《极坐标系的概念》ppt课件
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《极坐标系的概念》课件
关系：点和极半径
说明点在极坐标系中距离原点距离的表达方式
极坐标系的转换
1
转换方法
详细说明从直角坐标系到极坐标系的转换过程
2
示例图
提供转换后的极坐标系示例图以帮助理解
பைடு நூலகம்
极坐标系与直角坐标系的转换
1
转换方法
介绍极坐标系到直角坐标系的转换方法
例子讲解
2
使用几个实际例子进行转换方法的演示
总结
1 特点及应用
《极坐标系的概念》课件
# 极坐标系的概念 ## 什么是极坐标系 - 介绍直角坐标系与极坐标系的区别 - 解释极坐标系的定义及表达方式
极坐标系的应用
数学领域的应用
探索极坐标系在曲线描述和积分计算中的优势
物理领域的应用
解释极坐标系在力场和电场分布分析中的应用
极坐标系的基本元素
关系：点和极角
讲解点在极坐标系中位置的确定与极角的含义
概述极坐标系的特点及其在数学和物理上的广泛应用
2 重要意义
强调极坐标系在解决复杂问题和简化计算中的重要性
极坐标系(上课)ppt课件
y
极坐标是（ ，）。从图 1—14可以得出他们之
间的关系：y
0
x
M
y Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x c o ， y s sin①
2x2y2 ， tan y(x0)
x
②
y
0x
M
y
Nx
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
勒中尉只说了句：“别紧张，是本土来的B-17轰炸机。”
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点39分，22英
里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
编辑版pppt
13
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
G 5
3
3
编辑版pppt
14
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
编辑版pppt
15
三、探究点的极坐标的多种表达式
如图：OM的长度为2， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
M
思：这些极坐标之间有何异同？
X
本题点极M径的相极同坐，标不统同一的表是达极式角：(2,2k),(kZ)
思 这 就考些是：极说这角它些的们极始是角边终有相边何同相( 关，同2,2 系终的k？边角也。相同4)4。(,k也Z)
极坐标是（ ，）。从图 1—14可以得出他们之
间的关系：y
0
x
M
y Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x c o ， y s sin①
2x2y2 ， tan y(x0)
x
②
y
0x
M
y
Nx
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
勒中尉只说了句：“别紧张，是本土来的B-17轰炸机。”
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点39分，22英
里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
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13
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
G 5
3
3
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14
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
编辑版pppt
15
三、探究点的极坐标的多种表达式
如图：OM的长度为2， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
M
思：这些极坐标之间有何异同？
X
本题点极M径的相极同坐，标不统同一的表是达极式角：(2,2k),(kZ)
思 这 就考些是：极说这角它些的们极始是角边终有相边何同相( 关，同2,2 系终的k？边角也。相同4)4。(,k也Z)
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标系 课件
自我 校对
1.极点 极轴 2.极径 极角 3.ρsinθ x2＋y2
思考探究 1 极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 提示 平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而 极坐标系以角这一平面图形为几何背景；极坐标系和平面直角坐标 系都由两个量构成，都是平面坐标系．
思考探究 2 把直角坐标化为极坐标时，如何确定极角 θ？ 提示 先由 tanθ＝xy(x≠0)，求出 tanθ 的值，再根据点(x，y)所 在的象限取最小正角 θ.
典例剖析
【例 1】 在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点间 的位置关系．
(1)A(2,0)，B(2，π6)，C(2，4π)，D(2，π2)，E(2，32π)，F(2，54π)， G(2，161π)．
(2)A(0，π4)，B(1，4π)，C(2，54π)，D(3，54π)，E(3，94π)．
【解】 (1)如下图所示，这些点都在以极点为圆心，半径为 2 的圆上．
பைடு நூலகம்
【解】 如下图所示 关于极轴的对称点为 B(2，－3π)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)．
规律技巧 点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于直线 l 的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点 O 的对称点是(ρ，π＋θ)．
【例 3】 (1)把点 M 的极坐标(2，23π)化为直角坐标形式； (2)把点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
3．极坐标与直角坐标的互化 我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 轴的正半轴重合，且两 种坐标系取相同的长度单位，设 P(x，y)是平面上的任意一点，如 下图：
则有换算公式：
1.2.1《极坐标系的概念》课件(新人教选修4-4).
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
极坐标系的概念 课件
极坐标系的概念
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．
极坐标系ppt课件
28
作业：
P12习题1.2
3、4、5
29
关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如，何点规M(定(, ,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2,5 )
6
6
° O
x
° O
x•
•M(-2,56 )M(, )
出发点
方向
距离
5
情境引入：
参照点、方向（标准、角度）、距离
北
40°300海里
50°
A
东
军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，
如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 6
生活中人们在预报台风、 地震、测量、航空、航 海中经常会用方向和距离来确定位置。
用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
3
B(3, )
3
D(3, 4 ) E(3, 2 )
3
3
24
思考探究：
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ), (规定:ρ＞0, -0π≤≤θθ＜＜2π )则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是 ((,2,)) ;
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是((, ) );
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”. 30
23•F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3,56 )
C(-2,2 )
x
作业：
P12习题1.2
3、4、5
29
关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如，何点规M(定(, ,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2,5 )
6
6
° O
x
° O
x•
•M(-2,56 )M(, )
出发点
方向
距离
5
情境引入：
参照点、方向（标准、角度）、距离
北
40°300海里
50°
A
东
军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，
如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 6
生活中人们在预报台风、 地震、测量、航空、航 海中经常会用方向和距离来确定位置。
用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
3
B(3, )
3
D(3, 4 ) E(3, 2 )
3
3
24
思考探究：
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ), (规定:ρ＞0, -0π≤≤θθ＜＜2π )则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是 ((,2,)) ;
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是((, ) );
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”. 30
23•F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3,56 )
C(-2,2 )
x
极坐标系ppt(优秀)
19.4.1 极坐标系
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。
复习回顾
x
y
o
y
z
o
x
●
●
●
o
P
P(x,y)
P(x,y,z)
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
A
B
C
D
E
F
G
O
X
解析：
新课讲解
四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ; 如图示：
O
X
P
M
新课讲解
O
X
P
= /4
M
2、负极径的实例
新课讲解
三、点的极坐标的表达式的研究:
X
O
M
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他表达式 .
思考：这些极坐标之间有何异同？
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角。
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
极坐标系 课件
ρ2＝x2＋y2，
(2)由坐标变换公式 tan
θ＝xyx≠0，
பைடு நூலகம்
得 ρ＝ － 32＋－12＝2，
tan
θ＝－－13＝
3 3.
∵点 M 在第三象限，ρ＞0，
∴最小正角 θ＝76π.
因此，点 M 的极坐标是2，76π.
例 3 在极坐标系中，已知 A2，π6，B2，－π6，求 A， B 两点间的距离．
解析：解法一 如下图所示，
∵∠AOB＝π3，又 OA＝OB＝2， ∴△ABO 为等边三角形．∴AB 的长度为 2. 解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化 为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离
d＝ ( 3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
例 2 (1)把点 M 的极坐标2，23π化为直角坐标形式；
(2) 把 点 M 的 直 角 坐 标 (－ 3，－1) 化 成 极 坐 标
(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
得
x＝2cos23π＝－1， y＝2sin23π＝ 3.
即点 M 的直角坐标为(－1， 3)．
2．直角坐标与极坐标的互化．
以直角坐标系的 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐
标系中取相同的单位长度，平面内的任一点 P 的直角坐标和极
坐
标
分
别
为
(x
，
y)
和
(ρ
，
θ)
，
则
x＝
y＝
ρcos θ
ρsin θ
，
或
ρ2＝ x2＋y2 ，
tan θ＝
x≠0.
题型1 极坐标的概念 例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
极坐标系的概念共27张29页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
极坐标系的概念共27张
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财
极坐标系的概念课件
极坐 标系
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
(2)对称的点： (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴
的直线的对称点为(ρ，π－θ)． (3)共线的点： 如果极坐标为(ρ，θ)，其中θ为常数，ρ>0，则表示与极轴成θ角的射线．
6．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
直角 坐标 系
作 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D、E、F. 则 D、E、F 分别是△ABC 的各边的中点，依题意，得 D1，23π，E1，43π，F(1,0)． (2)△ABC 绕中心 O(0,0)逆时针旋转π6后所得对应三角形为 △A′B′C′，依题意，得 A′2，π2，B′2，76π，C′2，116π.
对舰 B 而言，A、C 两舰位置如图所 示．为方便起见，取 A、B 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系， 则 A、B、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(－3,0)、 (－5,2 3)．
由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所处位置为 P，则|PB| ＝|PC|.
于是 P 在 BC 的中垂线 l 上，易求得其方程为 3x－3y＋7 3 ＝0.
设点 B3，π4，D3，74π关于极点的对称点分别为 E(ρ1，θ1)， F(ρ2，θ2)，
且 ρ1＝ρ2＝3. 当 θ∈[0,2π)时，θ1＝54π，θ2＝34π， ∴E3，54π，F3，34π为所求．
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
(2)对称的点： (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴
的直线的对称点为(ρ，π－θ)． (3)共线的点： 如果极坐标为(ρ，θ)，其中θ为常数，ρ>0，则表示与极轴成θ角的射线．
6．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
直角 坐标 系
作 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D、E、F. 则 D、E、F 分别是△ABC 的各边的中点，依题意，得 D1，23π，E1，43π，F(1,0)． (2)△ABC 绕中心 O(0,0)逆时针旋转π6后所得对应三角形为 △A′B′C′，依题意，得 A′2，π2，B′2，76π，C′2，116π.
对舰 B 而言，A、C 两舰位置如图所 示．为方便起见，取 A、B 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系， 则 A、B、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(－3,0)、 (－5,2 3)．
由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所处位置为 P，则|PB| ＝|PC|.
于是 P 在 BC 的中垂线 l 上，易求得其方程为 3x－3y＋7 3 ＝0.
设点 B3，π4，D3，74π关于极点的对称点分别为 E(ρ1，θ1)， F(ρ2，θ2)，
且 ρ1＝ρ2＝3. 当 θ∈[0,2π)时，θ1＝54π，θ2＝34π， ∴E3，54π，F3，34π为所求．
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4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
Page ▪ 14
5、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
Page ▪ 6
请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向东走2000米！
出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
Pag立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；
自极点O引一条射线OX，叫做极轴；
5 M(-2, 5)
6
6
° O
x
° O
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
Page ▪ 15
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3, 56)
C(-2,
2
)
x
D(-1, 5)
3
5 4
[小结] (, )
•
•
E
C
3
5
2
3
(-, +)
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
Page ▪ 16 (, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标.
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
M
如图：OM的长度为4，
4
O
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
Page ▪ 12
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
Page ▪ 2
如何确定以下两船 的位置关系呢？
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
发现走私!!!
稽查船
O
Page ▪ 3
20º
x
距离40 km
O
Page ▪ 4
方向：π
4
x
以长城路为X轴
请问：
以都蔚路为Y轴... 去五星花园怎么走？
Page ▪ 5
从这向东 2000米。
请问： 去五星花园怎么走？
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
2
3
E(3, 5 )、F (4, )、G(6, 5 )
6
3
[小结]由极坐标描点的步骤：
(1) 先按极角找到点所在射线；
(2) 在此射线上按极径描点.
思考:
①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
Page ▪ 11
3、点的极坐标的表达式的研究
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
Page ▪ 17
Page ▪ 18
Page ▪ 9
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2
5
6 D• E•
4
•C
。
B•
O1
•A
x
Page ▪ 10
4 F•
3
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
[变式训练 ] 请描出下列点：
A(3, 0)、B(6, 2 )、C(3, )、D(5, 4 )、
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
Page ▪ 13
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
极坐标系的概念
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与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单
y
b
P(.a,b)
最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别
O
a x
的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.
再选定一个长度单位、一个角度
单位（通常取弧度）及其正方向
（通常取逆时针方向）.
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
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2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。