人教版九年级上册数学 二次函数易错题(Word版 含答案)

人教版九年级上册数学

二次函数易错题（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

1

2

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.

【答案】（1）2

1

2

2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

1

2

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

1

2

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

2

1

222

2

2

b c

c

⎧

-⨯++

⎪

⎨

⎪=

⎩

＝

,

解得：12b c =⎧⎨=⎩

. ∴y=-12

x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

得12

x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，

x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩

得12

x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a

⋅=-=- 即x p•x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩

得x N =21

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.

设直线QG 的解析式为y kx m =+，

将点()2,2Q 代入y kx m =+

得22k m =+

22

m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩

得221=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4， 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

， 得12

x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a

∴⋅=-

= 即x D x E =4， 即（m-2）•（n-2）=4

∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.

2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）

【解析】

【分析】

（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．

【详解】

解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc +c 中，得93010

b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩

， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，

当x ＝0时，y ＝3，

∴点C 的坐标是（0，3），

把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx +b 1中，得11

303k b b +=⎧⎨=⎩， ∴1

13k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3；

（2）如图，连接BC ，

∵点D 是抛物线与x 轴的交点，

∴AD ＝BD ，

∴S △ABC ＝2S △ACD ，

∵S △ACP ＝2S △ACD ，

∴S △ACP ＝S △ABC ，此时，点P 与点B 重合，

即：P （﹣1，0），

过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣1①，