微分几何习题与答案解析

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e

为单位向

量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r

具有固

定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r

= ' （e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r

×

'r =2 （e ×'e

）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意

方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e

，（因

为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固

定方向。

6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r

）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，

且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r

，'r ，''r 垂

直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r

）=0 。

反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'

r

0 。若r ×'r =0

，由上题

知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'

r

，则存在数量函数

)(t 、)(t ，使''r = r r

+ 'r ①

令n =r r ×'r

，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得

'n =r ×''r = （r r ×'r ）= n ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)

(t r ⊥n

，即)(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念

3. 证明圆柱螺线r r

={ a cos ,a sin , b } ( )的切线和z 轴作固定角。

证明 'r

= {-a sin ,a cos ,b },设切线与z 轴夹角为 ,则 cos

=22||||'b

a b

e r k r 为常数，故 为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 10. 将圆柱螺线r r

={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。 解 'r

= { -a t sin ,a t cos ,b}，s =

t b a dt r t

220

|'|

，所以2

2

b

a s t

，

代入原方程得 r r

={a cos

2

2

b

a s , a sin 2

2

b

a s ,

2

2

b

a bs }

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为

sin cos cos sin sin cos t

a t

a b t a t a bt z t a y t a x = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .

2. 求曲线r r

= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r

(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0} t ={0,1,1}，

)0(''r

{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，

所以切线方程是

1

10z

y x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2

02110z

y x =0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是 00z y z y x 即112z

y x ；

从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

11

z

y x 。

3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 的主法线和z 轴垂直相交。

证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r

⊥''r

知''r

为主法

线的方向向量，而''r 0 k

所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是

sin sin cos cos bt

z t t a y t t a x

与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。

4.在曲线x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位