线性系统理论汇总

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线性系统理论公式

能控规范型
能测规范型
n维完全
，
，
旺纳姆
龙伯格
连续时不变结构分解
4.稳定性
连续时间
强条件
弱条件
内->外部稳定
渐进稳定：系数必须同号才有负实部
BIBO稳定： a(s)同号负实部
大范围渐进稳定
所有非零状态正定
负定
时，有，则平衡状态
所有非零状态正定
负半定
对任意非零
时，有，则平衡状态
小范围渐进稳定
所有非零状态满足正定
1.定义法：
2.两两相异：
3.预测举证：
连续时间时不变
连续时间时变
离散时不变
离散时变
3.能控性与能测性
格拉姆矩阵
秩判据
PBH
约当规范型
连续时不变全能控
非奇异
行满秩
不含0行
连续时不变全能测
非奇异
列满秩
不含0列
连续时变全能控
，，
连续时变全能测
，，
离散时不变能控
与G非奇异
G非奇异，
离散时不变能测
非奇异
问题：主要求配置特征值
1.
实部相距4～6人倍原则，
2. ,解出
状态反馈阵K1和K2，使闭环特征值配置为λ1、λ2
K1:在不完全能控下
1.设计，，完成全能控
2.
3.
4.
5.
极点配置
反馈(完全能控)
观测(完全能测)
求k
能控规范：
负定
则平衡状态在
所有非零状态满足正定
负半定
对任意非零
则平衡状态在
不稳定
足正定，正定

77_线性系统复习

1 0
0.091 0.819
H (
T e Atdt)B
T 1
0
0 0
0.5(
1-e-2t ) e - 2t
dt
1 0
0.5T 0.25e-2T -0.5e-2T 0.5
-0.25
00..000951
于是对应离散化状态方程为:
x(k
1)
1 0
0.091x1(k) 0.819x2(k)
系统(A,B,C)状态可控能控性矩阵为行满秩，即rank Wc=n (n为系统维
数)
定理4. PBH判据系统（A，B，C）可控
实际上只要检查A旳n个特性值点即可。例：系统
对离散系统，若系统可达，则显然系统可控，
但系统可控，则系统不一定可达。
当系统矩阵A是非奇异，系统旳可控性与可达性等价，但A奇异时，则系统可控则不一定可达
u(k) u(t)
u(t)
u(k) 保持器 u(t)
y(k) y(u)
则在基本假设: ① 等间隔采样且采样周期T满足香农定理; ② 保持器为零阶保持器.
下,其对应旳离散系统状态方程为:
{ x(k 1)Gx(k ) Hu(k ) yCx(k ) Du(k )
x( 0 ) x0
其中,G e At ,H ( T e At dt )B 0
F 0 0 1Wc1αc ( A)
闭环系统期望极点旳选用
期望极点选用旳原则： 1 n维控制系统有n个期望极点； 2 期望极点是物理上可实现旳，为实数或共轭复数对； 3 期望极点旳位置旳选用，需考虑它们对系统品质旳影响（离虚轴旳位置），及与零点分布状况旳关系。 4 ）离虚轴距离较近旳主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小旳影响。

线性系统理论和设计

线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容，涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。

以下是关于线性系统理论和设计的基本内容：
1. 线性系统模型
-线性系统描述：线性系统是指具有线性性质的动态系统，其输出与输入之间满足线性关系。

-线性系统模型：通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。

2. 线性系统分析
-系统稳定性分析：通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。

-频域分析：通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。

-时域分析：通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。

3. 线性系统设计
-控制器设计：设计合适的控制器来实现系统的性能要求，常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、根轨迹设计等。

-系统鲁棒性设计：设计具有鲁棒性的控制器，能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。

-最优控制设计：利用最优控制理论设计最优的控制器，使系统性能
达到最佳。

4. 线性系统应用
-自动控制系统：将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统，实现对各种工程系统的自动控制和调节。

-信号处理系统：利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等，对信号进行处理和提取。

-机电系统：应用线性系统理论设计机电系统的控制器，实现机电系统的精密控制和运动规划。

线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用，能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略，提高系统的性能和稳定性。

线性系统理论总结ppt

线性系统理论总结ppt
一、线性系统简介
1.线性系统定义：
线性系统是指用线性微分方程、线性积分方程和线性算子（算子运算）来表示、描述和分析的一个系统。

这种系统的输入输出之间的关系可以表
示为线性函数的形式。

2.线性系统的实例：
线性系统的例子包括信号处理、控制系统、数字图像处理、模式识别
等等。

线性系统的应用也很广泛，可以应用在机器人、汽车、航空、通信、医疗和金融等行业中。

二、线性系统的演示
1.系统模型：
线性系统通常用状态空间模型来描述，该模型由一组线性微分方程以
及输入、输出和内部状态变量组成。

该模型的工作原理是：系统的输入到
达模型的输入，系统的内部状态变量发生改变，然后将内部状态变量产生
的输出发送到系统的输出端。

2.系统特性：
线性系统具有许多特性，包括平衡点、平稳性、稳定性、反馈和动力
学建模等等。

这些特性是线性系统能够更好地实现高效操作和有效控制的
基础。

三、线性系统的分析
1.状态变量分析：
状态变量是描述系统当前状态的量，它们通过系统的状态转移方程的变化反映系统的行为。

状态变量的分析包括：求出状态变量的收敛状态，判断系统的稳。

线性系统理论考点汇总

4
系统运动的稳定性
考点 4.1. 渐进稳定：对特征多项式det(sI − A)运用劳斯判据。特征多项式系数都大于0是渐进稳定的的必要条件。 BIBO稳定：传递函数的极点均具有负实部。考点 4.2. 大范围渐进稳定。步骤：1、V (x)c。 ˙ (x)负定。或V ˙ (x)半负定，系统状态方程的解 2、V 只有平衡状态(导数不恒为0)。 3、||x|| → ∞,V (x) → ∞ 考点 4.3. P A + AT P = Q，Q = −I 。若P对称正定，则大范围渐进稳定。
考点 3.1. 系统是否能控/能观。若A无特定形式：采用秩判据。若A为约旦规范形：不同特征值的约旦块末行(首列)非零。相同特征值的约旦块末行(首列)线性无关。考点 3.2. 判断连续时间线性线性时变系统是否完全能控。 M0 (t) = b(t) 0 (t) M1 (t) = −AM0 (t) + dM dt 对于任意的t，rank M0 (t) M1 (t) 满秩，系统完全能控。考点 3.3. 求线性时不变系统的能控性指数和能观性指数。使能控性判别阵rank B AB . . . 满秩。 A的最小幂次为α。能控性指数u=α+1 C 使能观性判别阵rank CA 的满秩。 ... A的最小幂次为β 。能观性指数v=β +1 考点 3.4. 已知状态空间表达式，求能控规范性及其变换阵。步骤：1、列出特征多项式det(sI − A) 1 0 0 2、变换阵P = A2 B AB B a2 1 0 a1 a2 1 −1 −1 3、A = P AP ， B = P B ， C = CP 能观规范形形式上对偶。考点 3.5. 定出三阶龙伯格能控规范形。取能控性判别阵线性无关的三列，构造变换阵P −1 。由P的块末行导出变换阵S −1 。基于状态变换x = S −1 x,导出变换后系统的系数矩阵。考点 3.6. 传递函数的能控规范形实现。提出直接传递矩阵化简后分母必须为严真首一多项式。考点 3.7. G(s)的行列维数为能观块维数和能控块维数。考点 3.8. 传递函数矩阵的最小实现。考点 3.9. 按能控性分解。取能控性判别阵的非零向Q量q1 ,另取线性无关非零向量q2 ，构成变换矩阵Q。基于状态变换x = Q−1 x,导出变换后系统的系数矩阵考点 3.10. 定出能控能观子系统。

电子工程中的线性系统理论

电子工程中的线性系统理论线性系统理论是电子工程中非常重要的一部分内容。

其涉及到信号处理、控制系统、通信系统等多个领域。

本文将对线性系统理论的定义、特征、基本理论等方面进行简要介绍。

一、线性系统的定义线性系统是指其输入和输出具有线性关系的系统。

简单地说，就是许多输入信号叠加组成的输出信号，与单独输入信号的输出信号相加之和完全相同。

其中输入信号可以是电压、电流、功率等，输出信号也可以是同样的类型。

例如，如果一个系统的输入信号为 $x_1$ 和 $x_2$，对应的输出信号为 $y_1$ 和 $y_2$，则该系统是线性的，当且仅当：$$y_1 = ax_1 + bx_2 \\y_2 = cx_1 + dx_2$$其中 $a,b,c,d$ 均为常量。

二、线性系统的特征1. 叠加性：线性系统具有叠加性，即当系统中输入信号为$x_1$ 和 $x_2$ 时，对应的输出信号分别为 $y_1$ 和 $y_2$，则系统中同时输入 $x_1+x_2$ 时，输出信号为 $y_1+y_2$。

2. 抑制性：线性系统具有抑制性，即输入信号越大，输出信号越小。

如果输入信号的某一部分被视为噪声，则线性系统可以减小噪声的影响，同时保持信号的大部分原始信息。

3. 延时特性：线性系统具有延时特性，即在特定的时间段内输入信号可以得到响应。

例如，音频系统在接收到输入信号后需要一定时间来处理信号，并绘制出相应的声音波形。

三、线性系统的基本理论1. 系统函数和频率响应系统函数是将输入信号转换为输出信号的函数，通常用$H(s)$ 或 $H(jw)$ 表示，其中 $s$ 是连续时间变量，$jw$ 是离散时间变量，表示系统的频率响应。

频率响应是指系统在不同频率下的输出功率和输入功率之比，通常用 $H(jw)$ 表示。

2. 系统的稳定性稳定性是指系统在输入端输入有限信号时输出端不会产生无限响应的性质。

在线性系统中，通常采用相对稳定性来描述系统的稳定性，这意味着系统相对于任意有限的输入信号都稳定。

线性系统理论全

稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系，反映系统对外部激励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质

线性系统理论(绪论)

018

的计算方法，来分析和综合线性定常系统。
1、频率域设计方法多输入—多输出系统化为一系列单输入—单输出系统来
处理，把经典频率法的方法推广到多变量系统中。英国学派：罗森布罗克、麦克法伦等提出。
017
绪论
2、多项式矩阵设计方法数学模型：传递函数矩阵的矩阵分式描述。多项式矩阵计算和变换。分析和综合线性定常系统的理论和方法。罗森布罗克、沃罗维奇（W.A.Wolovich）70年代初提出。优点：物理直观性强，便于设计调整等。
“线性系统理论”硕士学位课
主要内容：研究系统的运动规律，揭示系
统中固有的结构特性，建立系统的结构、参数与性能之间的定性、定量关系。以及为改善系统性能以满足工程指标要求而采取的各类控制器设计方法。
➢状态空间法： ✓多输入多输出系统描述。 ✓能控、能观性。
✓实现。（传递函数矩阵状态空间） 001
012
绪论
p1960年代：现代线性系统理论传递函数：外部输入—输出描述状态空间法：内部描述单入—单出系统、多入—多出系统能控性和能观测性：表征系统结构特性的概念
p1960年代后期，1970年代：几何理论：从几何方法角度来研究线性系统的结构和特征代数理论：以抽象代数为工具多变量频域理论：推广经典频率法
013
绪论
8、线性系统理论的主要学派
①线性系统的状态空间法状态方程和输出方程：输入变量、状态变量和输出变量
间关系的向量方程。时间域方法数学基础是线性代数分析和综合：矩阵运算和矩阵变换。
014
绪论
②线性系统的几何理论
对线性系统的研究化为状态空间中的几何问题。数学工具：几何形式的线性代数。能控性和能观测性表述为不同的状态子空间的几何性质。新概念：〈A,B〉不变子空间，〈A,B〉能控子空间。优点：简捷明了，避免状态空间法大量繁杂的矩阵推演运算，

线性系统理论

线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。

线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。

在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。

一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。

当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。

当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。

当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。

线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。

其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。

换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。

另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。

这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。

除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。

二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。

下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。

1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。

例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。

我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。

这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。

这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。

2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。

它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。

在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。

这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。

控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。

线性系统

线性系统理论论文论文题目：线性系统理论综述—连续系统线性二次最优控制学院：年级：专业：姓名：学号：指导教师：目录摘要 (3)前言 (3)第一章线性系统理论概述 (3)1.1线性系统理论的研究对象 (4)1.2 线性系统理论的主要任务 (4)1.3 线性系统的主要学派 (5)1.4 现代线性系统的主要特点 (5)1.5 线性系统的发展 (6)第二章连续系统线性二次最优控制 (6)2.1最优控制问题 (6)2.2最优控制的性能指标 (7)2.3 最优控制问题的求解方法 (8)2.4 线性二次型最优控制 (9)2.5 连续系统线性二次型最优控制实例 (10)2.6 小结 (13)总结 (13)参考文献 (13)摘要线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也是最成熟的一个分支，是生产过程控制、信息处理、通信系统、网络系统等多方面的基础理论。

本文对线性系统的历史背景、研究现状和发展趋势作了简单的综述。

线性二次最优控制理论内容丰富、应用广泛，引起广泛地关注并取得了丰硕成果。

最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。

本文基于连续系统线性二次最优控制，提出新的控制算法并结合实例进行了仿真验证。

关键字：线性系统；线性二次最优控制；控制系统；连续系统前言线性系统理主要阐述线性系统时域理论，给出了线性系统状态空间的概念、组成方法和基本性质，进而导出系统的状态空间描述。

以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论[1]。

随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。

与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。

随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。

线性系统理论全PPT课件

详细描述
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的数学分支，主要研究线性系统的动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性和因果性等特性，这些特性使得线性系统理论在控制工程、信号处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方程来分析系统的动态性能，可以得到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描述系统的动态性能，可以得到系统的频率响应曲线和稳定性边界。

线性系统理论

y t Re A ejejt
Re A cos t jsin t
A cos t 其中A 为乘积增益函数，为相移角，
对输入信号加以平移。
第八章线性系统及傅里叶变换
2 调谐信号分析
第八章线性系统及傅里叶变换
3 卷积
• 2）卷积的几个性质
– 交换性 f g gf
– 加法的分配率
f g h f g f h
– 结合率
f g*h f gh
– 求导的性质
d f g fg f g
dt
第八章线性系统及傅里叶变换
f(t,t1)
y 0.5
0.25
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x -0.25
-0.5
y(t)
第八章线性系统及傅里叶变换
3 卷积
线性系统xt、y t的另一种一般表示
y
t

f

t
,

x

d
根据移不变性质，简化f t,
y
t-T

f

t,

x

T
d
对t-T和 T进行变量变换，则
• 5）线性移不变系统的重要性质
– 调谐输入总是产生同频率的调谐输出； – 系统的传递函数——一个仅依赖于频率的复值函数，
包含系统全部信息； – 传递函数对调谐信号输入只产生两种影响——幅度
的变化和相位的平移。
第八章线性系统及傅里叶变换
3 卷积
y
1
0.5
0
-5

线性系统理论(复习)

u
u1
x1
1
y1
x2
2
y2 y
y1 1 0 x1
R
S2： x2 x2 3u2
y2 2x2
+
e(t)
i
C - uc
e
uc
RC
duc dt
,
x 1 x 1 u, RC RC
yx
解：
1 2 0 1
.
x
A1 B2C1
0 A2
x
B1
B2
D1
u
0 3
3 0
0 x1 3 u 1 0
例线性定常系统的齐次状态方程为
x1 x2
0 2
1 x1
3
x2
求其状态转移矩阵 eAt
解
[sI
A]1
s 2
1
1
1 s 3
s 3
(s 1)(s
2)
2
1 s
s
2 1
s
1
2
2 s 1
s
2
2
s
1 1
s
1
2
1 s 1
s
2
2
于是
eAt L
1[sI
A]1
2et
x1
x2
[D1
D2
]u
G(s) G1(s) G2 (s)
：
p
x1 A1
xN
y C1
x1 B1
u
AN xN BN
CN
x1 x2
[D1
DN ]u
N
G(s) Gi (s) i 1
u1
例：求如下并联系统的状态空间描述 u
0 1 0

线性系统理论综述

线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。

一．线性系统理论研究内容综述系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。

动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。

表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。

从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。

线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。

他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。

现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。

线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。

在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。

分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。

系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。

线性系统理论(xue)

线性系统理论Linear System Theory 1-1 状态空间的基本概念例1-1 图示RLC 网络。

设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。

2 状态空间描述中常用的基本概念例1-1 图示RLC 网络。

设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。

用矩阵表示状态空间表达式：⎪⎨+−−=u x R x x 11&1-2 线性连续系统状态空间表达式的建立1......)((b s b s b s b s Y G n n ++++−1 N(s)/D(s)的串联分解——可控标准型实现x&x x⎤⎡⎡00010L &状态变量图例1-5 已知系统微分方程：u u T y y y +=ω+ωζ+试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。

21u x x x+ζω−ω−=22&2 可观测标准型实现设可控标准型实现为例1-6 已知系统微分方程：试求可观测标准型实现，并绘制其状态变量图。

3 并联分解——Jordan标准型实现⎤⎡−s L 0001ss s s U s G 89)()(23++==例1-7 已知某系统传递函数:⎡1⎤4 矩阵的特征方程、特征值1）方阵2 线性定常连续系统状态方程的求解2-1 齐次状态方程的解⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣22x 32x &解：用拉氏变换的方法:例2-1 求已知状态方程的状态转移矩阵。

2-2 状态转移矩阵的性质例2-2 已知状态转移矩阵，求Φ-1和系统矩阵A。

性质9 若例2-3已知系统矩阵，求状态转移矩阵及其状态转移矩阵的逆。

非齐次状态方程：例2-4 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃，求状态方程的解SISO系统：例9-29 已知系统动态方程，试求系统的传递矩阵。

⎡x&9-4-2开环与闭环传递矩阵MIMOU(s)E(s)Y(s)由图可知：3-1 线性系统的可控性与可观性3-1-1 问题的提出例3-2 已知系统状态空间表达式，⎧3-2 可控性问题基本概念考虑线性系统：3-3 可观测性的基本概念3-4 线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：例3-3 判断已知系统的可控性。

线性系统-复习

b m u (k m ) b m 1 u (k m 1 ) . .b .1 u (k 1 ) b 0 u (k )
一个差分方程实际上就是一个迭代方程,特别适合于计算机求解,但为分析系统,我们还希望得到一般的解.
与微分方程一样,差分方程的解也是通解加特解的形式. 可以用z变换求解差分方程.上式两边取z变换,利用z变换的线性性质和平移定理,有:
-0.25

0.005 0.091
于是对应离散化状态方程为 :
x(k

1
)

1 0
0.091 0.819

x1(k) x2(k)

0.005 0.091u(k)
{
x (k 1) Ax y ( k ) Cx ( k )
(k) Du
考虑系统
X AXBu :Y CXDu
引入坐标变换 X PX（P非奇异）
并令变换后的状态空间描述为
:
X

AX
Bu
Y CX Du
则成立 A P 1 A B PC B C 1P D D
并称和为代数等价系统
坐标变换不改变系统的特征值
n
n
(zn aizni )y(z)α(z) ( bizni )U(z)β(z)
i1
i0
其中(z)和(z)均是由于两边的初成值的. 造
n
令 A(z) Δz n ai z ni
n
B(z )Δ bi z ni
i 1
i0
有 : A(z)Y(z)- α(z) B(z)U(z) β(z)
u(k) u(t)
u (t) u (k) k T t (k 1)T y(k)