高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案

高考数学（理科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）
模拟题一
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪y ＝log 2x ，12≤x ≤4，B ＝{x |x ≤2}，，则A ∩B ＝( ) A ．[－1，2] B ．[0，2] C ．[－1，4]
D ．[0，4]
2．已知复数z ＝4＋2i
（1＋i ）2
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，
则m 的值为( )
A ．－3
B ．－4
C ．－5
D ．－6
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M (2，2)为其终边上一点，则cos 2α＝( )
A ．－23
B.23 C ．－13
D.13
4．已知直角坐标原点O 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，F 1，F 2为左、右焦点，
在区间(0，2)上任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝a 2－b 2没有交点”的概率为( )
A.24
B.4－24
C.22
D.2－22
5．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^
＝0.67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为( )
A ．75
B ．155.4
C ．375
D ．466.2
6．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象向右平移π
4
个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有
性质( )
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2对称
B ．在⎝⎛⎭⎫0，π
4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π
8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称
7．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋2，则它的表面积是( )
A.⎝⎛⎭
⎫
3132＋3π＋22＋2
B.⎝⎛⎭⎫
3134＋32π＋22＋2
C.13
2
π＋22 D.
13
4
π＋22 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x ln |x |图象的大致形状为( )
9．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，
n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝6
25时，n 的值等于( )
A ．24
B ．25
C ．23
D ．26
10．已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2 2 ≥0，
x ≤22，y ≤22
表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，
作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当△P AB 的面积最小时，cos ∠APB 的值为( )
A.78
B.12
C.34
D.32
11．设F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (x 0，2a )为双曲线上一
点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A.62
B.52
C. 6
D. 5
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3
x |，0＜x ＜3，sin π6x ，3≤x ≤15.若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜
x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则（x 3－2）（x 4－2）
x 1x 2
的取值范围是( )
A ．(10，52)
B ．(13，40)
C ．(11，17)
D ．(15，25)
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13.⎝⎛⎭
⎫x 2＋1
x 2－2n
展开式中的常数项是70，则n ＝________. 14．如图所示的程序框图中，x ∈[－2，2]，则能输出x 的概率为________．
第14题图 第15题图
15．如图所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．
16．双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线l 1，l 2与抛物线y 2＝－4x 的准线l 围
成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(x ，y )，若y －x －2
x ＋3的最大值小于0，则双曲线
C 的离心率e 的取值范围为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭
⎫π3－C . (1)求角A 的值；
(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．
18．(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件，它支持发送语音、视频、图片和文字等，一推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人(被称为微商)．经调查，年龄在40岁以下(不包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为3
5，年龄在40岁以上(包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小
时的概率为p ，将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”．若甲(21岁)、乙(36岁)、丙(48岁)三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875
.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
19．(本小题满分12分)某几何体ABC -A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．
(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1­AB 1­C 的余弦值．
20．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1的右焦点为F (
c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设
短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为3
2
，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →
|＝4.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得 OP →2＝4P A →·PB →
成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R )． (1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；
(2)若对任意的x <0，不等式x 2＋(m ＋2)x >f ′(x )恒成立，求m 的取值范围； (3)当m ≤－1时，求函数f (x )在[m ，1]上的最小值．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α
(t 是参数)，以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝
⎛⎭⎫θ－π
3.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝2|x
＋a |－|x ＋b |
.
(1)当a ＝1，b ＝－1时，求使f (x )≥22的x 的取值范围； (2)若f (x )≥1
32
恒成立，求a －b 的取值范围．
答案及解析
1．解析：选B.由题意得A
＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪⎪log 212
≤y ≤log 24＝{y |－1≤y ≤2}＝[－1，2]，又B ＝{x |x ≤2}＝[0，4]， 所以A ∩B ＝[0，2]．故选B.
2．解析：选C.z ＝4＋2i （1＋i ）2
＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点
的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.故选C.
3．解析：选D.因为M (2，2)为角α终边上一点， 所以cos α＝
222＋（2）2
＝
26＝63
， 所以cos 2α＝2cos 2 α－1 ＝2×⎝⎛⎭
⎫632－1＝13.
故选D.
4．解析：选A.满足题意时，椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)到圆心O (0，0)的距离： d 2＝(a cos θ－0)2＋(b sin θ－0)2＞r 2＝a 2－b 2，
整理可得，b 2a 2＞sin 2θ1＋sin 2θ，所以e 2
＝1－b 2a 2＜1－sin 2θ1＋sin 2θ＝11＋sin 2θ， 又因为⎝⎛⎭⎫11＋sin 2θmin ＝12，
据此有e 2＜12，0＜e ＜22，
题中事件的概率p ＝2
2－02－0＝2
4.
故本题选择A 选项．
5．解析：选C.由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，得x ＝30，代入回归直线方程y ^
＝0.67x ＋54.9，得y ＝75，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝375.
6．解析：选B.由题意得，
g (x )＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin 2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭
⎫π
2＝0，图象不关于直线x ＝π
2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－2
2，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．
7．解析：选A.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：
V 圆锥＝34×13×πa 2×3＝34πa 2，V 三棱锥＝12a 2×3×13＝1
2
a 2，
由题意：34πa 2＋12a 2＝3π＋2，所以a ＝2，据此可知：S 底＝2×2×π×34＋1
2×2×2＝3
π＋2，S 圆锥侧＝34π×13×2＝3132π，S 棱锥侧＝1
2
×22×11＝22，
它的表面积是⎝⎛
⎭
⎫
3132＋3π＋22＋2.
本题选择A 选项．
8．解析：选D.因为f (－x )＝⎝⎛⎭
⎫－x ＋1－x ln |－x |＝－⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x ln |x |＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数，
关于(0，0)对称，排除A ，B ；
当x ＝2时，f (2)＝5
2
ln 2＞0，故选D.
9．解析：选A.因为一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，
可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，－4＝－2k ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝0， 所以f (x )＝2x ，a n ＝f (n )f (n ＋1)＝2n ×2(n ＋1)＝4n (n ＋1)， 1a n ＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， S n ＝
14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－1
3
＋…＋1n －
1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝14×n n ＋1＝6
25， 得n ＝24.
10．解析：选B.设点P (x ，y )，|PO |＝x 2＋y 2，sin ∠APO ＝1
|PO |
， cos ∠APO ＝|PO |2－1|PO |，
sin ∠APB ＝2|PO |2－1
|PO |2
，
故S △APB ＝12|P A |·|PB |sin ∠APB ＝12(|PO |2－1)2·2|PO |2－1|PO |2＝(|PO |2－1)2
·|PO |2－1|PO |2
，
令
t ＝|PO |2－1，则(|PO |2－1)2·
|PO |2－1|PO |2
＝t ·t t ＋1，令f (t )＝t t
t ＋1，则f ′(t )＝t （t ＋3）2（t ＋1）2
，又|PO |≥|0＋0－22|
12＋12
＝2，所以t ≥3，f ′(t )＞0，f (t )在[3，＋∞)上单调递增，即|PO |＝x 2＋y 2
取最小值时，△P AB 的面积最小，此时sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2
＝32，cos ∠APB ＝1
2
.
11．解析：选A.画出图形如图所示，设△PF 1F 2的重心和内心分别为G ，I ，且圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2，PF 1，PF 2分别切于点M ，Q ，N ，由切线的性质可得|PN |＝|PQ |，|F 1Q |＝|F 1M |，|F 2N |＝|F 2M |.
不妨设点P (x 0，2a )在第一象限内，
因为G 是△PF 1F 2的重心，O 为F 1F 2的中点， 所以|OG |＝1
3
|OP |，
所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫
x 03，2a 3.
由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝|F 1Q |－|F 2N |＝|F 1M |－|F 2M |， 又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ，
所以|F 1M |＝c ＋a ，|F 2M |＝c －a ， 所以M 为双曲线的右顶点．
又I 是△PF 1F 2的内心，所以IM ⊥F 1F 2. 设点I 的坐标为(x I ，y I )，则x I ＝a . 由题意得GI ⊥x 轴， 所以x 0
3＝a ，故x 0＝3a ，
所以点P 坐标为(3a ，2a )．
因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上，
所以9a 2a 2－4a 2b 2＝9－4a 2
b 2＝1，
整理得b 2a 2＝12，
所以e ＝c
a ＝
1＋b 2a
2＝1＋12＝62
. 故选A.
12．解析：选B.作出函数f (x )的图象，如图所示，易知，0＜x 1＜x 2＜3，且x 1x 2＝1，3＜x 3＜6，12＜x 4＜15，且x 3，x 4所对应的图象上的点关于直线x ＝9对称，设x 3＝9－t ，x 4＝9＋t ，t ∈(3，6)，
所以（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2
＝(7－t )(7＋t )＝49－t 2∈(13，40)．
13．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 2＋1
x 2－2n
＝⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫x －1
x 2n ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2n
， 所以T r ＋1＝C r 2n (－1)r x
2n
－r －r
，
所以C n 2n (－1)n ＝70，又C 48＝70，所以n ＝4.
答案：4
14．解析：因为－2≤x ≤2，所以当－2≤x ≤0时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为－x －(x －1)≤2，得－1
2≤x ≤0；当0<x ≤1时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为x －(x －1)≤2恒成立；
当1<x ≤2时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为x ＋(x －1)≤2，得1<x ≤3
2.综上，满足不等式|x |＋
|x －1|≤2的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，3
2，所以能输出x 的概率为32＋122＋2＝12
. 答案：1
2
15．解析：如图，由题意可知：S 0S 0＋S ＝⎝⎛⎭
⎫a n －1a n 2，①
S 0＋2S S 0＋S ＝⎝⎛⎭
⎫a n ＋1a n 2
，② ①②两式相加得2＝a 2n －1a 2n ＋a 2n ＋1a 2n
，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，所以数列{a 2n }是首项为a 21、公差为a 22－a 21＝3的等差数列．故a 2n ＝a 2
1＋3(n －1)＝3n －2，即a n ＝3n －2.
答案：a n ＝3n －2 16．解析：抛物线
y 2＝－4x
的准线为x ＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b
a
x ，令x
＝1，得y ＝±b
a ，所以抛物线的准线与双曲线的渐近线的两个交点分别为A ⎝⎛⎭⎫1，
b a 和B ⎝⎛⎭⎫1，－b a ，设t ＝y －x －2
x ＋3，整理得y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2，由于直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过定点(－3，－1)，所以当直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过点A ⎝⎛⎭⎫1，b a 时，t 达到最大，最大值为t ＝
b
a －1－21＋3<0，所以
b a <3，b 2a 2<9，所以e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2<10，所以1<e <10，即离心率e 的取值范围为(1，
10)．
答案：(1，10)
17．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2 C －1
4sin 2 C ， 化简得sin A ＝32
， 故A ＝π3或2π3
.
(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a
sin A ＝2，
得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，
故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π
6.因为b ≥a ，
所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π
2
，
所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭
⎫B －π
6∈[3，23)． 18．解：(1)根据题意知，甲为“微信狂”，乙、丙都不是“微信狂”的概率为3
5×⎝⎛⎭⎫1－35×(1－p )＝6
25
(1－p )，
乙为“微信狂”，甲、丙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1－35×35×(1－p )＝6
25(1－p )． 丙为“微信狂”，甲、乙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×p ＝425p . 又甲、乙、丙三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为28
75，
所以625(1－p )＋625(1－p )＋425p ＝2875，解得p ＝13
.
故甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率为1－28
75－⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－13＝13
25
. (2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－13＝875， P (X ＝1)＝28
75
，
P (X ＝2)＝35×3
5×⎝⎛⎭⎫1－13＋35×⎝⎛⎭⎫1－35×13＋⎝⎛⎭⎫1－35×35×13＝3075＝25， P (X ＝3)＝35×35×13＝975＝3
25，
所以随机变量X 的分布列为
数学期望E (X )＝0×875＋1×2875＋2×25＋3×325＝23
15
.
19．解：(1)证明：由三视图可知，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1
⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.
以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知可得A (4，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，0)，
A 1(4，0，4)，
B 1(0，3，4)，
C 1(0，0，4)．
所以A 1C →＝(－4，0，－4)，C 1A →＝(4，0，－4)，C 1B 1→
＝(0，3，0)．
所以A 1C →·C 1A →＝0，A 1C →·C 1B 1→
＝0. 所以A 1C ⊥C 1A ，A 1C ⊥C 1B 1. 又C 1A ∩C 1B 1＝C 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.
(2)由(1)得，CA →＝(4，0，0)，CB 1→
＝(0，3，4)． 设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则CB 1→⊥n ，CA →
⊥n .
所以⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·
n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋4z ＝04x ＝0.
令y ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0，4，－3)． 由(1)知，A 1C →
是平面AB 1C 1的一个法向量． 所以cos 〈n ，A 1C →
〉＝n ·A 1C →|n |·|A 1C →|＝12202＝3210.
故二面角C 1­AB 1­C 的余弦值为32
10
.
20．解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →
|＝2a ＝4，所以a ＝2. 又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bc a ＝3
2
，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.
故椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．
故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2
－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，
所以x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －8
3＋4k 2
，Δ＝32(6k ＋3)＞0，
所以k ＞－12.因为OP →2＝4P A →·PB →
，
即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， 所以4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， 所以
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k （2k －1）3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，
解得k ＝±12，k ＝－1
2不符合题意，舍去．
所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝1
2
x .
21．解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝(1－x )e x ＋x 2，则f ′(x )＝x (2－e x )，由f ′(x )>0得，0<x <ln 2，由f ′(x )<0得x <0或x >ln 2，
故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)依题意，f ′(x )＝mx (e x ＋2
m )<x 2＋(m ＋2)x ，x <0，
因为x <0，所以m e x －x －m >0， 令h (x )＝m e x －x －m ，则h ′(x )＝m e x －1，
当m ≤1时，h ′(x )≤e x －1<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减，所以h (x )>h (0)＝0，符合题意；
当m >1时，h (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m ，0)上单调递增，所以h (x )min
＝h (－ln m )<h (0)＝0，不合题意．
综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． (3)f ′(x )＝mx e x ＋2x ＝mx (e x ＋2
m )，
令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(－2
m
)，
令g (m )＝ln(－2m )－m ，则g ′(m )＝－1
m －1≤0，
g (m )在m ＝－1时取最小值g (－1)＝1＋ln 2>0， 所以x 2＝ln(－2
m
)>m .
即m ≤－1时，x 2＝ln(－2
m )>m .
(ⅰ)当－2<m ≤－1时，x 2＝ln(－2
m )>0，
f (x )min ＝min{f (0)，f (1)}＝min{－m ，1}＝1.
(ⅱ)当m ＝－2时，函数f (x )在区间[m ，1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝1.
(ⅲ)当m <－2时，f (x )min ＝min{f (x 2)，f (1)}，
f (x 2)＝－2[ln(－2m )－1]＋[ln(－2
m )]2＝x 22－2x 2＋2>1，f (1)＝1， 此时f (x )min ＝1. 综上：f (x )min ＝1.
22．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线
C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．
(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2
＝（23sin α）2－4×（－13）
＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.
23．解：(1)由于y ＝2x 是增函数，所以f (x )≥22等价于|x ＋1|－|x －1|≥3
2.①
(i)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，则①式恒成立． (ii)当－1＜x ＜1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥3
2，
即3
4
≤x ＜1. (iii)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. (2)由f (x )≥1
32，
得|x ＋a |－|x ＋b |≥－5，
而由||x ＋a |－|x ＋b ||≤|x ＋a －x －b |＝|a －b |，得－|a －b |≤|x ＋a |－|x ＋b |≤|a －b |，② 要使②恒成立，只需－|a －b |≥－5，可得a －b 的取值范围是[－5，5]．
模拟题二
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R ，集合A ＝{－1，0，1，5}，B ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．{－1，1} B ．{0，1} C ．{0，1，5}
D ．{－1，0，1}
2．复数z ＝1－i
3＋i 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．命题“∃x 0≤0，x 20≥0”的否定是( ) A ．∀x ≤0，x 2<0 B ．∀x ≤0，x 2≥0 C ．∃x 0>0，x 20>0
D ．∃x 0<0，x 20≤0
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＝6，S 10＝100，则a 5＝( ) A ．8 B ．9 C ．10
D ．11
5．设a ，b 是互相垂直的单位向量，且(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，则实数λ的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1
D ．－1
6．已知a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝3－3
2，则( )
A ．a >c >b
B ．b >c >a
C ．b >a >c
D ．a >b >c
7．安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )
A ．30种
B ．40种
C ．42种
D ．48种
8．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )
A.235
B.23913
C.54
D.43
9．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
A ．i ＜20，s ＝s －1
i ，i ＝2i
B ．i ≤20，s ＝s －1
i ，i ＝2i
C ．i ＜20，s ＝s
2，i ＝i ＋1
D ．i ≤20，s ＝s
2
，i ＝i ＋1
10．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A ．[－2，1]
B ．[－1，2]
C ．[－1，1]
D ．[1，2]
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且|AB |＝1，若点P (1，3)，则|AP →＋BP →＋OP →
|的取值范围是( )
A ．[5，6]
B ．[6，7]
C ．[6，9]
D ．[5，7]
12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |
的最小值为( )
A. 2 B ．2 2 C. 3
D ．2 3 第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，c
＝7，且△ABC 的面积为33
2
，a ＋b 的值为________．
14．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，A (2，4)，B (6，2)，则三角形OAB 的外接圆的方程是__________．
15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．
16．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对于任意的实数x ，有f (x )＋f (－x )＝2x 2，当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＋1＜2x .若f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2，则实数m 的取值范围是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭
⎫A 2－π
6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．
18．(本小题满分12分)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42 天数
20
40
20
10
10
送餐单数 38 39 40 41 42 天数
10
20
20
40
10
(1)40的概率； (2)若将频率视为概率，回答以下问题：
①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．
19.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，四边形ABEF 为正方形．
(1)求证：直线DF ，CE 为异面直线；
(2)若平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD ＝2DC ＝2BC ，求二面角A CF D 的余弦值．
20．(本小题满分12分)已知直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象相切，且f ′(1)＝e. (1)求实数a ，b 的值；
(2)若存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32，使得2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，求n
m 的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1，0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为
7
7
|OB |. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2
n 2＝λ(λ>0，且λ≠1)，
则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M 、N ，试求弦长|MN |的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1
y ＝2sin α＋1
(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m .
(1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为
2
2
，求实数m 的取值范围 .
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|＋2|x ＋2|. (1)求证：f (x )≥5；
(2)若对任意实数x ，15－2f (x )<a 2＋9
a 2＋1都成立，求实数a 的取值范围．
答案及解析
1．解析：选B.由题得B ＝{x |x ≥2或x ≤－1}， 所以∁R B ＝{x |－1<x <2}， 所以A ∩∁R B ＝{0，1}．故选B.
2．解析：选D.z ＝1－i 3＋i ＝（1－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝2－4i 10＝1－2i 5＝15－2i
5，
所以在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫15
，－2
5， 所以复数z ＝1－i
3＋i
在复平面内对应的点位于第四象限．答案选D.
3．解析：选A.特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，再将结论否定． 4．解析：选B.设等差数列的公差为d ，因为a 1＋a 3＝6，S 10＝100，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝610a 1＋45d ＝100，解得a 1＝1，d ＝2；
因此a 5＝a 1＋4d ＝9.故选B.
5．解析：选B.依题意，有|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0，又(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，所以，(λa ＋b )(a ＋2b )＝0，即λa 2＋2b 2＋(2λ＋1)a ·b ＝0，即λ＋2＝0，所以，λ＝－2，故选B.
6．解析：选D.易知a ＝log 412＝log 4(4×3)＝1＋log 43，b ＝log 515＝log 5(5×3)＝1＋log 53，由对数函数的性质知log 43>log 53>0，故a >b >1.又c ＝3－3
2
<30＝1，故a >b >c .
7．解析：选C.六名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人，共有：C 26C 24＝90种
安排方法，
其中A 照顾老人甲的情况有：C 15C 2
4＝30种， B 照顾老人乙的情况有：C 15C 24＝30种，
A 照顾老人甲，同时
B 照顾老人乙的情况有：
C 14C 13＝12种，
所以符合题意的安排方法有：90－30－30＋12＝42种． 故选C.
8．解析：选B.取AC 的中点E ，连接BE ，如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32
＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹
角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝39
6，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求
角的正切值为239
13
.
9．解析：选D.根据题意可知，第一天s ＝12，所以满足s ＝s 2，不满足s ＝s －1
i ，故排除
AB ，
由框图可知，计算第二十天的剩余时，有s ＝s
2，且i ＝21，
所以循环条件应该是i ≤20.故选D.
10．解析：选C.因为sin αcos β－cos αsin β＝1，即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2
≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，因为π2≤α≤π，所以3π
4≤α＋π4≤5π
4
，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为[－1，1]． 11．解析：选D.设A (x ，0)，B (0，y )，由|AB |＝1得x 2＋y 2＝1，则AP →＋BP →＋OP →
＝(1－x ，3)＋(1，
3－y )＋(1，
3)＝(3－x ，3
3－y )，所以|AP →＋BP →＋OP →
|＝
（3－x ）2＋（33－y ）2，设点Q (3，33)，则|OQ |＝
32＋（33）2＝6，
（3－x ）2＋（33－y ）2表示圆x 2＋y 2＝1上的任意一点与点Q (3，33)之间的距离，易知其最大距离为7，最小距离为5，所以|AP →＋BP →＋OP →
|的取值范围为[5，7]．
12.解析：选C.如图，过A 、B 分别作准线的垂线AQ 、BP ，垂足分别是Q 、P ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线的定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ，配方得|AB |2
＝(a ＋b )2
－ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭
⎫
a ＋
b 22
，则(a ＋b )2
－ab ≥(a ＋b )2－
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
＝34
(a ＋b )2，即|AB |2≥34(a ＋b )2
，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以
|AB |2|MN |2≥3
4（a ＋b ）214
（a ＋b ）2＝3，则|AB ||MN |≥3，即所求的最小值为 3. 13．解析：由3a ＝2c sin A ，结合正弦定理可得3sin A ＝2sin C sin A ，因为sin A ≠0，
所以sin C ＝
32
. 在锐角三角形ABC 中，可得C ＝π
3
.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝33
2，解得ab ＝6.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝(a ＋b )2－18＝7，解得a ＋b ＝5.故答案为5.
答案：5
14．解析：法一：设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧F ＝0，4＋16＋2D ＋4E ＋F ＝0，36＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧F ＝0，D ＝－6，E ＝－2，
故三角形OAB 的外接圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＝0.
法二：因为直线OA 的斜率 k OA ＝42＝2，直线AB 的斜率k AB ＝2－46－2＝－12，k AB ×k OA ＝
2×⎝⎛⎭⎫－1
2＝－1，所以三角形OAB 是直角三角形，点A 为直角顶点，OB 为斜边，因为|OB |＝36＋4＝40，故外接圆的半径r ＝|OB |2＝402
＝10，又OB 的中点坐标为(3，1)，
故三角形OAB 的外接圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， 即x 2＋y 2－6x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－6x －2y ＝0
15．解析：由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD ， 其中，底面ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，侧棱DB ，EC ，F A 与底面垂直，且DB ＝2，EC ＝F A ＝5.过点D 作DH ∥BC ，DG ∥BA ，交EC ，F A 分别于点H ，G ，
则棱柱ABC -DHG 为直棱柱，四棱锥D -EFGH 的底面为矩形EFGH ，高为BA .
所以V 五面体ABCEFD ＝V ABC ­DHG ＋V D ­EFGH ＝⎝⎛⎭⎫12×4×3×2＋1
3×32×4＝24. 故答案为24. 答案：24
16．解析：令g (x )＝f (x )＋x －x 2，所以g (x )＋g (－x )＝f (x )＋x －x 2＋f (－x )－x －x 2＝f (x )＋f (－x )－2x 2＝0，所以g (x )为定义在R 上的奇函数，又当x ≤0时，g ′(x )＝f ′(x )＋1－2x ＜0，所以g (x )在R 上单调递减，所以f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2等价于f (2＋m )＋(2＋m )－(m ＋2)2
≤f (－m )＋(－m )－(－m )2，即2＋m ≥－m ，解得m ≥－1，所以实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
17．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3，因此f (x )
的最小正周期为T ＝2π
2
＝π.
f (x )的单调递减区间为2k π＋
π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π
12(k ∈Z )．
(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2－π
6
＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫A 2－π6＋π
3
＝2sin A ＝3，且A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得 2R ＝a sin A ＝732＝14
3
，
sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝133
14，
则b ＋c ＝13314×14
3＝13，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＝（b ＋c ）2－2bc －a 22bc ＝12，
所以bc ＝40.
18．解：(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M ， 则P (M )＝C 220
C 2100＝19495
.
(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当a ＝38时，X ＝38×4＝152； 当a ＝39时，X ＝39×4＝156； 当a ＝40时，X ＝40×4＝160； 当a ＝41时，X ＝40×4＋1×6＝166； 当a ＝42时，X ＝40×4＋2×6＝172.
所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172.故X 的分布列为：
所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×1
10＝162.
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员日平均工资为162元． 因为149<162，
故推荐小明去乙公司应聘．
19．解：(1)证明：假设直线DF ，CE 不是异面直线，即C ，D ，E ，F 四点共面， 设C ，D ，E ，F 四点确定的平面为α. 因为四边形ABEF 为正方形，所以EF ∥AB .
因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合，所以EF ⊄平面ABCD ， 又AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . 因为EF ⊂平面α，平面α∩平面ABCD ＝CD ， 所以EF ∥CD ，所以AB ∥CD .
又AB ，CD 为直角梯形ABCD 的两腰，不可能平行，故假设不成立， 即直线DF ，CE 为异面直线． (2)设DC ＝a ，连接BD .
在直角梯形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AD 于点G ， 因为AD ＝2BC ，所以G 为AD 的中点，所以AB ＝2a ， 又BD ＝2a ，AD ＝2a ，所以AB 2＋BD 2＝AD 2，BD ⊥AB . 因为四边形ABEF 为正方形， 所以BE ⊥AB ，
又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥BD .
以点B 为坐标原点，射线BA ，BD ，BE 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
取a ＝2，则A (2，0，0)，D (0，2，0)，C (－1，1，0)，F (2，0，2)，CF →
＝(3，－1，2)，AC →＝(－3，1，0)，CD →
＝(1，1，0)．
设平面ACF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CF →＝0m ·
AC →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，
－3x ＋y ＝0，
令x ＝1，得y ＝3，z ＝0，即平面ACF 的一个法向量为m ＝(1，3，0)． 设平面DCF 的法向量为n ＝(a ′，b ，c )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·
CD →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ′－b ＋2c ＝0，
a ′＋
b ＝0，
取a ′＝1，得b ＝－1，c ＝－2，即平面DCF 的一个法向量为n ＝(1，－1，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n
|m|·|n|＝－210×6＝－1515，
由图可知，二面角A -CF -D 为锐角，所以二面角A
CF
D 的余弦值为
15
15
. 20．解：(1)设直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象的切点为(x 0，f (x 0))． 由f (x )＝a e x ＋b 可得f ′(x )＝a e x . 由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧a e x 0＝1，x 0＋1＝a e x 0＋b a e ＝e ，，
解得a ＝1，b ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝e x ， 则存在x ∈⎝⎛⎭
⎫0，32， 使2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立， 等价于存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，3
2， 使2m e x －
1＋n e x ＝mx 成立． 所以n m ＝x －2e x －
1
e x
，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32. 设g (x )＝x －2e x －1e x
，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 则g ′(x )＝
1－x
e x
， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，3
2时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭
⎫1，3
2上单调递减． 所以g (x )max ＝－1e ，g (0)＝－2e ，g ⎝⎛⎭⎫32＝32e 32－2e
，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫32＝－32e 32 <0. 所以n
m
的取值范围是⎝⎛⎦⎤－2e ，－1e . 21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
所以直线AB 的方程为
x －a ＋y
b
＝1， 所以F 1(－1，0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b
2
＝7
7
b ， 即a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－1， 解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 2
9
＝1，
①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝26， ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ，
将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， 所以Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)
记M 、N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 此时：x 1＋x 2＝－8kb
3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2，
|x 1－x 2|＝43（12k 2＋9－b 2）
3＋4k 2，
所以|MN |＝1＋k 2×
43（12k 2＋9－b 2）
3＋4k 2
＝4 6
1＋k 2
3＋4k 2
＝2 6 1＋
1
3＋4k 2
， 因为3＋4k 2≥3，所以1<1＋13＋4k 2
≤4
3
， 即26<2 6
1＋13＋4k 2
≤4 2. 综合①②得：弦长|MN |的取值范围为[26，42]．
22．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆； 当m ＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0， 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|
12＋12
＝2＝r ，r 为圆C 的半径，所以直线l 与圆C 相切．
(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤32
2，
解得－1≤m ≤5.
23．解：(1)证明：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x ≤－2，
5，－2<x ≤－1，
2x ＋7，－1<x ≤2，4x ＋3，x >2，
所以f (x )的最小值为5.所以f (x )≥5. (2)由(1)知15－2f (x )的最大值为5. 因为a 2＋9a 2＋1＝(a 2＋1)＋9
a 2＋1－1≥2
（a 2＋1）×9
a 2＋1
－1＝5，
当且仅当a 2＋1＝
9
a 2＋1
时取“＝”，此时a ＝±2， 所以当a ＝±2时，a 2＋9
a 2＋1取得最小值5.
所以当a ≠±2时，a 2＋9
a 2＋1
>5.
又对任意实数x ，15－2f (x )<a 2＋9
a 2＋1都成立，所以a ≠±2.
所以a 的取值范围为{a |a ≠±2}．。