定积分的换元法和分部换元法

解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
1 1 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 ln 2 3
ln
3.
内容小结
换元积分法 基本积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ห้องสมุดไป่ตู้(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 5 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
证 （1）设 x t dx dt,
2
x 0 t , x t 0,
2
2
2 0
f (sin x)dx
例4.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
a
0[ f (x) f (x)]dx
令 x t
f (x) f (x)时
第三节
第五章
定积分的换元法和
分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
单值函数
1) (t) C1[ , ], ( ) a , ( ) b;
2) 在[ , ] 上
则
(t) (t)
满足:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
(t) (t)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 计算
1
1
解: 原式 = x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
(1
x
2
)
1 2
1 2
12
0
3 1
12 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 ln(1 x)
例7 计算 0 (2 x)2 dx.
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx
.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
二、定积分的分部积分法
定理2. 设u(x), v(x) C1[a , b] , 则 b a
20
o
ax
a2
(t
1 sin 2t )
2
22
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
(t) d(t)
配元不换限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算
解:
令 x asin t ,
t
2
,
2
则dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0;
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 =
a2
2 cos 2 t d t
0
y a2 x2
a2
2 (1 cos 2t) d t
23
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3
e4
dx
例3
计算 e x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
f (x) f (x)时
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4’
计算
1 2x2 x cos x dx. 1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40