC ，NQ ∥AC .又MF ＝12AC ，MF ∥AC ，所以MF ＝NQ ，MF ∥NQ ，则四边形MNQF 为平行四边形，即MN ∥FQ .因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊄平面FCB ， 所以MN ∥平面FCB .(2)由AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°可得∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，AB ＝2.因为四边形ACFE 为矩形，所以AC ⊥平面FCB ，则∠AFC 为直线AF 与平面FCB 所成的角，即∠AFC ＝30°，所以FC ＝3.因为FB ＝10，所以FC ⊥BC ，则可建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，3，MA →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－3，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，1，－3. 设m ＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧MA →·m ＝0，MB →·m ＝0，即⎩⎨⎧32x －3z ＝0，－32x ＋y －3z ＝0.取x ＝23，则m ＝(23，6，1)为平面MAB 的一个法向量． 又n ＝(3，0，0)为平面FCB 的一个法向量， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝23×37×3＝237.则平面MAB 与平面FCB 所成角的余弦值为237.20．解：(1)由题意知，b 等于原点到直线y ＝x ＋2的距离，即b ＝21＋1＝2，又2a ＝4，所以a ＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，所以椭圆C 的两个焦点的坐标分别为()2，0，()－2，0.(2)由题意可设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1， 两式相减得y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，又k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0， 所以k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，所以－b 2a 2＝－14，又a ＝2，所以b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.21．解：(1)f ′(x )＝1x －k x 2＝x －kx2，x ＞0.当k ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．当k ＞0时，当0＜x ＜k 时，f ′(x )＜0，当x ＞k 时，f ′(x )＞0，故f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )的极小值为h (k )＝f (k )＝ln k ＋1.当k ＞0时，h (k )≤ak 恒成立，即ln k ＋1≤ak ，即a ≥ln k ＋1k恒成立． 令φ(k )＝ln k ＋1k ，则φ′(k )＝1－（1＋ln k ）k 2＝－ln kk 2，令φ′(k )＝0，得k ＝1，当0＜k ＜1时，φ′(k )＞0，φ(k )单调递增，当k ＞1时，φ′(k )＜0，φ(k )单调递减，故k ＝1为φ(k )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以φ(k )max ＝φ(1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，当k ＞0时，f (x )在(0，k )上单调递减，在(k ，＋∞)上单调递增，设α＜β，则一定有0＜α＜k ＜β.构造函数g (x )＝f (x )－f (2k －x )＝ln x ＋k x －ln (2k －x )－k2k －x ，0＜x ＜k ，g ′(x )＝1x ＋12k －x －k x 2－k（2k －x ）2＝2kx （2k －x ）－2k （x 2－2kx ＋2k 2）x 2（2k －x ）2 ＝－4k （x －k ）2x 2（2k －x ）2. 因为0＜x ＜k ，所以g ′(x )＜0，即g (x )在(0，k )上单调递减，又f (k )－f (2k －k )＝0，所以g (x )＞0，所以f (x )＞f (2k －x )．因为0＜α＜k ，所以f (α)＞f (2k －α)，因为f (α)＝f (β)，所以f (β)＞f (2k －α)，因为0＜α＜k ，所以2k －α＞k ，又函数f (x )在(k ，＋∞)上单调递增，所以β＞2k －α，所以α＋β＞2k .22．解：(1)x 2＝⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42＝(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋1＝y ，所以C 1的普通方程为y ＝x 2.将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入C 2的方程得x 2＋y 2＝4y －3，所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋3＝0.(2)将x 2＋y 2－4y ＋3＝0变形为x 2＋(y －2)2＝1，它的圆心为C (0，2)．设P (x 0，y 0)为C 1上任意一点，则y 0＝x 20，从而|PC |2＝(x 0－0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 20－2)2＝x 40－3x 20＋4＝⎝⎛⎭⎫x 20－322＋74，所以当x 20＝32时，|PC |min ＝72， 故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值为72－1.23．解：(1)由已知可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ＜0，1，0≤x ＜1，2x －1，x ≥1，所以f (x )min ＝1，所以只需|m －1|≤1，解得－1≤m －1≤1， 所以0≤m ≤2，所以实数m 的最大值M ＝2. (2)证明：因为a 2＋b 2≥2ab ， 所以ab ≤1，所以ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号，① 又ab ≤a ＋b 2，所以ab a ＋b ≤12，所以ab a ＋b ≤ab2，当且仅当a ＝b 时取等号，②由①②得，ab a ＋b ≤12，所以a ＋b ≥2ab .。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习5.2点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)
第一部分知识复习专题专题五立体几何第二讲点、直线、平面之间的地点关系题号123456答案一、选择题1．l1，l2是两条异面直线，直线m1，m2与l1，l2都订交，则m1，m2的地点关系是()A．异面或平行B．订交C．异面D．订交或异面分析：若m1，m2过直线l1或l2上的同一个点，则m1，m2订交；若m1，m2与直线l1，l2有四个不一样交点，则答案：Dm1，m2异面．2．(2013安·徽卷)在以下命题中，不是公义的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线答案：A3.(2014辽·宁卷)已知m，n表示两条不一样直线，A．若m∥α，n∥α，则m∥n α表示平面，以下说法正确的选项是()B．若m⊥α，nα，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α分析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n订交或m，n异面，故A错；若m⊥α，nα，由直线和平面垂直的定义知，m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错；若m∥α，m⊥n，则n与α地点关系不确立，故D错．答案：B4.(2013新·课标Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β直.线l知足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l分析：联合给出的已知条件，画出切合条件的图形，而后判断得出．依据所给的已知条件作图，以下图．由图可知α与β订交，且交线平行于l.应选D.答案：D5．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ACD，PA＝2AB，则以下结论正确的选项是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°分析：解法一由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，清除A；作AG⊥PB于G，因平面PAB⊥平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故清除B；由BC∥EF，而EF是平面PAE的斜线，故清除 C.应选 D.解法二设底面正六边形边长为a，则AD＝2a，PA＝2AB＝2a，由PA⊥平面ABC可知PA⊥AD，又PA＝AD，因此直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°.应选D.答案：D 6．以下图是某个正方体的侧面睁开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．相互平行B．异面且相互垂直πC．异面且夹角为3D．订交且夹角为π3答案：D二、填空题7．设α和β为不重合的两个平面，给出以下命题：①若α内的两条订交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β订交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必需条件是l与α内的两条直线垂直．上边命题中，真命题的序号是__________．分析：考察立体几何中的直线、平面的垂直与平行判断的有关定理．答案：①②8.如图，边长为a的正三角形ABC中线AF与中位线DE订交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，现给出以下命题，此中正确的命题有________(填序号)．①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上②三棱锥A′－FED的体积有最大值③恒有平面A′GF⊥平面BCED④异面直线A′E与BD不行能相互垂直分析：由题意知AF⊥DE，∴A′G⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面A′FG，DE平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF，∴①③均正确．当A′G⊥平面ABC时，A′到平面ABC的距离最大．故三棱锥A′－FED的体积有最大值．故②正确．22当A′F＝2EF时，EF⊥A′E，即BD⊥A′E，故④不正确．答案：①②③三、解答题9．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的地点，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上能否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明原因．答案：(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE.∴A1F⊥BE.(3)分析：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ，原因以下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.∴A1C⊥平面DEP.进而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.10．(2014·建卷福)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，以下图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．剖析：第(1)问依据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线垂直；第(2)问利用第(1)问的结论，成立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)分析：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图.由(1)知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.→→→以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系．11→依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，，，则BC＝22→11→(1，1，0)，BM＝0，，，AD＝(0，1，－1)．22设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，→x0＋y0＝0，n·BC＝0，则即11→n·BM＝0，2y0＋2z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．→→|n·AD|6设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos(n，AD)|＝→＝3，|n||AD·|6即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为3.。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析五.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出表示点的坐标得答案．【解析】：解：∵=，∴z的共扼复数为，它表示的点为，在第三象限．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．【解析】：解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣2.2]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B【点评】：本题考查了集合得并集运算，属于基础题．3．（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n，由751≤a n≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．【解析】：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．【点评】：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．（5分）函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．【解析】：解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．【点评】：本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题．5．（5分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误．D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C【点评】：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．62【考点】：循环结构．【专题】：算法和程序框图．【分析】：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．【解析】：解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．【点评】：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．7．（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．【解析】：解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：D．【点评】：本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．8．（5分）变量x y、满足线性约束条件，则目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3 B．k＞1C．﹣3＜k＜1 D．﹣1＜k＜1【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数y=kx﹣z仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的下方，∴目标函数的斜率k满足﹣3＜k＜1，故选：C．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．9．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【考点】：等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】：由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．【解析】：解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D【点评】：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的定义，等比中项以及函数作图，属中档题．10．（5分）在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf （x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（）A．1或B．C．1或3 D．1或2【考点】：函数与方程的综合运用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f （2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x ﹣3）2．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．【解析】：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]，此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c[1﹣（﹣3）2]，此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选：D．【点评】：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用曲线的渐近线，推出a、b关系，然后求解离心率．【解析】：解：由题意双曲线的一条渐近线与直线平行，可知，可得，所以，，∴离心率e=．故答案为：2．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．12．（5分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a= ．【考点】：二项式定理的应用；二项式系数的性质．【专题】：计算题．【分析】：分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可．【解析】：解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，∴10a2=5，即a2=，解得a=．故答案为：．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．13．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解析】：解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】：本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r= ．【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：设，由=+两边同时平方可求cos θ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解析】：解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．15．（5分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为（2）（3）（写出所有正确的）【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．【解析】：解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则，，y1=1，y2=5，则，φ（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，则k A﹣k B=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正确；对于（4），由y=e x，得y′=e x，φ（A，B）==．t•φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．【点评】：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）在△ABC中，已知，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】：正弦定理．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解析】：解：（1）∵，∴，又∵0＜A＜π，∴．∵，且0＜B＜π，∴．（2）由正弦定理得，∴，另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，解得c=8或c=﹣3（舍去），∴b=7，c=8．【点评】：本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．17．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F 分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D （λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE；（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．【解析】：（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．【点评】：本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：计算题．【分析】：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX．【解析】：解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==；P（X=1）==；P（X=2）==．∴X的分布列为：EX=0×+1×+2×=．【点评】：本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设集合A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=2a n，n∈N*}，等差数列{c n}的任一项c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110＜c10＜115，求数列{c n}的通项公式．【考点】：数列的求和；交集及其运算．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法；集合．【分析】：（Ⅰ）利用a n=S n﹣S n﹣1计算并验证即可；（Ⅱ）通过A、B间的包含关系可得c1=6，从而可得，利用110＜c10＜115，可得c10=114，根据等差数列的性质计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）∵．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1，当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（Ⅱ）∵A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=4n+2，n∈N*}，∴A∩B=B．又∵c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，∴c1=6，∵{c n}的公差是4的倍数，∴．又∵110＜c10＜115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列的公差为d，则，∴c n=6+（n﹣1）12=12n﹣6，所以{c n}的通项公式为c n=12n﹣6．【点评】：本题考查数列的基本性质，通项公式，集合的交集及其运算，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l 交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M．证明：AB⊥MF；（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．【考点】：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：综合题；压轴题．【分析】：（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程可求．（2）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．再根据假设与已知条件去求M′坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积．【解析】：解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知条件，F（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1．所以椭E的方程为．（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1≠x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4．∵抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x，∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y﹣y1=x1（x﹣x1），y﹣y2=x2（x﹣x2）即y=x1x﹣，y=x2x﹣x22解得两条切线的交点M的坐标为（，﹣1）∴•=0∴AB⊥MF．（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=﹣1上，又直线y=﹣1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．﹣1），设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）：，其中点（x0，y0）为切点．令x=0，y=﹣1得，﹣1﹣x02=x0（0﹣x0），解得x0=2或x0=﹣2，故不妨取A′（﹣2，1）B′（2，1），即直线A′B′过点F．综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，﹣1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′（A′、B′为切点），能使直线A′B′过点F．此时，两切线的方程分别为y=﹣x﹣1和y=x﹣1．抛物线C与切线M′A′、M′B′所围成图形的面积为==．【点评】：本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求f′（x），而使f′（x）≤0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）构造函数，求g′（x）=，容易判断当a≤0时不合题意；而a＞0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+∞）上为减函数，并且h（1）＞0，h（2）＜0，从而得到整数a最小为2；（Ⅲ）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t﹣lnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解析】：解：（Ⅰ）（x＞0）；∴x≥1时，f′（x）≤0；∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；（Ⅱ）令；所以=；（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；又g（1）=；∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；∴这种情况不存在；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；∴函数g（x）的最大值为=；令；∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；∴当a≥2时，h（a）＜0；所以整数a的最小值为2；（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；∴h（t）≥h（1）=1；∴，又x1+x2＞0；因此成立．【点评】：考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，根据函数导数符号求函数最值的方法，以及对数函数、反比例函数的单调性，解一元二次不等式。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十九.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A ∩B=（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，5} D．{3，5} 2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE 折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号1 2 34567 8910 11121314 15数学成绩11410611577869958697791078771136物49 24642 32理成绩72 51 9 579 62223 29217 46 1学号1617181922122232425262728293数学成绩897482956487566543646485665651物理成绩65453328292839344535353422939将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=独立性检验临界值表（部分）P（K2≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x 轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C 相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A ∩B=（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2 ∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e ﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）= 2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin（2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e= ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．A （x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1，+=1，相减可得：+=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE 折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC 为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号1 2 34567 8910 11121314 15数学成绩11410611577869958697791078771136物理成绩7249512957496222632942 2137 4621学号1617181922122232425262728293数学成绩897482956487566543646485665651物3222334333223理成绩65453 8 9 8 945 5 5 4 0 9 9将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=独立性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x 轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C 相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x 1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x 1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x 1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l 1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S △RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 + g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x 0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．2016年9月22日。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)附答案
高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：不等式1.不等式()20x x -<的解集是()A.()0,2 B.()(),02,-∞⋃+∞ C.(),0-∞ D.()2,+∞2.已知实数a b c ，，满足a b c <<，且0ab <，那么下列各式中一定成立的是()A.a a b c > B.()0a c b -< C.22ac bc > D.()0ab b a ->3.不等式2601x x x +->+的解集为()A.{|21x x -<<-或3}x >B.{|31x x -<<-或2}x >C.{|3x x <-或12}x -<<D.{|3x x <-或2}x >4.已知函数()(1)f x x a x =+.设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A .若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a 的取值范围是() A.15,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.1513,00,22⎛⎫⎛⎫+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.15,2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭5.某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A.45元B.55元C.65元D.70元6.设实数,x y 满足约束条件10,10,3x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则32z x y =-的最小值为（）A ．8B ．1C ．2-D ．137.若,x y 满足约束条件11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，2z x y a =++的最大值为1，则实数a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为()A.0B.1C.2D.39.已知x y ，满足约束条件20626x x y x y -⎧⎪+≤⎨⎪-⎩ ，则目标函数442y z x +=+的最大值为（）A ．6B ．5C ．2D ．1-10.已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．40B ．9C ．8D ．7211.若点(),x y 在不等式组2010220x y x y -≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩,表示的平面区域内运动,则t x y =-的取值范围是()A.[]2,1--B.[]2,1-C.[]1,2- D.[]1,212.若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y +的取值范围是()A.(2,)+∞B.[2,)+∞C.(4,)+∞D.[4,)+∞13.设a b R ∈＋，，且1a b +=，则11a b +的最小值是()A ．4B ．C ．2D ．114.设,x y 为正数,则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为()A.6 B.9 C.12 D.1515.如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==,那么()A.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一B.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一C.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一D.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一答案以及解析1.答案：A解析：不等式(2)0x x -<对应方程的两个实数根是0和2，∴不等式的解集是(0,2).故选A2.答案：B解析：a b c << ，且0ab <，0,0a c ∴<>，b 与0的大小关系不确定．()220,,()0a c b ac bc ab b a -<<-<．∴只有B 正确，故选：B ．3.答案：B 解析：不等式()()22606101x x x x x x +->⇒+-+>+()()()2130x x x ⇒-++>,则相应方程的根为3-,1-,2,由穿针法可得原不等式的解为{|31x x -<<-或2}x >.4.答案：A解析：由题意可得0A ⊆,即()(0)0f a f <=,所以(1)0a a a +<,当0a >时无解,所以0a <,此时210a ->,所以10a -<<.函数()f x 的图象(图略)中两抛物线的对称轴12x a =,12x a=-之间的距离大于1,而[],x a x +的区间长度小于1,所以不等式()()f x a f x +<的解集是11,2222a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,所以1111,,222222a a a a ⎡⎤⎛⎫-⊆--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,所以11,222{11,222a a a a -<--->即2210,{10,a a a a --<++>解得151522a +<<,又10a -<<,所以实数a的取值范围是1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5.答案：D解析：设在50元的基础上提高x 元，每月的月利润为y ,则y 与x 的函数关系式为2 50010) 504010(()4005000y x x x x =-+-=-++，其图象的对称轴为直线20x =，故每件商品的定价为70元时，月利润最高.6.答案：C 解析：由已知的约束条件得到可行域如图由目标函数变形为322z y x =-得到当图中()0,1A 时，z 的最小为022-=-7.答案：B 解析：根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．2z x y a =++可化为1222z a y x =-+-，作出直线12y x =-，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点(1,2)A 时，z 取得最大值1，把1,2,1x y z ===代入2z x y a =++，得4a =-．8.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分：由z x y =+可得y x z =-+,则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,截距越小,z 越小,由题意可得,331x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,当y x z =-+经过点A 时,z 最小,由可得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,此时2z x y =+=．9.答案：B解析：x y ，满足约束条件20626x x y x y -≥⎧⎪+<⎨⎪-⎩，表示的可行域如图：目标函数441422y y z x x ++==⨯++，目标函数的几何意义是可行域的点与()2,1--斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大．由26x x y =⎧⎨+=⎩，可得()2,4A ，则目标函数442y z x +=+的最大值为：444522⨯+=+．故选：B ．10.答案：D 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离2=，所以2min 327()122z =-=，故选D.11.答案：C解析：命题人考查线性规划的有关知识.先根据约束条件2010220 xyx y-≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩画出可行域由20220xx y-=+-=⎧⎨⎩,得()2,0B由10220yx y-=+-=⎧⎨⎩,得()0,1A当直线t x y=-过点()0,1A时,t最小,t最小是1-当直线t x y=-过点()2,0B时,t最大,t最大是2则t x y=-的取值范围是[]1,2-故选C.12.答案：D解析：0x y>，，且1x y+=；∴1111222 x y x y y x y xx y x y x y x y+++=+=+++=+++；当y xx y=，即x y=时取“=”；∴11x y+的取值范围为[)4,+∞.故选D.13.答案：A解析：∵1a b+=∴1111()a ba b a b⎛⎫+=++⎪⎝⎭2b aa b=++224+=，故最小值为：4故选C.14.答案：B解析：()14455549x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥++= ⎪⎝⎭,当且仅当2y x =时等号成立,故最小值为9,选B.15.答案：A解析：,,,a b c d 是正数,有242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当等号成立时,2a b ==,2442c d cd c d +⎛⎫=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭,当等号成立时,2c d ==.综上可知ab c d ≤+当等号成立时,2a b c d ====.故选A.。
2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)
2024年高考数学（理科）第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()R A B ⋂=ð（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．∅D ．{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2．设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A ．12b- B ．13b - C ．23bD ．23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A ．244B ．243C ．242D ．241【答案】A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A ．35B ．2150C ．611D ．34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6．已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A ．奇函数，且在(0,e)上是增函数B ．奇函数，且在(0,e)上是减函数C ．偶函数，且在(0,e)上是增函数D ．偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7．“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C9．4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体，得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-，再展开421()r x x -+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x +看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10．若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A ．16-B ．56C ．116D ．56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B ．异面直线1DD 与1B FC ．点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP D ．过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径4R =，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得12B F =，所以111cos BB BB F B F ∠==所以，异面直线1DD 与1B FB正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF AC ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN 上，可得11122QN A C ==，2DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 4=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF AC ，过1D 作11//KL AC ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LCBC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H ==，6GE HF ==，EF所以截面周长为22+D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则1F N =，2F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故1122132F N NP PF F M MP PF ===，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故NG ==2MG ==，故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故144NP MN ==，344MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故2a =即C故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314．在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，2113323O P AP ==⨯=，同理16O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以)212PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭．故答案为：12.15．已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为．【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g =，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得bc 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t +=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t+=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分（2）由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18．（12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14=BN BC 【分析】（1）利用勾股定理证明CD BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；....................................................6分（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =-- ．....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =- ，....................................................9分假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=uuu r uu u r ，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．....................................................12分19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】(1)0.8186(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．....................................................12分20．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++= ，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】（1）设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．....................................................6分（2）证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（12分）已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)证明：()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x a f x x x x -'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x -'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．....................................................5分（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥，11ln 1x x x x -≥-=，ln(1)1x x x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。
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高考数学（理科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）模拟题一第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝log 2x ，12≤x ≤4，B ＝{x |x ≤2}，，则A ∩B ＝( ) A ．[－1，2] B ．[0，2] C ．[－1，4]D ．[0，4]2．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m 的值为( )A ．－3B ．－4C ．－5D ．－63．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M (2，2)为其终边上一点，则cos 2α＝( )A ．－23B.23 C ．－13D.134．已知直角坐标原点O 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，F 1，F 2为左、右焦点，在区间(0，2)上任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝a 2－b 2没有交点”的概率为( )A.24B.4－24C.22D.2－225．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为( )A ．75B ．155.4C ．375D ．466.26．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称7．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋2，则它的表面积是( )A.⎝⎛⎭⎫3132＋3π＋22＋2B.⎝⎛⎭⎫3134＋32π＋22＋2C.132π＋22 D.134π＋22 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln |x |图象的大致形状为( )9．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值等于( )A ．24B ．25C ．23D ．2610．已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2 2 ≥0，x ≤22，y ≤22表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当△P AB 的面积最小时，cos ∠APB 的值为( )A.78B.12C.34D.3211．设F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (x 0，2a )为双曲线上一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 6D. 512．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，sin π6x ，3≤x ≤15.若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2的取值范围是( )A ．(10，52)B ．(13，40)C ．(11，17)D ．(15，25)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－2n展开式中的常数项是70，则n ＝________. 14．如图所示的程序框图中，x ∈[－2，2]，则能输出x 的概率为________．第14题图 第15题图15．如图所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线l 1，l 2与抛物线y 2＝－4x 的准线l 围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(x ，y )，若y －x －2x ＋3的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．18．(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件，它支持发送语音、视频、图片和文字等，一推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人(被称为微商)．经调查，年龄在40岁以下(不包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为35，年龄在40岁以上(包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为p ，将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”．若甲(21岁)、乙(36岁)、丙(48岁)三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875.(1)求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)某几何体ABC -A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1AB 1C 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得 OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R )． (1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x <0，不等式x 2＋(m ＋2)x >f ′(x )恒成立，求m 的取值范围； (3)当m ≤－1时，求函数f (x )在[m ，1]上的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝2|x＋a |－|x ＋b |.(1)当a ＝1，b ＝－1时，求使f (x )≥22的x 的取值范围； (2)若f (x )≥132恒成立，求a －b 的取值范围．答案及解析1．解析：选B.由题意得A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪log 212≤y ≤log 24＝{y |－1≤y ≤2}＝[－1，2]，又B ＝{x |x ≤2}＝[0，4]， 所以A ∩B ＝[0，2]．故选B.2．解析：选C.z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.故选C.3．解析：选D.因为M (2，2)为角α终边上一点， 所以cos α＝222＋（2）2＝26＝63， 所以cos 2α＝2cos 2 α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫632－1＝13.故选D.4．解析：选A.满足题意时，椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)到圆心O (0，0)的距离： d 2＝(a cos θ－0)2＋(b sin θ－0)2＞r 2＝a 2－b 2，整理可得，b 2a 2＞sin 2θ1＋sin 2θ，所以e 2＝1－b 2a 2＜1－sin 2θ1＋sin 2θ＝11＋sin 2θ， 又因为⎝⎛⎭⎫11＋sin 2θmin ＝12，据此有e 2＜12，0＜e ＜22，题中事件的概率p ＝22－02－0＝24.故本题选择A 选项．5．解析：选C.由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，得x ＝30，代入回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9，得y ＝75，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝375.6．解析：选B.由题意得，g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin 2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．7．解析：选A.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥＝34×13×πa 2×3＝34πa 2，V 三棱锥＝12a 2×3×13＝12a 2，由题意：34πa 2＋12a 2＝3π＋2，所以a ＝2，据此可知：S 底＝2×2×π×34＋12×2×2＝3π＋2，S 圆锥侧＝34π×13×2＝3132π，S 棱锥侧＝12×22×11＝22，它的表面积是⎝⎛⎭⎫3132＋3π＋22＋2.本题选择A 选项．8．解析：选D.因为f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1－x ln |－x |＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln |x |＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数，关于(0，0)对称，排除A ，B ；当x ＝2时，f (2)＝52ln 2＞0，故选D.9．解析：选A.因为一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，－4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝0， 所以f (x )＝2x ，a n ＝f (n )f (n ＋1)＝2n ×2(n ＋1)＝4n (n ＋1)， 1a n ＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， S n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝14×n n ＋1＝625， 得n ＝24.10．解析：选B.设点P (x ，y )，|PO |＝x 2＋y 2，sin ∠APO ＝1|PO |， cos ∠APO ＝|PO |2－1|PO |，sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2，故S △APB ＝12|P A |·|PB |sin ∠APB ＝12(|PO |2－1)2·2|PO |2－1|PO |2＝(|PO |2－1)2·|PO |2－1|PO |2，令t ＝|PO |2－1，则(|PO |2－1)2·|PO |2－1|PO |2＝t ·t t ＋1，令f (t )＝t tt ＋1，则f ′(t )＝t （t ＋3）2（t ＋1）2，又|PO |≥|0＋0－22|12＋12＝2，所以t ≥3，f ′(t )＞0，f (t )在[3，＋∞)上单调递增，即|PO |＝x 2＋y 2取最小值时，△P AB 的面积最小，此时sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2＝32，cos ∠APB ＝12.11．解析：选A.画出图形如图所示，设△PF 1F 2的重心和内心分别为G ，I ，且圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2，PF 1，PF 2分别切于点M ，Q ，N ，由切线的性质可得|PN |＝|PQ |，|F 1Q |＝|F 1M |，|F 2N |＝|F 2M |.不妨设点P (x 0，2a )在第一象限内，因为G 是△PF 1F 2的重心，O 为F 1F 2的中点， 所以|OG |＝13|OP |，所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 03，2a 3.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝|F 1Q |－|F 2N |＝|F 1M |－|F 2M |， 又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ，所以|F 1M |＝c ＋a ，|F 2M |＝c －a ， 所以M 为双曲线的右顶点．又I 是△PF 1F 2的内心，所以IM ⊥F 1F 2. 设点I 的坐标为(x I ，y I )，则x I ＝a . 由题意得GI ⊥x 轴， 所以x 03＝a ，故x 0＝3a ，所以点P 坐标为(3a ，2a )．因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，所以9a 2a 2－4a 2b 2＝9－4a 2b 2＝1，整理得b 2a 2＝12，所以e ＝ca ＝1＋b 2a2＝1＋12＝62. 故选A.12．解析：选B.作出函数f (x )的图象，如图所示，易知，0＜x 1＜x 2＜3，且x 1x 2＝1，3＜x 3＜6，12＜x 4＜15，且x 3，x 4所对应的图象上的点关于直线x ＝9对称，设x 3＝9－t ，x 4＝9＋t ，t ∈(3，6)，所以（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2＝(7－t )(7＋t )＝49－t 2∈(13，40)．13．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－2n＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x 2n ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2n， 所以T r ＋1＝C r 2n (－1)r x2n－r －r，所以C n 2n (－1)n ＝70，又C 48＝70，所以n ＝4.答案：414．解析：因为－2≤x ≤2，所以当－2≤x ≤0时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为－x －(x －1)≤2，得－12≤x ≤0；当0<x ≤1时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为x －(x －1)≤2恒成立；当1<x ≤2时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为x ＋(x －1)≤2，得1<x ≤32.综上，满足不等式|x |＋|x －1|≤2的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，32，所以能输出x 的概率为32＋122＋2＝12. 答案：1215．解析：如图，由题意可知：S 0S 0＋S ＝⎝⎛⎭⎫a n －1a n 2，①S 0＋2S S 0＋S ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2，② ①②两式相加得2＝a 2n －1a 2n ＋a 2n ＋1a 2n，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，所以数列{a 2n }是首项为a 21、公差为a 22－a 21＝3的等差数列．故a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，即a n ＝3n －2.答案：a n ＝3n －2 16．解析：抛物线y 2＝－4x的准线为x ＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，令x＝1，得y ＝±ba ，所以抛物线的准线与双曲线的渐近线的两个交点分别为A ⎝⎛⎭⎫1，b a 和B ⎝⎛⎭⎫1，－b a ，设t ＝y －x －2x ＋3，整理得y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2，由于直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过定点(－3，－1)，所以当直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过点A ⎝⎛⎭⎫1，b a 时，t 达到最大，最大值为t ＝ba －1－21＋3<0，所以b a <3，b 2a 2<9，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2<10，所以1<e <10，即离心率e 的取值范围为(1，10)．答案：(1，10)17．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2 C －14sin 2 C ， 化简得sin A ＝32， 故A ＝π3或2π3.(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6.因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2，所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)． 18．解：(1)根据题意知，甲为“微信狂”，乙、丙都不是“微信狂”的概率为35×⎝⎛⎭⎫1－35×(1－p )＝625(1－p )，乙为“微信狂”，甲、丙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1－35×35×(1－p )＝625(1－p )． 丙为“微信狂”，甲、乙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×p ＝425p . 又甲、乙、丙三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875，所以625(1－p )＋625(1－p )＋425p ＝2875，解得p ＝13.故甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率为1－2875－⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－13＝1325. (2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－13＝875， P (X ＝1)＝2875，P (X ＝2)＝35×35×⎝⎛⎭⎫1－13＋35×⎝⎛⎭⎫1－35×13＋⎝⎛⎭⎫1－35×35×13＝3075＝25， P (X ＝3)＝35×35×13＝975＝325，所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝0×875＋1×2875＋2×25＋3×325＝2315.19．解：(1)证明：由三视图可知，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知可得A (4，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，0)，A 1(4，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(0，0，4)．所以A 1C →＝(－4，0，－4)，C 1A →＝(4，0，－4)，C 1B 1→＝(0，3，0)．所以A 1C →·C 1A →＝0，A 1C →·C 1B 1→＝0. 所以A 1C ⊥C 1A ，A 1C ⊥C 1B 1. 又C 1A ∩C 1B 1＝C 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.(2)由(1)得，CA →＝(4，0，0)，CB 1→＝(0，3，4)． 设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则CB 1→⊥n ，CA →⊥n .所以⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋4z ＝04x ＝0.令y ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0，4，－3)． 由(1)知，A 1C →是平面AB 1C 1的一个法向量． 所以cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n |·|A 1C →|＝12202＝3210.故二面角C 1AB 1C 的余弦值为3210.20．解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，所以a ＝2. 又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bc a ＝32，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，所以x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0，所以k ＞－12.因为OP →2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， 所以4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， 所以4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k （2k －1）3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .21．解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝(1－x )e x ＋x 2，则f ′(x )＝x (2－e x )，由f ′(x )>0得，0<x <ln 2，由f ′(x )<0得x <0或x >ln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)依题意，f ′(x )＝mx (e x ＋2m )<x 2＋(m ＋2)x ，x <0，因为x <0，所以m e x －x －m >0， 令h (x )＝m e x －x －m ，则h ′(x )＝m e x －1，当m ≤1时，h ′(x )≤e x －1<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减，所以h (x )>h (0)＝0，符合题意；当m >1时，h (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m ，0)上单调递增，所以h (x )min＝h (－ln m )<h (0)＝0，不合题意．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． (3)f ′(x )＝mx e x ＋2x ＝mx (e x ＋2m )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(－2m)，令g (m )＝ln(－2m )－m ，则g ′(m )＝－1m －1≤0，g (m )在m ＝－1时取最小值g (－1)＝1＋ln 2>0， 所以x 2＝ln(－2m)>m .即m ≤－1时，x 2＝ln(－2m )>m .(ⅰ)当－2<m ≤－1时，x 2＝ln(－2m )>0，f (x )min ＝min{f (0)，f (1)}＝min{－m ，1}＝1.(ⅱ)当m ＝－2时，函数f (x )在区间[m ，1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝1.(ⅲ)当m <－2时，f (x )min ＝min{f (x 2)，f (1)}，f (x 2)＝－2[ln(－2m )－1]＋[ln(－2m )]2＝x 22－2x 2＋2>1，f (1)＝1， 此时f (x )min ＝1. 综上：f (x )min ＝1.22．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（23sin α）2－4×（－13）＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.23．解：(1)由于y ＝2x 是增函数，所以f (x )≥22等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(i)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，则①式恒成立． (ii)当－1＜x ＜1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥32，即34≤x ＜1. (iii)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. (2)由f (x )≥132，得|x ＋a |－|x ＋b |≥－5，而由||x ＋a |－|x ＋b ||≤|x ＋a －x －b |＝|a －b |，得－|a －b |≤|x ＋a |－|x ＋b |≤|a －b |，② 要使②恒成立，只需－|a －b |≥－5，可得a －b 的取值范围是[－5，5]．模拟题二第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合A ＝{－1，0，1，5}，B ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．{－1，1} B ．{0，1} C ．{0，1，5}D ．{－1，0，1}2．复数z ＝1－i3＋i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．命题“∃x 0≤0，x 20≥0”的否定是( ) A ．∀x ≤0，x 2<0 B ．∀x ≤0，x 2≥0 C ．∃x 0>0，x 20>0D ．∃x 0<0，x 20≤04．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＝6，S 10＝100，则a 5＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．115．设a ，b 是互相垂直的单位向量，且(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，则实数λ的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－16．已知a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝3－32，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．b >a >cD ．a >b >c7．安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种8．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235B.23913C.54D.439．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i ＜20，s ＝s －1i ，i ＝2iB ．i ≤20，s ＝s －1i ，i ＝2iC ．i ＜20，s ＝s2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，s ＝s2，i ＝i ＋110．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．[－1，1]D ．[1，2]11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且|AB |＝1，若点P (1，3)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是( )A ．[5，6]B ．[6，7]C ．[6，9]D ．[5，7]12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，c＝7，且△ABC 的面积为332，a ＋b 的值为________．14．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，A (2，4)，B (6，2)，则三角形OAB 的外接圆的方程是__________．15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．16．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对于任意的实数x ，有f (x )＋f (－x )＝2x 2，当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＋1＜2x .若f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．18．(本小题满分12分)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42 天数2040201010送餐单数 38 39 40 41 42 天数1020204010(1)40的概率； (2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．19.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，四边形ABEF 为正方形．(1)求证：直线DF ，CE 为异面直线；(2)若平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD ＝2DC ＝2BC ，求二面角A CF D 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象相切，且f ′(1)＝e. (1)求实数a ，b 的值；(2)若存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32，使得2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，求nm 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1，0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M 、N ，试求弦长|MN |的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m .(1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围 .23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|＋2|x ＋2|. (1)求证：f (x )≥5；(2)若对任意实数x ，15－2f (x )<a 2＋9a 2＋1都成立，求实数a 的取值范围．答案及解析1．解析：选B.由题得B ＝{x |x ≥2或x ≤－1}， 所以∁R B ＝{x |－1<x <2}， 所以A ∩∁R B ＝{0，1}．故选B.2．解析：选D.z ＝1－i 3＋i ＝（1－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝2－4i 10＝1－2i 5＝15－2i5，所以在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫15，－25， 所以复数z ＝1－i3＋i在复平面内对应的点位于第四象限．答案选D.3．解析：选A.特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，再将结论否定． 4．解析：选B.设等差数列的公差为d ，因为a 1＋a 3＝6，S 10＝100，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝610a 1＋45d ＝100，解得a 1＝1，d ＝2；因此a 5＝a 1＋4d ＝9.故选B.5．解析：选B.依题意，有|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0，又(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，所以，(λa ＋b )(a ＋2b )＝0，即λa 2＋2b 2＋(2λ＋1)a ·b ＝0，即λ＋2＝0，所以，λ＝－2，故选B.6．解析：选D.易知a ＝log 412＝log 4(4×3)＝1＋log 43，b ＝log 515＝log 5(5×3)＝1＋log 53，由对数函数的性质知log 43>log 53>0，故a >b >1.又c ＝3－32<30＝1，故a >b >c .7．解析：选C.六名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人，共有：C 26C 24＝90种安排方法，其中A 照顾老人甲的情况有：C 15C 24＝30种， B 照顾老人乙的情况有：C 15C 24＝30种，A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：C 14C 13＝12种，所以符合题意的安排方法有：90－30－30＋12＝42种． 故选C.8．解析：选B.取AC 的中点E ，连接BE ，如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913.9．解析：选D.根据题意可知，第一天s ＝12，所以满足s ＝s 2，不满足s ＝s －1i ，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有s ＝s2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.10．解析：选C.因为sin αcos β－cos αsin β＝1，即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，因为π2≤α≤π，所以3π4≤α＋π4≤5π4，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为[－1，1]． 11．解析：选D.设A (x ，0)，B (0，y )，由|AB |＝1得x 2＋y 2＝1，则AP →＋BP →＋OP →＝(1－x ，3)＋(1，3－y )＋(1，3)＝(3－x ，33－y )，所以|AP →＋BP →＋OP →|＝（3－x ）2＋（33－y ）2，设点Q (3，33)，则|OQ |＝32＋（33）2＝6，（3－x ）2＋（33－y ）2表示圆x 2＋y 2＝1上的任意一点与点Q (3，33)之间的距离，易知其最大距离为7，最小距离为5，所以|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围为[5，7]．12.解析：选C.如图，过A 、B 分别作准线的垂线AQ 、BP ，垂足分别是Q 、P ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线的定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ，配方得|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，即|AB |2≥34(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以|AB |2|MN |2≥34（a ＋b ）214（a ＋b ）2＝3，则|AB ||MN |≥3，即所求的最小值为 3. 13．解析：由3a ＝2c sin A ，结合正弦定理可得3sin A ＝2sin C sin A ，因为sin A ≠0，所以sin C ＝32. 在锐角三角形ABC 中，可得C ＝π3.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，解得ab ＝6.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝(a ＋b )2－18＝7，解得a ＋b ＝5.故答案为5.答案：514．解析：法一：设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋16＋2D ＋4E ＋F ＝0，36＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－6，E ＝－2，故三角形OAB 的外接圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＝0.法二：因为直线OA 的斜率 k OA ＝42＝2，直线AB 的斜率k AB ＝2－46－2＝－12，k AB ×k OA ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，所以三角形OAB 是直角三角形，点A 为直角顶点，OB 为斜边，因为|OB |＝36＋4＝40，故外接圆的半径r ＝|OB |2＝402＝10，又OB 的中点坐标为(3，1)，故三角形OAB 的外接圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， 即x 2＋y 2－6x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－6x －2y ＝015．解析：由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD ， 其中，底面ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，侧棱DB ，EC ，F A 与底面垂直，且DB ＝2，EC ＝F A ＝5.过点D 作DH ∥BC ，DG ∥BA ，交EC ，F A 分别于点H ，G ，则棱柱ABC -DHG 为直棱柱，四棱锥D -EFGH 的底面为矩形EFGH ，高为BA .所以V 五面体ABCEFD ＝V ABC DHG ＋V D EFGH ＝⎝⎛⎭⎫12×4×3×2＋13×32×4＝24. 故答案为24. 答案：2416．解析：令g (x )＝f (x )＋x －x 2，所以g (x )＋g (－x )＝f (x )＋x －x 2＋f (－x )－x －x 2＝f (x )＋f (－x )－2x 2＝0，所以g (x )为定义在R 上的奇函数，又当x ≤0时，g ′(x )＝f ′(x )＋1－2x ＜0，所以g (x )在R 上单调递减，所以f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2等价于f (2＋m )＋(2＋m )－(m ＋2)2≤f (－m )＋(－m )－(－m )2，即2＋m ≥－m ，解得m ≥－1，所以实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)17．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.f (x )的单调递减区间为2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，且A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得 2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314×143＝13，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（b ＋c ）2－2bc －a 22bc ＝12，所以bc ＝40.18．解：(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M ， 则P (M )＝C 220C 2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当a ＝38时，X ＝38×4＝152； 当a ＝39时，X ＝39×4＝156； 当a ＝40时，X ＝40×4＝160； 当a ＝41时，X ＝40×4＋1×6＝166； 当a ＝42时，X ＝40×4＋2×6＝172.所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172.故X 的分布列为：所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员日平均工资为162元． 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．19．解：(1)证明：假设直线DF ，CE 不是异面直线，即C ，D ，E ，F 四点共面， 设C ，D ，E ，F 四点确定的平面为α. 因为四边形ABEF 为正方形，所以EF ∥AB .因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合，所以EF ⊄平面ABCD ， 又AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . 因为EF ⊂平面α，平面α∩平面ABCD ＝CD ， 所以EF ∥CD ，所以AB ∥CD .又AB ，CD 为直角梯形ABCD 的两腰，不可能平行，故假设不成立， 即直线DF ，CE 为异面直线． (2)设DC ＝a ，连接BD .在直角梯形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AD 于点G ， 因为AD ＝2BC ，所以G 为AD 的中点，所以AB ＝2a ， 又BD ＝2a ，AD ＝2a ，所以AB 2＋BD 2＝AD 2，BD ⊥AB . 因为四边形ABEF 为正方形， 所以BE ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥BD .以点B 为坐标原点，射线BA ，BD ，BE 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，取a ＝2，则A (2，0，0)，D (0，2，0)，C (－1，1，0)，F (2，0，2)，CF →＝(3，－1，2)，AC →＝(－3，1，0)，CD →＝(1，1，0)．设平面ACF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CF →＝0m ·AC →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，－3x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝3，z ＝0，即平面ACF 的一个法向量为m ＝(1，3，0)． 设平面DCF 的法向量为n ＝(a ′，b ，c )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·CD →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ′－b ＋2c ＝0，a ′＋b ＝0，取a ′＝1，得b ＝－1，c ＝－2，即平面DCF 的一个法向量为n ＝(1，－1，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m|·|n|＝－210×6＝－1515，由图可知，二面角A -CF -D 为锐角，所以二面角ACFD 的余弦值为1515. 20．解：(1)设直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象的切点为(x 0，f (x 0))． 由f (x )＝a e x ＋b 可得f ′(x )＝a e x . 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0＝1，x 0＋1＝a e x 0＋b a e ＝e ，，解得a ＝1，b ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝e x ， 则存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 使2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立， 等价于存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 使2m e x －1＋n e x ＝mx 成立． 所以n m ＝x －2e x －1e x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32. 设g (x )＝x －2e x －1e x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 则g ′(x )＝1－xe x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭⎫1，32上单调递减． 所以g (x )max ＝－1e ，g (0)＝－2e ，g ⎝⎛⎭⎫32＝32e 32－2e，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫32＝－32e 32 <0. 所以nm的取值范围是⎝⎛⎦⎤－2e ，－1e . 21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，所以直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1， 所以F 1(－1，0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b2＝77b ， 即a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－1， 解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝26， ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， 所以Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)记M 、N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 此时：x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2，|x 1－x 2|＝43（12k 2＋9－b 2）3＋4k 2，所以|MN |＝1＋k 2×43（12k 2＋9－b 2）3＋4k 2＝4 61＋k 23＋4k 2＝2 6 1＋13＋4k 2， 因为3＋4k 2≥3，所以1<1＋13＋4k 2≤43， 即26<2 61＋13＋4k 2≤4 2. 综合①②得：弦长|MN |的取值范围为[26，42]．22．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆； 当m ＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0， 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，r 为圆C 的半径，所以直线l 与圆C 相切．(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322，解得－1≤m ≤5.23．解：(1)证明：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x ≤－2，5，－2<x ≤－1，2x ＋7，－1<x ≤2，4x ＋3，x >2，所以f (x )的最小值为5.所以f (x )≥5. (2)由(1)知15－2f (x )的最大值为5. 因为a 2＋9a 2＋1＝(a 2＋1)＋9a 2＋1－1≥2（a 2＋1）×9a 2＋1－1＝5，当且仅当a 2＋1＝9a 2＋1时取“＝”，此时a ＝±2， 所以当a ＝±2时，a 2＋9a 2＋1取得最小值5.所以当a ≠±2时，a 2＋9a 2＋1>5.又对任意实数x ，15－2f (x )<a 2＋9a 2＋1都成立，所以a ≠±2.所以a 的取值范围为{a |a ≠±2}．。