《计算方法习题集》

绪论

(一)考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

(二)复习要求

1.知道产生误差的主要来源。

2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3.知道四则运算中的误差传播公式。

一、重点内容

一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的，主要有：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。

误差：设精确值x*的近似值为x，差e＝x－x*称为近似值x的误差(绝对误差)。

误差限近似值x的误差限e是误差e的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。

相对误差e r是误差e与精确值x*的比值，。常用计算。

相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。

有效数字如果近似值x的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。

二、难点内容

(1)设精确值x*的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10m，a1，a2，…，a n是0～9之中的自然数，且a1≠0，|x －x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n。则x有l位有效数字。

(2)设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n位有效数字，则其相对误差限

(3)设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。

(4)要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4位小数。

三、例题

例1设x*=p=3.1415926…

近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的误差是0.0015926…，有

，即n=3，故x=3.14有3为有效数字。x=3.14准确到小数点后第2位。

近似值x=3.1416，它的误差是0.0000074…，有

即m=1,n＝5，

，

x=3.1416有5位有效数字。

近似值x=3.1415，它的误差是0.0000926…，有

即m=1，n＝4，x=3.1415有4位有效数字。

这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s－1位有效数字。

例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.0004 －0.00200 9000 9000.00

解因为x1=2.0004＝0.20004×101,它的误差限0.00005=0.5×101―5，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效数字.相对误差限

x2=－0.00200，误差限0.000005，因为m=－2，n=3，x2=－0.00200有3位有效数字。

相对误差限e r=0.00005/0.00200=0.25%。

x3=9000，绝对误差限为0.5，因为m=4,n=4,x3=9000有4位有效数字，相对误差限

e r＝0.5/9000=0.0056%

x4=9000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效数字，相对误差限为

e r=0.005/9000.00=0.000056%

由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。

例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是e＝0.05,故至少要保留小数点后三位才可以。Ln2»0.693。

例4如何去设计一个好的算法？

答：一个好的算法必须满足：1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累；2、避免两个相同号数数值相近的数相减；3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加；4、避免乘除法中数值绝对值过大或过小；5、防止大数吃掉小数；6、选用数值稳定性好的算法。

四、练习题

1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是___________________________。

2.设某数x*,它的精确到10－4的近似值应取小数点后____位。

3.()的3位有效数字是0.236×102。

(A)235.54×10－1(B)235.418(C)2354.82×10－2(D)0.0023549×103

4.设a*=2.718181828…，取a=2.718,则有(),称a有四位有效数字。

(A)(B)(C)(D)

5.设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有3位有效数字，绝对误差限是。

(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.00315

6.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为。

(A)0.01234 (B)–12.34 (C)–2.20 (D)0.2200

五、练习题答案

该数有效数字第四位的一半。2.四 3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D)

方程求根

(一) 考核知识点

二分法；迭代法――牛顿法；弦截法。 (二)复习要求

1.知道有根区间概念，方程f (x )=0在区间(a ,b )有根的充分条件。

2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次数公式，迭代法及其收敛性。

3.熟练掌握牛顿法，掌握初始值的选择条件。

4.掌握弦截法。 一、重点内容

1.二分法:设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x *

≈

x n =(a 0＝a ，b 0＝b )，n ＝0，1，2，…

有误差估计式：½x *

－x n ½≤

，n ＝0，1，2，…，二分区间次数：

2.牛顿法：用切线与x 轴的交点，逼近曲线f (x )与x 轴的交点。迭代公式为

（n ＝1，2，…），选初始值x 0满足f (x 0)f ²(x 0)＞0，迭代解数列一定收敛。

3.弦截法:用两点连线与x 轴交点逼近曲线f (x )与x 轴的交点。迭代公式为

(n ＝1，2，…)

二、难点内容：

（1）、迭代法概念:若方程f (x )＝0表成x ＝j(x )，于是有迭代格式：x n ＝j(x n －1)（n ＝1，2，…），

，

x *≈x n ，存在0＜l ＜1,|¢j(x )|£l，在区间[a ,b ]内任一点为初始值进

行迭代，迭代数列收敛。

（2）定理一：设)(x φ在区间【a,b 】上具有一阶连续的导数，且满足如下两个条件：①当],[b a x ∈时，

],[)(b a x ∈φ；②存在正常数L<1，使得对任意],[b a x ∈有L x ≤')(φ。则

① 方程f(x)=0在区间【a,b 】上有唯一根；

② 对任意],[0b a x ∈，迭代格式x ＝j(x )收敛，且*

lim x x n n =∞

→；

（3）定理二：设方程f(x)=0在区间【a,b 】内有根x *

,且当],[b a x ∈时，1)(≥'x φ，则对任意初始值

],[0b a x ∈，且*≠x x 0，迭代格式x ＝j(x )发散。

(4)定理三（局部收敛）：设方程x ＝j(x )有根x *

,且在x *

的某个邻域δ≤-=*

x x x S 内j(x )存在

一阶连续的导数，则①当1)(*<'x ϕ时，迭代公式)(1n n x x φ=+局部收敛；②当1)(*

>'x ϕ时，迭代公式

)(1n n x x φ=+发散。