银海区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

银海区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
2． 已知双曲线
（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=
与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知集合{}
ln(12)A x y x ==-，{}
2
B x x x =≤，全集U A
B =，则()U
C A B =（ ）
（A ） (),0-∞ （ B ） 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ （C ） ()1,0,12⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦ （D ） 1,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
4． 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，
则m 的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
5． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
6． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0）
D ．（0，1）
7． 函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.
8． 设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ． C ． D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）
A ．a+3
B ．6
C ．2
D ．3﹣a
10．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A ．n ≤8？
B ．n ≤9？
C ．n ≤10？
D ．n ≤11？
11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
二、填空题
13．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，
对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222
b a c
+的最大值为__________．
14．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．
15．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
16．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等
于．
17．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为．
18．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；
②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；
③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；
④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
三、解答题
19．已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），以极点为坐标
原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C2的直角坐标方程；
（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值．
20．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．
21．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
22．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1()
16t a
y-
=（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。

那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
23．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别
交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．
24．设函数f （x ）=ae x （x+1）（其中e=2.71828…），g （x ）=x 2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线． （Ⅰ）求函数f （x ），g （x ）的解析式；
（Ⅱ）求函数f （x ）在[t ，t+1]（t ＞﹣3）上的最小值；
（Ⅲ）若对∀x ≥﹣2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，求实数k 的取值范围．
银海区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（
）2
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
2． 【答案】D
【解析】解：∵函数f （x ）=（x ﹣3）e x
， ∴f ′（x ）=e x +（x ﹣3）e x =（x ﹣2）e x
，
令f ′（x ）＞0， 即（x ﹣2）e x
＞0，
∴x ﹣2＞0， 解得x ＞2， ∴函数f （x ）的单调递增区间是（2，+∞）．
故选：D ．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．
3． 【答案】C
【解析】
[]11,,0,1,0,22A B A B ⎛⎫⎡⎫
=-∞== ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
,(],1U =-∞,故选C ．
4． 【答案】C
【解析】解：若果树前n 年的总产量S 与n 在图中对应P （S ，n ）点 则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率 由图易得当n=9时，直线OP 的斜率最大 即前9年的年平均产量最高，
故选C
5． 【答案】A 【
解
析
】
6． 【答案】C
【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，
又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30
+0=1＞0，
∴f （﹣1）f （0）＜0，
可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：函数()2
2
2112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，
()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质。

8． 【答案】A
【解析】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，
由x 2
+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，
即“|x ﹣2|＜1”是“x 2
+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A ．
9． 【答案】A
【解析】A ． C ． D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12， 故选：A ．
10．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2
n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4 n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n ≤9， 故选B ．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率
P=．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
12．【答案】D
【解析】当3x =时，y 是整数；当2
3x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)n
x n N =∈时，y 是整数，则
由31000n
x =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
二、填空题
13．
【答案】2
【解析】试题分析：根据题意易得：()'2f x ax b =+，由()()'f x f x ≥得：()2
20ax b a x c b +-+-≥在R
上恒成立，等价于：0{ 0a >≤，可解得：()22444b ac a a c a ≤-=-，则：22
2222241441c b ac a a
a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令1,(0)c t t a =->
，24422222t y t t t t
==≤=++++，故22
2
b a
c +
的最大值为2． 考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 14．【答案】 ±（7﹣i ） ．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
15．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====
．
故答案为：．
16．【答案】．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
17．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
18．【答案】①②⑤
【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；
对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，
1，
由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0
还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；
若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0
即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，
假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；
假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；
故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ），…
即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），
∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，
故C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．…
（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为，
∴C1的直角坐标方程为，
由（Ⅰ）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，
且圆心到直线C1的距离，…
∴动点M到曲线C1的距离的最大值为．…
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到曲线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
20．【答案】
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）∵，
∴，…2分
在锐角△ABC中，，…3分
故sinA≠0，
∴，．…5分
（2）∵，…6分
∴，即ab=2，…8分
∴．…10分
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ
）
∴当
，
∴f （x
）的单调递增区间是
，单调递减区间是
当
；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f （x ）图象的大致形状及走向，
∴当
的图象有3个不同交点，
即方程f （x ）=α有三解．
22．【答案】（1）0.110,00.11(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

【解析】
试题分析：（1）由题意：当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，观察图象过点()0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析
式为10y t =，当110t ≥
时，y 与t 的函数关系为1()16t a y -=，观察图象过点1(,1)10，代入得：0.111()16
a -=，所以0.1a =，则解析式为0.11()16t y -=，所以含药量y 与t 的函数关系为：0.110,00.1
1(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）观
察图象可知，药物含量在[]0,0.1段时间内逐渐递增，在0.1t =时刻达到最大值1毫克，在0.1t >时刻后，药
物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有0.111()0.25164
t -==，所以0.10.5t -=，所以0.6t =，所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。

试题解析：（1）依题意，当，可设y 与t 的函数关系式为y ＝kt ，
易求得k ＝10，∴ y ＝10t ，
∴ 含药量y 与时间t 的函数关系式为
（2）由图像可知y 与t 的关系是先增后减的，在时，y 从0增加到1； 然后
时，y 从1开始递减。

∴
，解得t ＝0.6，
∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室
考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。

23．【答案】（１） 22
143
x y +=；（２）证明见解析． 【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=
+，12
29
34
y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅FN FM 得FM FN ⊥．
试题解析： （1）由题意得222221
91,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪=+⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
又111x my =+，221x my =+，
∴112(4,
)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，2
22(3,)1
y FN my =-，
12122
121212
22499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++222
22363499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥
考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ） f'（x ）=ae x
（x+2），g'（x ）=2x+b ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由题意，两函数在x=0处有相同的切线． ∴f'（0）=2a ，g'（0）=b ，
∴2a=b ，f （0）=a=g （0）=2，∴a=2，b=4，
∴f （x ）=2e x （x+1），g （x ）=x 2
+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ） f'（x ）=2e x
（x+2），由f'（x ）＞0得x ＞﹣2，由f'（x ）＜0得x ＜﹣2，
∴f （x ）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵t ＞﹣3，∴t+1＞﹣2
①当﹣3＜t ＜﹣2时，f （x ）在[t ，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，
∴
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当t ≥﹣2时，f （x ）在[t ，t+1]单调递增，
∴；
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣
（Ⅲ）令F （x ）=kf （x ）﹣g （x ）=2ke x
（x+1）﹣x 2
﹣4x ﹣2，
由题意当x ≥﹣2，F （x ）min ≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵∀x ≥﹣2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，∴F （0）=2k ﹣2≥0，∴k ≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
F'（x ）=2ke x （x+1）+2ke x ﹣2x ﹣4=2（x+2）（ke x ﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵x ≥﹣2，由F'（x ）＞0
得，
∴
；由F'（x ）＜0
得
∴F （x ）
在单调递减，
在
单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣
①当，即k＞e2时，F（x）在[﹣2，+∞）单调递增，
，不满足F（x）min≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当，即k=e2时，由①知，，满足F（x）min≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
③当，即1≤k＜e2时，F（x）在单调递减，在单调递增
，满足F（x）min≥0．
综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。