统计量及其抽样分布(PPT 60页)
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统计量与抽样分布-PPT课件
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第6章 统计量与抽样分布
主要内容
• 总体和样本的统计分布 • 统计量 • 抽样分布
第一节 总体和样本的统计分布
• 一、统计推断中的总体及总体分布 • 总体的概念 总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物 的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质 的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。 由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的 数值 编制变量的分布数列 实物总体 数值总体 分布总体
引例
• 1899年，戈塞特进入都柏林A.吉尼斯父子酿酒公司担任酿 酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每 批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦 子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很 大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能 进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是 大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有 较大差异，特别是尾部比正态分布高…… • 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机 变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信 息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。
参数估计 统计推断
假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
1 f( x , ,x ) n 1 i 1 2
n
2 x ( ) i 2 e 2
( 2 2 i1
统计学抽样与抽样分布ppt课件
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
精选
21
概率抽样（小结）
精选
22
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。 n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。 n优点：及时了解总体大致情况，总结经验教训，在进行 大规模抽样调查之前的试点。 n缺点：非随机抽样容易产生倾向性误差，并且误差不能 计算和控制 ，也就无法说明调查结果的可靠程度。
4. 特别是在标志值相差悬殊时，由于划分了类型，一
方面缩小了组内方差，另一方面也保证各组都能抽 取一定的样本单位，所以，分层抽样较之纯随机抽 样可以提高样本的代表性，能获得更为满意的效果
精选
16
分层抽样
(stratified sampling)续
Ü 优点：
Ü 除了可以对总体进行估计外，还可以对各层的子总 体进行估计
精选
23
概率抽样与非概率抽样
概率抽样
抽样类型
非概率抽样
简单随机抽样 分层随机抽样 整群抽样 系统抽样 多阶段抽样
方便抽样 判断抽样
其他非概率抽样
精选
24
重复抽样与非重复抽样
n重复抽样，又称回置抽样，是指从总体的N个
单位中，每次抽取一个单位后，再将其放回总 体中参加下一次抽选，连续抽n次，即得到一 个样本。
n重复：42=16个。它们是
n
AA AB AC AD; BA BB BC BD
n
精选
21
概率抽样（小结）
精选
22
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。 n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。 n优点：及时了解总体大致情况，总结经验教训，在进行 大规模抽样调查之前的试点。 n缺点：非随机抽样容易产生倾向性误差，并且误差不能 计算和控制 ，也就无法说明调查结果的可靠程度。
4. 特别是在标志值相差悬殊时，由于划分了类型，一
方面缩小了组内方差，另一方面也保证各组都能抽 取一定的样本单位，所以，分层抽样较之纯随机抽 样可以提高样本的代表性，能获得更为满意的效果
精选
16
分层抽样
(stratified sampling)续
Ü 优点：
Ü 除了可以对总体进行估计外，还可以对各层的子总 体进行估计
精选
23
概率抽样与非概率抽样
概率抽样
抽样类型
非概率抽样
简单随机抽样 分层随机抽样 整群抽样 系统抽样 多阶段抽样
方便抽样 判断抽样
其他非概率抽样
精选
24
重复抽样与非重复抽样
n重复抽样，又称回置抽样，是指从总体的N个
单位中，每次抽取一个单位后，再将其放回总 体中参加下一次抽选，连续抽n次，即得到一 个样本。
n重复：42=16个。它们是
n
AA AB AC AD; BA BB BC BD
n
第6章统计量与抽样分布
x; n1, n2
1
B
, n1 n2 22
n n x n n x , n1 2
n2 2
n1 2
1
12
2
n1 n2 2
1
0,
其中B
a,
b
1
0
x
1
1
x b1
dxຫໍສະໝຸດ a a b b
.
x 0, x 0.
f x; n1, n2
F n1, n2 分布概率密度函数
第六章 统计量与抽样分布
随机样本与统计量 2分布 t分布 F分布 正态总体下的抽样分布
1
数理统计 是一门以数据为基础的学科, 可以定义为收
集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、 原
则和方法。
例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定 次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批 灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验， 以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计研究的问 题。
关于调查数据和实验数据的收集可以根据数据 本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的课 程讲授，这里不作详细介绍。
6
总体的某个指标X, 对于不同的个 体来说有不同的取值, 这些取值构 成一个分布, 因此X可以看成一个 随机变量. 有时候就把X称为总体. 假设X的分布函数为F(x), 也称F(x) 为总体.
答：共有16个样本，分别为：
（88，88）（88，75）（88，70）（88，63） （75，88）（75，75）（75，70）（75，63） （70，88）（70，75）（70，70）（70，63） （63，88）（63，75）（63，70）（63，63）
第六章统计量及其抽样分布
的统计推断、问题分析，都称为小样本问题；而在样
本量n→∞的条件下进行的统计推断、问题分析则称为
大样本问题。一般统计学中的n≥30为大样本，n<30
为小样本只是一种经验说法。
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第六章统计量及其抽样分布
•【 例 6.4 】
•解 ：
•解 ：
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•例题讲解
第六章统计量及其抽样分布
•
值的离散程度。此统计量取消了均值不同对 不
•
同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值 不
•
同时，不同总体的离散程度。在投资项目的 风.
• 险分析中、不同群体或行业的第六收章统计入量及差其抽距样分布描述
6.1.3 次序统计量
• 定义6.2
•是从总体X中抽取
设•容量为n的一个样本， •的称为第i个次序统计量，
•6.6.1 两个样本平均值之差的分布
•1 .
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第六章统计量及其抽样分布
•【 例 6.8 】
•两个样本均值之差的例题
•解 ：
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第六章统计量及其抽样分布
•6.6.2 两个样本比例之差的分布
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第六章统计量及其抽样分布
•【 例 6.9 】
•两个样本比例之差的例题
• 1 • 分布由阿贝(Abbe)1863年首先提出，后来
.• 海尔由墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K.Pearson)分
• 别 于1875年和1900年推导出来的。
• 2. 定义6.3 设随机变
•相互独立
量•且 •服从标准正态分
• ，则，它们
• 平方布 • 服从自由度为 • 的分布
• •3 和 自由度是统计n学的中常用的一个概念。，可以解
统计量及其抽样分布概论(PPT 68张)
2
分布
2 2 ( n ) 的 p 分位数 )可从卡方分布表查得。 7. p (n
p( x)
(n)
2
2
根据 2(n ) 分布的右尾概率 计算相应的临界值。 即如果 P (2 x ) ，则可求出相应的 x 。
2 利用Excel提供的统计函数CHIINV可构建 分布的
的一个样本时，
n i 1
2 若 已知，则 ( X ) 是 的充分统计量 i 2
1n 若 已知，则 X X 的充分统计量 i是 ni 1
经管类 核心课程
统计学
§6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐近分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
n X 2 2 N ( 0 ， 1 ) 和 s
nX 的渐近分布为N(0，1) s
所以统计量 T
6.2.3 统计学
经管类 核心课程
随机模拟获得的近似分布
因为在实际应用中，有许多问题要寻求它的精确分 布和渐近分布都是非常困难的，而在计算机飞速 发展的今天，利用计算机进行随机模拟来获得某 种统计量的近似分布已十分容易。因此，随机模 拟方法寻求统计量的分布已被普遍使用。通常， 抽样分布很难求得，有时尽管求出了精确抽样分 布，但因为过于复杂而难以使用。
经管类 核心课程
统计学
6.1.1
统计量的概念
2. 统计量的定义：
， X ， ， X (1)定义6.1 设 X 是从总体X中抽取的 1 2 n
容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个 ( X ， X ， ， X ) 函数 T ，不依赖于任何未知 1 2 n ( X ， X ， ， X ) 参数，则称函数 T 为一个 1 2 n 统计量(或样本统计量)。 后， ， x ， ， x (2)当获得样本的一组具体观测值 x 1 2 n 代入T计算的数值称为一个具体的统计量值。
第6章-统计量及其抽样分布课件
设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度
为n的 分2 布，且X1、X2相互独立，则称变
量tX Y n
所服从的分布为自由
度为n的tt分t布 n， 记为
n 2时，Et 0
n 3时，Dt n
n2
第十六页，共32页。
如 X N,2 果
X
1 n
n i 1
Xi
, n X
则
S
tn1
把样本中“成功”的次数所占比例定
义作样本比例
p
X n
。
第二十四页，共32页。
假定某统计人员在其填写的报表中有2%至少 会有一处错误，如果我们检查一个由600份报表
组成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所
占的比例在0.025-0.070之间的概率有多大？
第二十五页，共32页。
设600份报表中国至少有一处错误的报表 所占比 Nhomakorabea为p ，则有
第二十七页，共32页。
甲乙两所高校录取新生时，甲校平均分为 655，且服从正态分布，标准差为20，乙的平均 分为625，标准差为25，也是正态分布。现从两 校各随机抽取8名新生，计算平均分数，出现甲 比已的平均分低的概率有多大？
第二十八页，共32页。
8个新生平均分应服从正态分布，
X1-X2
N1-2， n112
P9.9X10.1P9.90 .110X0 .11010.0 1. 110
211
第二十二页，共32页。
例6.5
• 某电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个 月，标准差为6个月的寿命分布。现假设质 监部门决定检验该厂的说法是否正确，为此 随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行寿命检 验。
• 1）假设厂商声称是正确的，试描述50个电瓶
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第 6 章 统计量及其抽样分布
作者：中国人民大学统计学院 贾俊平
第 6 章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
次序统计量
1. 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n）
后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
T 分 布 的 图 形
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
T 分 布 的 使 用
X ~ N(, 2)
2. 设
，则
z X ~ N(0,1)
Y z2
3. 令
，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
4.
X ~ N(, 2)
5. 当总体
n
(
xi
， x从)2 中抽取容量为n的样本，则
i 1
2
~ 2 (n 1)
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐进分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
统计学
STATISTICS (第五版)
抽样分布
(sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
(F distribution)
1. 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的 第一个字母来命名
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.1 统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.3 由正态分布导出的几个重要 分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
F 分布
统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
两个都服从χ2 分布的变量之比的分布规律。
可以设想为两个方差之比
方差之比会接近1(因为前面已经假设各变量都服从标准 正态分布)，似乎存在一个“两端少，中间多”的特征， 但不对称（除非其中存在一个无限总体，使样本数量 为无穷大，则样本方差有无穷多个）
互独立，则称FF为服U从n自1 由度n1和n2的F分布，记为 V n2
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
n=1
2分布
(图示)
n=4 n=10 n=20
不同容量样本的抽样分作布者：贾俊平，中国人民大学统计学院2
t 分布
统计学STຫໍສະໝຸດ TISTICS (第五版)t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
t 分布图示
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
2分布
(性质和特点)
1. 分布的变量值始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)
4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1) ， V~2(n2), 则 U+V 这 一 随 机 变 量 服 从 自 由度为n1+n2的2分布
6.3.1 2分布
6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
2 分布
统计学
STATISTICS (第五版)
χ2 分布的使用
如果一个变量的诸数值可视为几个独立变量值的平方和，则该变量服从 χ2 分布
方差就可视为若干随机变量值的平方和
样本中各随机数值与均值之离差的平方和(即样本方差的n-1倍)与总体方 差之比，服从自由度为n-1的χ2 分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
2分布
(2 distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特
(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875年和
1900年推导出来
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
统计学
STATISTICS (第五版)
统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如 果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未 知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
作者：中国人民大学统计学院 贾俊平
第 6 章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
次序统计量
1. 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n）
后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
T 分 布 的 图 形
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
T 分 布 的 使 用
X ~ N(, 2)
2. 设
，则
z X ~ N(0,1)
Y z2
3. 令
，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
4.
X ~ N(, 2)
5. 当总体
n
(
xi
， x从)2 中抽取容量为n的样本，则
i 1
2
~ 2 (n 1)
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐进分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
统计学
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抽样分布
(sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
(F distribution)
1. 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的 第一个字母来命名
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
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6.1 统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
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6.3 由正态分布导出的几个重要 分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
F 分布
统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
两个都服从χ2 分布的变量之比的分布规律。
可以设想为两个方差之比
方差之比会接近1(因为前面已经假设各变量都服从标准 正态分布)，似乎存在一个“两端少，中间多”的特征， 但不对称（除非其中存在一个无限总体，使样本数量 为无穷大，则样本方差有无穷多个）
互独立，则称FF为服U从n自1 由度n1和n2的F分布，记为 V n2
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统计学
STATISTICS (第五版)
n=1
2分布
(图示)
n=4 n=10 n=20
不同容量样本的抽样分作布者：贾俊平，中国人民大学统计学院2
t 分布
统计学STຫໍສະໝຸດ TISTICS (第五版)t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
t 分布图示
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
2分布
(性质和特点)
1. 分布的变量值始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)
4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1) ， V~2(n2), 则 U+V 这 一 随 机 变 量 服 从 自 由度为n1+n2的2分布
6.3.1 2分布
6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
2 分布
统计学
STATISTICS (第五版)
χ2 分布的使用
如果一个变量的诸数值可视为几个独立变量值的平方和，则该变量服从 χ2 分布
方差就可视为若干随机变量值的平方和
样本中各随机数值与均值之离差的平方和(即样本方差的n-1倍)与总体方 差之比，服从自由度为n-1的χ2 分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
2分布
(2 distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特
(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875年和
1900年推导出来
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
统计学
STATISTICS (第五版)
统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如 果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未 知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量