高阶谱及其在信号处理中的应用

第15卷第
1993年
1期
3月
铁道学报
J()IJR写入IJ()FTI万F(‘壬雀INARAll_WAYS(X一IFTYVol.15N0.1Mareh1993
高阶谱及其在信号处理中的应用‘
黄绣坤
f北方交通大学北京
近年来,高阶谱估计技术取得了新的进展,受到从事数字信号处理、系统辨识以及自动控
制等领域的科技工作者的极大重视,并在一些领域中得到应用。文中对高阶谱研究的发展历史
做简单的回顾,并对高阶谱特性及其在信号处理中的若干应用进行了叙述。
引言
功率谱分析和功率谱估计是数字信号处理中描述随机过程,或离散的确定性过程特征的
一种很有用的方法。谱分析的历史可追溯到占代由于电子计算机的迅速发展,从60年代中
期以后,现代谱沽汁〔功率谱估计)技术发展迅速,新的谱估计方法不断出现:如Burg最大嫡谱
估计、最小交又墒谱估计、自回归滑动平均模型法,即ARMA谱估计、CaPon的最小方差法、
Pisarenk(〕谱分解法、Prony复极点模型法以及洲年代发展起来的多信号分类(MUSIC)法、奇
异值分解(SVD)等方法以后又扩展到多维、多道和阵列信号处理,为先进的数字通信、雷达、
声纳、生物医学工程、地球物理、语言和图像系统的发展奠定了基础。但功率谱基本包含了二阶
统计量(自相关函数)的信息,不能检测相位信息。现代谱估计技术主要描述高斯过程。对于高
斯过程只要用均值和_l阶相关矩就可描述它的概率结构,所以用功率谱密度足以分析其频域
特性,但是很多实际过程,如海洋波、地震信一号、有些生物电信号、语音信号的非摩擦音以及社
会经济等领域中的一些时间序列.均呈现非高斯分布,或不是严格的高斯过程,在功率谱估计
中将这类信号都近似为高斯过程处理,其结果与真实情况有较大差别,也不能得到所有信息,
巨功率谱估计一般处理的是线性和最小相位过程·而实际中的过程并不总是线性和最小相位
的。_上述问题可用高阶统计量及其付里叶变换高阶谱来解决
高阶谱是高阶(指大于二阶)累积里的讨里叶变换。对于高阶谱的研究已有三十年历史。60
年代和70年代初主要是统汁学家在高阶谱方面做了不少理论研究,而在海洋学,地球物理,生
物医学等方面也有所应用.尤其是利用双谱(丁一阶潜)检测和描述过程的特征。由于高阶谱计算
量较大,结构较复杂.且物理意义不很明显,所以当时发展不很迅速口随着高速器件和高速计算
机及信号处理技术的不断发展,近五年来,高阶谱估计的理论和算法以及其应用的研究得到许
多从事信号处理的学者和科技人员的重视,有了很大发展。又由于高阶谱能检测功率谱所不能
检测到的一些信息·J巨高阶谱沾汁不需已知过程的分布性质,因此,高

阶谱估计技术有着广阔
的发展和应用前景
本文主要介绍高阶累积量和高阶谱的定义及高阶谱的4些特性.讨论双谱的一些性质以
仁文Jll”l年5月加「J收到价绣坤教代花交边气学信密科‘赞讲究所邮码1·助锐
,国家自然科份基金资助项「{铁道学报第15卷
及高阶谱在信号处理中的几种应用。对于高阶谱估计方法可参阅参考文献「1]、「8]。
2高阶累积t和高阶谱
2.1高阶矩和累积量
由概率论关于随机变量的数字特征的定义,随机变量x的k阶原点矩为
沉,一“〔X走〕一{一_X走,(了)d艾(1)
随机变量的特征函数为
,(田)一:〔砂一:一{一_,(工)e,一d工(2)
式(1)和式(2)中P(二)是随机变量x的概率密度函数。
由式(1)和式(2)可得到随机变量x的k阶原点矩与特征函数的关系为
m*一(一、)左
镖{
、一
e,一、一,)走丝二餐杀丝{。一。
(3)
(4)
C。称为随机变量x的k阶累积量。
由式(1)和式(4)可导出随机变量
Cl~m,
CZ一mZ一ml“
x的累积量和原点矩的关系为
C3~m3一3m,mZ+Zm,3
C4~m;一4mlm3一3从22+12ml“mZ一6m,‘
CS一ms一7从;m,一IOm3mZ+20跳3哪1“
+3omZ“ml一6omZ从13+24m,5
(5)
、||.||t之l卫.|es|!
当工为零均值的随机变量,即ml一:{二}一丁二_X,(￡)d二一。日寸,由式(5)可知,其一、二、
三阶累积量与其一、二、三阶原点矩相等,但高于三阶的累积量与相应阶的原点矩不等。
对于n个随机变量x,,x:,…,x,,其k阶联合累积量为
C*,,*:,·…*。一(一j)‘护In抓。1,。:,…,叭)彻l香一彻2汤2,…,如。庵·(6)气~气,”‘一气一。
式中k一k,十kZ+…+k。,尹(。,,。2,一。,)一E仁e,“,‘、+“:‘:+’~+“一,]是n个随机变量的联合特征
函数。
n个随机变量的联合k阶矩为
m*,.*2.…,*。一E[x,“,xZ‘2,…,x,‘·〕~(一,)‘护抓。,,。:,…,叭)知1‘,彻2乏2…知月走·(7)气~先一’~.气翁。
可以相应地得到n个随机变量的k阶联合累积量和k阶联合矩的关系。
对于实平稳序列{二,},t一1,2,…,n,其特征函数为
抓‘1,‘:,”‘,‘·)一E[ej‘、’tl+“ZxtZ十‘十“产扭’],零均值实平稳序列的相关矩和累积量的关系为第1期高阶谱及其在信号处理中的应用
m:(r)=c:(r)
斑3(r:,几)=c3(r;,几)
m‘(r;,几,r3)=e;(几,几,几)+c:(rl)c:(r3一rZ)+c:(几)c:(几一rl)十cZ(r3)e:(r2一rl)(8)
或
c:(r)=mZ(r)=R(r)
‘:(r:,几)一m:(rl,几)
c4(r1,r2,r3)=m‘(几,几,r3)一mZ(几)m:(几一r2)一m:(几)mZ(几一rz)一m:(r3)m:(几一rl)
(9)
式(8)和式(9)中:;,几,:3为序列中二不同时刻变量的时间间隔,或称“迟后”,::(r)、:3(rl,
几)、c;(几,几,r3)各表示随机序列的二、三、四阶累积量,m:(r)、m:(r,,几)、m。(rl,几,rs)各表示随
机序列的二、三、四阶相关矩,二阶矩m:(r)常用R(r)表示。
式(8)和式(9)表示,零均值实平稳序列的二、三阶累积量与其二

、三阶相关矩相等,但
其高于三阶的累积量与相应阶的相关矩不等。
2.2‘高阶谱及其特性
实平稳序列{xt}的k阶谱Q(aJ,,。:,…,叭一1)定义为k阶累积量C,(r,,rZ,…,介一:)的付里
叶变换,即
Q(、,、,…,、_1)一艺…艺。(rl,。,…,。_1).。xp卜j(。,rl+、。+.二,
rl=一co、一1~一co
+叱一i几一1)}(10)
式中Q(叭,叭,…,伙一;)一般是复数,Q(几,几,…,几一1)绝对可和是高阶谱存在的充分条件。
由式(10)可得功率谱表达式为:
eZ(、)一艺Q(rl).。xp(一户1。)一艺尺(。)·exp(一加,几)
cs(叭,叱)称为双谱或三阶谱,C.<叭,叭,叭)称为三谱或四阶谱,依此类推。
表示双谱。高阶谱也称为多谱。
高阶谱有下述几方面特性:
(1)高斯过程的概率结构是对称的,它的高阶累积量等于零,高阶谱也为零。
的高阶谱为非零时给出了它偏离正态过程程度的信息。
(11)
常用B(。,,叭)
因此,一过程
(2)高阶谱能保持非高斯参数信号的相位信息,输入为零均值非高斯白噪声(。(n)},具有
非零偏斜度,即E【。(n)〕~o,E【扩(n)〕笋。,通过线性系统后的输出双谱为
凡(。:,叭)~乙3H(叭)H(叭)H.(叭+叭)(12)
再(叭,吨)=杯。:)+袱叭)一抓。1+叭)(13)
式中儿为非高斯白噪声的非零偏斜度,再(叭,叱)为输出双谱的相位;抓动为传递函数的相
位;,是复共扼符号。
对于确定性非高斯信号(x(n)},其付里叶变换x(动~F{x(n)},则其双谱为
Bx(。1,叭)=x(叭)x(叭)x资(田1+叭)(14)
再(。.。:)=弧(。,)+件(叭)一乳(叭+叭)(15)铁道学报第15卷
式中沪二(。,。2)为{二:}的双谱相位;乳(。)为{x,乍的相位。
由式(13)和式(15)可知未知相位抓动或件(动可由相应的双谱相位确定。对应于式(12)
的功率谱则有
P,(。)一几ZH(田)H‘(田)(16)
式中,凡2是、。(n)}的功率,汽“一E[扩(n)]。对应于(14)的功率谱则有
凡(。)一Ix(。)}’一x(。)x’(。)(17)
式(16)、式(17)中抓动或外(动都等于。,即其相位信息是被抑制的。
由以上分析可见,对于输人序列是零均值非高斯过程的系统或非高斯确定性过程的相位
可用双谱恢复,如果过程的E仁x,(n)]~0,而四阶累积量是非零的,则也可在三谱域中恢复其
相位。
(3)高阶谱可用于检测和描述非线性系统。设{二(n)}通过一个非线性系统,x(n)表示为
x(,)一万,二exp,(。。,+、)
其中,{弧}是独立同分布随机变量,在臼,2司均匀分布。非线性系统模型通常用
描述。系统的输出可表示为
函数
h、:(i,,艺:)x,一,lx,一2+”’归艺卿?‘艺卿脚l一lz(。)一艺、:(:飞)x,一:十
11绍0
何N一1
十艺.“
M刀一1
艺*,,2
性N‘0
.
N(i,,12,…,‘N)了,一,,…x一N(18)
式中h,,:,…,N(i,,12,…,i矽是Volt~核。{Z(n))可写成下面形式
z{(n),一葱,(“〕(·,(19)
式中,(“(,)一艺刀,exp夕(、,+氏),
y‘2,(。)一艺乙e,e,expj〔(

、+、),+(氏十民)」,
y〔3)(刀)一岑岑革DOD,DleXPj〔(、十、+、),+(、+。十。)〕,等等。可见,当、:(刀)}
的高阶谱为非零时可识别该非线性系统。
在高阶谱中双谱的阶最低,它含有高阶谱的所有特性,但计算要比更高阶的简单,所以着
重讨论双谱的特性及其应用。
3双谱的一些性质
设{x(,)}为一零均值实平稳过程,其双谱的表示式为
。(。:,、)一乙艺R(r,,:2)exp〔一j(。l:,+。2几)〕
式中
性质
R(rl
rl~一因、二一的20)
R(:,,::)一E〔二(n)二(n+r,)二(邵+几)〕。{R(r,,:2)}是{x(n)}的三阶矩序列,有下面对称
,r:)~R(r:,r:)一R(一r:,r:一二2)一R(二工一几,一:2)一R(几一r,,一r,)一R(一才、,rZ一r,)
(21)第1期高阶谱及其在信号处理中的应用
由式(20)和式(21)可知,双谱有以下基本性质:
(1)双谱一般是复数,可由幅度和相位表示为
B(。1,。2)一}B(。,,。川exp妙。(。,.02)
(2)具有周期为2二的双周期,即B(。:,。:)=B(。,+2二,。2、2二)
(3)具有对称性
B(田,,田:)一B(。:,。1少=B‘(一。:,一田:)=B‘(一。1,一田:)一B(一。:一。:,田:)
二B(叭,一叭一。2)一B(因工,一田,一因2)一B(一。,一。:,勿;)
(22今
(23)
(24)
按式(23)和式(24),图1中阴影区域。:)o,
aJI)。:,aJI斗。2镇二的双谱值足以完整地表示
该过程所有双谱值。双谱还有以下一些特性:
〔l)高斯过程的双谱与其它高阶谱一样
为零。
(2)设{。(n)}是平稳非高斯过程,如其
E仁。(n)二一。,E「。(n)。(n+:)」一娜(:),
E[。(n)。(n+:1)。(n+::)]一那(:,,:2),则其
功率谱P(。)=Q;双谱B(。1,。2)=口。即功
率谱和双谱都是一常数,前者为一直线,后者
为一平面,都是平坦的,所以是非高斯白噪声
过程。
(3)线性相移信息的抑制。对于有线性位
移的二序列,其双谱相等。设有零均值实平稳
序列y(动一二(n一N)
其中,N为整常数,其三阶矩为
火火火
卜卜卜
R,(:,,:。)=E〔y(n)y(n,二,)y(n+:2)二一E[x(n一刀)x(n一N+:、)二(n一N+::)三
~R二(r,,:2),因此,B,(*,,。:)一B二(。:,。2)。以上说明双谱抑制了由于线性位移产生的相移信
息口
4高阶谱在信号处理中的几种应用
4.1二次或三次相位藕合的检测
有些实际过程由于二个谐波分量的相互作用,对二频率之和或差的频率点上的功率有所
贡献,这种情况是由于二次非线性引起某种相位关系,即上述频率点上的相位也是二频率的相
位之和或差,这种相位关系称为二次相位藕合。在某些应用中需要检测谐波相关点是否有相位
祸合的现象。由于功率谱抑制相位信息,不可能检测上述相位祸合,而只是在谐波相关点上呈
现峰值,但双谱能提供二次相位藕合的信息。设有过程
二,(n)一eos(穴;。十妈)+eos(又2,+处)+eos(几3,十叽)(25)
,2(n)一eos(几,,+叭)+eos(人2,+叽)+eos仁又3,+(仍十丹)」(26)

式中人3一几1+几2,即只,,几2,只3是谐波相关的,式‘25)中妈,强,妈是在[O,2司均匀分布的独立随
机变量,式(26)中只3是又;和久:的相位藕合的结果。易于证明,xl(n)和x:(n)有相等的功率谱,108铁道学报第15卷
即Pl(。)一P:(。),如图2(a)所示。但x,(n)的双谱B,(。1,。2)=O,xZ(n)的双谱BZ(。,,。:)共O,
如图2(b)所示。
P]‘似)
{
PZ丈田)
少只、又:又3又、又:又3
}B:了
井一一一分一幼
图2
在实际中也存在三个谐波相关成分的三次相位藕合,与二次相位藕合相似,可用三谱来检
测,即有三次相位祸合时,其三谱T(。,,。2,。。)半。,而非三次相位藕合时T(。,,。:,。3)一。。
在某些应用中,如心电图(EEG)数据分析、海洋学等离子体物理等过程有谐波相关成分相
位招合问题,同时相位藕合的检测也适用于解决某些谐波干扰问题。
4.2双谱对非最小相位系统的辨识
双谱保持了相位信息,故能用以辨识非最小相位系统或序列。设有一非高斯白噪声过程
{。(n)}分别通过最小相位,最大相位和混合相位系统,则其输出序列有相同的自相关序列和
功率谱密度,但其三阶矩序列和双谱不同,各种系统说明如下:
(l)最小相位系统传递函数为
H;(Z)=(1一aZ一’)(1一bZI)O其输出为Y(,,)一。(n)一(a+香)。(n一1)干。b。(n一2)(27)
(2)最大相位系统传递函数为H:(Z)一(1一aZ)(1一bZ),其输出为
YZ(n)一。(n)一(a十b)山(n+l)+以占田(n十2)(28)
(3)混合相位系统传递函数为H3(Z)一(l一aZ)(1一bZ一1),其输出为
Y3(n)-一a田(n+1)十(1+ab)。(儿)一腼(n一1)(29)
由式(27),式(28)和式(29)可得到
E[Yl(。)Yl(n+:)〕=E仁Y:(n)Yz(n+:)〕一艺仁Y3(n)Y3(n+:)」一R(r)
所以PTlll,(。)一Pm,、(。)=Pol二(。)(30)
而R二。(:,,::)祥R二、、(:,、rZ)节Rol二(r:,rZ)
因此Brnln(。1,。2)笋Bm。、(叭,。2)共Bnl、(。、,。。)(31)
式(30)和式(31)中,尸。。(动、尸m。、(。)和尸ml二(动分别表示最小、最大和混合相位系统的功率谱,第1期高阶谱及其在信号处理中的应用
召口山(。1,。2)、Bm。二(、,,。:)和B。:(。:,。:)分别表示最小、最大和混合相位系统的双谱。
上面性质可用于通信和地球物理中非最小相位系统的辨识川、「3〕。
4.3非最小相位信号恢复和解卷积
假设{x(n)}是输入为零均值、独立同分布非高斯白噪声过程{。(n)}(E「。3(n)」~户的线
性时不变系统的输出。x(n)应是输入。(n)和系统脉冲响应h(n)的卷积,可写成
式中
则有
或
{h*}为该系统的参数。且设
二(。)一艺、*。(。一*)
A(z)一艺、召一‘
B二(。1,。2)一月A(。1)A(。:)A‘(。1+。2)叮32)
Br(a,,,。2)一{B二(。,,。:)}exp妙,(。1,。2)(33)
{B二(。:,。川邵}A(。1川A(。2川A(aJI+。川(34)
沪二‘。,,aJ。)一外(。:)十卯,(。:)一外(。;+。:)(35)
我们首先恢复系统

传递函数的幅值和相位,相应地恢复系统参数{h*少,然后通过解卷积而
恢复输入过程{。(n)}。利用高阶谱或高阶统计量对非最小相位系统参数的识别并利用解卷积
恢复信号可用于数据通信,地球物理和其它有关领域川、川1,1。例如,在数据通信中,信道是非
最小相位系统,因此可基于高阶谱或高阶统计量实现不需训练的信道盲均衡川。在双谱域中进
行相位估计的BR,LR和人夕之’算法川、川中提出的在三谱域中恢复相位的算法都是用传统方法
(即付里叶变换形式)估计几(。1,。2)或T二(。,,。2,。3),由其中叭(。,,。。)或再(。,,。2,。。)计算
估值和(动。众所周知,用传统方法的估计量方差大,为改善估计效果需要大样本观测数据而
加大计算量,而可利用FFT算法提高计算速度。在双谱域内用ARMA模型产生幅值}A(。)}
和相位外(。),可减小估计量方差,并解决短序列信号问题。
参考文献[1]、[5]中引入了基于三阶统计量的复倒谱或微分倒谱恢复非最小相位信号辨
识非最小相位系统。早期非最小相位信号恢复是基于复倒谱或微分倒谱的同态滤波运算。这
些倒谱算法只有当输入是脉冲序列时有效,对于输入为随机过程的运算,不能得到满意的效
果。运用双谱的复倒谱或微分倒谱的算法的优点是:
1双谱可用于确定性和随机过程二种信号;o不需要相位展开算法;?不受混叠效应的影
响;?对于高斯噪声不灵敏。
关于非最小相位信号恢复的具体算法可参考有关文献。
4.4具有未知二相关观测噪声的信号的时延估计。
设有过程到达二传感器后接受信号的观测值为
劣(n)=S(刀)+。;(n)(36)
夕(n)~S(月一D〕十田2(n)(37)
式中{二(n)}和左y(n))为二传感器的接受信号;{S(n)}是未知的零均值非高斯平稳随机过
程,且有非零偏斜度,即E仁S‘(n)〕护O;{S(n一D)}是有时延D的{S(n)}信号;{。1(n)}和{。2
(n)}是未知观测噪声,是二个空间相关的高斯过程,对于{S(n)}是统计独立的。
由式(36)和式(37),{二(n))和{厂。)}的互相关序列可表示为
R二、一R,,(r一D)+R‘1:(r)一加一E仁。1(n)。:(n十:)」。
(38)
式中义R,,(m)}是信号的自相关序列;R勿12(r)110铁道学报第15卷
显然,当:一D时R二,有一峰值,这时的D就是信号时延的估值力。但由于凡1:也是未知
的,所以用一般的互相关方法难以实现上述时延估计,可用三阶矩序列得到时延D的估值。
由式(36)和式(37),{二(n)}的三阶自相关矩和其与{厂动}的三阶互相关矩函数可表示为
R二二二(::,::)一E〔二(n)x(n+:1)二(n+::)]一R。,(rl,:2)(39)
R,、(r,,:2)=E仁x(n)y(n十:、)二(n十::)」一R,,(:,一D,:2)(40)
式中尺,,(:j,r:)=E[S(n)S(n+:、)S(n+::)二
相应的双潜可表示为
B二二二(Z、·22)=Z吸R二二二〔r,,rZ){~召,(21.2:)(41)

B,丈(21,Z:)一Z{R,,r(:1.:川~B吃21.2:)Zf。(42)
式中z衍·}是Z变换符号。由式(41)和式(4幻可得
Z,一‘’一[B二,、(21,Z:)〕/[B。八Z,.2)](43)
式中21一广」,2:一尸-
对于力的计算方法有很多种,限于篇幅,本文不作详细介绍。
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