线性系统理论汇总

y
x
x
t
不稳定结点，如组织溃散、文化感弱的团队会越来越难以 形成一个有机的有力整体。
y x
x t
稳定结点，如团队的建立，起初建立起来的团队是动荡 不稳定的，但是最后有一个趋于稳定有效的过程。
y x
y x
两张图分别表示稳定焦点和不稳定焦点，举例来说就如企 业团队在合作的过程中团队成员向团队核心人物靠拢或着 远离团队领导人。
第五章 线性系统理论
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
常量之间并没有线性和非线性的区分。
非线性序
序列中存在分支、闭合环路或者其他复杂 情形。
当实际问题被表示为数学形式，特别是解析 形式时，线性与非线性的区别显而易见，只 包含变量的一次项是线性特性，企业的均为 非线性特性。而没有给出数学表达式的实际 现象往往可以通过直观的判断。
能够用线性数学模型描述的系统
称为线性系统。
所具有线性基本特性：
加和性的意义是现行系统ω表示互不相干的独立作用；
齐次性不是加和性的简单扩展，它意味着如果在系 统中将输入倍化，那么输出也将同样倍化，不会发 生定性的、结构性的变化。
例如三角函数， y=cosωt 和 y=acosωt,
注意点： 满足叠加原理是线性系统的基本判断依据。
有了数学模型，就可以直接按模型判别；
例如某动态过程有两个变量x和y，均为时间的 可 微函数，导数代表它们的变化速率，
dx/dt=ax+by dy/dt=px+qy
线性动态系统
从公式可以看出两个导数同时取决与x和y，反 映了x和y相互的动态作用。
若f(x)满足一下条件， （1）加和性，f(x1 +x2)=f(x1)+f(x2) （2）齐次性，f(k x)=kf(x)
其中 A= ⋮ ⋱ ⋮ , X= …
an1 ⋯ ann
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
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加不 具备与整体可作数量比较的功能。
• 不同系统的整体涌现性一般在质和量都有表现，线
性模型仅描述那些只有平庸的、低水平的涌现性的
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系统，部分之间相互作用的相干效应在定量方面的 表现微弱，因而可以忽略。但是系统功能等定性性
质的涌现性不能忽略。
连续线性系统的动力学方程：
X =AX
a11 ⋯ a1n
x1
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
1、输出响应特性、 2、状态响应特性、 3、状态转移特性等，
它们均满足叠加原理。
这些特性即对线性系统的基本限制称为线性假设，是 一种理论假设。
一个系统能否使用线性模型，它取决于
1、系统本身非线性特性的强弱； 2、实际应用场合对允许误差的要求；
u1
y1
s
u2
s
y2
u1+u2
y1+y2
s
如图所示，以系统为对象揭示了叠加原理的内涵：
如果没有数学模型可以采用实验手段进行判别。
但是如果未加假设的话，叠加原理只适用于有 限项之和。
叠加原理和整体涌现性的区别：
• 线性系统是一种数学抽象，是忽略了系统固有的非
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线性因素的结果，系统的非线性效应就是整体涌现
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性。
• 即使是线性系统，其整体功能也不能归结为部分功
能之和，二者一般没有可比性，部分或部分简单相
截距
有实际意义，函数形式为y=ax+b
没有实际意义，则 x1=x+ b/a
y=ax1
简单的变量关系用一元函数表示
较为复杂的变量关系须用多元函数表示 如，z=ax+by，函数所表示的图形就是3维空间 中的一张平面。
函数仅仅是描述一个变量对另一个变量的 依存关系，如果要表示多个变量之间的相互 依存关系，则应该用以下的数学形式：
系统到达后若没有外部作用将保持不变或可以回归 的状态称为定态，动态系统有不同类型的定态。最 简单的一类定态用数学中的奇点或不动点表示。
线性系统定态点的主要类型为鞍点、结点和焦点，
如下图所示
x=a11 x+a12 y
y=a21 x+a22 y
特征方程λ2 = τλ + ∇= 0 τ = a11 + a22
即 f(a x1 +b x2)=af(x1)+bf(x2)
就称f为线性的。
其中f代表某种数学操作，x为数学操作对象， f(x)表示对x施行操作f。 这种数学操作具有线性的基本要求，称为叠 加原理。
线性和非线性可以区分不同的序关系
线性序
一个序列中的事物前后顺序衔接，一个接 着一个排成一条长链。
序关系
一对多
变量之间的 关系
多对多 多对一
一对一•
变量之间最简单最 基本的对应关系
函数
线性函数
因变量和自变量成比例 的变化，即变化过程中 二者的比值不变，称 为线性函数
非线性函数
因变量和自变量之间的 变化过程中二者的比值 变化
最简单的一元线性函数的一般形式为: y=ax+b
a:代表因变量与自变量的不同比率 线性静态系统 b: 线性函数的截距
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。