《极坐标系的概念》ppt课件
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数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2
5
6 D• E•
4
•C
。
B•
O1
•A
x
Page ▪ 10
4 F•
3
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
[变式训练 ] 请描出下列点：
A(3, 0)、B(6, 2 )、C(3, )、D(5, 4 )、
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
Page ▪ 13
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
•
•
E
C
3
5
2
3
(-, +)
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
Page ▪ 16 (, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标.
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
Page ▪ 14
5、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
Page ▪ 2
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
发现走私!!!
稽查船
O
Page ▪ 3
20º
x
距离40 km
O
Page ▪ 4
方向：π
4
x
以长城路为X轴
请问：
以都蔚路为Y轴... 去五星花园怎么走？
Page ▪ 5
从这向东 2000米。
请问： 去五星花园怎么走？
再选Βιβλιοθήκη Baidu一个长度单位、一个角度
单位（通常取弧度）及其正方向
（通常取逆时针方向）.
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
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2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
M
如图：OM的长度为4，
4
O
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
Page ▪ 12
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
2
3
E(3, 5 )、F (4, )、G(6, 5 )
6
3
[小结]由极坐标描点的步骤：
(1) 先按极角找到点所在射线；
(2) 在此射线上按极径描点.
思考:
①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
Page ▪ 11
3、点的极坐标的表达式的研究
5 M(-2, 5)
6
6
° O
x
° O
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
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2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3, 56)
C(-2,
2
)
x
D(-1, 5)
3
5 4
[小结] (, )
Page ▪ 6
请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向东走2000米！
出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
Page ▪ 7
建构数学
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；
自极点O引一条射线OX，叫做极轴；
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
Page ▪ 17
Page ▪ 18
极坐标系的概念
Page ▪ 1
与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单
y
b
P(.a,b)
最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别
O
a x
的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2
5
6 D• E•
4
•C
。
B•
O1
•A
x
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4 F•
3
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
[变式训练 ] 请描出下列点：
A(3, 0)、B(6, 2 )、C(3, )、D(5, 4 )、
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
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数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
•
•
E
C
3
5
2
3
(-, +)
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
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极坐标.
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
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5、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
Page ▪ 2
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
发现走私!!!
稽查船
O
Page ▪ 3
20º
x
距离40 km
O
Page ▪ 4
方向：π
4
x
以长城路为X轴
请问：
以都蔚路为Y轴... 去五星花园怎么走？
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从这向东 2000米。
请问： 去五星花园怎么走？
再选Βιβλιοθήκη Baidu一个长度单位、一个角度
单位（通常取弧度）及其正方向
（通常取逆时针方向）.
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
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2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
M
如图：OM的长度为4，
4
O
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
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4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
2
3
E(3, 5 )、F (4, )、G(6, 5 )
6
3
[小结]由极坐标描点的步骤：
(1) 先按极角找到点所在射线；
(2) 在此射线上按极径描点.
思考:
①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
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3、点的极坐标的表达式的研究
5 M(-2, 5)
6
6
° O
x
° O
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
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2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3, 56)
C(-2,
2
)
x
D(-1, 5)
3
5 4
[小结] (, )
Page ▪ 6
请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向东走2000米！
出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
Page ▪ 7
建构数学
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；
自极点O引一条射线OX，叫做极轴；
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
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极坐标系的概念
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与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单
y
b
P(.a,b)
最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别
O
a x
的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.