线性系统理论汇总

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线性系统理论公式

线性系统理论公式
能控规范型
能测规范型
n维完全


旺纳姆
龙伯格
连续时不变结构分解
4.稳定性
连续时间
强条件
弱条件
内->外部稳定
渐进稳定: 系数必须同号才有负实部
BIBO稳定: a(s)同号负实部
大范围渐进稳定
所有非零状态 正定
负定
时,有 ,则平衡状态
所有非零状态 正定
负半定
对任意非零
时,有 ,则平衡状态
小范围渐进稳定
所有非零状态 满足 正定
1.定义法:
2.两两相异:
3.预测举证:
连续时间时不变
连续时间时变
离散时不变
离散时变
3.能控性与能测性
格拉姆矩阵
秩判据
PBH
约当规范型
连续时不变全能控
非奇异
行满秩
不含0行
连续时不变全能测
非奇异
列满秩
不含0列
连续时变全能控
, ,
连续时变全能测
, ,
离散时不变能控
与G非奇异
G非奇异,
离散时不变能测
非奇异
问题:主要求配置特征值
1.
实部相距4~6人倍原则,
2. ,解出
状态反馈阵K1和K2,使闭环特征值配置为λ1、λ2
K1:在不完全能控下
1.设计 , ,完成全能控
2.
3.
4.
5.
极点配置
反馈(完全能控)
观测(完全能测)
求k
能控规范:
负定
则平衡状态 在
所有非零状态 满足 正定
负半定
对任意非零
则平衡状态 在
不稳定
足 正定, 正定

77_线性系统复习

77_线性系统复习

1 0
0.091 0.819
H (
T e Atdt)B
T 1
0
0 0
0.5(
1-e-2t ) e - 2t
dt
1 0
0.5T 0.25e-2T -0.5e-2T 0.5
-0.25
00..000951
于是对应离散化状态方程为:
x(k
1)
1 0
0.091x1(k) 0.819x2(k)
系统(A,B,C)状态可控 能控性矩阵 为行满秩,即rank Wc=n (n为系统维
数)
定理4. PBH判据 系统(A,B,C)可控
实际上只要检查A旳n个特性值点即可。 例:系统
对离散系统,若系统可达,则显然系统 可控,
但系统可控,则系统不一定可达。
当系统矩阵A是非奇异,系统旳可控性 与可达性等价,但A奇异时,则系统可控 则不一定可达
u(k) u(t)
u(t)
u(k) 保持器 u(t)
y(k) y(u)
则在基本假设: ① 等间隔采样且采样周期T满足香农定理; ② 保持器为零阶保持器.
下,其对应旳离散系统状态方程为:
{ x(k 1)Gx(k ) Hu(k ) yCx(k ) Du(k )
x( 0 ) x0
其中,G e At ,H ( T e At dt )B 0
F 0 0 1Wc1αc ( A)
闭环系统期望极点旳选用
期望极点选用旳原则: 1 n维控制系统有n个期望极点; 2 期望极点是物理上可实现旳,为实数或共轭复数对; 3 期望极点旳位置旳选用,需考虑它们对系统品质旳影 响(离虚轴旳位置),及与零点分布状况旳关系。 4 )离虚轴距离较近旳主导极点收敛慢,对系统性能影响 最大,远极点收敛快,对系统只有极小旳影响。

线性系统理论和设计

线性系统理论和设计

线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容,涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。

以下是关于线性系统理论和设计的基本内容:
1. 线性系统模型
-线性系统描述:线性系统是指具有线性性质的动态系统,其输出与输入之间满足线性关系。

-线性系统模型:通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。

2. 线性系统分析
-系统稳定性分析:通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。

-频域分析:通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。

-时域分析:通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。

3. 线性系统设计
-控制器设计:设计合适的控制器来实现系统的性能要求,常见的控制器包括比例积分微分(PID)控制器、根轨迹设计等。

-系统鲁棒性设计:设计具有鲁棒性的控制器,能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。

-最优控制设计:利用最优控制理论设计最优的控制器,使系统性能
达到最佳。

4. 线性系统应用
-自动控制系统:将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统,实现对各种工程系统的自动控制和调节。

-信号处理系统:利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等,对信号进行处理和提取。

-机电系统:应用线性系统理论设计机电系统的控制器,实现机电系统的精密控制和运动规划。

线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用,能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略,提高系统的性能和稳定性。

线性系统理论总结ppt

线性系统理论总结ppt

线性系统理论总结ppt
一、线性系统简介
1.线性系统定义:
线性系统是指用线性微分方程、线性积分方程和线性算子(算子运算)来表示、描述和分析的一个系统。

这种系统的输入输出之间的关系可以表
示为线性函数的形式。

2.线性系统的实例:
线性系统的例子包括信号处理、控制系统、数字图像处理、模式识别
等等。

线性系统的应用也很广泛,可以应用在机器人、汽车、航空、通信、医疗和金融等行业中。

二、线性系统的演示
1.系统模型:
线性系统通常用状态空间模型来描述,该模型由一组线性微分方程以
及输入、输出和内部状态变量组成。

该模型的工作原理是:系统的输入到
达模型的输入,系统的内部状态变量发生改变,然后将内部状态变量产生
的输出发送到系统的输出端。

2.系统特性:
线性系统具有许多特性,包括平衡点、平稳性、稳定性、反馈和动力
学建模等等。

这些特性是线性系统能够更好地实现高效操作和有效控制的
基础。

三、线性系统的分析
1.状态变量分析:
状态变量是描述系统当前状态的量,它们通过系统的状态转移方程的变化反映系统的行为。

状态变量的分析包括:求出状态变量的收敛状态,判断系统的稳。

线性系统理论考点汇总

线性系统理论考点汇总

4
系统运动的稳定性
考点 4.1. 渐进稳定: 对特征多项式det(sI − A)运用劳斯判据。 特 征 多 项 式 系 数 都 大 于0是 渐 进 稳 定 的的 必 要 条 件。 BIBO稳定: 传递函数的极点均具有负实部。 考点 4.2. 大范围渐进稳定。 步骤:1、V (x)c。 ˙ (x)负定。或V ˙ (x)半负定,系统状态方程的解 2、V 只有平衡状态(导数不恒为0)。 3、||x|| → ∞,V (x) → ∞ 考点 4.3. P A + AT P = Q,Q = −I 。 若P对称正定,则大范围渐进稳定。
考点 3.1. 系统是否能控/能观。 若A无特定形式:采用秩判据。 若A为 约 旦 规 范 形: 不 同 特 征 值 的 约 旦 块 末 行(首 列)非 零。 相 同 特 征 值 的 约 旦 块 末 行(首 列)线 性 无 关。 考点 3.2. 判断连续时间线性线性时变系统是否完 全能控。 M0 (t) = b(t) 0 (t) M1 (t) = −AM0 (t) + dM dt 对于任意的t,rank M0 (t) M1 (t) 满秩,系统完 全能控。 考点 3.3. 求线性时不变系统的能控性指数和能观 性指数。 使能控性判别阵rank B AB . . . 满秩。 A的最小幂次为α。能 控性指 数u=α+1 C 使能观性判别阵rank CA 的满秩。 ... A的最小幂次为β 。能观性指数v=β +1 考点 3.4. 已知状态空间表达式, 求能控规范性及 其变换阵。 步骤:1、列出特征多项式det(sI − A) 1 0 0 2、变换阵P = A2 B AB B a2 1 0 a1 a2 1 −1 −1 3、A = P AP , B = P B , C = CP 能观规范形形式上对偶。 考点 3.5. 定出三阶龙伯格能控规范形。 取能控性判别阵线性无关的三列,构造变换阵P −1 。 由P的块末行导出变换阵S −1 。 基于状态变换x = S −1 x,导出变换后系统的系数矩 阵。 考点 3.6. 传递函数的能控规范形实现。 提 出 直 接 传 递 矩 阵 化 简 后 分 母 必 须 为严 真 首 一 多 项式。 考 点 3.7. G(s)的 行 列 维 数 为 能 观 块 维 数 和 能 控 块 维数。 考点 3.8. 传递函数矩阵的最小实现。 考点 3.9. 按能控性分解。 取 能 控 性 判别 阵 的 非 零 向Q量q1 ,另取 线 性 无 关 非 零向量q2 ,构成变换矩阵Q。 基于状态变换x = Q−1 x,导出变换后系统的系数矩 阵 考点 3.10. 定出能控能观子系统。

电子工程中的线性系统理论

电子工程中的线性系统理论

电子工程中的线性系统理论线性系统理论是电子工程中非常重要的一部分内容。

其涉及到信号处理、控制系统、通信系统等多个领域。

本文将对线性系统理论的定义、特征、基本理论等方面进行简要介绍。

一、线性系统的定义线性系统是指其输入和输出具有线性关系的系统。

简单地说,就是许多输入信号叠加组成的输出信号,与单独输入信号的输出信号相加之和完全相同。

其中输入信号可以是电压、电流、功率等,输出信号也可以是同样的类型。

例如,如果一个系统的输入信号为 $x_1$ 和 $x_2$,对应的输出信号为 $y_1$ 和 $y_2$,则该系统是线性的,当且仅当:$$y_1 = ax_1 + bx_2 \\y_2 = cx_1 + dx_2$$其中 $a,b,c,d$ 均为常量。

二、线性系统的特征1. 叠加性:线性系统具有叠加性,即当系统中输入信号为$x_1$ 和 $x_2$ 时,对应的输出信号分别为 $y_1$ 和 $y_2$,则系统中同时输入 $x_1+x_2$ 时,输出信号为 $y_1+y_2$。

2. 抑制性:线性系统具有抑制性,即输入信号越大,输出信号越小。

如果输入信号的某一部分被视为噪声,则线性系统可以减小噪声的影响,同时保持信号的大部分原始信息。

3. 延时特性:线性系统具有延时特性,即在特定的时间段内输入信号可以得到响应。

例如,音频系统在接收到输入信号后需要一定时间来处理信号,并绘制出相应的声音波形。

三、线性系统的基本理论1. 系统函数和频率响应系统函数是将输入信号转换为输出信号的函数,通常用$H(s)$ 或 $H(jw)$ 表示,其中 $s$ 是连续时间变量,$jw$ 是离散时间变量,表示系统的频率响应。

频率响应是指系统在不同频率下的输出功率和输入功率之比,通常用 $H(jw)$ 表示。

2. 系统的稳定性稳定性是指系统在输入端输入有限信号时输出端不会产生无限响应的性质。

在线性系统中,通常采用相对稳定性来描述系统的稳定性,这意味着系统相对于任意有限的输入信号都稳定。

线性系统理论全

线性系统理论全

稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中,常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外,还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点,适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题,如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中,初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ,揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系,反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号,便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示,反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布,可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全

CONTENCT

• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质

线性系统理论(绪论)

线性系统理论(绪论)
018

的计算方法,来分析和综合线性定常系统。
1、频率域设计方法 多输入—多输出系统化为一系列单输入—单输出系统来
处理,把经典频率法的方法推广到多变量系统中。 英国学派:罗森布罗克、麦克法伦等提出。
017
绪论
2、多项式矩阵设计方法 数学模型:传递函数矩阵的矩阵分式描述。 多项式矩阵计算和变换。 分析和综合线性定常系统的理论和方法。 罗森布罗克、沃罗维奇(W.A.Wolovich)70年代初提出。 优点:物理直观性强,便于设计调整等。
“线性系统理论”硕士学位课
主要内容:研究系统的运动规律,揭示系
统中固有的结构特性,建立系统的结构、 参数与性能之间的定性、定量关系。以及 为改善系统性能以满足工程指标要求而采 取的各类控制器设计方法。
➢状态空间法: ✓多输入多输出系统描述。 ✓能控、能观性。
✓实现。(传递函数矩阵 状态空间) 001
012
绪论
p1960年代:现代线性系统理论 传递函数:外部输入—输出描述 状态空间法:内部描述 单入—单出系统、多入—多出系统 能控性和能观测性:表征系统结构特性的概念
p1960年代后期,1970年代: 几何理论:从几何方法角度来研究线性系统的结构和特征 代数理论:以抽象代数为工具 多变量频域理论:推广经典频率法
013
绪论
8、线性系统理论的主要学派
①线性系统的状态空间法 状态方程和输出方程:输入变量、状态变量和输出变量
间关系的向量方程。 时间域方法 数学基础是线性代数 分析和综合:矩阵运算和矩阵变换。
014
绪论
②线性系统的几何理论
对线性系统的研究化为状态空间中的几何问题。 数学工具:几何形式的线性代数。 能控性和能观测性表述为不同的状态子空间的几何性质。 新概念:〈A,B〉不变子空间,〈A,B〉能控子空间。 优点:简捷明了,避免状态空间法大量繁杂的矩阵推 演运算,
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非线性序
序列中存在分支、闭合环路或者其他复杂 情形。
当实际问题被表示为数学形式,特别是解析 形式时,线性与非线性的区别显而易见,只 包含变量的一次项是线性特性,企业的均为 非线性特性。而没有给出数学表达式的实际 现象往往可以通过直观的判断。
能够用线性数学模型描述的系统
称为线性系统。
所具有线性基本特性:
一对多
变量之间的 关系
多对多 多对一
一对一•
变量之间最简单最 基本的对应关系
函数
线性函数
因变量和自变量成比例 的变化,即变化过程中 二者的比值不变,称 为线性函数
非线性函数
因变量和自变量之间的 变化过程中二者的比值 变化
最简单的一元线性函数的一般形式为: y=ax+b
a:代表因变量与自变量的不同比率 线性静态系统 b: 线性函数的截距
截距
有实际意义,函数形式为y=ax+b
没有实际意义,则 x1=x+ b/a
y=ax1
简单的变量关系用一元函数表示
较为复杂的变量关系须用多元函数表示 如,z=ax+by,函数所表示的图形就是3维空间 中的一张平面。
函数仅仅是描述一个变量对另一个变量的 依存关系,如果要表示多个变量之间的相互 依存关系,则应该用以下的数学形式:
y
x
x
t
不稳定结点,如组织溃散、文化感弱的团队会越来越难以 形成一个有机的有力整体。
y x
x t
稳定结点,如团队的建立,起初建立起来的团队是动荡 不稳定的,但是最后有一个趋于稳定有效的过程。
y x
y x
两张图分别表示稳定焦点和不稳定焦点,举例来说就如企 业团队在合作的过程中团队成员向团队核心人物靠拢或着 远离团队领导人。
其中 A= ⋮ ⋱ ⋮ , X= …
an1 ⋯ ann
xn
对于变系统系统,系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此,对于最简单的一维系统就有:
x=ax
对于二维系统,有:
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一,方程给定后,借助代数 方法,通过分析系数矩阵,可以全面的了解系统的动态行为。
系统到达后若没有外部作用将保持不变或可以回归 的状态称为定态,动态系统有不同类型的定态。最 简单的一类定态用数学中的奇点或不动点表示。
线性系统定态点的主要类型为鞍点、结点和焦点,
如下图所示
x=a11 x+a12 y
y=a21 x+a22 y
特征方程λ2 = τλ + ∇= 0 τ = a11 + a22
第五章 线性系统理论
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式,建立数学模型后,首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统, 而今正转向非线性系统,并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系,用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
常量之间并没有线性和非线性的区分。
如果没有数学模型可以采用实验手段进行判别。
但是如果未加假设的话,叠加原理只适用于有 限项之和。
叠加原理和整体涌现性的区别:
• 线性系统是一种数学抽象,是忽略了系统固有的非
线性因素的结果,系统的体功能也不能归结为部分功
能之和,二者一般没有可比性,部分或部分简单相
加和性的意义是现行系统ω表示互不相干的独立作用;
齐次性不是加和性的简单扩展,它意味着如果在系 统中将输入倍化,那么输出也将同样倍化,不会发 生定性的、结构性的变化。
例如三角函数, y=cosωt 和 y=acosωt,
注意点: 满足叠加原理是线性系统的基本判断依据。
有了数学模型,就可以直接按模型判别;
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1,x2,x3只能在给定的若干个代数 关系内变化,并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系,都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项,反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义(图中的坐标原点),经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向,每个平 面与曲面相交得到对应的曲线,代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升,有的下降。影射汽车市场,诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
例如某动态过程有两个变量x和y,均为时间的 可 微函数,导数代表它们的变化速率,
dx/dt=ax+by dy/dt=px+qy
线性动态系统
从公式可以看出两个导数同时取决与x和y,反 映了x和y相互的动态作用。
若f(x)满足一下条件, (1)加和性,f(x1 +x2)=f(x1)+f(x2) (2)齐次性,f(k x)=kf(x)
2
加不 具备与整体可作数量比较的功能。
• 不同系统的整体涌现性一般在质和量都有表现,线
性模型仅描述那些只有平庸的、低水平的涌现性的
3
系统,部分之间相互作用的相干效应在定量方面的 表现微弱,因而可以忽略。但是系统功能等定性性
质的涌现性不能忽略。
连续线性系统的动力学方程:
X =AX
a11 ⋯ a1n
x1
即 f(a x1 +b x2)=af(x1)+bf(x2)
就称f为线性的。
其中f代表某种数学操作,x为数学操作对象, f(x)表示对x施行操作f。 这种数学操作具有线性的基本要求,称为叠 加原理。
线性和非线性可以区分不同的序关系
线性序
一个序列中的事物前后顺序衔接,一个接 着一个排成一条长链。
序关系
1、输出响应特性、 2、状态响应特性、 3、状态转移特性等,
它们均满足叠加原理。
这些特性即对线性系统的基本限制称为线性假设,是 一种理论假设。
一个系统能否使用线性模型,它取决于
1、系统本身非线性特性的强弱; 2、实际应用场合对允许误差的要求;
u1
y1
s
u2
s
y2
u1+u2
y1+y2
s
如图所示,以系统为对象揭示了叠加原理的内涵:
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