2021年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明 》公开课课件.ppt
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北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第1课时课件 (共23张PPT)
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中： AB=AC
B DC
BD=CD AD=AD
AB还可以看作△ABC 的什么特殊线段？
∴△ABD≌△ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C
新知归纳 等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
新知探究 Ⅲ、你能证明“等腰三角形的两个底角相等”吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC。
两个三角形全等。(AAS)
合作交流
ⅰ、根据三角形全等的定义，对应的边、对应的 角有怎样的关系?
A
A1
B
C
AB=A1B1 AC=A1C1 BC=B1C1
B1
C1
∠A=∠A1 ∠B=∠B1 ∠C=∠C1
新知归纳 全等三角形的性质定理：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
合作交流 ⅱ、你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】选C.由已知条件可得△ACF≌△ABE,进而可 推理证得△MCD≌△NBD,得CD＝DB，故②错，同 样的办法可证得①③④正确.
2.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，第三条边
的长是（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
【解析】选B.因为三角形是等腰三角形，所以第三条
课堂小结 1、定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等。(AAS)
2、全等三角形的性质定理：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 3、等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) 4、推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高互相重合。(三线合一)
北师大版数学初中八年级下册课件-第1章 三角形的证明-1.1 第1课时 等腰三角形的性质
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
数学课堂教学课件设计
2 等腰三角形的性质及其推论
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. A
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B CE F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
数学课堂教学课件设计
1 全等三角形的判定和性质
新课讲解
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上 面的推论吗？
弄清楚证明 一个命题的 一般步骤是 解题的关键
证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
北师大版数学八年级下册《三角形的证明》课件(共22张)
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来. (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
如图，先自己折纸视察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相补偿不足.
作图视察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，视察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
E
D
求证：BD=CE．
3
4
B
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B EC D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD
2021年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》公开课课件.ppt
O
1 2
PC
E B
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
∵ PO=PO
∴△PDO≌△PEO
∴PD=PE
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
应用定理的书写格式：
∵ OP 是AOB的平分线
PDOAPEOB
\ PD = PE （角平分线上的点 O 到这个角两边的距离相等。）
DA
PC
EB
应用：
例1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD平
分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于
点E，且DC=3cm。
C
求：DE的长度。
D
B
E
A
用途：证线段相等
新知探究
Ⅱ、性质定理：角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
改写成“如果…，那么…”的形式： 如果一个点是角平分线上的点，那么这个点
到这个角的距离相等。
。2020年12月14日星期一2020/12/142020/12/142020/12/14
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/142020/12/14December 14, 2020
∵ PDOAPEOB
DA
PD= PE
\OP 是AOB的平分线 O
PC
（到一个角的两边的距离相等的点， E B
在这个角的平分线上）
知识应用： 用途：判定一条射线是角平分线
1、如图，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，
AD=10，DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是E, F,
第一章三角形的证明小结与复习课件(共51张PPT) 北师大版八年级数学下册
则 1 2 1 BAC.
2
∵ AB = AC， ∴ AE⊥BC.
A
∴∠2 +∠ACB = 90°.
12
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠ACB = 90°.
D
∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC.
B
E
C
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们 是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的 特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛， 有一个角是 30° 的直角三角形的性质是证明线段之间 的倍份关系的重要手段.
结论 ，并将结论改成 条件 ，便可以得到原命题的逆 命题．
3. 逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它
也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫 做另一个的 逆 定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆 定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
什么是反证法？
反证法：先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们 把它叫做反证法.
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.
求证：∠BAC = 2∠DBC.
A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”
的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，
来获取角的数量关系.
B
12
D
E
C
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
北师大版八年级数学下册第一章《直角三角形》精品课件
w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;真
w两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 真
w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的
两个直角三角形全等. 真
A
E
C
D
BG
H
F
2、如图，两根长度为12m的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木 桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 说明理由。 解：相等。
用HL可证Rt△ACD≌Rt△AED； 证明Rt△ACD≌Rt△AED
（3）不能
•
你们得到的三角形全等吗？你能得到什么样的结论呢？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简述为：“斜边、直角边”或“HL”
你能证明它吗？
合作探究
w已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900
BC=B′C ′, AB=A′B′
w求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
测试评价 l1、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF， 求证：△ABC是等腰三角形
l证明：∵ D是△ABC的BC边的中点
l∴BD=CD
l∵ DE⊥AC，DF⊥AB
l∴∠1=∠2=90° l∵BD=CD,DE=DF
1
2
l∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)
A′
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
AB=A′B′B′
C
A C′
A′
证明： ∵在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理) ∵ AB=A'B'，BC=B'C'，∴AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明1.2直角三角形PPT
知2－练
（来自《教材》）
知2－练
3 【2017·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同 的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重 合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝ ∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A ) A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
（来自《教材》）
知2－讲
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9， BC＝12，则点C到AB的距离是( A )
A. 36 B. 12 C. 9 D. 3 3
5
25
4
4
知2－讲
导引：方法一：
∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.
∴AB＝15.
例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°， AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－30°－70°＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ 12∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
知2－讲
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
新北师大版八年级数学下册第一章《 三角形的证明》公开课课件
C
B
10.角平分线 定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
几何语言： ∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB
D
1 2
A
P
∴PD=PE
逆定理:
O
C
在一个角的内部,且到角的两边距离相 E 等的点,在这个角的平分线上. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE
B
∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上 )
已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.
作图题的一般步骤: 已知,求作,分析,作法,证明,讨论. 做一做: 任意画一个角,利用尺规将其二等分,四等分.
作图题的要求:能写出规范的作图步骤.
例1:在Δ ABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB 求证:DC⊥AC
证明:取AB的中点E,连结DE ∵DA=DB,AE=BE ∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一) ∵AB=2AC,E为AB的中点 ∴AE=AC 在Δ AED和Δ ACD中, B AE=AC,∠1=∠2,AD=AD ∴Δ AED≌Δ ACD(SAS) ∴∠AED=∠ACD=900 即AC⊥DC
结论1:等腰三角形两底角的平分线相等. 结论2:等腰三角形两腰上的中线相等. 结论3:等腰三角形两腰上的高相等； 结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半. 结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高. 4.等边三角形的判定：
(1).三条边都相等的三角形是等边三角形. (2).三个角都相等的三角形是等边三角形. (3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
（2）∵AB=AC, BD=CD (已知). B ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一） （3）∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一） 轮换条件：∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一 的三种不同形式的运用.
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明PPT教学课件
北师版 八年级 下册
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章末复习课件(共70张)
章末复习
相关题2-1 [宜昌中考]如图1-Z-4, 在 △ ABC 中 , AB = A C , ∠A=30°, 以B为圆心, BC的长为半径 的圆弧交AC于点D, 连接BD, 则∠ABD的度数为
( B ). A．30° C．60°
B．45° D．90°
章末复习
相关题2-2 在△ABC中, AB=AC, 且过△ABC的某一顶点的直 线可将△ABC分成两个等腰三角形, 试求△ABC各内角的度数.
【要点指点】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了根据. 一 般三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”. 直角 三角形是一种特殊的三角形, 它的判定方法除了上述四种之外, 还有 “HL”. 在具体问题中, 一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个 条件也不直接给出), 其余条件常隐含于条件或图形中, 而找出这些隐 含条件是解答问题的关键.
章末复习
(ⅱ)如图④，过点 B 的直线交 AC 于点 G，且 BG＝AG，CB＝CG.
设∠A＝β°，则∠ABG＝β°，∠CBG＝∠CGB＝(2β)°，∠C＝∠ABC＝
直角 三角 形
角平 分线
三角形的证明
性 线段垂直平分线 质 上的点到这条线
段两个端点的距 离相等
判 到一条线段两个 定 端点距离相等的
点, 在这条线段 的垂直平分线上
性 质
角平分线上的点 到这个角的两边 的距离相等
在一个角的内部,
判 定
到角的两边距离 相等的点在这个 角的平分线上
章末复习
归纳整合
专题一 与全等三角形有关的计算与证明题
章末复习
例2 如图1-Z-3, 在△ABC中, AB=AC, ∠ABC, ∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作EF∥BC, 分别交AB, AC于点E, F. 图中有几个等腰三角形？ 请说明EF与BE, CF之间的关系.
北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 (共35张PPT)
图S1－5
[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的 方法．
8．三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且这一点到 三角形三个顶点的距离 相等 .
9．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的 点，在这个角的平分线上．
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
► 考点四 等腰三角形的判别
例4 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的 中点．
(1)如图S1－5，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF， 求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其 他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的 结论．
┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质 性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等. 性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边 上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．
3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形．
新北师大八年级数学下册全册ppt课件
∴ △BDC≌△CEB（ASA）．
E
D
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．首发 打造中学高效课堂首选课件
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． A
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°首发 打造中学高效课堂首选课件
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.首发 打造中学高效课堂首选课件
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
E
D
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．首发 打造中学高效课堂首选课件
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． A
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°首发 打造中学高效课堂首选课件
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.首发 打造中学高效课堂首选课件
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
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用心想一想，马到功成
1．你能说说作为证明基础的几条公理吗？
公理：同位角相等，两直线平行； 公理：两直线平行，同位角相等； 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； 公理：三边对应相等的两个三角形全等； 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； 公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
用心想一想，马到功成
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 2:31:15 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
课时小结
本章的内容总结如下：
通过探索、猜测、计 算、证明得到的定理
与等腰三角形、等边三角形 有关的结论
与直角三角形有关的结论
与一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假
线段的垂直平分线 尺规作图
角的平分线
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边 也不相等（用反证法证明）。
2．命题的逆命题及其真假 ：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命 题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是 一个定理，这两个定理称为互逆定理。其中一个定理称 为另一个定理的逆定理。例如勾股定理及其逆定理。
已知：如图，∠AOB
求作：(1)射线OC，使∠AOC=∠BOC；
(2)射线OD、OE，使
O
∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB
B
N
E
Ｃ
M
D
A
作法: (2) 同上，分别在∠ AOC和∠ BOC内部作射线OD、OE ．
建立本章的知识框架图
本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形 有关，主要包括哪些呢？
A
F
E
B DC
分析：要证△ABC是等 腰三角形，可证∠B=∠C.
例题讲解
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分 线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2.
求AB与BC的长.
A
D E
B
C
分析：由已知AC－BC=2， 即AB－BC=2，要求AB和BC的 长，利用方程的思想，需找另一 个AB与BC的关系。
上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中
线相等，两条腰上的高相等。 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并
且每个角都等于60° ； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高
互相相等。
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（１）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形。
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（2）与直角三角形有关的结论：
勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全 等。(HL)
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（3）与一般三角形有关的结论：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
２．向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法．
①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证 明的定理进行合情推理和演绎推理； ②反证法．
用心想一想，马到功成
３．你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？
用心想一想，马到功成
４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．
已知：如图，∠AOB 求作：(1)射线OC，使∠AOC=∠BOC；
3．尺规作图
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用 尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的 高，用尺规作等腰三角形。
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作 已知角的平分线。
例题讲解
例1、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF.
求证：△ABC是等腰三角形.
等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质 定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定 理；角平分线的性质定理及判定定理．
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
。2020年12月14日星期一2020/12/142020/12/142020/12/14
B N
(2)射线OD、OE，使
O
Ｃ
∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB
M
A
作法: (1)1、在OA和OB上分别分别截取OM、ON，使OM=ON．
1
2．分别以M、N为圆心，以大于 两弧径作弧，
3．作射线OC OC就是∠AOB的平分线．
用心想一想，马到功成
４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．
1．你能说说作为证明基础的几条公理吗？
公理：同位角相等，两直线平行； 公理：两直线平行，同位角相等； 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； 公理：三边对应相等的两个三角形全等； 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； 公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
用心想一想，马到功成
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 2:31:15 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
课时小结
本章的内容总结如下：
通过探索、猜测、计 算、证明得到的定理
与等腰三角形、等边三角形 有关的结论
与直角三角形有关的结论
与一般三角形有关的结论
命题的逆命题及其真假
线段的垂直平分线 尺规作图
角的平分线
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边 也不相等（用反证法证明）。
2．命题的逆命题及其真假 ：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命 题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是 一个定理，这两个定理称为互逆定理。其中一个定理称 为另一个定理的逆定理。例如勾股定理及其逆定理。
已知：如图，∠AOB
求作：(1)射线OC，使∠AOC=∠BOC；
(2)射线OD、OE，使
O
∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB
B
N
E
Ｃ
M
D
A
作法: (2) 同上，分别在∠ AOC和∠ BOC内部作射线OD、OE ．
建立本章的知识框架图
本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形 有关，主要包括哪些呢？
A
F
E
B DC
分析：要证△ABC是等 腰三角形，可证∠B=∠C.
例题讲解
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分 线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2.
求AB与BC的长.
A
D E
B
C
分析：由已知AC－BC=2， 即AB－BC=2，要求AB和BC的 长，利用方程的思想，需找另一 个AB与BC的关系。
上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中
线相等，两条腰上的高相等。 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并
且每个角都等于60° ； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高
互相相等。
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（１）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形。
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（2）与直角三角形有关的结论：
勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全 等。(HL)
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（3）与一般三角形有关的结论：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
２．向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法．
①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证 明的定理进行合情推理和演绎推理； ②反证法．
用心想一想，马到功成
３．你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？
用心想一想，马到功成
４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．
已知：如图，∠AOB 求作：(1)射线OC，使∠AOC=∠BOC；
3．尺规作图
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用 尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的 高，用尺规作等腰三角形。
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作 已知角的平分线。
例题讲解
例1、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF.
求证：△ABC是等腰三角形.
等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质 定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定 理；角平分线的性质定理及判定定理．
1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：
（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：
性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
。2020年12月14日星期一2020/12/142020/12/142020/12/14
B N
(2)射线OD、OE，使
O
Ｃ
∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB
M
A
作法: (1)1、在OA和OB上分别分别截取OM、ON，使OM=ON．
1
2．分别以M、N为圆心，以大于 两弧径作弧，
3．作射线OC OC就是∠AOB的平分线．
用心想一想，马到功成
４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．