函数讨论之渐近线问题
高考数学中的函数的渐近线
高考数学中的函数的渐近线在高中数学中，函数是一个很重要的知识点。
在函数的学习过程中，重要的一个概念就是渐近线。
渐近线是指一个函数图像接近某一直线时，该直线就成为函数的渐近线。
本文将会对函数的渐近线进行深入探讨。
一、水平渐近线水平渐近线是指函数图像在某点处逐渐平稳，向左右两侧无限延伸的直线。
一般来说，水平渐近线的方程是y=k(k≠0)。
那么如何判断函数是否有水平渐近线呢？我们需要看一下函数的极限。
如果函数的极限存在且等于某一数值k，则函数就有一条水平渐近线y=k。
具体来说，当x趋近于正无穷或负无穷时，f(x)的极限等于k。
二、垂直渐近线垂直渐近线是指函数图像在某点处趋向于无限大或无限小，向上下两侧无限延伸的直线。
一般来说，垂直渐近线的方程是x=a(a 为常数)。
那么如何判断函数是否有垂直渐近线呢？我们需要看一下函数的定义域。
如果函数在x=a处不存在，且x=a在定义域中，则函数就有一条垂直渐近线x=a。
具体来说，当x趋近于a时，f(x)趋向于无限大或无限小。
三、斜渐近线斜渐近线是指函数图像在某点处向一条倾斜的直线逼近无穷远时，该直线就成为函数的斜渐近线。
斜渐近线在图像上不一定是直线，但具有直线的一般特征。
那么如何判断函数是否有斜渐近线呢？首先我们要求出函数的斜渐限。
斜渐限的求法是将函数的分子与分母分别按照它们的最高次幂除以x，最后得到的商即为斜渐限的值。
具体来说，当x趋近于正无穷或负无穷时，f(x)与斜渐限的差距趋向于0。
如果斜渐限存在且不等于无穷大或无穷小，则函数就有一条斜渐近线。
此时，我们可以在y=kx+b图像上寻找斜渐近线，其中k 为斜渐限，b为函数与斜渐线的纵向距离。
四、区分渐近线有时候，函数图像可能有多条渐近线，包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
我们如何区分这些渐近线呢？首先我们需要看一下函数的分式表达式。
如果分式表达式中分母是整式而分子是次数比分母低一的整式，则函数图像有一条水平渐近线y=0。
关于渐近线的二级结论题
关于渐近线的二级结论题渐近线是数学中一个重要的概念，在分析函数行为和曲线趋势方面具有极大的应用价值。
对于渐近线的研究，我们可以得出一些重要的结论。
本文将就关于渐近线的二级结论题展开讨论。
一、水平渐近线水平渐近线是指曲线与水平线的极限趋势。
我们可以得出以下结论：1. 若函数f(x)的极限lim(x→±∞)f(x)=c，则c为f(x)的水平渐近线。
例如，考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于正无穷或者负无穷时，f(x)的极限是0，因此0就是函数f(x)的水平渐近线。
2. 若函数f(x)的极限lim(x→±∞)f(x)=±∞，则f(x)没有水平渐近线。
例如，考虑函数f(x)=x^2，当x趋向于正无穷或者负无穷时，f(x)的极限是正无穷，因此函数f(x)没有水平渐近线。
二、垂直渐近线垂直渐近线是指曲线与垂直线的极限趋势。
我们可以得出以下结论：1. 若函数f(x)在点x=a处的极限lim(x→a)f(x)=±∞或不存在，则x=a是f(x)的垂直渐近线。
例如，考虑函数f(x)=1/(x-1)，当x趋向于1时，f(x)的极限是正无穷，因此x=1就是函数f(x)的垂直渐近线。
2. 若函数f(x)的极限lim(x→±∞)f(x)存在有限值，则f(x)没有垂直渐近线。
例如，考虑函数f(x)=cos(x)，当x趋向于正无穷或者负无穷时，f(x)的极限是不存在的，因此函数f(x)没有垂直渐近线。
三、斜渐近线斜渐近线是指曲线趋近于一条斜线的极限趋势。
我们可以得出以下结论：1. 若函数f(x)的极限lim(x→±∞)(f(x)-mx-b)=0，则y=mx+b是f(x)的斜渐近线。
其中，m为斜率，b为截距。
例如，考虑函数f(x)=(x^2+1)/x，当x趋向于正无穷或者负无穷时，(f(x)-x)=1/x 的极限是0，因此y=x就是函数f(x)的斜渐近线。
2. 若函数f(x)的极限lim(x→±∞)(f(x)-mx-b)为非零常数，则f(x)没有斜渐近线。
例析涉及函数图象渐近线问题的三种处理策略
例析涉及函数图象渐近线问题的三种处理策略在处理函数图象的渐近线问题时，有三种常见的处理策略。
这三种策略是基于数学分析和图形分析的原则，可以帮助我们更好地理解函数的行为和特性。
下面将对这三种策略进行详细分析。
第一种策略是函数图象的水平渐近线。
当函数的图象在其中一水平高度上有明显的趋势，并且在无穷远处不存在趋势，我们称该水平高度为函数的水平渐近线。
要确定函数是否存在水平渐近线，可以通过对函数极限的计算来判断。
当函数的极限存在且为有限值时，即为函数存在水平渐近线。
例如，考虑函数 f(x) = 1/x，我们可以计算其极限lim(x→∞) 1/x = 0。
因此，函数y=0是函数f(x)的水平渐近线。
第二种策略是函数图象的垂直渐近线。
当函数的图象在其中一点上发生突变，并且在该点的邻域中的值趋于无穷大或负无穷大时，该点称为函数的垂直渐近线。
要确定函数是否存在垂直渐近线，可以通过对函数的极限和间断点的分析来判断。
例如，考虑函数 f(x) = 1/(x-1)，我们可以计算其极限lim(x→1) 1/(x-1) = ∞。
因此，函数的图象在点x=1处存在垂直渐近线。
第三种策略是函数图象的斜渐近线。
当函数图象在无穷远处不存在水平渐近线或垂直渐近线时，我们可以考虑函数的斜渐近线。
斜渐近线是指函数图象在无穷远处与一条斜线无限趋近的情况。
要确定函数是否存在斜渐近线，可以通过函数的极限和斜率的计算来判断。
例如，考虑函数 f(x) = x + 1/x，我们可以计算其极限lim(x→∞) (x + 1/x) = ∞。
这表明函数的图象在无穷远处不存在水平渐近线。
我们可以进一步计算函数当x趋于无穷大时，f(x)的斜率。
通过求导和极限的计算，我们可以得到 f'(x) = 1 - 1/x^2，lim(x→∞) (1 - 1/x^2) = 1、因此，函数的斜渐近线的斜率为1、结合函数的极限和斜率，我们可以得出函数的斜渐近线为y=x。
微分与函数的渐近线分析
微分与函数的渐近线分析函数的渐近线是指在一定条件下，函数逐渐接近但不达到某一直线的现象。
微分与函数的渐近线分析是指通过微分的方法，研究函数在无穷远处的趋势以及与某些直线的关系。
本文将从微分的角度出发，详细介绍微分与函数的渐近线分析的方法和应用。
一、渐近线的定义和类型渐近线是指一条直线或曲线，当自变量趋于无穷大（或无穷小）时，函数的图像逐渐接近但不会穿过该直线或曲线。
根据函数与直线的关系，渐近线分为以下几种类型：1. 水平渐近线：当函数在自变量趋于正无穷大或负无穷大时，趋近于某一水平直线。
水平渐近线的存在意味着函数在无穷远处的图像与水平直线有一定的关联。
2. 垂直渐近线：当函数在自变量趋于某一值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。
垂直渐近线可以用来描述函数在某一点处的奇点或间断。
3. 斜渐近线：当函数的图像在自变量趋于无穷大时，逐渐接近但不与某一斜直线相交。
斜渐近线通常用来研究函数在无穷远处的趋势。
二、求解函数的渐近线为了求解函数的渐近线，我们需要使用微分的方法。
根据函数与直线的关系，可以采用以下步骤：1. 水平渐近线的求解：当函数在自变量趋于正无穷大或负无穷大时，我们可以通过求函数的极限来确定水平渐近线。
具体而言，当函数的极限存在且等于一个有限值时，该值即为水平渐近线的纵坐标。
2. 垂直渐近线的求解：当函数在自变量趋近于某一值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大，可以认为函数在该点存在垂直渐近线。
我们可以通过求解函数的极限来确定垂直渐近线的横坐标。
3. 斜渐近线的求解：为了确定函数图像在无穷远处的趋势，我们可以使用斜渐近线。
具体方法是首先计算函数的斜率，当自变量趋于无穷大时，函数的斜率趋近于某个常数。
这个常数即为斜渐近线的斜率。
然后，我们可以通过求函数在无穷远点与斜渐近线的截距来确定斜渐近线的方程。
三、渐近线分析的应用通过微分与函数的渐近线分析，我们可以更加深入地研究函数的特性和行为。
渐近线分析在以下方面具有重要的应用价值：1. 描述函数行为：渐近线可以帮助我们了解函数在无穷远处的趋势，从而更好地描述函数的行为。
关于函数曲线的渐近线概念的探讨
Journal o f J i a ngsu Radio& Te l ev i s ion Univers ity
2007. 5 Vo.l 18
59
关于函数曲线的渐近线概念的探讨
何彦力 常州市广播电视大学 , 江苏 常州 213000
摘 要 : 现今一些 高等数学教科书中关 于渐近线的讨论比 较含糊 , 存在欠缺 , 主要表现在 : 一是按照其渐
且 f ( x ) 的图像在 x 轴的负向无穷远处无限靠近该渐近线。 ( 2 )若 li m f ( x ) = a, 则 f ( x )有一条水平渐近线 y = a,
x +
且 f ( x ) 的图像在 x 轴的正向无穷远处无限靠近该渐近线。 ( 3 )若 li m f ( x ) = a, 则 f ( x )有 一条水 平渐近 线 y = a,
x
f ( x ) - a = 1= = (设
1 1 sinx + cosx - 1 x x2
li m f ( x ) = a 的情况 下 , 当 x 在 x 轴的正向 远离
+
坐标原点时 , 若有 f ( x ) < 0 ( f ( x ) > 0 ), 则说 明 f ( x )的 图 像在渐近线 y = a 的上方 (下方 )无限靠近。 3 )在 li m = a 的情况下 , 可分别按 x
近线的概念进行讨论 , 将会丢失一些渐近线 。 二是讨论渐 近线是为了 帮助分析函 数曲线的 走向 , 而 其提出的 渐近线概念对此帮助不 大 。为此 , 提出了关于完善渐近线 概念的思考 , 并对曲 线与其渐 近线的几何 位置关系 进行了比较明确的探讨 , 基本上解决了上述两点不足 。 关键词 : 函数图像 ; 渐近线 ; 极限 中图分类号 : O 13 文献标识码 : A 文章编号 : 1008- 4207( 2007) 05- 0059- 02 线或斜渐近线被遗漏 , 如 : ( 1 ) y = lnx
关于函数曲线的渐近线
关于函数的渐近线问题函数的渐近线：假设函数()f x 是我们要求解的函数。
那么它的渐近线会是什么形式呢？ 首先我们知道函数()f x 的渐近线肯定是一条一次函数即y kx b =+，其中k 和b 分别为渐进线的斜率和截距。
那么我们知道所谓渐进线就是函数曲线与这条直线的距离越来越小，就是曲线与渐近线越来越近，那么我们知道当x →∞时函数()f x 与渐近线的距离应该为0.从而我们有：()lim ()0x f x kx b →∞-+=⎡⎤⎣⎦， 从而[]()11lim lim ()lim 0x x x f x k f x kx b x xx →∞→∞→∞⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦ 也就是说函数的渐近线的斜率为：()lim x f x k x→∞=。
这样我们就知道了渐近线的斜率，剩下的就是求解渐近线的截距了，然而我们知道： ()lim ()0x f x kx b →∞-+=⎡⎤⎣⎦，即[]lim ()x f x kx b →∞-=，所以渐近线我们也就求出来了。
当函数存在不定义的点时，比如1()1f x x =-在1x =处就是它的不定义点，但是我们知道当1x →时，函数趋向于∞，所以直线1x =就是函数曲线的垂直渐近线。
综上所述，我们知道求解函数曲线的渐近线时，首先我们要考虑正常的渐近线，即斜率存在，那么利用上面的分析就可以求解出来渐近线的斜率和截距。
然后就是考虑函数的不定义点了，那么也就把函数的渐近线就全部求解出来了。
例、求曲线32()23x f x x x =+-的渐近线。
解：我们有：22()lim lim 123x x f x x xx x →∞→∞==+- 因此[]33322223lim ()lim lim 22323x x x x x x x x b f x kx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤--+=-=-==-⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦所以函数有渐近线2y x =-。
然而易知：()()332()=2331x x f x x x x x =+-+-，也就是说333lim ()lim (3)(1)x x x f x x x →-→-==∞+-和311lim ()lim (3)(1)x x x f x x x →→==∞+-，这样函数还有3,1x x =-=两条渐近线。
求函数渐近线及与函数曲线的夹角
求函数渐近线及与函数曲线的夹角函数渐近线及与函数曲线的夹角是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的特性和行为。
在本文中，我们将探讨函数渐近线的定义、求解方法以及与函数曲线的夹角的相关知识。
一、函数渐近线的定义所谓函数渐近线，是指在无穷远处，函数曲线趋于一条确定的直线。
这条直线可以是水平线、垂直线或斜线。
为了更形象地描述函数渐近线与函数曲线的关系，我们可以以图形方式来说明。
二、水平渐近线的求解方法当函数曲线在无穷远处趋近于某个常数时，我们称该曲线存在水平渐近线。
求解水平渐近线的方法是通过计算函数在无穷远处的极限值。
三、垂直渐近线的求解方法当函数曲线在某一点处的斜率趋近于无穷大或负无穷大时，我们称该点存在垂直渐近线。
求解垂直渐近线的方法是通过计算函数在该点处的导数值。
四、斜渐近线的求解方法当函数曲线在无穷远处既不存在水平渐近线也不存在垂直渐近线时，我们称该曲线存在斜渐近线，也称为斜渐近线。
求解斜渐近线的方法是通过计算函数在无穷远处的斜率。
五、函数曲线与渐近线的夹角求解方法函数曲线与其渐近线之间的夹角可以通过以下步骤来求解：1. 首先，我们需要计算函数曲线在夹角所对应的点的导数值。
2. 然后，我们可以用该导数值与渐近线的斜率之间的差值来计算夹角。
六、实例分析为了更好地理解函数渐近线和与函数曲线的夹角的求解方法，我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个函数 f(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x + 2)。
根据上述方法，我们可以计算出该函数的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，并求解与函数曲线的夹角。
七、结论函数渐近线及与函数曲线的夹角是数学分析中的重要概念，它们帮助我们进一步了解函数的特性和行为。
在本文中，我们介绍了函数渐近线的定义、求解方法以及与函数曲线的夹角的计算方法。
通过具体的例子分析，我们可以更好地理解这些概念的应用。
希望本文对读者有所帮助。
导数与函数的渐近线关系解析与归纳
导数与函数的渐近线关系解析与归纳简介：在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
与导数相关联的一个重要概念是渐近线，它描述了函数在无穷远处的行为。
本文旨在解析和归纳导数与函数的渐近线之间的关系。
一、导数与函数的定义导数是描述函数斜率的概念。
对于一个可导的函数f(x)，其导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数可以通过极限的方式定义为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h函数是描述输入和输出关系的规则，可以表示为y = f(x)。
导数描述了函数在任意点x处的变化率。
二、函数的渐近线定义渐近线是描述函数在无穷远处的趋势的线。
具体来说，当x趋近于正无穷或负无穷时，函数趋近于渐近线。
1. 水平渐近线如果函数f(x)在无穷远处趋近于某一个横线y=c（c为常数），那么这条横线就是函数的水平渐近线。
2. 垂直渐近线如果函数f(x)在某个点x=a的附近无限趋近于正无穷或负无穷，那么直线x=a就是函数的垂直渐近线。
3. 斜渐近线如果函数f(x)在无穷远处趋近于一条倾斜的直线L，那么直线L就是函数的斜渐近线。
三、导数与渐近线的关系导数可以帮助我们确定函数的渐近线类型和位置。
下面分别从水平、垂直和斜渐近线的角度来探讨导数与渐近线之间的关系。
1. 水平渐近线与导数函数有水平渐近线的条件是导数为零或不存在。
因为当导数为零或不存在时，函数在无穷远处不会有明显的变化，因此趋近于某一水平横线。
2. 垂直渐近线与导数函数有垂直渐近线的条件是导数趋近于正无穷或负无穷。
当导数趋近于正无穷或负无穷时，函数在该点附近无限增长或减小，因此趋近于某一垂直线。
3. 斜渐近线与导数函数有斜渐近线的条件是导数的极限值存在有限值。
当导数的极限值存在有限值时，函数在无穷远处趋近于一条倾斜的直线。
四、归纳与总结通过对导数与函数的渐近线关系的解析，可以归纳出以下结论：1. 水平渐近线由导数为零或不存在的点确定；2. 垂直渐近线由导数趋于正无穷或负无穷的点确定；3. 斜渐近线由导数的极限值存在有限值的点确定。
专题 三角函数与渐近线-渐近线中三角形函数的综合运用
专题三角函数与渐近线-渐近线中三角形函数的综合运用在数学中，三角函数和渐近线是两个重要的概念。
三角函数是描述角度和三角形之间关系的函数，而渐近线是曲线的特殊直线。
本文将讨论在渐近线中综合运用三角函数的问题。
三角函数简介三角函数是数学中一类常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们可以描述角度和三角形的各种关系。
例如，正弦函数可以用来计算一个角的对边与斜边的比值，余弦函数可以计算一个角的邻边与斜边的比值。
三角函数在几何、物理和工程等领域中有广泛的应用。
渐近线简介渐近线是曲线的一种特殊直线，具有特定的性质。
当曲线的函数值在趋于无穷大或负无穷大时，渐近线可以用来描述函数的趋势。
常见的渐近线包括水平渐近线和垂直渐近线。
水平渐近线表示函数在某个特定的水平高度趋于无穷大或负无穷大，垂直渐近线表示函数在某个特定的垂直位置无限接近某一值。
渐近线中三角函数的综合运用在渐近线的研究中，可以综合运用三角函数来描述曲线的性质。
例如，在一条曲线的渐近线方程中出现三角函数，可以通过求解方程来确定曲线与渐近线的交点。
这对于分析曲线的形态和特征十分重要。
此外，三角函数还可以用来描述曲线的周期性和周期函数的一些性质。
例如，正弦函数和余弦函数在图像上呈现周期性变化，通过计算周期和振幅，可以推导出曲线的周期性特征。
综合运用三角函数和渐近线的分析方法，可以帮助我们更好地理解曲线的性质，推导出更多的数学结论。
这对于数学领域中的研究和应用具有重要的意义。
结论三角函数和渐近线是数学中重要的概念，它们在数学研究和应用中具有广泛的应用价值。
在渐近线中综合运用三角函数可以帮助我们更好地理解曲线的性质和特征。
通过深入研究三角函数和渐近线的关系，可以推导出更多的数学结论，为数学的发展做出贡献。
以上是关于专题"三角函数与渐近线-渐近线中三角形函数的综合运用"的简要介绍。
希望对您的研究和学习有所帮助！。
常见函数的渐近线与性质
常见函数的渐近线与性质函数是数学中的一个重要的概念，它描述了变量之间的关系，并经常用于建模和分析不同的现象。
常见的函数有很多类型，比如线性函数、二次函数、指数函数等等。
不同类型的函数有不同的性质，其中一些最重要的便是函数的渐近线。
渐近线是指一个函数接近某些值时的趋势线。
对于线性函数，渐近线就是一个直线，而对于其他类型的函数，渐近线可以是其他形状。
渐近线在函数分析中非常重要，因为它们可以给出函数在不同输入下的行为，从而帮助我们更好地理解这些函数的性质。
接下来，我们将针对一些常见的函数类型，讨论它们的渐近线和一些相关的性质。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，它们的一般形式是y = mx + b，其中 m 和 b 是常数。
由于在平面直角坐标系中，线性函数的图像是一条直线，所以这种函数的渐近线也是一条直线。
如果一条直线的斜率与线性函数的斜率相同，那么这条直线就是线性函数的渐近线。
线性函数的渐近线有以下几个性质：1. 渐近线的斜率与线性函数的斜率相同。
2. 渐近线与线性函数的距离在无限远处趋近于零。
3. 当 x 趋近无限大时，线性函数与其渐近线的距离趋近于零。
这些性质表明，线性函数的渐近线可以描述该函数在进一步远离原点的过程中的行为。
二、二次函数二次函数是具有相同二次项和一次项的一类函数，一般形式是y = ax² + bx + c。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其渐近线可以是直线或者是双曲线。
二次函数的渐近线取决于该函数的二次项系数 a 的符号，以及它是否存在。
二次函数的渐近线有以下几个性质：1. 若 a > 0，则抛物线开口朝上，其渐近线是抛物线的对称轴。
2. 若 a < 0，则抛物线开口朝下，其渐近线不存在。
3. 当x 趋近无限大时，二次函数与其渐近线的距离趋近于无穷。
二次函数的渐近线可以给出该函数在进一步远离原点的过程中的行为。
三、指数函数指数函数是具有形式 y = a^x 的一类函数，其中 a 是常数，x 是变量。
第8讲 函数图像的渐近线及其应用(教师版)
§8 函数图像的渐近线及其应用秒杀知识点①②知识点1：（渐近线的定义与类型）1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角．知识点2：（渐近线的求法）设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离()()cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有()()lim 0x f x kx b →+∞-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x→+∞→+∞⎛⎫-=-=⋅=⎪⎝⎭． 得()limx f x k x→+∞=．④于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞=或()lim x f x b →-∞=，反之，则y b =是曲线()y f x =的水平渐近线．若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0lim x x f x →=∞或()0lim x x f x +→=∞，()0lim x x f x -→=∞，反之，则说明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()211y x =-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于一条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近线，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无数个零点，如图所示．第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，0sin 1lim x x x→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k +∈N ，如图所示．第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．知识点4：（求渐近线举例）【示例】求曲线()3223x f x x x =+-的渐近线． 【解析】由④()33223f x x xx x x=+-，所以332lim 123x x x x x →∞=+-，即1k =． 由③及1k =得：()()32lim lim 223x x x f x kx x x x →∞→∞⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，即2b =-． 从而曲线的渐近线方程为2y x =-．又()3223x f x x x =+-，得()3lim x f x →-=∞，()1lim x f x →=∞．所以垂直渐近线为3x =-和1x =．（如上图所示）秒杀思路分析一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()()f x yg x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多项式）两种类型．（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：当0a =，0b ≠时，()b f x x=为反比例函数；当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．（2）对于有理分式函数()()f x yg x =的渐近线有如下一般结论：第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b=；第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线．（1）()2221x x f x x x +=-+； （2）()221x g x x x =+-； （3）()3221x x h x x x +=+-． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，图像如图（1）所示，存在水平渐近线12y =．（2）函数()g x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（2）所示，存在水平渐近线0y =和垂直渐近线1x =-，12x =．（3）函数()h x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（3）所示，存在垂直渐近线1x =-，12x =和斜渐近线1124y x =-．方法对比【例1】（2015年安徽卷理9）函数()()2ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【例2】（2002年全国卷）函数111y x =--的图像是（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2004年湖北卷文）已知52x ≥，则()24524x x f x x-+=-有（ ）A ．最大值5B ．最小值5C ．最大值1D ．最小值1秒杀训练【试题1】曲线()1ln 1e x y x =++渐近线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，则0x =是垂直渐近线；()1lim lim ln 1e 0x x x y x →-∞→-∞⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦，则0y =是曲线的水平渐近线； ()2ln 1e 1lim lim 1x x x y x x x →+∞→+∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦=，则y x =是其斜渐近线． 综上，共有3条渐近线，故选D ． 【试题2】已知函数()321x y x =-，求函数图像的渐近线． 【解析】()321lim 1x x x →=+∞-，1x =是垂直渐近线． ()22lim lim 11x x y x x x →∞→∞==-，且()()32lim lim 21x x x y x x x →∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 从而2y x =+是图像的斜渐近线．【试题3】如图所示的是一个函数的图像，在下面的四个函数中，其图像是所给图像的是（ ）A ．ln y x x =+B ．ln y x x =-C ．ln y x x =-+D ．ln y x x =--【解析】易知选择B ．真题回放【试题1】（2017年全国卷Ⅲ文7）函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】31sin limlim 11x x y x x x x →+∞→+∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．()2sin lim lim 11x x x y x x →+∞→+∞⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 所以1y x =+是其斜渐近线，排除C ，B ．又20sin lim 1x x x x +→⎛⎫++=+∞ ⎪⎝⎭，故选择D ． 【试题2】（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{}1D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102x f x -=+，()23x g x x-=；③()21x f x x +=，()ln 1ln x x g x x +=； ④()221x f x x =+，()()21e x g x x -=--． 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①两个函数图像都没有渐近线；②当x →+∞时，()f x 从直线2y =上方趋近2，而()g x 从直线2y =下方趋近2，故2y =是两函数图像的“分渐近线”；③()f x 是双曲线型函数，存在渐近线0x =，y x =，而()g x 存在渐近线1x =，y x =．但是，当x →+∞时，()f x x >，()g x x >．即()f x 和()g x 都是从直线y x =上方趋于渐近线y x =，故不满足题意． ④当x →+∞时，()()()221211f x x x x =-+→-+，()()()22121e x g x x x =--→-．并且()()21f x x >-，()()21g x x <-．所以()21y x =-是()f x 和()g x 的斜渐近线且分别从两侧趋于()21y x =-．故选C ．。
数学解函数渐近线问题
数学解函数渐近线问题一、问题描述与分析在解决数学问题中，我们经常会遇到函数渐近线的问题。
函数的渐近线是指当自变量趋于无穷大时，函数曲线与该直线无限接近，但并不会与其相交的直线。
在解题过程中，我们需要确定函数的渐近线的类型和方程，以便更好地理解和分析函数的性质。
二、概念和原理1. 水平渐近线：当函数f(x)的极限lim(x→±∞) f(x)存在时，若极限lim(x→±∞) f(x) = a，则直线y=a为函数f(x)的水平渐近线。
2. 垂直渐近线：当函数f(x)的极限lim(x→c) f(x)存在或者lim(x→c^+) f(x) = ±∞（或lim(x→c^-) f(x) = ±∞）时，若x=c为函数f(x)的垂直渐近线。
3. 斜渐近线：当函数f(x)的极限lim(x→±∞) f(x)/x存在时，若极限lim(x→±∞) f(x)/x = k，则直线y=kx为函数f(x)的斜渐近线。
三、问题求解我们以一个具体的函数为例进行讲解。
例题：求函数f(x)=3x^3+2x^2-4x-1的渐近线。
1. 水平渐近线的求解：首先我们需要求出函数f(x)当x趋于无穷大时的极限。
由于函数中最高次项为3x^3，所以当x趋于无穷大时，3x^3的影响会主导。
根据极限的性质，lim(x→±∞) f(x) = lim(x→±∞) (3x^3+2x^2-4x-1) = ±∞。
因此，函数f(x)=3x^3+2x^2-4x-1不存在水平渐近线。
2. 垂直渐近线的求解：接下来我们需要寻找函数f(x)的垂直渐近线。
我们可以通过求函数在某些点的极限来确定是否存在垂直渐近线。
a) 当x趋于正无穷大时，函数f(x)的极限为lim(x→∞) f(x) =lim(x→∞) (3x^3+2x^2-4x-1) = ∞。
因此，x=c为函数f(x)的垂直渐近线，其中c为正无穷大。
利用导数求解函数的渐近线与曲线段问题
利用导数求解函数的渐近线与曲线段问题在微积分中，导数是一种重要的工具，可以帮助我们研究函数的性质与行为。
在本文中，我们将探讨如何利用导数来求解函数的渐近线与曲线段问题。
一、渐近线渐近线是指函数曲线在无限远处逐渐趋近的直线。
具体来说，对于函数f(x)，如果当x趋于无穷大或负无穷大时，函数值f(x)与一条直线L的距离趋近于0，那么该直线L就是函数f(x)的水平渐近线。
类似地，如果当x趋于无穷大或负无穷大时，函数值f(x)在某个方向上无限趋近于正无穷大或负无穷大，那么该方向上的直线L就是函数f(x)的斜渐近线。
要求解函数的渐近线，我们可以通过计算函数的导数来进行推导。
具体步骤如下：步骤1：首先计算函数f(x)的导数f'(x)。
步骤2：对于水平渐近线的情况，我们需要将f(x)的导数f'(x)置为0，并求出x的值。
然后将x带入原函数f(x)中，得到相应的y值。
这个点(x,y)即为水平渐近线与曲线的交点。
步骤3：对于斜渐近线的情况，我们需要将f(x)的导数f'(x)在无穷大或负无穷大的极限中求出。
然后根据极限的定义，我们可以得到斜渐近线的方程。
二、曲线段曲线段问题是指给定函数f(x)，我们需要找出在某个特定区间上与x轴或y轴相交的曲线段。
通过求解导数，我们可以找到函数的最值点，进而确定曲线段的起点和终点。
具体步骤如下：步骤1：计算函数f(x)的导数f'(x)。
步骤2：求解f'(x)=0的解，得到函数f(x)的极值点。
步骤3：确定曲线段的起点和终点。
根据问题的要求，我们可以分别将特定区间的两端点带入函数f(x)中，得到相应的函数值。
这两个点即为曲线段的起点和终点。
通过以上步骤，我们可以利用导数有效地求解函数的渐近线与曲线段问题。
这为我们研究函数的行为和特性提供了有力工具。
函数的渐进线及其性质
函数的渐进线及其性质函数的渐近线及其性质在函数的研究中，渐进线是一个重要的概念。
它是对于函数在某个极限情况下的近似表达式，能够描述函数的局部或全局的函数特征。
本文将重点探讨函数的渐近线及其性质。
一、什么是渐近线？渐近线是指函数 f(x) 在无穷和有限端点处的某一方向的极限值，可以是一条直线或曲线。
函数 f(x) 的定义域为 I，若存在直线 L，使得 x ∈ I ，当x→+∞ 或x→-∞ 时，f(x) 与 L 的距离趋于零，则称 L 为函数f(x) 的水平渐近线。
与之类似地，若存在直线 L，使得 x ∈ I ，当x→a(a∈R) 时，f(x) 与 L 的距离趋于零，则称 L 为函数 f(x) 的垂直渐近线。
二、什么样的函数有渐近线？对于连续且单调递增或单调递减的函数，存在一条水平渐近线。
例如，对于函数 y = tan x （x ≠ kπ/2）而言，在定义域内存在两条垂直渐近线x=kπ/2, k ∈ Z。
对于函数 f(x) = 1/x，当x → 0 时，f(x) 趋于无穷大，此时不存在任何一条水平的渐近线。
然而，可以发现它有两条垂直渐近线 x = 0 和 y = 0。
三、渐近线的性质1、渐近线是函数与坐标轴的交点的极限对于函数 f(x) 的水平渐近线 y = k，函数 f(x) 与 y = k的交点的横坐标 x 的极限可以理解为x → ±∞ 时的函数的性质。
同样地，对于函数f(x) 的垂直渐近线 x= a，函数 f(x) 与 x = a 的交点的纵坐标 y 的极限也可以理解为当x → a 时的函数性质。
2、渐近线的存在是函数的重要特征之一渐近线可以帮助我们更好地了解函数的特征，更好地说明函数与坐标轴之间的关系。
对于函数的研究、计算和应用而言，掌握渐近线是十分重要的。
3、渐近线的性质和函数的增长速度有关对于一些特殊的函数而言，渐近线可以从一定程度上反映函数的增长速度。
如 y = x 与 y= $x^2$ , 它们的渐近线也是不同的， y = k 与$y=kx$ 是 $x*2$ 的两倍。
高中数学三角函数的渐近线与周期性解析
高中数学三角函数的渐近线与周期性解析三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的渐近线与周期性解析，通过具体的题目举例，说明考点，并给出解题技巧和使用指导。
一、三角函数的渐近线渐近线是指函数图像在某些特定的趋势下，逐渐接近于一条直线。
对于三角函数而言，我们主要关注正弦函数和余弦函数的渐近线。
1. 正弦函数的渐近线考虑正弦函数$f(x)=\sin(x)$，我们知道它的定义域是全体实数。
当$x$的取值趋近于正无穷大或负无穷大时，$\sin(x)$的值在$[-1,1]$之间波动，但是波动的幅度逐渐减小。
因此，我们可以得出结论：正弦函数的渐近线是$y=1$和$y=-1$。
举个例子，考虑函数$y=\sin(x)$，我们可以观察到当$x$趋近于正无穷大时，函数图像逐渐接近于$y=1$这条直线，如图1所示。
同理，当$x$趋近于负无穷大时，函数图像逐渐接近于$y=-1$这条直线。
（图1）2. 余弦函数的渐近线类似地，我们考虑余弦函数$f(x)=\cos(x)$。
当$x$的取值趋近于正无穷大或负无穷大时，$\cos(x)$的值在$[-1,1]$之间波动，但是波动的幅度逐渐减小。
因此，余弦函数的渐近线也是$y=1$和$y=-1$。
举个例子，考虑函数$y=\cos(x)$，我们可以观察到当$x$趋近于正无穷大时，函数图像逐渐接近于$y=1$这条直线，如图2所示。
同理，当$x$趋近于负无穷大时，函数图像逐渐接近于$y=-1$这条直线。
（图2）二、三角函数的周期性解析周期性是三角函数的重要特征之一，我们通过具体的题目来说明如何分析和利用三角函数的周期性。
考虑函数$y=\sin(2x)$，我们知道正弦函数的周期是$2\pi$，即在区间$[0,2\pi]$内，函数图像会重复出现。
而函数$y=\sin(2x)$中的系数2会使得函数图像在同样的区间内重复出现两次。
举个例子，我们来分析函数$y=\sin(2x)$在区间$[0,2\pi]$内的图像。
中公考研培训之浅析如何求函数的渐近线
浅谈如何求函数的渐近线曲线的渐近线是我们考研数学必考的内容，它属于函数极限的应用部分的内容，今天我们就通过例题去求解如何函数的三类渐近线。
一、曲线的三类渐进线1、铅直渐近线)(lim )(lim x f x f cx c x +-→→与中至少有一个是无穷大，则称c x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线.2、水平渐近线若b x f b x f x x ==+∞→-∞→)(lim )(lim 或,其中b 为常数，则称b y =为曲线)(x f y =的水平渐近线.注：水平渐近线0x x =一般都是函数)(x f 的表达式中分母为零的点。
3、斜渐近线若()lim x f x k x →-∞=存在且不为零,同时lim [()]x f x kx b →-∞-=也存在（或()lim x f x k x→+∞=存在且不为零,同时lim[()]x f x kx b →+∞-=存在），则称y kx b =+为曲线)(x f y =斜渐近线.注：(1)若0=k ，则斜渐近线变成水平渐近线。
(2)在趋于同一方向时，水平渐近线与斜渐近线不共存。
(3)若∞=k ,则无斜渐近线。
典型例题例1、(2012年真题)曲线122-+=x x x y 的渐近线条数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析：应选(C)因为11lim 22=-+∞→x x x x ，所以1=y 为曲线122-+=x x x y 的水平渐近线。
又因为∞=-=+-+=-+→→→1lim )1)(1()1(lim 1lim 11221x x x x x x x x x x x x ，211lim )1)(1()1(lim 1lim 11221-=-=+-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 所以1=x 为曲线122-+=x x x y 的垂直渐近线。
例2、(2005年真题)曲线122+=x x y 的斜渐近线为解析：应填412-=x y 因为21)12(lim )(lim 2=+==∞→∞→x x x x x f k x x 且412)(lim -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→x x f b x 所以曲线122+=x x y 斜渐近线为412-=x y 。
函数的极限与连续性的应用函数的渐近线与像分析
函数的极限与连续性的应用函数的渐近线与像分析函数的极限与连续性的应用：函数的渐近线与像分析在数学中，函数的极限与连续性是非常重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解和分析各种函数的行为。
本文将着重探讨函数的渐近线和像分析，以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限与连续性1.1 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋于无限接近一个确定的值。
可以简单地理解为函数在某个点的“接近程度”。
1.2 函数的连续性在数学中，函数在某一点上连续，意味着该函数在该点上存在极限，并且该极限与函数在该点上的取值相等。
也可以说，函数的连续性表明函数图像上没有断裂的点。
二、函数的渐近线2.1 水平渐近线当函数趋于无穷大时，如果函数的值趋于某一常数，那么该常数就是函数的水平渐近线。
表示为y=c，其中c为常数。
2.2 垂直渐近线当函数趋于某一值时，如果函数的自变量无限接近某一值，而函数的值趋于无穷大或无穷小，那么该值就是函数的垂直渐近线。
2.3 斜渐近线当函数趋于无穷大时，如果函数与一条直线趋于无限接近，那么该直线就是函数的斜渐近线。
三、函数的像分析函数的像分析是研究函数在自变量的变化下，函数值的变化规律。
通过分析函数的像，我们可以了解函数在各个自变量取值下的性质与规律。
3.1 函数的最值通过分析函数的像，我们可以确定函数的最值，即函数的最大值和最小值。
这可以帮助我们找到函数的拐点和极值点，进而更好地理解函数的行为。
3.2 函数的增减性通过研究函数的像，我们可以判断函数的增减性。
当函数的自变量增大时，函数值是递增还是递减的。
这对于理解函数的走势和规律非常重要。
3.3 函数的周期性有些函数在一定范围内呈现周期性。
通过分析函数的周期性，我们可以确定其周期，并推断函数在其他区间的行为。
四、应用通过掌握函数的极限与连续性的应用，我们可以在实际问题中更好地分析和解决各种数学和科学问题。
4.1 物理学中的运动在物理学中，运动的轨迹可以通过函数来描述。
函数图像的渐近线
函数图像的渐近线在我们学习数学，特别是函数这一重要概念时，渐近线是一个不可忽视的关键部分。
它不仅帮助我们更深入地理解函数的性质和行为，还在解决各种数学问题中发挥着重要作用。
首先，咱们来搞清楚什么是渐近线。
简单说，渐近线就是函数图像无限接近但永远不会相交的直线。
想象一下，有一条直线，函数图像就像被它吸引着，不断靠近，但就是触碰不到，是不是很神奇？渐近线主要有三种类型：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
水平渐近线通常出现在函数的定义域趋向于正无穷或负无穷的时候。
如果当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 无限接近一个常数 b，那么直线 y ＝ b 就是这个函数的水平渐近线。
比如说，函数 f(x) ＝ 1 ／ x，当 x 趋向于正无穷或负无穷时，f(x) 无限接近 0，所以 y ＝ 0 就是它的水平渐近线。
垂直渐近线呢，一般出现在函数的定义域内存在某个点，使得函数在这个点的一侧或两侧趋向于无穷大。
举个例子，对于函数 f(x) ＝ 1／（x 1)，当 x 趋向于 1 时，f(x) 趋向于正无穷或负无穷，那么直线 x ＝ 1 就是它的垂直渐近线。
斜渐近线相对来说稍微复杂一点。
如果当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 与直线 y ＝ kx ＋ b 的距离趋近于 0，那么这条直线就是函数的斜渐近线。
要找到斜渐近线，需要分别计算斜率 k 和截距 b。
斜率 k 等于当 x 趋向于无穷时，f(x) ／ x 的极限；截距 b 等于当 x 趋向于无穷时，f(x) kx 的极限。
那渐近线到底有啥用呢？它的作用可大了去了。
通过研究渐近线，我们能够更好地描绘函数的图像。
比如说，知道了水平渐近线和垂直渐近线，我们就能大致确定函数图像在两端和某些特殊点附近的走势。
这对于画出准确的函数图像非常有帮助，特别是在一些复杂的函数中。
而且，渐近线还能帮助我们分析函数的性质。
比如通过观察渐近线，我们可以了解函数的增长或衰减趋势，判断函数是否有界等等。
二元函数求极限的渐近线与渐近曲线
二元函数求极限的渐近线与渐近曲线极限是数学中一个重要的概念，描述了函数在某一点或趋于某一点时的性质。
对于二元函数，也可以讨论其极限的性质。
当函数在某些点或趋于某些点时，会出现渐近线和渐近曲线。
本文将介绍二元函数求极限时的渐近线和渐近曲线的概念和性质。
渐近线是指函数在某一点或趋于某一点时，其函数值逐渐接近于某一直线的情况。
对于二元函数而言，渐近线可以是一条直线或者是一条曲线。
我们先从二元函数求极限的渐近线开始讨论。
一、二元函数求极限的渐近线在研究二元函数的极限时，我们可以观察其在不同方向上的极限值，然后确定是否存在渐近线。
我们将以二元函数 f(x, y) = x^2 / y 为例来说明。
当 x 趋于无穷大时，y 保持不变，我们可以观察到 f(x, y) 的极限。
根据函数的性质，我们可以得到 f(x, y) = x^2 / y 随着 x 趋于无穷大时的极限为正无穷大。
根据这个性质，我们可以得知当 x 趋于无穷大时，x^2 / y 的函数值将逐渐接近于 y = 0 这条直线，因此 y = 0 就是函数 f(x, y) = x^2 / y 的一条渐近线。
当 y 趋于无穷大时，x 保持不变，同样也可以观察到 f(x, y) 的极限。
根据函数的性质，我们可以得到 f(x, y) = x^2 / y 随着 y 趋于无穷大时的极限为零。
根据这个性质，我们可以得知当 y 趋于无穷大时，x^2 / y的函数值将逐渐接近于 x = 0 这条直线，因此 x = 0 就是函数 f(x, y) =x^2 / y 的另一条渐近线。
通过以上分析，我们可以得知二元函数 f(x, y) = x^2 / y 的极限存在两条渐近线，分别是 y = 0 和 x = 0。
这些渐近线可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
二、二元函数求极限的渐近曲线除了直线状的渐近线，二元函数在求极限时，还可能存在渐近曲线。
渐近曲线是指函数在某一点或趋于某一点时，其函数值逐渐接近于某一曲线的情况。
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3,0);
C ( 2,1).
y
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
f ( x)
4( x 1) 2 2 x
D : x 0,
4( x 1) 2 的图形. 2 x
非奇非偶函数,且无对称性.
f ( x )
4( x 2) , 3 x
f ( x )
8( x 3) . 4 x
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
得驻点 x 2,
得特殊点 x 3.
函数图像的ห้องสมุดไป่ตู้论
一、渐近线
定义: 当曲线 y f(x)上的一动点P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线y f(x) 的 一条渐近线.
1.铅直渐近线
(垂直于 x 轴的渐近线 )
x x0
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
例如
1 y , ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条:
x 2,
x 3.
2.水平渐近线
(平行于 x 轴的渐近线 )
x
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , 求出函数的一阶导数 f ' ( x ) 和二阶导数 f " ( x );
第二步 求出方程 f ' ( x ) 0和 f " ( x ) 0 在函数定义
域内的全部实根， 用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第三步 确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的
x 1
lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x ( x 1)
lim[
x
2( x 2)( x 3) 2 x] x ( x 1)
符号，并由此确定函数
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变 化趋势; 第五步 描 出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形 .
三、作图举例 例 2 作函数 f ( x ) 解
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) lim 4, x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形.
第一步 确定函数 y f ( x ) 的定义域 ,对函数进行奇
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 2 x x x
得水平渐近线 y 2;
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )
0
拐点
0
间 断 点
26 ( 3, ) 9
极值点
3
补充点 : (1
A ( 1,2),
3,0),
B (1,6),
(1
( b 为常数)
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条:
y
, 2
y
. 2
3.斜渐近线
如果 或 lim [ f ( x ) ( ax b )] 0 ( a , b 为常数)
x x
lim [ f ( x ) ( ax b )] 0
x
( 2) lim
f ( x) a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) 求 f ( x) 的渐近线. x 1
D : ( ,1) (1,).
例1
解
lim f ( x ) ,
那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
lim
x
f ( x) a, x
lim[ f ( x ) ax] b.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x