统计量及其抽样分布(PPT 60页)

2分布
(性质和特点)
1. 分布的变量值始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)
4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1) ， V~2(n2), 则 U+V 这 一 随 机 变 量 服 从 自 由度为n1+n2的2分布
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作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
F分布
(F distribution)
1. 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的 第一个字母来命名
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V 为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础
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统计学
STATISTICS (第五版)
次序统计量
1. 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n）
后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量
6.3.1 2分布
6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
2 分布
统计学
STATISTICS (第五版)
χ2 分布的使用
如果一个变量的诸数值可视为几个独立变量值的平方和，则该变量服从 χ2 分布
方差就可视为若干随机变量值的平方和
样本中各随机数值与均值之离差的平方和(即样本方差的n-1倍)与总体方 差之比，服从自由度为n-1的χ2 分布
X ~ N(, 2)
2. 设
，则
z X ~ N(0,1)
Y z2
3. 令
，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
4.
X ~ N(, 2)
5. 当总体
n
(
xi
， x从)2 中抽取容量为n的样本，则
i 1
2
~ 2 (n 1)
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统计学
STATISTICS (第五版)
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
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6.3 由正态分布导出的几个重要 分布
第 6 章 统计量及其抽样分布
作者：中国人民大学统计学院 贾俊平
第 6 章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
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作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
F 分布
统计学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
STATISTICS (第五版)
F分布
两个都服从χ2 分布的变量之比的分布规律。
可以设想为两个方差之比
方差之比会接近1(因为前面已经假设各变量都服从标准 正态分布)，似乎存在一个“两端少，中间多”的特征， 但不对称（除非其中存在一个无限总体，使样本数量 为无穷大，则样本方差有无穷多个）
2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐进分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
统计学
STATISTICS (第五版)
抽样分布
(sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
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作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
2分布
(2 distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特
(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875年和
1900年推导出来
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
统计学
STATISTICS (第五版)
统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如 果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未 知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
n=1
2分布
(图示)
n=4 n=10 n=20
不同容量样本的抽样分作布者：贾俊平，中国人民大学统计学院2
t 分布
统计学
STATISTICS (第五版)
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
6.1 统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布
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统计学
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t 分布图示
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
互独立，则称FF为服U从n自1 由度n1和n2的F分布，记为 V n2
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
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统计学
STATISTICS (第五版)
T 分 布 的 图 形
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作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学
STATISTICS (第五版)
T 分 布 的 使 用