状态空间分析法
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法资料
zn an1zn1 a1z a0z u
y n1zn1 1z 0z
(2-17)
定义如下一组状态变量
x1 z，x2 z， ，x0 zn1
(2-18)
可得状态方程
x1 x2
x2 x3
xn a0z a1z
它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方 程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。
状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一 些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方 程在状态变量图中形成和引出。
例2-1的状态变量图见图2-3，图中s 为拉普拉斯算子。
图2-3 状态变量图
x2
x3
a2
y
2u
yn2
an1 yn3
un3
n2
an2
yn4
n2un4
a2 y 2u
x1 x2 a1 y 1u yn1 an1yn2 n1un2 an2 yn3 n2un3 a1 y 1u
考虑式(2-11)可得
x1 a0 y 0u a0xn 0u
故有状态方程：
x1 a0xn 0u
线性定常连续系统的动态方程的形式： ➢ 一般形式
x Ax Bu，y Cx Du
➢ 典型形式
一 物理系统动态方程的建立
实际物理系统动态方程的建立的原则： ➢根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程； ➢选择可以量测的物理量作为状态变量。
例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x、加
1
b 2
n1
x1
x2
x x3
xn
c 0
状态空间分析与设计
状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。
它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。
本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。
一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。
在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。
因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。
二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。
它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。
状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。
三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。
对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。
通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。
2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。
包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。
通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。
3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。
常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。
这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。
四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。
例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。
状态空间分析方法
状态空间分析方法一、模型的建立则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=02110010v F m cm x x m cmR x，,ma f =∑ ()y m ky c y v F =--+0则，即：0cv F ky y c ym +=++ 令y x y x ==21,，则⎪⎩⎪⎨⎧++--===m cv m Fm cx m kx y x x x021221，如对()()u b y a ya y a y n n n n 1111...=++++-- ，令()121,...,-===n n y x y x y x 则11121113221x y u b x a x a x a x x x x x x xn n n n n n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+----====--输出方程：，或[]xy u b x a a ax n n 0010001001000010111=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-例1：由传递函数来求()()()()()s U s Q s U s Y a s a sa sb s b sb sb s G nn n n mm m m⋅=++++++++=----1111110 ，则 ()()nn n na s a sa s s U s Q ++++=--1111，()()m m mb s b sb s U s Y +++=-10()()[]()s Q a s a sa s U s Q s n n n n++-=--111则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----====--n n n n n n x a x a x a u xx x x x x x 121113221，即 []xb b b y u x a a axm m n n 00100010010000100111--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=例2：()()()()35222112167201742232+++++-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G ，有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=321332221152322x x x y u x x u x x x x x 即：[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 512110300020012 可见-2为重根，则此为约当标准型。
第九章_状态空间分析方法
第九章状态空间分析方法第9章状态空间分析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。
两者作一简单比较。
经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。
主要在复数设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。
基本要求①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。
②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。
熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。
③正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。
④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。
⑤熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统化为可控标准形。
能将不可控系统进行可控性分解。
⑥正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。
⑦正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。
熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。
⑧正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
⑨熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。
11正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
第三章 状态空间分析法
状态向量——将几个状态变量看作是向量Z(t)的各个分量，
Z(t)就叫做状态变量。
状态空间——由x1轴，x2轴, ……，xn轴所组成的n维空间叫做
状态空间，任意状态则为其中一个点。 例： R v (t ) L i (t )
di 量矩阵方程表示： L + Ri + Vc = V dt dvc vc (t ) C =i dt . − R − 1 1 L i i = L . V + L [V ] 1 0 c 0 vc C
y ɺyɺ + 6 ɺɺ + 11y + 6 y = 6u ɺ ɺ
1 S = λ1 2 λ1
0 1 λ3 1 2 2λ1 λ3
例： 解：
Y (s) 6 6 = 3 = 2 U ( s ) s + 6 s + 11s + 6 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) 3 −6 3 = + + s +1 s + 2 s + 3
式中：
β 0 = b0 β1 = b1 − a1 β 0 β 2 = b2 − a1 β1 − a2 β 0 β 3 = b3 − a1 β 2 − a2 β1 − a3 β 0 ⋯⋯ β n = bn − a1 β n −1 − ⋯ − an −1 β1 − an β 0
就能保证状态方程解的存在性和唯一性。 由上述可得：
ɺ x1 0 x 0 ɺ 2 ⋮ = ⋮ x 0 ɺ n −1 x n − a n ɺ
1 0 ⋮ 0 − a n −1
现代控制理论基础 第7章 状态空间分析法在工程中的应用
h2
特征多项式
1 0
0 1
1
w
0
u
h02 h1 h0h1 h2
y
11 0 1 h0h2 11h1
h0
x1
w
h1
y
h2
I (A11 hA21) 3 h02 (11 h1) (11h0 h2 )
期望极点-3, -2+j, -2-j;期望特征方程
g0 9, g1 42, g2 148, g3 492
状态反馈
12
五、降维观测器设计
由于小车位移z可测，无需估计，可用降维观测器进行设计。重新排列系统状 态变量次序，把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开，则状态方程 和输出方程为
d dt
•
z
•
--z--
0 1 0 0
第七章 状态空间分析法在工程中的应用
第一节 单倒置摆系统的状态空间设计 第二节 大型桥式吊车行车系统的状态空间设计 第三节 液压伺服电机最优控制系统
1
线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空 间综合方法，也就是状态反馈与状态观测器的相关理论 与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析 方法的具体应用。
3
若不给小车施加控制力，是一个不稳定系统。 控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直
流电动机使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
4
一、倒置摆的状态空间描述
根据牛顿定律
M d 2z m d 2 (z l sin ) u
dt 2
dt 2
由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有
(6-3) (6-4)
联立求解
..
状态空间分析法的特点及其应用
状态空间分析法的主要特点及其应用1.引言60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。
在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。
这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。
利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题，显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。
2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。
一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。
若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。
因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。
而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。
状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。
自动控制原理课件8状态空间分析法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
控制系统的状态空间分析方法
控制系统的状态空间分析方法控制系统是指将输入信号进行处理，通过执行特定的控制算法，使系统输出信号满足特定要求的系统。
控制系统有多种形式，例如电子系统、机械系统、化学系统、热系统等等。
控制系统的设计和分析是一个复杂的过程，需要考虑多个因素，包括系统动态响应、稳定性、鲁棒性、控制器的性能指标等等。
控制系统的状态空间表示是一种广泛应用的分析方法。
状态空间表示是将系统的状态和状态方程用矩阵和向量的形式表示出来。
状态方程是一组描述系统动态响应的微分方程或差分方程。
状态空间表示可以描述线性系统和非线性系统。
对于线性系统，状态空间表示为：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是状态向量，表示系统的内部状态，u是输入向量，表示外部输入，y是输出向量，表示系统响应，A、B、C、D是矩阵，分别表示状态方程中的系数。
状态空间表示的优点在于它可以提供系统的完整信息，包括系统的结构和动态特性。
通过状态空间表示可以计算系统的传递函数、频率响应、控制器设计等等。
状态空间表示的另一个优点在于它可以用于多变量控制和非线性控制。
在多变量控制中，状态空间表示可以直接描述多变量系统的动态特性和相互关系。
在非线性控制中，状态空间表示可以近似描述非线性系统的动态行为，从而进行控制器设计。
状态空间分析方法是指基于状态空间表示进行系统分析的方法。
常见的状态空间分析方法包括状态转移矩阵法、观测矩阵法、极点配置法、模型匹配法等等。
状态转移矩阵法是指根据系统的状态方程，计算系统状态随时间的演变。
状态转移矩阵可以用于计算系统的传递函数、频率响应等等。
观测矩阵法是指根据系统的状态方程和输出方程，计算系统的状态和输出之间的关系。
观测矩阵可以用于设计状态反馈控制器和观测器。
极点配置法是指根据系统的状态方程和性能指标，设计状态反馈控制器，使系统的极点满足指定的要求。
极点配置法可以用于设计稳定控制器和提高系统的性能指标。
模型匹配法是指通过拟合实验数据或理论模型，确定系统的状态方程和性能指标。
状态空间分析法
第二章状态空间分析法2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。
设系统有n个状态变量x1，x2，…，x n，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，x n为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X = (x1，x2，…，xn)TX称作系统的状态向量。
设系统的控制输入为：u1，u2，...，u r，它们也是时间t的函数。
记：U = (u1，u2，...，ur)T那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。
………………………………………………………………（2－1）其中F = (f1，f2，...，f n)T是一个函数矢量。
设系统的输出变量为y1，y2，...，y m，则Y = (y1，y2，...，y m)T 称为系统的输出向量。
表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。
…………………………………………………………. (2－2)其中G = (g1，g2，...，g m)T是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙线性定常(时不变)系统（LTI-Linear Time Invariant）；∙线性不定常(时变)系统；∙非线性定常系统；∙非线性时变系统。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。
这时，系统的动态方程可以表示如下：…………….（2－3）………………（2－4）写成矢量形式为：……………………………………………………………………………（2－5）上式中，A nxn称为系统矩阵，B nxr称为输入(或控制)矩阵。
自动控制原理课件8状态空间分析法
状态方程描述了自动控制系统中各个元件之间的动态关系。
系统转换
通过将系统转换成状态空间形式，我们可以更好地描述和理解系统的行为。
状态矩阵与控制矩阵
状态矩阵和控制矩阵是描述系统状态和输入的重要工具。
系统传递函数
1 概念
传递函数表示系统的输入 和输出之间的关系。
2 输入输出方程
通过传递函数，我们可以 分析系统的稳定性和响应 特性。
自动控制原理课件8状态 空间分析法
在本课件中，我们将学习状态空间分析法在自动控制中的应用。通过简洁而 生动的文本和精美的图片，我们将探索这一方法的定义、优势以及设计过程。
引言
状态空间分析法是一种用于自动控制系统设计和分析的方法。它与传统的频 域和时域分析方法相比，具有更直观和全面的特点。
系统状态方程
总结与展望
1 优缺点
我们将总结状态空间分析法的优点和不足之 处。
2 未来发展方向
我们将探讨状态空间分析法未来的发展方向 和应用领域。
参考文献
在本课件中，我们引用了一些重要的参考文基于极点配置的控制器设计方法 可帮助我们实现期望的系统响应。
使用最优控制方法设计控制器可 以提高系统的性能。
实例分析
线性系统表示
我们将以一个实际的线性系统为例，展示如何进行状态空间分析。
控制器设计算法
我们将运用控制器设计算法，设计出最佳的控制器。
仿真实验结果展示
通过仿真实验，我们将验证设计的控制器的性能和稳定性。
3 稳定性分析
稳定性分析方法帮助我们 确定系统的稳定性。
状态转移矩阵
1
线性时不变系统
状态转移矩阵可以用于描述线性时不变
性质
2
系统的状态演变。
状态空间分析法
状态空间分析法一、内容概要《状态空间分析法》是一篇介绍状态空间理论及其应用的分析文章。
本文首先简要概述状态空间分析法的概念及其相关领域的研究背景。
接着阐述状态空间分析法的理论基础，包括其基本原理、数学工具以及相关技术的理论基础。
然后介绍状态空间分析法在不同领域中的应用实例，包括物理系统、控制系统、信号处理、通信系统等领域的应用情况。
文章还将探讨状态空间分析法的优势与局限性，以及未来可能的发展方向和潜在应用。
对全文进行总结，强调状态空间分析法在科学研究、工程实践等领域的重要性和价值。
1. 介绍状态空间分析法的概念及其在工程、科学、经济等领域的应用状态空间分析法是一种强大的数学工具，广泛应用于工程、科学和经济等多个领域。
本文将详细介绍状态空间分析法的概念及其在各个领域的应用。
状态空间分析法是一种以系统状态为研究对象的数学分析方法。
它以系统的状态变量为核心，通过对状态变量的描述和分析，揭示系统的行为模式和内在规律。
状态空间分析法通过构建状态空间模型，将复杂的系统问题转化为数学模型，便于进行理论分析和数值计算。
在状态空间中，系统的状态可以通过一系列的状态变量来描述，这些状态变量随时间变化，反映了系统的动态行为。
工程领域：在控制工程、信号处理等领域中，状态空间分析法被广泛应用于分析和设计动态系统。
通过构建系统的状态空间模型，可以方便地分析系统的稳定性、响应特性和控制性能。
此外状态空间分析法还可以用于故障诊断和系统识别等领域。
科学领域：在物理学、生物学和医学等自然科学领域，状态空间分析法同样发挥着重要作用。
例如在量子力学和电路分析中，系统的状态可以通过状态空间模型来描述，从而揭示系统的内在规律和特性。
此外在生物医学信号处理中，状态空间分析法也被广泛应用于生物电信号的分析和处理。
经济领域：在经济和金融领域，状态空间分析法被用于分析和预测经济系统的动态行为。
通过构建经济模型的状态空间表示，可以分析经济增长、市场波动和金融风险等问题，为经济决策提供支持。
工学自动控制原理8状态空间分析法
例1 某机械动力系 统如图所示
质量-弹簧-阻尼系统 的微分方程式为：
x K
F(t)
f
M
d2 x dx M dt 2 f dt Kx F (t )
d2 x f dx K
1
dt 2 M dt M x M F (t )
选择位移 x(t) = x1(t) 和速度 x&(t) = x2(t) 作为系统的
n
L2
m
43
1
0
0
0
B 0 ,
M
1
C
例 已知系统的 传递函数为：
s2 2s 3 G(s) 2s3 4s2 6s 10
求出其对应的可控标准型
1 s2 s 3
解:
G(s)
s3
2
直接写出系统的可控标准型:
2
s
2xx&&123s2500 x&3 5
1 0 3
0
1
2
x&1 0 1 0 x1 0
0
an1
x2
M
0 M
an2 M
x3 M
b0 0
u
0 1
a2
xn1
a1 xn
M
0
n
m
1
Y 0 0 0 L
状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程：
d2 x dt 2
f M
dx dt
K M
x
1 M
F (t )
x(t) = x1(t)
x&(t) = x2(t)
x&1
x&
x2
x&2
K M
x1
f M
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第9章线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量以状态变量为元素构成的向量。
状态空间以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：(9.1)（2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵（即矩阵指数）及其性质：i．ii．iii.iv.v.vi.vii.求状态转移矩阵的常用方法：拉氏变换法L－1（9.2）级数展开法（9.3）齐次状态方程求解（9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解（9.5）（5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系(9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵，找一个系统使式（9. 6）成立，则将系统称为的一个实现。
当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为的最小实现。
传递函数矩阵的实现并不唯一。
实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。
（6）线性定常连续系统的离散化及其求解对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为(9.8) 其中离散状态方程式（9.1）的解为(9.9)2. 线性系统的可控性与可观测性（1）系统的（状态）可控性。
设系统状态方程为，若在有限时间间隔内存在无约束的分段连续控制函数，能使系统从任意初始状态转移到任意的终止状态，则称系统是状态完全可控的，简称可控。
线性定常连续系统可控性常用判据：1）rank(9.10)2）当A为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行（当矩阵A有相同特征根时不适用）。
当A为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零（当相同特征根分布在两个或两个以上约当块时不适用）。
3）的行向量线性无关。
4）单输入系统为可控标准形。
5）单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测（对多输入多输出系统不适用）。
连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；连续系统可控，离散化后的系统不一定可控（与采样周期的选择有关）。
（2）系统输出可控性。
设系统状态空间表达式为式（9.1）,若在有限时间间隔内，存在无约束的分段连续控制函数，能使系统从任意初始输出转移到最终内测量到的输出，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。
输出可控性判据为rank状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。
单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。
（3）系统状态可观测性。
已知输出及有限时间间隔内测量到的输出，若能唯一确定初始状态，则称系统是完全可观测的，简称可观测。
常用可观测性判据：1）rank(9.11)2）当为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（阵有相同特征值时不适用）。
当为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个或更多个约当块时不适用）。
3）的列向量线性无关。
4）单输出系统为可观测标准形。
连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续系统可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。
对偶原理：线性系统与互为对偶系统。
若系统可控，则可观测；若系统可观测，则可控。
（4）线性定常系统的规范分解。
从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控可观测、可控不可观测、不可控可观测和不可控不可观测四类。
以此对应将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的规范分解。
研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性。
3. 线性定常系统的状态反馈与状态观测器（1）状态反馈与极点配置。
用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可控。
状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。
在引入状态反馈后，系统可控性不变，但其可观测性不一定与原系统一致。
单输入无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消，故其可观测性与原系统保持一致。
（2）输出反馈（到状态微分处）与极点配置。
用输出反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可观测。
输出反馈不改变系统的零点。
在引入输出反馈后不改变系统的可观测性，但其可控性不一定与原系统保持一致。
（3）输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为，式中，故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样任意配置系统闭环极点。
（4）状态观测器及其设计。
若被控系统可观测，则其状态可用形如(9.12)的全维状态观测器给出估值。
矩阵按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。
分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。
即矩阵与的设计可分别独立进行。
4. 李雅普诺夫稳定性分析（1）李雅普诺夫意义下的稳定性：平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即则称为一个平衡状态。
零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。
李雅普诺夫稳定性：若要求，存在，只要，上述条件更可满足，则称系统在处稳定。
（2）李雅普诺夫第二法（直接法）：标量函数（如二次型函数）的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。
李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为，其平衡状态满足，并设在原点邻域存在对的连续一阶偏导数，则有定理1：若正定，负定，则原点是渐近稳定的。
定理2：若正定，负半定，在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。
定理3：若正定，负半定，在非零状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
定理4：若正定，正定，则原点是不稳定的。
当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的固有性质。
（3）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。
设系统状态方程为为非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。
取二次型函数作为可能的李雅普诺夫函数，即则系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵，有唯一的正定实对称矩阵，成立。
是系统的一个李雅普诺夫函数。
线性定常离散系统，零平衡状态渐近稳定的充要条件是：任意给定一个正定实对称矩阵，存在一个正定实对称矩阵，满足李雅普诺夫方程。
纯量函数是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。
如果沿系统任一状态轨迹运动（除外），其≠0，则可取正半定矩阵。
二、基本要求1．线性系统的状态空间描述（1）正确理解状态空间有关概念。
（2）熟练掌握建立元件、系统状态空间表达式的方法。
（3）掌握状态空间表达式向可控、可观测标准形、对角形、约当形等规范形式变换的基本方法。
（4）熟练掌握系统实现的常用方法。
（5）熟练掌握依状态空间表达式求系统传递矩阵的方法。
（6）熟练掌握线性系统状态方程求解方法。
特别要掌握状态转移矩阵的性质及求取方法。
2．线性系统的可控性和可观测性（1）正确理解可控性、可观测性的基本概念。
（2）熟练掌握判定系统可控、可观测性的充要条件及有关方法。
（3）理解可控性、可观测性与系统传递函数的关系。
（4）理解线性系统规范分解的作用和意义，了解规范分解的一般方法。
3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（1）正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按系统指标要求确定状态反馈矩阵的方法。
（2）正确理解利用输出反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握指标要求确定输出反馈矩阵的方法。
（3）正确理解分离定理，熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法，并会用之构成状态反馈控制系统。
4．李雅普诺夫稳定性分析（1）正确理解李雅普诺夫稳定性的有关概念。
（2）初步掌握寻求系统李雅普诺夫函数判定系统稳定性的方法。
三、重点与难点1. 重点（1）状态转移矩阵的定义；矩阵指数的求取；状态方程的解。
（2）系统能控性和能观测性定义的理解；系统能控性和能观测性的判别。
（3）状态反馈的设计。
2. 难点（1）矩阵的求逆、矩阵的秩、矩阵的相乘等矩阵运算。
（2）矩阵指数的计算，状态方程的求解。
（3）系统能控性、能观测性问题以及稳定性概念的理解。