高阶谱及其在信号处理中的应用
现代信号处理第7章高阶谱分析-PPT文档资料24页
这两个信号的字相关序列为
c 2 x 1 (1 ) c 2 x 2 (1 ) 1 2 [c 1 1 ) o cs o 2 1 ( ) c s( o 3 1 )s ](
这两个信号的三阶累积量
c3x1(1,2)0
c3x2(1,2)1 4[co2s1(12)cos31 (12)]
cos11(22)cos312019
信号处理
19
高阶谱的估计方法
高阶累积量的若干数学性质（续）
04.10.2019
信号处理
15
线性非高斯过程的高阶谱
04.10.2019
信号处理
16
线性非高斯过程的高阶谱
04.10.2019
信号处理
17
线性非高斯过程高阶谱和低阶谱之间的关系
04.10.2019
信号处理
18
非线性过程的高阶谱
相位耦合问题
x 1 ( k ) A 1 c1 k o 1 ) s A 2 c (2 k o 2 ) s A 3 c (3 k o 3 ) s(
信号处理
7
累积量和矩的一个重要关系式
04.10.2019
信号处理
8
04.10.2019
信号处理
9
04.10.2019
信号处理
10
04.10.2019
信号处理
11
04.10.2019
信号处理
12
相干系数
04.10.2019
信号处理
13
高等数字信号处理第3章_高阶谱估计
3.1.2、累量的性质
常量乘积的线性
k
cum(1 x1 , , k x k ) i cum( x1 , , x k ) i 1
各随机变量的对称性
cum( x1 ,, xk ) cum( xi1 ,, xik )
若{x}和{y}统计独立,则
包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:
j
j 1,2,, k 1
Bx (1 , 2 )
高阶谱具有对称性(源于累量的对称性), 以双谱为例
Bx (2 , 1 ) Bx (1 2 , 2 )
Bx (1 ,1 2 ) Bx (1 2 , 1 )
当
k1 k 2 k n 1
时,
其n阶累量可记为:
cum( x1, x2 ,, xn ) cnx c1,1,,1
高阶矩与高阶累量的关係(M-C公式):
c1 m1
2 2
c2 m2 m
3 1
2 1
2 1
c3 m3 3m1m2 2m
c4 m4 3m 4m1m3 12m m2 6m
4 1
对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相 等,而
c4 m4 3m m4
2 2
3、平稳随机过程的累量
对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其 k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:
mkx ( 1 , 2 ,, k 1 ) E[ x(n) x(n 1 )x(n k 1 )]
高阶谱估计
从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)} 出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类 似,也可分为非参数法和参数法两大类。 3.2.1、非参数法谱估计 1、基本思路： 假定n<=0或n>=N+1范围内,样本值 x(n)=0, 由高阶谱的定义直接构造谱估计式。
高阶谱分析及其应用
虽然对这些脑电信号双谱结构的生理意义目 前尚无一致认识，但应用这种分析方法可发现更 多的隐藏在脑电信号中的信息，从而使我们可以 透过脑电信号更深人地了解大脑的功能。特别是 脑电信号三阶能量在双频域中各频段的分布上， 双谱分析可为我们了解大脑功能提供一条新的途 径。
此外高阶谱在从有色高斯测量噪声中提 取信号、非最小相位系统的参数辨识等涉及 信号处理方面还有着更为广
大部分生物信号是非高斯和非线性的信号，如脑 电信号等。 常规脑电图分析脑电信号的频率、波幅、相位、 对称性等信息，对于正常人，在闭目清醒状态下 显示以 α波段为主的脑电波；睁眼和积极思维α 节律衰减，显示以β节律为主要特征的脑电波； 过度换气时出现慢波节律。
应用高阶谱技术建立的双谱分析方法，则可 显示出常规脑电图无法显示的信息。如睁眼时脑 电信号双谱结构的双谱谱峰主要出现在θ 波段， 过度换气时出现在α 波段和θ 波段，尤其是在心 算时α 频率分量的有序性大大增强，起主导作用， 双谱谱峰基本集中在α波段。
Thanks
安德列· 柯尔莫哥洛夫是20世纪苏 联最杰出的数学家，也是20世纪世 界上为数极少的几个最有影响的数 学家之一。他的研究几乎遍及数学 的所有领域，做出许多开创性的贡 献。 Kolmogorov一开始并不是数学系的，他 17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的 文章，于是到了Moscow State University去 读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为 倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的 文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里， 要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正 确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需要 一个证明就行了，他的老师说是数学，于是 Kolmogorov开始了他数学的一生。
自相关法谱宽估计
自相关法谱宽估计引言：在信号处理领域，自相关法谱宽估计是一种常用的频率分析方法。
该方法可以通过分析信号的自相关函数来估计信号的频谱宽度，从而得到信号的频率信息。
本文将介绍自相关法谱宽估计的原理、方法以及应用领域。
一、原理自相关法谱宽估计是基于信号的自相关函数进行频谱分析的方法。
自相关函数表示的是信号与其自身在不同时刻的相似性程度。
通过计算信号与其自相似延迟版本之间的相关性，可以得到信号的自相关函数。
根据傅里叶变换的性质，自相关函数的傅里叶变换即为信号的频谱。
在进行自相关法谱宽估计时，我们需要先计算信号的自相关函数。
然后，通过对自相关函数进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱。
频谱宽度通常可以用主瓣的宽度来表示，主瓣宽度越宽，说明信号的频谱越宽。
二、方法自相关法谱宽估计有多种方法，其中比较常用的方法有三种：窗函数法、期望法和高阶谱估计法。
1.窗函数法：窗函数法是自相关法谱宽估计的最基本方法。
该方法通过对信号的自相关函数进行窗函数处理，从而得到频谱。
常用的窗函数包括矩形窗、汉明窗、哈宁窗等。
选择不同的窗函数可以得到不同的频谱分辨率和频谱平滑度。
2.期望法：期望法是一种利用自相关函数的期望值进行谱宽估计的方法。
通过计算自相关函数的二阶矩（方差），可以得到信号的频谱宽度。
该方法在功率谱估计中应用广泛，具有较好的性能。
3.高阶谱估计法：高阶谱估计法是自相关法谱宽估计的一种改进方法。
相比于传统的谱估计方法，高阶谱估计法利用了信号中的高阶统计信息，能够更准确地估计信号的频率特性。
常用的高阶谱估计方法包括二维谱、Yule-Walker谱估计等。
三、应用领域自相关法谱宽估计在许多领域中都有广泛的应用。
1.通信系统：在通信系统中，了解信号的频谱宽度对调制解调器设计和频谱分配具有重要意义。
自相关法谱宽估计可以用于评估信号的带宽需求，优化频谱资源分配，提高通信系统的性能。
2.雷达系统：雷达系统中，对目标的频谱特性进行准确估计可以提高雷达的目标识别和跟踪能力。
高阶统计量及在阵列信号处理中的应用
高阶统计量及在阵列信号处理中的应用作者：姚泽昊贾瑛卓来源：《电子技术与软件工程》2018年第02期摘要在阵列信号处理方面，通常采用传统MUSIC方法进行信号波达方向估计。
但是在处理非高斯信号时，信号中含有高斯色噪声，采用传统方法难以进行波达方向准确估计。
结合这一问题，本文对高阶统计量及在阵列信号处理中的应用问题展开了分析，发现采用高阶统计量可以有效解决非高斯信号处理问题。
【关键词】高阶统计量阵列信号处理高斯色噪声1 高阶统计量的概念分析对于概率密度f（x）来讲，随机变量x拥有两个特征函数，同时拥有k阶矩、k阶累量。
在随机过程中{x（n）}中，随机变量则拥有r阶矩、r阶累量。
所谓的高阶谱，则是将随机过程k阶累量（k-1）维傅里叶变换当成是随机过程的k阶谱。
在k阶谱定义上，之所以采用k阶累量，主要是由于其能避免高斯有色噪声印象，采用高阶矩容易受到高斯噪声影响。
其次，在独立统计的随机过程之和计算中，总累量为两个随机过程累量之和。
采用该种方法进行加性信号处理，可以轻松完成累量计算。
2 高阶统计量及在阵列信号处理中的应用2.1 阵列信号波达方向估计问题在阵列信号处理方面，需要完成远场信号波达方向估计，以完成信号空间谱估计。
在对波达方向进行估计时，可以采用两大类方法，即参数化方法和基于空间谱方法。
采用参数化方法，需搜索感兴趣参数。
比如采用极大似然法，就能进行参数搜索，以至于导致计算量不断增加。
采用空间谱分析方法，需完成由空间方位构成的谱函数构造，然后通过搜索谱峰完成信号波动方向检测。
2.2 基于四阶累积量的MUSIC方法在阵列信号处理上，过去通常假设噪声或信号服从高斯分布，所以只需要利用二阶统计量就能完成信号处理。
但在实际生活中，多数信号为非高斯分布，比如存在色噪声的非理想均匀线性阵列信号。
针对该类信号，还要采用基于四阶累积量的MUSIC方法，以达到抑制色噪声的目的。
采用该方法，可以借助四阶累积量实现阵列扩展，采用的方法与传统协方差MUSIC 方法相似，但是需要利用四阶累积量噪声子空间完成空间谱函数构造。
第六章-高阶谱分析
h(n)h(n m)h(n m2 )e j ( m11 m2 2 )
h(n m1 )e j1 ( n m1 ) h(n m2 )e j 2 ( n m2 ) h(n)e j (1 w2 ) n
m1 m2 n
H (1 ) H ( 2 ) H (1 2 ) H (1 ) H ( 2 ) H *(1 2 )
C • 这里： ， k 为 x 的 k 阶累量 j • 例：考察具有特殊地位的高阶随机变量x(m, 2 )的累量 解： 的概率密度函数 f (x)为 x
Ck
k
( k ) (0)
1 dk [ln (v)] v 0 j k dv k
f ( x)
1 2
e
1 ( xm)2 2 2
(1 , 1 ) (1 ) ( 2 ) (1 2 )
• 解：x1 (t ) 的频谱 X ( ) 是两个 的函数
1
1 X 1 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
由双谱定义式（确定序列）：
B x1 (1 , 2 ) X 1 (1 ) X 1 ( 2 ) X 1* (1 2 )
1
W0
W1 W2 0
• x2 (t ) 的频谱 X
( ) 为 1 X 2 ( ) A ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2， 0， 0
W2
W0
W0
W0
0
W0
W1
* Bx2 (1 , 2 ) X 2 (1 ) X 2 ( 2 ) X 2 (1 2 )
Bx ( w1 , w2 ) Bx ( w2 , w1 ) Bx ( w1 w2 , w2 ) Bx ( w1 w2 , w1 ) Bx ( w2 , w1 w2 ) Bx ( w1 , w1 w2 ) Bx ( w1 2 , w2 2 ) Bx ( w1 , w2 )
中科院课件--《现代信号处理的理论和方法》Chapter+2
mx I 随机信号x t 的k阶矩
cx I 随机信号x t 的k阶累积量
mx
Ip
符号集为I
的矩
p
cx
Ip
符号集为I
的累积量
p
❖ 矩与累积量之间的相互关系：
q
mx I E x1 , , xk cx I p qp1 I p I p1
ln 22
2
由于 ' 2, '' 2, k 0, k 3, 4,
可得高斯变量的各阶累积量为：
0
ckx 2
0
k 1 k 2 k 3, 4,
矩与累积量的转换关系
❖ 集合I={1,2,…,k}的无序、非空、无交连分割
令{ x1,…, xk}是k个随机变量组成的集合，其符号集为I={1,2,…,k}。
cum x1 , , xk cum xi1 , , xik i 1
,ik 是1, , k 的一个排列.
例: c3x m, n c3x n, m c3x n, m n c3x n m, m
c3x m n, n c3x m, n m
c3x m, n m cum x t , x t m, x t n m
第二章 高阶统计和高阶谱方法
❖ 2.1 矩与累积量 ❖ 2.2 矩与累积量的性质 ❖ 2.3 高阶谱 ❖ 2.4 非高斯信号与线性系统 ❖ 2.5 相位估计 ❖ 2.6 系统辨识
2.1 矩与累积量
❖ 引言 ❖ 高阶矩与高阶累积量的定义 ❖ 高斯信号的高阶矩与高阶累积量 ❖ 矩与累积量的转换关系
引言
ln
dk
0
jk
基于成分聚类的高阶奇异谱分析及在GNSS 监测序列分析中的应用
基于成分聚类的高阶奇异谱分析及在GNSS 监测序列分析中的应用翟长治;岳顺;李小奇【摘要】高阶奇异谱分析（HSSA）相对于奇异谱分析对不同延时、嵌入维数变化有较好的鲁棒性，在信号处理、工程等领域有着广泛应用。
针对高阶奇异谱分析应用中成分序列的选取凭经验过于主观的问题，在理论推导与分析的基础上，提出一种基于成分功率谱聚类的方法，并应用于实际GNSS监测序列的处理与分析，得到了具有明显以一天为周期的周期成分、趋势变化成分以及不规则变动成分，反映了不同因素造成的大桥索塔变形，为后续索塔变形的建模预报、安全评估提供了技术支撑，也说明方法的实用性。
%Higher Singular Spectrum Analysis (HSSA) has better robutness than singular spectrum analysis in the different delay ,and embedding dimension changes .HSSA has been used in wide range of applications such as signal processing ,engineering and other fields .For solving the problem of HSSA component sequences selected too subjectively ,a new method is proposed based on component of the power spectral clustering ,which is applied to the processing and analysis of the actual sequence of GNSS monitoring .The result has been obvious to one day for periodic components ,trends and changes in composition of irregular fluctuation component ,reflecting the bridge tower deformation caused by different factors .These works provide technical support for the following tower deformation modeling forecasts ,safety assessment and also approve the applicability of this method .【期刊名称】《测绘工程》【年(卷),期】2016(025)004【总页数】5页(P46-50)【关键词】高阶奇异谱;成分聚类;功率谱;GNSS监测序列【作者】翟长治;岳顺;李小奇【作者单位】武汉大学测绘学院，湖北武汉 430079;河海大学地球科学与工程学院，江苏南京 210098;上海勘测设计研究院有限公司，上海 200434【正文语种】中文【中图分类】O433.4随着计算机技术、对地观测技术，以及各种传感器技术的发展，自动化的、实时的监测技术己经成为了可能。
《高阶谱估计》课件
2
高阶谱估计在科学研究、工程应用和数据分析等 领域具有广泛的应用前景，对于推动相关领域的 发展和创新具有重要意义。
3
高阶谱估计的发展有助于提高信号处理和数据分 析的技术水平，为解决复杂问题提供更多有效的 手段和工具。
02
高阶谱估计的基本原理
高阶统计量的基本概念
高阶统计量
高阶统计量是描述信号或数据的 高阶统计特性的量，例如均值、 方差、偏度和峰度等。
对于非线性和非高斯信号的处理仍存在困难，算法的鲁棒性和稳定性也
有待提高。
对未来研究的展望和期待
算法改进和优化
未来研究可以进一步改进高阶谱估计的算法，提 高其准确性和计算效率。例如，开发更有效的优 化技术和迭代算法，以适应不同类型和复杂度的 信号处理需求。
跨学科合作
高阶谱估计涉及多个学科领域，如信号处理、统 计学、机器学习等。未来研究可以促进跨学科的 合作，借鉴其他领域的理论和方法，推动高阶谱 估计的发展。
高阶谱估计能够更好地描述信号中的非线性、非高斯、非平 稳等复杂特性，对于处理非线性系统、混沌信号、噪声消除 等应用具有重要意义。
高阶谱估计的应用场景
非线性系统辨识
高阶谱估计可以用于非线性系统的辨识和分析，通过对系 统输出的高阶统计特性进行建模和估计，实现对系统内部 结构和动态行为的深入理解。
混沌信号处理
交叉验证误差
将数据集分成训练集和测试集，通过多次重复验证来评估模型的泛化能力。
实验数据集和实验设置
数据集
使用真实世界的高阶谱数据集进行实验，如语音、音频、雷达等。
实验设置
设定不同的参数和条件，如信号长度、噪声水平、采样率等，以全面评估高阶谱估计的性能。
实验结果和分析
高阶谱分析chapter01
高阶谱分析Higher-Order Spectra Analysis第一章 绪论在过去的30多年中，由于系统理论、统计学、数值分析、计算机科学和集成电路技术等领域思想与方法的结合使信号处理特别是数字信号处理有了巨大的发展。
传统信号处理的主要特点是研究线性的（Linear）、因果的(Causal)、最小相位的(Minimum phase)、高斯分布的(Gaussian)、平稳的(Stationary)和整数维(Integer dimensional)的信号分析与综合。
现代信号处理的特点是注重研究非线性的(Non-linear)、非因果的(Non-causal)、非最小相位(Non-minimum phase)信号与系统，以及非高斯的(Non-Gaussian)、非平稳的(Non-stationary)和分形(Fractional)（非整数维）信号和非白色(Color)的加性(Additive)噪声。
信号处理的目的：处理有限个数据样本，并从中提取隐藏在这些数据中的重要信息。
研究途径：通常是通过研究和建立描述数据特性的数学模型（算法实现：软件和硬件）并应用于真实数据的处理。
图1-1 信号处理流程图评价信号处理技术（算法）考虑的主要因素包括：1．估计质量（quality of the estimate）2．计算复杂度（computational complexity）3．数据吞吐率（data throughput rate）4．实现成本（cost of implementation）5．有线字长效应（finite word-length effects）6．结构特性（structural properties）实际应用中，常需要在这些因素之间进行折中考虑。
1.1 功率谱（Power Spectrum ）功率谱密度（PSD: Power Spectrum Density ）是数字信号处理中的一种常用技术。
《高阶谱分析》课件
1
Wigner-Ville分布
2
Wigner-Ville分布是一种全局时频分析工具，
可以在时频域上提供信号的准确时频信息，
但对噪声敏感。
3
STFT的基本原理
短时傅里叶变换（STFT）是一种常用的时频 分析方法，ห้องสมุดไป่ตู้过分段将信号进行傅里叶变 换，可以获得信号的瞬时频率特性。
Cohen类分析
Cohen类分析是一类基于时频联合分析的方 法，通过采用平滑窗口和时频滤波器来对 信号进行时频分析。
联合高阶谱
1
三阶联合谱
三阶联合谱是一种将三个信号联合分析的高
四阶联合谱
2
阶谱分析方法，可以揭示信号之间的相互作 用和相关性。
四阶联合谱将四个信号联合分析，用于研究
相互作用更复杂的信号系统，提供更全面的
时频和相位信息。
应用案例
在通信中应用高阶谱分析
高阶谱分析在通信系统中可以用于 频谱感知、干扰检测和抗多径传输 等关键技术。
高阶谱密度
1 三阶谱密度
2 四阶谱密度
3 高维谱密度
三阶谱密度是高阶谱分析的 基础，能够反映信号的三阶 统计特性，并提供信号频谱 信息中的非线性成分。
四阶谱密度是比三阶谱密度 更高阶的谱分析方法，可以 更准确地描述信号的非高斯 特性和非线性成分。
高维谱密度是一种可以对信 号的多个频率和相位信息进 行联合分析的高阶谱分析方 法。
2 高阶谱分析在科学研究和实际应用中的重要性
通过高阶谱分析，我们可以深入研究信号的非线性特性和时频关系，从而推动科学研究 和实际应用的发展。
医学诊断中的应用
高阶谱分析可以应用于医学图像处 理和信号处理，辅助疾病检测、诊 断和治疗过程。
现代信号处理技术
DWTf DWT (m, n) 2m / 2 f (k ) (2m k n)
k
(11-27)
4 一维Mallat算法 ( x) ，满足尺度方程 设尺度函数为 ( x)，对应的小波函数为 ( x) h(n) (2 x n)
信号 f ( x)在尺度j下所平滑的信号 Ad 为 j f
2. Fourier分析的主要内容
从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism），它把一 个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构 原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。
图11-1 傅立叶变换与棱镜
二、小波分析的发展历程
1.小波分析起源与追踪 1981年，Morlet仔细研究了Gabor变换方法，对 Fourier变换与加窗Fourier变换的异同、特点及函数构 造做了创造性研究，首次提出了“小波分析”概念， 建立了以他的名字命名的Morlet小波。 2. 多分辨分析及Mallat算法的建立 Mallat与Meyer创立多分辨分析和Mallat算法。 3. Daubechies小波的提出 Daubechies建立了著名的Daubechies小波，这种小波是 目前应用最广泛的一种小波,不能用解析公式给出， 只能通过迭代方法产生，是迭代过程的极限。
二、短时傅立叶变换(Short Time Fourier
Transform , STFT )
我们将一个信号的STFT定义如下:
1 it (11-1) S ( , t ) e s( )h( t )d 2
其中h(t) 是窗函数. 沿时间轴移动分析窗, 我们可以得到 两维的时频平面。STFT 方法最大的优点是容易实现。 STFT 分析实质上是限制了时间窗长的Fourier分析. STFT只能选定一个固定的窗函数, 且STFT 分析受限于 不确定性原理, 较长的窗可以改善频域解但会使时域解 变糟; 而较短的窗尽管能得到好的时域解, 频域解却会变 得模糊。
现代信号处理第七章 高阶谱估计的参数方法
X k bi W k i
i 0
q
(7.4)
其中，q 为 MA 模型的阶数。系统辨识问题即从 X k 的三阶（或高阶）累积量估计参 数 bi , i 0,1,..., q， 或等效于系统的冲激响应， hk bk , k 0,..., q 且 hk 0, k q 时。 为了方便，设 b0 1 。
x 有 c2 ( ) c2y ( ) ， 0 和 c3x 1 , 2 c3y 1 , 2 ， 1 0 或 2 0 。
(7.17)式中置 m=q，用 Y k 的累积量代替 X k 的累积量，并利用对称性质
c3y 1 , 2 c3y 1 , 2 1
c3y m q, m q c3y q m, q m
b2 k b k q m b q m b2 m b q
k 1
m 1
3w
b k b2 k q m b2 q m b m b2 q
103
更新日期 2010 年 5 月 1 日
研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析
课程编号：0211007（博）0221023（硕）
西安电子科技大学
c3y , E Y k Y k Y k 3w b i b i b i
x c2 E X k X k 2w b k b k k 0
q
(7.14)
其 Z 变换为
w C2x z 2 B z B z 1
(7.15)
合并(7.13.1)和(7.15)式，得
《高阶谱估计》课件
高阶谱估计可以在无线通信、雷达信号处理和声音信号处理等多个领域得到广泛应用。
3 面临挑战和局限
高阶谱估计的计算复杂度较高，且对信号长度和干扰敏感，需要综合考虑使用。
ESPRIT算法是一种基于信号子 空间的高阶谱估计方法，适用 于多传感器阵列信号处理。
高阶谱估计的应用领域
1 无线通信
高阶谱估计可以用于信号的频谱分析和信道估计，提高无线通信系统的性能。
2 雷达信号处理
高阶谱估计能够应用于雷达信号的目标检测、目标识别和目标定位。
3 声音信号处理
高阶谱估计可用于语音信号的音频增强、回声消除和音频指纹识别。
高阶谱估计在信号处理中的作用
1 信号特征分析
高阶谱估计可以帮助分 析信号的频谱特征，例 如谱线的宽度、形状和 分布。
2 信号分类和识别
3 信号处理算法
通过高阶谱估计，可以 提取信号的独特特征， 实现信号的分类和识别。
高阶谱估计作为信号处 理算法的一部分，可以 提高算法的精度和性能。
高阶谱估计的挑战和局限
1 计算复杂度
高阶谱估计算法的计算复杂度较高，需要耗费大量的计算资源。
2 信号长度
对于信号长度较短或采样率较低的情况，高阶谱估计的精度可能会受到限制。
3 干扰问题
高阶谱估计对于噪声和干扰的抑制能力相对较弱，需要额外的处理方法来提高估计精度。
结论和要点
1 高阶谱估计是一种强大的信号处理工具
高阶谱估计可以提供更丰富的频谱信息和更高的频谱分辨率。
为了实现高阶谱估计，需要使用复杂的算法和计算过程，如MUSIC算法和Capon方法。
常用的高阶谱估计方法
MUSIC算法
MUSIC算法是一种基于特征值 分解的高阶谱估计方法，能够 提取信号的频率和角度信息。
第3章高阶谱估计
3、确定性信号的高阶谱
第
三 章
X
(k)
N
1
x(n)e
i
2 N
nk
0 k N 1
n0
高 阶 谱 估 计
Px (k)
章 以双谱为例
高 Bx (1,2 ) 阶 Bx (2 ,1 ) Bx (1 2 ,2 )
谱 估
Bx (1,1 2 ) Bx (1 2 ,1 )
计 Bx (2 ,1 2 )
此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即
2019/8/30
k
xk
)
k
i 1
i
cum(
x1
,,
xk
)
谱
估 各随机变量的对称性
计
cum(x1,, xk ) cum(xi1 ,, xik )
17 2019/8/30
累量的性质
第
三 章
若{x}和{y}统计独立,则
cum(x1 y1,, xk yk )
高 阶
cum(x1,, xk ) cum( y1,, yk )
Bx
(1 , 2
)
B
x
(, 2
)
28
第
三
所以,双谱共有12个对称区域(如图所示)
章
高 阶 谱 估 计
29 2019/8/30
综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区 域为:
第 三
章 2 0,1 2 ,1 2
高 阶 谱 估 计
30 2019/8/30
3 2019/8/30
高斯分布的随机变量特征函数
第
现代信号课件第7章高阶谱分析
高阶谱分析能够揭示图像中的更多细 节和结构信息，有助于图像的增强和 超分辨率重建。
高阶谱分析能够提供图像的更多特征 信息，有助于图像的分类和识别。
图像去噪
高阶谱分析能够更好地揭示图像中的 噪声模式，有助于图像的去噪和滤波 。
04
CATALOGUE
高阶谱分析的未来发展
高阶谱分析的挑战与机遇
挑战
高阶谱分析在理论和应用方面仍面临 一些挑战，如高阶统计量的计算、高 阶谱估计的稳定性问题等。
高阶谱的性质
高阶谱具有非线性和非高斯性， 能够更好地描述信号的复杂性和
不确定性。
高阶谱具有时频局部化特性，能 够提供更准确的信号频率和时间
信息。
高阶谱具有抗噪声性能，能够更 好地提取信号中的有用信息。
高阶谱的应用场景
01
02
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04
在通信领域，高阶谱分析可用 于信号调制解调、信道估计和
均衡等方面。
在雷达系统中的应用
目标识别
高阶谱分析能够提供目标散射特 性的更多信息，有助于雷达系统
中的目标识别。
杂波抑制
高阶谱分析能够揭示杂波中的模式 ，有助于雷达系统中的杂波抑制。
运动目标检测
高阶谱分析能够更好地揭示运动目 标的动态特性，有助于雷达系统中 的运动目标检测。
在图像处理中的应用
图像增强
图像分类与识别
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CATALOGUE
高阶谱分析的应用
在通信系统中的应用
信号检测与估计
高阶谱分析能够提供信号 的更多信息，有助于提高 通信系统中的信号检测和 参数估计的准确性。
调制识别
利用高阶谱分析可以识别 不同调制方式的信号，有 助于通信系统的自动解调 。
谱方法和高精度算法及其应用
谱方法和高精度算法及其应用"谱方法"通常指的是一类数学和计算方法，其中特别是涉及到信号处理、图像处理和数据分析等领域。
谱方法可以用于分析信号或数据的频域特征，包括频谱分析、傅里叶变换等。
"高精度算法"则通常是指那些具有较高计算精度和稳定性的算法。
在数值计算领域，有时候需要高精度的计算来确保结果的准确性，尤其是在涉及到科学计算、数值模拟、和一些特殊工程问题时。
以下是这两个概念的一些应用示例：1. 谱方法的应用：a. 信号处理：•频谱分析：用于分析信号在频域上的特性，例如声音、光学信号等。
•滤波：通过谱方法可以设计各种类型的滤波器，用于去噪或者提取特定频率的信号。
b. 图像处理：•傅里叶变换：用于将图像从空间域转换到频域，以便进行各种处理。
•频域滤波：通过谱方法可以对图像进行频域滤波，例如去除噪声或者增强特定频率成分。
c. 数据分析：•谱聚类：通过谱方法对数据进行聚类，尤其在图数据上的谱聚类应用较多。
•主成分分析（PCA）： PCA 也可以通过谱方法解释，它是一种常见的降维技术。
2. 高精度算法的应用：a. 科学计算：•数值模拟：在物理、化学和工程领域的数值模拟中，需要高精度的计算来获得准确的结果。
•微分方程求解：在许多科学和工程问题中，微分方程的高精度求解是至关重要的。
b. 金融计算：•风险管理：在金融领域，高精度计算用于风险管理、期权定价等。
•数值优化：在投资组合优化等问题中，需要高精度的数值优化算法。
c. 密码学：•加密算法：一些加密算法要求高精度的计算，以确保信息的安全性。
这些应用示例只是其中的一小部分，实际上，谱方法和高精度算法在科学研究和工程领域有着广泛的应用。
具体的应用取决于问题的性质和需求。
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(22今
(23)
(24)
按式(23)和式(24),图1中阴影区域。:)o,
aJI)。:,aJI斗。2镇二的双谱值足以完整地表示
该过程所有双谱值。双谱还
式(8)和式(9)表示,零均值实平稳序列的二、三阶累积量与其二、三阶相关矩相等,但
其高于三阶的累积量与相应阶的相关矩不等。
2.2‘高阶谱及其特性
实平稳序列{xt}的k阶谱Q(aJ,,。:,…,叭一1)定义为k阶累积量C,(r,,rZ,…,介一:)的付里
叶变换,即
Q(、,、,…,、_1)一艺…艺。(rl,。,…,。_1).。xp卜j(。,rl+、。+.二,
息口
4高阶谱在信号处理中的几种应用
R(:,,::)一E〔二(n)二(n+r,)二(邵+几)〕。{R(r,,:2)}是{x(n)}的三阶矩序列,有下面对称
,r:)~R(r:,r:)一R(一r:,r:一二2)一R(二工一几,一:2)一R(几一r,,一r,)一R(一才、,rZ一r,)
(21)第1期高阶谱及其在信号处理中的应用
由式(20)和式(21)可知,双谱有以下基本性质:
期以后,现代谱沽汁〔功率谱估计)技术发展迅速,新的谱估计方法不断出现:如Burg最大嫡谱
估计、最小交又墒谱估计、自回归滑动平均模型法,即ARMA谱估计、CaPon的最小方差法、
Pisarenk(〕谱分解法、Prony复极点模型法以及洲年代发展起来的多信号分类(MUSIC)法、奇
异值分解(SVD)等方法以后又扩展到多维、多道和阵列信号处理,为先进的数字通信、雷达、
对于确定性非高斯信号(x(n)},其付里叶变换x(动~F{x(n)},则其双谱为
Bx(。1,叭)=x(叭)x(叭)x资(田1+叭)(14)
再(。.。:)=弧(。,)+件(叭)一乳(叭+叭)(15)铁道学报第15卷
式中沪二(。,。2)为{二:}的双谱相位;乳(。)为{x,乍的相位。
由式(13)和式(15)可知未知相位抓动或件(动可由相应的双谱相位确定。对应于式(12)
可以相应地得到n个随机变量的k阶联合累积量和k阶联合矩的关系。
对于实平稳序列{二,},t一1,2,…,n,其特征函数为
抓‘1,‘:,”‘,‘·)一E[ej‘、’tl+“ZxtZ十‘十“产扭’],零均值实平稳序列的相关矩和累积量的关系为第1期高阶谱及其在信号处理中的应用
m:(r)=c:(r)
斑3(r:,几)=c3(r;,几)
会经济等领域中的一些时间序列.均呈现非高斯分布,或不是严格的高斯过程,在功率谱估计
中将这类信号都近似为高斯过程处理,其结果与真实情况有较大差别,也不能得到所有信息,
巨功率谱估计一般处理的是线性和最小相位过程·而实际中的过程并不总是线性和最小相位
的。_上述问题可用高阶统计量及其付里叶变换高阶谱来解决
(3)
(4)
C。称为随机变量x的k阶累积量。
由式(1)和式(4)可导出随机变量
Cl~m,
CZ一mZ一ml“
x的累积量和原点矩的关系为
C3~m3一3m,mZ+Zm,3
C4~m;一4mlm3一3从22+12ml“mZ一6m,‘
CS一ms一7从;m,一IOm3mZ+20跳3哪1“
+3omZ“ml一6omZ从13+24m,5
z{(n),一葱,(“〕(·,(19)
式中,(“(,)一艺刀,exp夕(、,+氏),
y‘2,(。)一艺乙e,e,expj〔(、+、),+(氏十民)」,
y〔3)(刀)一岑岑革DOD,DleXPj〔(、十、+、),+(、+。十。)〕,等等。可见,当、:(刀)}
的高阶谱为非零时可识别该非线性系统。
在高阶谱中双谱的阶最低,它含有高阶谱的所有特性,但计算要比更高阶的简单,所以着
重讨论双谱的特性及其应用。
3双谱的一些性质
设{x(,)}为一零均值实平稳过程,其双谱的表示式为
。(。:,、)一乙艺R(r,,:2)exp〔一j(。l:,+。2几)〕
式中
性质
R(rl
rl~一因、二一的20)
过程。
(3)线性相移信息的抑制。对于有线性位
移的二序列,其双谱相等。设有零均值实平稳
序列y(动一二(n一N)
其中,N为整常数,其三阶矩为
火火火
卜卜卜
R,(:,,:。)=E〔y(n)y(n,二,)y(n+:2)二一E[x(n一刀)x(n一N+:、)二(n一N+::)三
~R二(r,,:2),因此,B,(*,,。:)一B二(。:,。2)。以上说明双谱抑制了由于线性位移产生的相移信
机及信号处理技术的不断发展,近五年来,高阶谱估计的理论和算法以及其应用的研究得到许
多从事信号处理的学者和科技人员的重视,有了很大发展。又由于高阶谱能检测功率谱所不能
检测到的一些信息·J巨高阶谱沾汁不需已知过程的分布性质,因此,高阶谱估计技术有着广阔
的发展和应用前景
本文主要介绍高阶累积量和高阶谱的定义及高阶谱的4些特性.讨论双谱的一些性质以
表示双谱。高阶谱也称为多谱。
高阶谱有下述几方面特性:
(1)高斯过程的概率结构是对称的,它的高阶累积量等于零,高阶谱也为零。
的高阶谱为非零时给出了它偏离正态过程程度的信息。
(11)
常用B(。,,叭)
因此,一过程
(2)高阶谱能保持非高斯参数信号的相位信息,输入为零均值非高斯白噪声(。(n)},具有
高阶谱是高阶(指大于二阶)累积里的讨里叶变换。对于高阶谱的研究已有三十年历史。60
年代和70年代初主要是统汁学家在高阶谱方面做了不少理论研究,而在海洋学,地球物理,生
物医学等方面也有所应用.尤其是利用双谱(丁一阶潜)检测和描述过程的特征。由于高阶谱计算
量较大,结构较复杂.且物理意义不很明显,所以当时发展不很迅速口随着高速器件和高速计算
(5)
、||.||t之l卫.|es|!
当工为零均值的随机变量,即ml一:{二}一丁二_X,(￡)d二一。日寸,由式(5)可知,其一、二、
三阶累积量与其一、二、三阶原点矩相等,但高于三阶的累积量与相应阶的原点矩不等。
对于n个随机变量x,,x:,…,x,,其k阶联合累积量为
C*,,*:,·…*。一(一j)‘护In抓。1,。:,…,叭)彻l香一彻2汤2,…,如。庵·(6)气~气,”‘一气一。
式中k一k,十kZ+…+k。,尹(。,,。2,一。,)一E仁e,“,‘、+“:‘:+’~+“一,]是n个随机变量的联合特征
函数。
n个随机变量的联合k阶矩为
m*,.*2.…,*。一E[x,“,xZ‘2,…,x,‘·〕~(一,)‘护抓。,,。:,…,叭)知1‘,彻2乏2…知月走·(7)气~先一’~.气翁。
仁文Jll”l年5月加「J收到价绣坤教代花交边气学信密科‘赞讲究所邮码1·助锐
,国家自然科份基金资助项「{铁道学报第15卷
及高阶谱在信号处理中的几种应用。对于高阶谱估计方法可参阅参考文献「1]、「8]。
2高阶累积t和高阶谱
2.1高阶矩和累积量
由概率论关于随机变量的数字特征的定义,随机变量x的k阶原点矩为
(9)
式(8)和式(9)中:;,几,:3为序列中二不同时刻变量的时间间隔,或称“迟后”,::(r)、:3(rl,
几)、c;(几,几,r3)各表示随机序列的二、三、四阶累积量,m:(r)、m:(r,,几)、m。(rl,几,rs)各表示随
机序列的二、三、四阶相关矩,二阶矩m:(r)常用R(r)表示。
第15卷第
1993年
1期
3月
铁道学报
J()IJR写入IJ()FTI万F(‘壬雀INARAll_WAYS(X一IFTYVol.15N0.1Mareh1993
高阶谱及其在信号处理中的应用‘
黄绣坤
f北方交通大学北京
近年来,高阶谱估计技术取得了新的进展,受到从事数字信号处理、系统辨识以及自动控
声纳、生物医学工程、地球物理、语言和图像系统的发展奠定了基础。但功率谱基本包含了二阶
统计量(自相关函数)的信息,不能检测相位信息。现代谱估计技术主要描述高斯过程。对于高
斯过程只要用均值和_l阶相关矩就可描述它的概率结构,所以用功率谱密度足以分析其频域
特性,但是很多实际过程,如海洋波、地震信一号、有些生物电信号、语音信号的非摩擦音以及社
可用双谱恢复,如果过程的E仁x,(n)]~0,而四阶累积量是非零的,则也可在三谱域中恢复其
相位。
(3)高阶谱可用于检测和描述非线性系统。设{二(n)}通过一个非线性系统,x(n)表示为
x(,)一万,二exp,(。。,+、)
其中,{弧}是独立同分布随机变量,在臼,2司均匀分布。非线性系统模型通常用
非零偏斜度,即E【。(n)〕~o,E【扩(n)〕笋。,通过线性系统后的输出双谱为
凡(。:,叭)~乙3H(叭)H(叭)H.(叭+叭)(12)
再(叭,吨)=杯。:)+袱叭)一抓。1+叭)(13)
式中儿为非高斯白噪声的非零偏斜度,再(叭,叱)为输出双谱的相位;抓动为传递函数的相
位;,是复共扼符号。
rl=一co、一1~一co
+叱一i几一1)}(10)
式中Q(叭,叭,…,伙一;)一般是复数,Q(几,几,…,几一1)绝对可和是高阶谱存在的充分条件。