高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案

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高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案(2套)
模拟题一
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A =⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪y =log 2x ,12≤x ≤4,B ={x |x ≤2},,则A ∩B =( ) A .[-1,2] B .[0,2] C .[-1,4]
D .[0,4]
2.已知复数z =4+2i
(1+i )2
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x -2y +m =0上,
则m 的值为( )
A .-3
B .-4
C .-5
D .-6
3.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,M (2,2)为其终边上一点,则cos 2α=( )
A .-23
B.23 C .-13
D.13
4.已知直角坐标原点O 为椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的中心,F 1,F 2为左、右焦点,
在区间(0,2)上任取一个数e ,则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O :x 2+y 2=a 2-b 2没有交点”的概率为( )
A.24
B.4-24
C.22
D.2-22
5.为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),(x 4,y 4),(x 5,y 5).根据收集到的数据可知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=150,由最小二乘法求得回归直线方程为y ^
=0.67x +54.9,则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为( )
A .75
B .155.4
C .375
D .466.2
6.将函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π2的图象向右平移π
4
个单位后得到函数g (x )的图象,则g (x )具有
性质( )
A .最大值为1,图象关于直线x =π
2对称
B .在⎝⎛⎭⎫0,π
4上单调递减,为奇函数 C .在⎝⎛⎭⎫-3π8,π
8上单调递增,为偶函数 D .周期为π,图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8,0对称
7.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为3π+2,则它的表面积是( )
A.⎝⎛⎭

3132+3π+22+2
B.⎝⎛⎭⎫
3134+32π+22+2
C.13
2
π+22 D.
13
4
π+22 8.函数f (x )=⎝⎛⎭
⎫x +1
x ln |x |图象的大致形状为( )
9.已知一次函数f (x )=kx +b 的图象经过点P (1,2)和Q (-2,-4),令a n =f (n )f (n +1),
n ∈N *,记数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,当S n =6
25时,n 的值等于( )
A .24
B .25
C .23
D .26
10.已知不等式组⎩⎨⎧x +y -2 2 ≥0,
x ≤22,y ≤22
表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,
作圆x 2+y 2=1的两条切线且切点分别为A ,B ,当△P AB 的面积最小时,cos ∠APB 的值为( )
A.78
B.12
C.34
D.32
11.设F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,点P (x 0,2a )为双曲线上一
点,若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直,则双曲线的离心率为( )
A.62
B.52
C. 6
D. 5
12.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|log 3
x |,0<x <3,sin π6x ,3≤x ≤15.若存在实数x 1,x 2,x 3,x 4,满足x 1<x 2<x 3<
x 4,且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4),则(x 3-2)(x 4-2)
x 1x 2
的取值范围是( )
A .(10,52)
B .(13,40)
C .(11,17)
D .(15,25)
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.⎝⎛⎭
⎫x 2+1
x 2-2n
展开式中的常数项是70,则n =________. 14.如图所示的程序框图中,x ∈[-2,2],则能输出x 的概率为________.
第14题图 第15题图
15.如图所示,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n …分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n +1A n +1的面积均相等,OA n =a n ,若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是________.
16.双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的两条渐近线l 1,l 2与抛物线y 2=-4x 的准线l 围
成区域Ω(包含边界),对于区域Ω内任意一点(x ,y ),若y -x -2
x +3的最大值小于0,则双曲线
C 的离心率e 的取值范围为________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足cos 2C -cos 2A =2sin ⎝⎛⎭⎫π3+C ·sin ⎝⎛⎭
⎫π3-C . (1)求角A 的值;
(2)若a =3且b ≥a ,求2b -c 的取值范围.
18.(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件,它支持发送语音、视频、图片和文字等,一推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人(被称为微商).经调查,年龄在40岁以下(不包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为3
5,年龄在40岁以上(包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小
时的概率为p ,将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”.若甲(21岁)、乙(36岁)、丙(48岁)三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875
.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率;
(2)记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)某几何体ABC -A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示.
(1)求证:A 1C ⊥平面AB 1C 1; (2)求二面角C 1­AB 1­C 的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2
b 2=1的右焦点为F (
c ,0)且a >b >c >0,设
短轴的一个端点为D ,原点O 到直线DF 的距离为3
2
,过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ,G 两点,且|GF →|+|CF →
|=4.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ,B 且使得 OP →2=4P A →·PB →
成立?若存在,试求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=m (x -1)e x +x 2(m ∈R ). (1)若m =-1,求函数f (x )的单调区间;
(2)若对任意的x <0,不等式x 2+(m +2)x >f ′(x )恒成立,求m 的取值范围; (3)当m ≤-1时,求函数f (x )在[m ,1]上的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =2+t cos α,
y =3+t sin α
(t 是参数),以原点O 为
极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos ⎝
⎛⎭⎫θ-π
3.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,求|AB |的最大值和最小值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f (x )=2|x
+a |-|x +b |
.
(1)当a =1,b =-1时,求使f (x )≥22的x 的取值范围; (2)若f (x )≥1
32
恒成立,求a -b 的取值范围.
答案及解析
1.解析:选B.由题意得A
=⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪⎪log 212
≤y ≤log 24={y |-1≤y ≤2}=[-1,2],又B ={x |x ≤2}=[0,4], 所以A ∩B =[0,2].故选B.
2.解析:选C.z =4+2i (1+i )2
=4+2i 2i =(4+2i )i 2i 2=1-2i ,复数z 在复平面内对应的点
的坐标为(1,-2),将其代入x -2y +m =0,得m =-5.故选C.
3.解析:选D.因为M (2,2)为角α终边上一点, 所以cos α=
222+(2)2

26=63
, 所以cos 2α=2cos 2 α-1 =2×⎝⎛⎭
⎫632-1=13.
故选D.
4.解析:选A.满足题意时,椭圆上的点P (a cos θ,b sin θ)到圆心O (0,0)的距离: d 2=(a cos θ-0)2+(b sin θ-0)2>r 2=a 2-b 2,
整理可得,b 2a 2>sin 2θ1+sin 2θ,所以e 2
=1-b 2a 2<1-sin 2θ1+sin 2θ=11+sin 2θ, 又因为⎝⎛⎭⎫11+sin 2θmin =12,
据此有e 2<12,0<e <22,
题中事件的概率p =2
2-02-0=2
4.
故本题选择A 选项.
5.解析:选C.由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=150,得x =30,代入回归直线方程y ^
=0.67x +54.9,得y =75,则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5=375.
6.解析:选B.由题意得,
g (x )=sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x -π4-π2=sin(2x -π)=-sin 2x ,对于A ,最大值为1正确,而g ⎝⎛⎭
⎫π
2=0,图象不关于直线x =π
2对称,故A 错误;对于B ,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π4时,2x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,满足单调递减,显然g (x )也是奇函数,故B 正确;C 显然错误;对于D ,周期T =2π2=π,g ⎝⎛⎭⎫3π8=-2
2,故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8,0对称.
7.解析:选A.由三视图可知,该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体,其中:
V 圆锥=34×13×πa 2×3=34πa 2,V 三棱锥=12a 2×3×13=1
2
a 2,
由题意:34πa 2+12a 2=3π+2,所以a =2,据此可知:S 底=2×2×π×34+1
2×2×2=3
π+2,S 圆锥侧=34π×13×2=3132π,S 棱锥侧=1
2
×22×11=22,
它的表面积是⎝⎛


3132+3π+22+2.
本题选择A 选项.
8.解析:选D.因为f (-x )=⎝⎛⎭
⎫-x +1-x ln |-x |=-⎝⎛⎭
⎫x +1
x ln |x |=-f (x ), 所以f (x )是奇函数,
关于(0,0)对称,排除A ,B ;
当x =2时,f (2)=5
2
ln 2>0,故选D.
9.解析:选A.因为一次函数f (x )=kx +b 的图象经过点P (1,2)和Q (-2,-4),
可得⎩⎪⎨⎪⎧2=k +b ,-4=-2k +b ,解得⎩
⎪⎨⎪⎧k =2,b =0, 所以f (x )=2x ,a n =f (n )f (n +1)=2n ×2(n +1)=4n (n +1), 1a n =14n (n +1)=14⎝⎛⎭⎫1n -1n +1, S n =
14⎝⎛⎭⎫1-12+12-1
3
+…+1n -
1n +1 =14⎝⎛⎭⎫1-1n +1=14×n n +1=6
25, 得n =24.
10.解析:选B.设点P (x ,y ),|PO |=x 2+y 2,sin ∠APO =1
|PO |
, cos ∠APO =|PO |2-1|PO |,
sin ∠APB =2|PO |2-1
|PO |2

故S △APB =12|P A |·|PB |sin ∠APB =12(|PO |2-1)2·2|PO |2-1|PO |2=(|PO |2-1)2
·|PO |2-1|PO |2


t =|PO |2-1,则(|PO |2-1)2·
|PO |2-1|PO |2
=t ·t t +1,令f (t )=t t
t +1,则f ′(t )=t (t +3)2(t +1)2
,又|PO |≥|0+0-22|
12+12
=2,所以t ≥3,f ′(t )>0,f (t )在[3,+∞)上单调递增,即|PO |=x 2+y 2
取最小值时,△P AB 的面积最小,此时sin ∠APB =2|PO |2-1|PO |2
=32,cos ∠APB =1
2
.
11.解析:选A.画出图形如图所示,设△PF 1F 2的重心和内心分别为G ,I ,且圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2,PF 1,PF 2分别切于点M ,Q ,N ,由切线的性质可得|PN |=|PQ |,|F 1Q |=|F 1M |,|F 2N |=|F 2M |.
不妨设点P (x 0,2a )在第一象限内,
因为G 是△PF 1F 2的重心,O 为F 1F 2的中点, 所以|OG |=1
3
|OP |,
所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫
x 03,2a 3.
由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a =|F 1Q |-|F 2N |=|F 1M |-|F 2M |, 又|F 1M |+|F 2M |=2c ,
所以|F 1M |=c +a ,|F 2M |=c -a , 所以M 为双曲线的右顶点.
又I 是△PF 1F 2的内心,所以IM ⊥F 1F 2. 设点I 的坐标为(x I ,y I ),则x I =a . 由题意得GI ⊥x 轴, 所以x 0
3=a ,故x 0=3a ,
所以点P 坐标为(3a ,2a ).
因为点P 在双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)上,
所以9a 2a 2-4a 2b 2=9-4a 2
b 2=1,
整理得b 2a 2=12,
所以e =c
a =
1+b 2a
2=1+12=62
. 故选A.
12.解析:选B.作出函数f (x )的图象,如图所示,易知,0<x 1<x 2<3,且x 1x 2=1,3<x 3<6,12<x 4<15,且x 3,x 4所对应的图象上的点关于直线x =9对称,设x 3=9-t ,x 4=9+t ,t ∈(3,6),
所以(x 3-2)(x 4-2)x 1x 2
=(7-t )(7+t )=49-t 2∈(13,40).
13.解析:因为⎝⎛⎭⎫x 2+1
x 2-2n
=⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫x -1
x 2n =⎝⎛⎭⎫x -1x 2n
, 所以T r +1=C r 2n (-1)r x
2n
-r -r

所以C n 2n (-1)n =70,又C 48=70,所以n =4.
答案:4
14.解析:因为-2≤x ≤2,所以当-2≤x ≤0时,不等式|x |+|x -1|≤2可化为-x -(x -1)≤2,得-1
2≤x ≤0;当0<x ≤1时,不等式|x |+|x -1|≤2可化为x -(x -1)≤2恒成立;
当1<x ≤2时,不等式|x |+|x -1|≤2可化为x +(x -1)≤2,得1<x ≤3
2.综上,满足不等式|x |+
|x -1|≤2的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤-12,3
2,所以能输出x 的概率为32+122+2=12
. 答案:1
2
15.解析:如图,由题意可知:S 0S 0+S =⎝⎛⎭
⎫a n -1a n 2,①
S 0+2S S 0+S =⎝⎛⎭
⎫a n +1a n 2
,② ①②两式相加得2=a 2n -1a 2n +a 2n +1a 2n
,所以2a 2n =a 2n -1+a 2n +1,所以数列{a 2n }是首项为a 21、公差为a 22-a 21=3的等差数列.故a 2n =a 2
1+3(n -1)=3n -2,即a n =3n -2.
答案:a n =3n -2 16.解析:抛物线
y 2=-4x
的准线为x =1,双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线为y =±b
a
x ,令x
=1,得y =±b
a ,所以抛物线的准线与双曲线的渐近线的两个交点分别为A ⎝⎛⎭⎫1,
b a 和B ⎝⎛⎭⎫1,-b a ,设t =y -x -2
x +3,整理得y =(t +1)x +3t +2,由于直线y =(t +1)x +3t +2过定点(-3,-1),所以当直线y =(t +1)x +3t +2过点A ⎝⎛⎭⎫1,b a 时,t 达到最大,最大值为t =
b
a -1-21+3<0,所以
b a <3,b 2a 2<9,所以e 2
=c 2a 2=a 2+b 2
a 2<10,所以1<e <10,即离心率e 的取值范围为(1,
10).
答案:(1,10)
17.解:(1)由已知得2sin 2A -2sin 2C =2⎝⎛⎭⎫34cos 2 C -1
4sin 2 C , 化简得sin A =32
, 故A =π3或2π3
.
(2)由正弦定理b sin B =c sin C =a
sin A =2,
得b =2sin B ,c =2sin C ,
故2b -c =4sin B -2sin C =4sin B -2sin ⎝⎛⎭⎫2π3-B =3sin B -3cos B =23sin ⎝⎛⎭⎫B -π
6.因为b ≥a ,
所以π3≤B <2π3,π6≤B -π6<π
2

所以2b -c =23sin ⎝⎛⎭
⎫B -π
6∈[3,23). 18.解:(1)根据题意知,甲为“微信狂”,乙、丙都不是“微信狂”的概率为3
5×⎝⎛⎭⎫1-35×(1-p )=6
25
(1-p ),
乙为“微信狂”,甲、丙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1-35×35×(1-p )=6
25(1-p ). 丙为“微信狂”,甲、乙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1-35×⎝⎛⎭⎫1-35×p =425p . 又甲、乙、丙三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为28
75,
所以625(1-p )+625(1-p )+425p =2875,解得p =13
.
故甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率为1-28
75-⎝⎛⎭⎫1-35×⎝⎛⎭⎫1-35×⎝⎛⎭⎫1-13=13
25
. (2)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P (X =0)=⎝⎛⎭⎫1-35×⎝⎛⎭⎫1-35×⎝⎛⎭⎫1-13=875, P (X =1)=28
75

P (X =2)=35×3
5×⎝⎛⎭⎫1-13+35×⎝⎛⎭⎫1-35×13+⎝⎛⎭⎫1-35×35×13=3075=25, P (X =3)=35×35×13=975=3
25,
所以随机变量X 的分布列为
数学期望E (X )=0×875+1×2875+2×25+3×325=23
15
.
19.解:(1)证明:由三视图可知,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面A 1B 1C 1,B 1C 1
⊥A 1C 1,且AA 1=AC =4,BC =3.
以点C 为原点,分别以CA 、CB 、CC 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.由已知可得A (4,0,0),B (0,3,0),C (0,0,0),
A 1(4,0,4),
B 1(0,3,4),
C 1(0,0,4).
所以A 1C →=(-4,0,-4),C 1A →=(4,0,-4),C 1B 1→
=(0,3,0).
所以A 1C →·C 1A →=0,A 1C →·C 1B 1→
=0. 所以A 1C ⊥C 1A ,A 1C ⊥C 1B 1. 又C 1A ∩C 1B 1=C 1, 所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.
(2)由(1)得,CA →=(4,0,0),CB 1→
=(0,3,4). 设平面AB 1C 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则CB 1→⊥n ,CA →
⊥n .
所以⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n =0CA →·
n =0,即⎩⎪⎨⎪⎧3y +4z =04x =0.
令y =4,得平面AB 1C 的一个法向量为n =(0,4,-3). 由(1)知,A 1C →
是平面AB 1C 1的一个法向量. 所以cos 〈n ,A 1C →
〉=n ·A 1C →|n |·|A 1C →|=12202=3210.
故二面角C 1­AB 1­C 的余弦值为32
10
.
20.解:(1)由椭圆的对称性知|GF →|+|CF →
|=2a =4,所以a =2. 又原点O 到直线DF 的距离为32,所以bc a =3
2
,所以bc =3,又a 2=b 2+c 2=4,a >b >c >0,所以b =3,c =1.
故椭圆E 的方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件.
故可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为y =k (x -2)+1,代入椭圆方程得(3+4k 2)x 2
-8k (2k -1)x +16k 2-16k -8=0,
所以x 1+x 2=8k (2k -1)3+4k 2,x 1x 2=16k 2-16k -8
3+4k 2
,Δ=32(6k +3)>0,
所以k >-12.因为OP →2=4P A →·PB →

即4[(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)]=5, 所以4(x 1-2)(x 2-2)(1+k 2)=5, 即4[x 1x 2-2(x 1+x 2)+4](1+k 2)=5, 所以
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2-16k -83+4k 2-2×8k (2k -1)3+4k 2+4(1+k 2)=4×4+4k 23+4k 2=5,
解得k =±12,k =-1
2不符合题意,舍去.
所以存在满足条件的直线l ,其方程为y =1
2
x .
21.解:(1)当m =-1时,f (x )=(1-x )e x +x 2,则f ′(x )=x (2-e x ),由f ′(x )>0得,0<x <ln 2,由f ′(x )<0得x <0或x >ln 2,
故函数的增区间为(0,ln 2),减区间为(-∞,0),(ln 2,+∞). (2)依题意,f ′(x )=mx (e x +2
m )<x 2+(m +2)x ,x <0,
因为x <0,所以m e x -x -m >0, 令h (x )=m e x -x -m ,则h ′(x )=m e x -1,
当m ≤1时,h ′(x )≤e x -1<0,则h (x )在(-∞,0)上单调递减,所以h (x )>h (0)=0,符合题意;
当m >1时,h (x )在(-∞,-ln m )上单调递减,在(-ln m ,0)上单调递增,所以h (x )min
=h (-ln m )<h (0)=0,不合题意.
综上所述,m 的取值范围为(-∞,1]. (3)f ′(x )=mx e x +2x =mx (e x +2
m ),
令f ′(x )=0,得x 1=0,x 2=ln(-2
m
),
令g (m )=ln(-2m )-m ,则g ′(m )=-1
m -1≤0,
g (m )在m =-1时取最小值g (-1)=1+ln 2>0, 所以x 2=ln(-2
m
)>m .
即m ≤-1时,x 2=ln(-2
m )>m .
(ⅰ)当-2<m ≤-1时,x 2=ln(-2
m )>0,
f (x )min =min{f (0),f (1)}=min{-m ,1}=1.
(ⅱ)当m =-2时,函数f (x )在区间[m ,1]上为减函数,f (x )min =f (1)=1.
(ⅲ)当m <-2时,f (x )min =min{f (x 2),f (1)},
f (x 2)=-2[ln(-2m )-1]+[ln(-2
m )]2=x 22-2x 2+2>1,f (1)=1, 此时f (x )min =1. 综上:f (x )min =1.
22.解:(1)对于曲线C 2有ρ=8cos ⎝⎛⎭⎫θ-π
3,即ρ2=4ρcos θ+43ρsin θ,因此曲线
C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-4x -43y =0,其表示一个圆.
(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2-23sin α·t -13=0,|AB |=|t 1-t 2| =(t 1+t 2)2-4t 1t 2
=(23sin α)2-4×(-13)
=12sin 2α+52,因此|AB |的最小值为213,最大值为8.
23.解:(1)由于y =2x 是增函数,所以f (x )≥22等价于|x +1|-|x -1|≥3
2.①
(i)当x ≥1时,|x +1|-|x -1|=2,则①式恒成立. (ii)当-1<x <1时,|x +1|-|x -1|=2x ,①式化为2x ≥3
2,
即3
4
≤x <1. (iii)当x ≤-1时,|x +1|-|x -1|=-2,①式无解. 综上,x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34,+∞. (2)由f (x )≥1
32,
得|x +a |-|x +b |≥-5,
而由||x +a |-|x +b ||≤|x +a -x -b |=|a -b |,得-|a -b |≤|x +a |-|x +b |≤|a -b |,② 要使②恒成立,只需-|a -b |≥-5,可得a -b 的取值范围是[-5,5].
模拟题二
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为R ,集合A ={-1,0,1,5},B ={x |x 2-x -2≥0},则A ∩∁R B =( ) A .{-1,1} B .{0,1} C .{0,1,5}
D .{-1,0,1}
2.复数z =1-i
3+i 在复平面内对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.命题“∃x 0≤0,x 20≥0”的否定是( ) A .∀x ≤0,x 2<0 B .∀x ≤0,x 2≥0 C .∃x 0>0,x 20>0
D .∃x 0<0,x 20≤0
4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 3=6,S 10=100,则a 5=( ) A .8 B .9 C .10
D .11
5.设a ,b 是互相垂直的单位向量,且(λa +b )⊥(a +2b ),则实数λ的值是( ) A .2 B .-2 C .1
D .-1
6.已知a =log 412,b =log 515,c =3-3
2,则( )
A .a >c >b
B .b >c >a
C .b >a >c
D .a >b >c
7.安排A ,B ,C ,D ,E ,F 六名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A 不安排照顾老人甲,义工B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有( )
A .30种
B .40种
C .42种
D .48种
8.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,AB =4,点D 在棱BB 1上,若BD =3,则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )
A.235
B.23913
C.54
D.43
9.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是( )
A .i <20,s =s -1
i ,i =2i
B .i ≤20,s =s -1
i ,i =2i
C .i <20,s =s
2,i =i +1
D .i ≤20,s =s
2
,i =i +1
10.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为( )
A .[-2,1]
B .[-1,2]
C .[-1,1]
D .[1,2]
11.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ,B 分别为x 轴,y 轴上一点,且|AB |=1,若点P (1,3),则|AP →+BP →+OP →
|的取值范围是( )
A .[5,6]
B .[6,7]
C .[6,9]
D .[5,7]
12.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点A 、B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则|AB ||MN |
的最小值为( )
A. 2 B .2 2 C. 3
D .2 3 第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.在锐角三角形ABC 中,a ,b ,c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且3a =2c sin A ,c
=7,且△ABC 的面积为33
2
,a +b 的值为________.
14.已知在平面直角坐标系中,O (0,0),A (2,4),B (6,2),则三角形OAB 的外接圆的方程是__________.
15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法.现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体,其三视图如图所示,则该五面体的体积为________.
16.设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对于任意的实数x ,有f (x )+f (-x )=2x 2,当x ∈(-∞,0]时,f ′(x )+1<2x .若f (2+m )-f (-m )≤2m +2,则实数m 的取值范围是______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2sin x cos x +23cos 2x - 3. (1)求函数y =f (x )的最小正周期和单调递减区间;
(2)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,其中a =7,若锐角A 满足f ⎝⎛⎭
⎫A 2-π
6=3,且sin B +sin C =13314,求bc 的值.
18.(本小题满分12分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪70元,每单抽成2元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成4元,超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42 天数
20
40
20
10
10
送餐单数 38 39 40 41 42 天数
10
20
20
40
10
(1)40的概率; (2)若将频率视为概率,回答以下问题:
①记乙公司送餐员日工资为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望;
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他做出选择,并说明理由.
19.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥DC ,四边形ABEF 为正方形.
(1)求证:直线DF ,CE 为异面直线;
(2)若平面ABCD ⊥平面ABEF ,AD =2DC =2BC ,求二面角A CF D 的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知直线y =x +1与函数f (x )=a e x +b 的图象相切,且f ′(1)=e. (1)求实数a ,b 的值;
(2)若存在x ∈⎝⎛⎭⎫0,32,使得2mf (x -1)+nf (x )=mx (m ≠0)成立,求n
m 的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知中心在原点O ,左焦点为F 1(-1,0)的椭圆C 的左顶点为A ,上顶点为B ,F 1到直线AB 的距离为
7
7
|OB |. (1)求椭圆C 的方程;
(2)若椭圆C 1的方程为:x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0),椭圆C 2的方程为:x 2m 2+y 2
n 2=λ(λ>0,且λ≠1),
则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆.已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆,若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M 、N ,试求弦长|MN |的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线C :⎩⎨⎧x =2cos α+1
y =2sin α+1
(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非
负半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m .
(1)若m =0时,判断直线l 与曲线C 的位置关系; (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为
2
2
,求实数m 的取值范围 .
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知f (x )=|x -2|+|x +1|+2|x +2|. (1)求证:f (x )≥5;
(2)若对任意实数x ,15-2f (x )<a 2+9
a 2+1都成立,求实数a 的取值范围.
答案及解析
1.解析:选B.由题得B ={x |x ≥2或x ≤-1}, 所以∁R B ={x |-1<x <2}, 所以A ∩∁R B ={0,1}.故选B.
2.解析:选D.z =1-i 3+i =(1-i )(3-i )(3+i )(3-i )=2-4i 10=1-2i 5=15-2i
5,
所以在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫15
,-2
5, 所以复数z =1-i
3+i
在复平面内对应的点位于第四象限.答案选D.
3.解析:选A.特称命题的否定是将存在量词改成全称量词,再将结论否定. 4.解析:选B.设等差数列的公差为d ,因为a 1+a 3=6,S 10=100,
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1+2d =610a 1+45d =100,解得a 1=1,d =2;
因此a 5=a 1+4d =9.故选B.
5.解析:选B.依题意,有|a |=|b |=1,且a ·b =0,又(λa +b )⊥(a +2b ),所以,(λa +b )(a +2b )=0,即λa 2+2b 2+(2λ+1)a ·b =0,即λ+2=0,所以,λ=-2,故选B.
6.解析:选D.易知a =log 412=log 4(4×3)=1+log 43,b =log 515=log 5(5×3)=1+log 53,由对数函数的性质知log 43>log 53>0,故a >b >1.又c =3-3
2
<30=1,故a >b >c .
7.解析:选C.六名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人,共有:C 26C 24=90种
安排方法,
其中A 照顾老人甲的情况有:C 15C 2
4=30种, B 照顾老人乙的情况有:C 15C 24=30种,
A 照顾老人甲,同时
B 照顾老人乙的情况有:
C 14C 13=12种,
所以符合题意的安排方法有:90-30-30+12=42种. 故选C.
8.解析:选B.取AC 的中点E ,连接BE ,如图,可得AD →·EB →=(AB →+BD →)·EB →=AB →·EB →=4×23×32
=12=5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹
角),所以cos θ=235,sin θ=135,tan θ=39
6,又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ,所以所求
角的正切值为239
13
.
9.解析:选D.根据题意可知,第一天s =12,所以满足s =s 2,不满足s =s -1
i ,故排除
AB ,
由框图可知,计算第二十天的剩余时,有s =s
2,且i =21,
所以循环条件应该是i ≤20.故选D.
10.解析:选C.因为sin αcos β-cos αsin β=1,即sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],所以α-β=π2,又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π,0≤β=α-π2≤π,则π2
≤α≤π,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin ⎝⎛⎭⎫2α-α+π2+sin(α-2α+π)=cos α+sin α=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π4,因为π2≤α≤π,所以3π
4≤α+π4≤5π
4
,所以-1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α+π4≤1,即所求取值范围为[-1,1]. 11.解析:选D.设A (x ,0),B (0,y ),由|AB |=1得x 2+y 2=1,则AP →+BP →+OP →
=(1-x ,3)+(1,
3-y )+(1,
3)=(3-x ,3
3-y ),所以|AP →+BP →+OP →
|=
(3-x )2+(33-y )2,设点Q (3,33),则|OQ |=
32+(33)2=6,
(3-x )2+(33-y )2表示圆x 2+y 2=1上的任意一点与点Q (3,33)之间的距离,易知其最大距离为7,最小距离为5,所以|AP →+BP →+OP →
|的取值范围为[5,7].
12.解析:选C.如图,过A 、B 分别作准线的垂线AQ 、BP ,垂足分别是Q 、P ,设|AF |=a ,|BF |=b ,由抛物线的定义,得|AF |=|AQ |,|BF |=|BP |,在梯形ABPQ 中,2|MN |=|AQ |+|BP |=a +b .在△ABF 中,由余弦定理得|AB |2=a 2+b 2-2ab cos 120°=a 2+b 2+ab ,配方得|AB |2
=(a +b )2
-ab ,因为ab ≤⎝⎛⎭

a +
b 22
,则(a +b )2
-ab ≥(a +b )2-
⎝⎛⎭⎫a +b 22
=34
(a +b )2,即|AB |2≥34(a +b )2
,当且仅当a =b 时等号成立,所以
|AB |2|MN |2≥3
4(a +b )214
(a +b )2=3,则|AB ||MN |≥3,即所求的最小值为 3. 13.解析:由3a =2c sin A ,结合正弦定理可得3sin A =2sin C sin A ,因为sin A ≠0,
所以sin C =
32
. 在锐角三角形ABC 中,可得C =π
3
.
所以△ABC 的面积S =12ab sin C =34ab =33
2,解得ab =6.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2
-2ab cos C =(a +b )2-3ab =(a +b )2-18=7,解得a +b =5.故答案为5.
答案:5
14.解析:法一:设三角形OAB 的外接圆方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,依题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧F =0,4+16+2D +4E +F =0,36+4+6D +2E +F =0,
解得⎩⎪⎨⎪
⎧F =0,D =-6,E =-2,
故三角形OAB 的外接圆的方程是x 2+y 2-6x -2y =0.
法二:因为直线OA 的斜率 k OA =42=2,直线AB 的斜率k AB =2-46-2=-12,k AB ×k OA =
2×⎝⎛⎭⎫-1
2=-1,所以三角形OAB 是直角三角形,点A 为直角顶点,OB 为斜边,因为|OB |=36+4=40,故外接圆的半径r =|OB |2=402
=10,又OB 的中点坐标为(3,1),
故三角形OAB 的外接圆的标准方程为(x -3)2+(y -1)2=10, 即x 2+y 2-6x -2y =0. 答案:x 2+y 2-6x -2y =0
15.解析:由三视图可得,该几何体为如图所示的五面体ABCEFD , 其中,底面ABC 为直角三角形,且∠BAC =90°,AB =4,AC =3,侧棱DB ,EC ,F A 与底面垂直,且DB =2,EC =F A =5.过点D 作DH ∥BC ,DG ∥BA ,交EC ,F A 分别于点H ,G ,
则棱柱ABC -DHG 为直棱柱,四棱锥D -EFGH 的底面为矩形EFGH ,高为BA .
所以V 五面体ABCEFD =V ABC ­DHG +V D ­EFGH =⎝⎛⎭⎫12×4×3×2+1
3×32×4=24. 故答案为24. 答案:24
16.解析:令g (x )=f (x )+x -x 2,所以g (x )+g (-x )=f (x )+x -x 2+f (-x )-x -x 2=f (x )+f (-x )-2x 2=0,所以g (x )为定义在R 上的奇函数,又当x ≤0时,g ′(x )=f ′(x )+1-2x <0,所以g (x )在R 上单调递减,所以f (2+m )-f (-m )≤2m +2等价于f (2+m )+(2+m )-(m +2)2
≤f (-m )+(-m )-(-m )2,即2+m ≥-m ,解得m ≥-1,所以实数m 的取值范围是[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)
17.解:(1)f (x )=2sin x cos x +23cos 2x -3=sin 2x +3cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π
3,因此f (x )
的最小正周期为T =2π
2
=π.
f (x )的单调递减区间为2k π+
π2≤2x +π3≤2k π+3π
2
(k ∈Z ), 即x ∈⎣⎡⎦⎤k π+π12,k π+7π
12(k ∈Z ).
(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2-π
6
=2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫A 2-π6+π
3
=2sin A =3,且A 为锐角,所以A =π3.由正弦定理可得 2R =a sin A =732=14
3

sin B +sin C =b +c 2R =133
14,
则b +c =13314×14
3=13,
所以cos A =b 2+c 2-a 2
2bc
=(b +c )2-2bc -a 22bc =12,
所以bc =40.
18.解:(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M , 则P (M )=C 220
C 2100=19495
.
(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a ,则 当a =38时,X =38×4=152; 当a =39时,X =39×4=156; 当a =40时,X =40×4=160; 当a =41时,X =40×4+1×6=166; 当a =42时,X =40×4+2×6=172.
所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172.故X 的分布列为:
所以E (X )=152×110+156×15+160×15+166×25+172×1
10=162.
②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5, 所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149(元). 由①得乙公司送餐员日平均工资为162元. 因为149<162,
故推荐小明去乙公司应聘.
19.解:(1)证明:假设直线DF ,CE 不是异面直线,即C ,D ,E ,F 四点共面, 设C ,D ,E ,F 四点确定的平面为α. 因为四边形ABEF 为正方形,所以EF ∥AB .
因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合,所以EF ⊄平面ABCD , 又AB ⊂平面ABCD ,所以EF ∥平面ABCD . 因为EF ⊂平面α,平面α∩平面ABCD =CD , 所以EF ∥CD ,所以AB ∥CD .
又AB ,CD 为直角梯形ABCD 的两腰,不可能平行,故假设不成立, 即直线DF ,CE 为异面直线. (2)设DC =a ,连接BD .
在直角梯形ABCD 中,过点B 作BG ⊥AD 于点G , 因为AD =2BC ,所以G 为AD 的中点,所以AB =2a , 又BD =2a ,AD =2a ,所以AB 2+BD 2=AD 2,BD ⊥AB . 因为四边形ABEF 为正方形, 所以BE ⊥AB ,
又平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB , 所以BE ⊥平面ABCD ,所以BE ⊥BD .
以点B 为坐标原点,射线BA ,BD ,BE 分别为x ,y ,z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系,
取a =2,则A (2,0,0),D (0,2,0),C (-1,1,0),F (2,0,2),CF →
=(3,-1,2),AC →=(-3,1,0),CD →
=(1,1,0).
设平面ACF 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CF →=0m ·
AC →=0可得⎩⎪⎨⎪⎧3x -y +2z =0,
-3x +y =0,
令x =1,得y =3,z =0,即平面ACF 的一个法向量为m =(1,3,0). 设平面DCF 的法向量为n =(a ′,b ,c ), 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →=0,n ·
CD →=0可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ′-b +2c =0,
a ′+
b =0,
取a ′=1,得b =-1,c =-2,即平面DCF 的一个法向量为n =(1,-1,-2). 所以cos 〈m ,n 〉=m·n
|m|·|n|=-210×6=-1515,
由图可知,二面角A -CF -D 为锐角,所以二面角A
CF
D 的余弦值为
15
15
. 20.解:(1)设直线y =x +1与函数f (x )=a e x +b 的图象的切点为(x 0,f (x 0)). 由f (x )=a e x +b 可得f ′(x )=a e x . 由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧a e x 0=1,x 0+1=a e x 0+b a e =e ,,
解得a =1,b =0. (2)由(1)可知f (x )=e x , 则存在x ∈⎝⎛⎭
⎫0,32, 使2mf (x -1)+nf (x )=mx (m ≠0)成立, 等价于存在x ∈⎝⎛⎭⎫0,3
2, 使2m e x -
1+n e x =mx 成立. 所以n m =x -2e x -
1
e x
,x ∈⎝⎛⎭⎫0,32. 设g (x )=x -2e x -1e x
,x ∈⎝⎛⎭⎫0,32, 则g ′(x )=
1-x
e x
, 当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0,g (x )在(0,1)上单调递增,当x ∈⎝⎛⎭⎫1,3
2时,g ′(x )<0,g (x )在⎝⎛⎭
⎫1,3
2上单调递减. 所以g (x )max =-1e ,g (0)=-2e ,g ⎝⎛⎭⎫32=32e 32-2e
,g (0)-g ⎝⎛⎭⎫32=-32e 32 <0. 所以n
m
的取值范围是⎝⎛⎦⎤-2e ,-1e . 21.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0),
所以直线AB 的方程为
x -a +y
b
=1, 所以F 1(-1,0)到直线AB 的距离d =|b -ab |a 2+b
2
=7
7
b , 即a 2+b 2=7(a -1)2, 又b 2=a 2-1, 解得a =2,b =3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212+y 2
9
=1,
①若切线l 垂直于x 轴,则其方程为x =±2,易求得|MN |=26, ②若切线l 不垂直于x 轴,可设其方程为y =kx +b ,
将y =kx +b 代入椭圆C 的方程,得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0, 所以Δ=(8kb )2-4(3+4k 2)(4b 2-12)=48(4k 2+3-b 2)=0, 即b 2=4k 2+3,(*)
记M 、N 两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),
将y =kx +b 代入椭圆C 2的方程,得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-36=0, 此时:x 1+x 2=-8kb
3+4k 2,x 1x 2=4b 2-363+4k 2,
|x 1-x 2|=43(12k 2+9-b 2)
3+4k 2,
所以|MN |=1+k 2×
43(12k 2+9-b 2)
3+4k 2
=4 6
1+k 2
3+4k 2
=2 6 1+
1
3+4k 2
, 因为3+4k 2≥3,所以1<1+13+4k 2
≤4
3
, 即26<2 6
1+13+4k 2
≤4 2. 综合①②得:弦长|MN |的取值范围为[26,42].
22.解:(1)曲线C 的普通方程为(x -1)2+(y -1)2=2,是一个圆; 当m =0时,直线l 的直角坐标方程为x +y =0, 圆心C 到直线l 的距离为d =|1+1|
12+12
=2=r ,r 为圆C 的半径,所以直线l 与圆C 相切.
(2)由已知可得,圆心C 到直线l 的距离为d =|1+1-m |12+12≤32
2,
解得-1≤m ≤5.
23.解:(1)证明:因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x -3,x ≤-2,
5,-2<x ≤-1,
2x +7,-1<x ≤2,4x +3,x >2,
所以f (x )的最小值为5.所以f (x )≥5. (2)由(1)知15-2f (x )的最大值为5. 因为a 2+9a 2+1=(a 2+1)+9
a 2+1-1≥2
(a 2+1)×9
a 2+1
-1=5,
当且仅当a 2+1=
9
a 2+1
时取“=”,此时a =±2, 所以当a =±2时,a 2+9
a 2+1取得最小值5.
所以当a ≠±2时,a 2+9
a 2+1
>5.
又对任意实数x ,15-2f (x )<a 2+9
a 2+1都成立,所以a ≠±2.
所以a 的取值范围为{a |a ≠±2}.。

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